微积分及经济学应用
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用微积分是数学中的重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。
它的特点是能够对连续变化的量进行研究，因此在经济学中的应用非常广泛。
本文将从宏观经济学和微观经济学两个层面，探讨微积分在经济学中的重要性和应用。
一、宏观经济学中的微积分应用宏观经济学是对整个经济系统进行研究的学科，它关注的是经济的总体运行规律和宏观经济变量之间的关系。
微积分在宏观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 经济增长模型经济增长是宏观经济学中的核心问题之一。
微积分可以帮助我们建立经济增长模型，探讨经济增长率和各种因素之间的关系。
例如，通过对经济生产函数进行微积分运算，可以得到边际产出、边际投入和边际技术效率等重要经济指标，进而研究经济增长的规律和影响因素。
2. 国民收入计算国民收入是衡量一个国家经济发展水平的重要指标。
微积分在国民收入计算中发挥了重要作用。
它可以帮助我们对经济数据进行求和、积分等运算，从而准确计算出国民收入和国内生产总值等宏观经济指标。
3. 经济周期分析经济周期是宏观经济波动的一种表现形式，对其进行研究有助于把握经济的发展趋势和规律。
微积分可以帮助我们对经济数据进行趋势分析、峰值检测等，从而辅助预测经济周期的起伏和变化。
二、微观经济学中的微积分应用微观经济学是研究个体经济单位之间的行为和相互关系的学科，微积分在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析边际分析是微观经济学的基础理论之一，而微积分是边际分析的重要工具。
通过微积分的求导和积分运算，我们可以准确计算出边际成本、边际效用和边际收益等经济指标，从而帮助决策者做出最优决策。
2. 弹性分析弹性是衡量市场供求关系敏感度的指标，对于分析市场需求和供给的变化尤为重要。
微积分可以帮助我们计算和分析价格弹性、收入弹性和交叉弹性等，从而更好地理解市场的运行机制和市场参与者的行为。
3. 市场均衡分析市场均衡是微观经济学中的重要概念，用于描述市场上供给和需求的平衡状态。
论微积分在经济学中的应用
论微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一门分支，主要研究变化率、极限和连续性等概念。
在经济学的分析和研究中，微积分也扮演着重要的角色。
通过微积分的方法，经济学家们能够更加准确地描述和预测经济现象，从而为政策的制定和决策提供可靠的依据。
函数是微积分的基础，它表示一个变量与另一个或多个变量之间的关系。
在经济学中，函数通常被用来描述成本、收益、价格等经济变量之间的关系。
导数表示函数在某一点的变化率，即当自变量发生微小变化时，因变量相应的变化量。
在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，例如边际成本、边际收益等。
积分是微分的逆运算，它表示函数在某个区间上的总和。
在经济学中，积分可以用来计算总成本、总收益、总利润等。
微积分在经济学中的应用广泛而深入。
以下是一些主要的方面：优化问题：微分学中的极值理论可以用来解决优化问题，例如求解最大值或最小值点。
在经济学的决策过程中，优化问题通常涉及到成本最小化、利润最大化等方面。
动态分析：微积分中的导数和积分可以用来研究经济系统的动态变化。
例如，利用导数可以研究变量的变化率，而积分可以用来计算累积效应。
均衡理论：微积分在均衡理论中也有着重要的应用。
例如，利用微分学中的极值原理，可以研究经济学中的最优定价、资源分配等问题。
经济增长和收敛：微积分可以用来研究经济增长和收敛的问题。
例如，利用微积分可以研究经济增长的动态过程以及不同经济体之间的收敛性问题。
成本最小化问题：假设某公司生产一种产品，已知产品的市场需求函数为Q=100-P，其中P为产品的价格。
公司的总成本函数为C=5Q²+20Q+1000。
求该公司的最小成本点。
通过求导数，可以得出产品的边际成本函数为MC=Q+20。
根据市场需求函数可知，当边际成本等于价格时，市场达到均衡。
因此，将价格P代入边际成本函数可得Q=40，进而可得出公司的最小成本点为（20，800）。
动态经济增长模型：假设一国的经济增长率由储蓄率S、投资率I、人口增长率n和技术进步率A共同决定，即g=S+I+n+A。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一大分支，它主要研究函数的极限、导数、微分和积分等数学概念和运算。
微积分的应用非常广泛，涉及到各个领域，包括物理学、化学、工程学、生物学等，其中经济学是其中一个重要的应用领域。
下面将分析微积分在经济学中的应用。
1. 一元微积分一元微积分主要研究一个自变量的函数的极限、导数和积分，其中导数和积分的应用在经济学中尤为重要。
导数的应用导数是函数在某一点处的斜率，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在生产函数中，均线产品的产量和使用的生产要素之间存在着一定的关系，这种关系可以用生产函数来描述。
生产函数的一般形式为：q=f(k, l)其中，q表示产量，k和l分别表示生产要素的数量（例如资本和劳动力）。
假设生产函数中资本和劳动力的价格分别为r和w，则资本k和劳动力l的成本可以表示为：C=rk+wl函数C也是q的函数，它表示单位产量的成本。
假设某一时刻，资本和劳动力的数量分别为k和l，单位时间内的产量为q，则单位时间内的成本可以表示为：C(q)=r(k(q))+w(l(q))其中，k(q)和l(q)分别表示产量为q时，需要使用的资本和劳动力的数量。
成本函数的导数c'(q)表示在某一产量下，单位产量的成本变化量，称为边际成本。
在实际中，企业为了最大化利润需要选择边际成本等于边际收益的产量。
因此，成本函数的导数在经济学中具有重要的应用。
积分的应用积分是导数的逆运算，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在宏观经济学中，净出口是指某国对外贸易出口和进口之差，它可以表示为：NX = X-M其中，X表示出口，M表示进口。
某一时刻净出口的值可以表示为：在某一时刻t，储蓄和投资的数量分别为S(t)和I(t)，则国内生产总值（GDP）可以表示为：GDP = C+I+G+NX其中，C表示消费支出，G表示政府支出。
从这个方程可以看出，GDP是储蓄、投资、消费和净出口之和。
净出口的值可以通过计算出口和进口之和，然后去掉进口即可得到。
微积分在经济中的应用
微积分在经济中的应用
微积分是一门研究变化问题的数学学科，它是高等数学中最重要的一部分。
微积分在经济学中也有着重要的应用。
首先，微积分可以用来分析和解释经济问题的变化规律。
例如，在经济学中，经济学家常常用微积分来分析供求关系，以及供求关系对市场价格的影响。
当市场的供给量增加时，市场价格会下降；当市场的需求量增加时，市场价格会上涨。
微积分帮助经济学家理解和解释供求关系和价格变化。
其次，微积分可以用来分析经济政策的效果。
例如，当政府实施一项经济政策时，会出现一些经济效果，比如收入水平增加或减少，物价上涨或下降等。
经济学家可以利用微积分来分析经济政策的效果，以便政府采取更有效的政策。
最后，微积分也可以用来分析经济学中的有限个体行为问题。
例如，微积分可以用来分析消费者收入、物价和消费量之间的关系，以及资源分配的最优方案等问题。
经济学家可以利用微积分来研究有限个体行为，以便更好地把握经济现象。
总之，微积分在经济学中有着重要的应用。
它可以用来分析经济问题的变化规律，用来分析经济政策的效果，以及用来分析有限个体行为问题。
因此，微积分的研究对理解和解决经济问题具有重要的意义。
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用广泛且深入，其基本概念和方法为经济分析提供了有力的工具。
微积分在经济学中的运用，主要体现在建立经济模型、分析经济变量之间的关系、预测经济趋势、优化经济决策以及与数据分析的结合等方面。
以下是关于微积分在经济学中应用的一些详细内容。
一、微积分的核心概念及其在经济学中的应用微积分主要由极限、导数、积分等核心概念构成。
这些概念在经济学中都有广泛的应用。
1. 极限：在经济学中，极限常常被用来描述经济变量的长期趋势。
例如，在经济增长理论中，极限概念被用来探讨一个国家或地区的经济增长潜力。
2. 导数：导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在经济学中，导数常被用于描述经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。
这些概念在决策分析、定价策略、资源优化等方面有着广泛的应用。
3. 积分：积分是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一区间内的累积变化。
在经济学中，积分常被用于计算总成本、总收入等经济指标。
此外，在经济预测和规划中，积分也发挥着重要作用。
二、微积分在经济模型建立中的应用微积分在经济模型的建立中扮演着至关重要的角色。
通过建立含有导数、积分等微积分元素的经济模型，我们可以更准确地描述经济现象，揭示经济变量之间的关系。
例如，在宏观经济学中，常使用微积分来建立经济增长模型。
通过引入导数来描述经济增长率的变化，可以更准确地预测经济未来的发展趋势。
在微观经济学中，微积分也被广泛用于建立需求曲线、供给曲线等模型，以分析市场价格与数量之间的关系。
三、微积分在优化经济决策中的应用微积分在优化经济决策中也发挥着重要作用。
通过求解含有微积分元素的优化问题，我们可以找到实现经济目标的最优方案。
例如，在生产决策中，企业常使用微积分来优化生产成本。
通过求解边际成本等于边际收益的条件，企业可以确定最佳的生产规模，以实现利润最大化。
在投资决策中，微积分也可帮助投资者分析投资项目的风险和收益，以找到最优的投资组合。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析【摘要】微积分在经济学中扮演着重要的角色，它的应用范围广泛且深入。
在市场需求分析中，微积分可以帮助我们理解市场行为背后的变化规律；在生产函数分析中，微积分可以帮助我们确定最优生产方案和最大化利润；在边际分析中，微积分可以帮助我们衡量每一次决策对整体效益的贡献；在效用函数分析中，微积分可以帮助我们优化资源配置以达到最大福利；在成本函数分析中，微积分可以帮助我们降低生产成本并提高效率。
通过对微积分在经济学中的广泛应用和重要性的分析，我们可以看到微积分对经济学的发展起到了至关重要的作用，也显示了微积分在决策分析中的不可或缺性。
微积分的深入运用让经济学变得更加科学和准确，为经济体系的发展提供了强有力的支持。
【关键词】微积分、经济学、市场需求分析、生产函数分析、边际分析、效用函数分析、成本函数分析、决策分析、经济学发展、广泛应用、重要性。
1. 引言1.1 微积分在经济学中的应用分析微积分在经济学中的应用分析是一个非常重要的领域。
在经济学中，微积分可以帮助经济学家更好地理解和分析市场行为、生产过程、成本结构等方面的问题。
通过微积分的工具，经济学家可以更准确地预测市场的需求、优化生产函数、分析边际变化以及确定效用最大化和成本最小化等经济问题。
微积分在市场需求分析中起着至关重要的作用。
通过微积分的方法，经济学家可以建立市场需求函数，并分析市场需求的变化趋势，从而帮助企业和政府做出合理的决策。
在生产函数分析中，微积分也扮演着重要角色。
经济学家可以利用微积分来优化生产函数，提高生产效率，从而降低生产成本，实现利润最大化。
微积分在边际分析中的重要性也不可忽视。
边际分析是经济学中非常重要的概念，通过微积分的方法可以更好地理解和运用边际变化的概念，帮助企业决策者更好地调整生产和销售策略。
在效用函数和成本函数分析中，微积分也具有重要作用。
通过微积分的工具，经济学家可以更深入地分析效用函数和成本函数的变化规律，为经济主体提供决策依据。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析第一，微积分的运用可以更好地解释变化率和边际效益。
在经济学中，变化率以及边际效益是非常重要的概念。
例如，在市场经济中，一种产品的价格随着销量的增加而变化，这就需要我们用微积分中的导数来解释。
另外，当我们研究决策者的行为时，边际效益也是一个非常重要的概念，微积分中的微分就可以很好地解释这一现象。
第二，微积分的运用可以更好地解释曲线变化。
在经济学中，很多曲线是非常复杂的，例如收入分配曲线、社会福利曲线等。
微积分中的积分可以帮助我们计算出这些曲线的面积和弧长，这对于我们理解这些曲线的变化非常有帮助。
第三，微积分的运用可以更好地解释最优化问题。
在经济学中，最优化问题是一个非常重要的问题。
例如，在企业投资决策中，企业需要在各种限制条件下最大化收益，这就需要我们用微积分中的极值问题来计算最优解。
另外，在公共政策制定中，最优化问题也是非常重要的，例如在纳税政策制定中，政府需要在税收收入和公共支出之间进行最优化的决策。
第四，微积分的运用可以更好地解释概率与统计问题。
在经济学中，概率与统计问题是非常常见的。
例如，在金融市场中，我们需要计算投资的风险，这就需要我们用微积分中的概率和统计知识来计算。
另外，在经济学研究中，我们也需要进行数据分析，这就需要用到统计知识，包括微积分中的概率和统计知识。
综上所述，微积分在经济学中有着非常重要的应用，它可以帮助我们更好地解释经济学理论，也可以帮助我们更好地解决经济学中的现实问题。
在未来，随着经济学研究的深入，微积分的应用将会更加普及和广泛。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究极限、导数、积分和无穷级数等概念，是分析、几何和代数等数学分支的基础。
在经济学中，微积分有着广泛的应用，它可以帮助经济学家分析经济现象、预测经济走势、优化经济政策等，为经济学领域的研究和实践提供了重要的数学工具。
微积分在经济学中的应用之一是用来分析经济现象。
经济学家常常需要通过建立数学模型来描述经济中的各种现象和规律，而微积分作为数学的重要工具，可以帮助他们进行精确的分析。
在微观经济学中，经济学家可以利用微积分来推导供求曲线、成本曲线、收益曲线等与市场供求关系相关的数学模型，从而更好地理解市场运行机制。
在宏观经济学中，微积分也可以用来建立宏观经济模型，分析国民经济的总量关系和增长趋势，为宏观经济政策的制定提供理论支持。
微积分在经济学中的应用还包括经济预测和决策优化。
在经济学研究和实践中，人们常常需要通过对经济变量的变化趋势进行预测，以便作出正确的决策。
微积分可以通过对经济数据进行分析，建立数学模型，并利用微积分的概念和方法进行推导和计算，从而实现对经济走势的预测。
微积分也可以用来对决策进行优化。
对于生产企业来说，可以利用微积分的方法对生产成本、产量、利润等多个变量进行优化，从而实现最大化利润的目标。
对于政府来说，也可以利用微积分的方法对税收政策、货币政策等进行优化，实现国民经济的稳定和发展。
微积分在交易和投资领域也有着重要的应用。
金融市场是一个充满风险和不确定性的市场，投资者需要通过对市场数据和走势的分析来做出投资决策。
微积分可以帮助投资者对金融市场的波动和变化进行量化分析，从而更好地理解市场的规律，找到投资机会并进行风险管理。
微积分也可以应用于金融衍生品的定价和风险管理，为各种金融工具的设计和交易提供数学基础。
微积分在经济学中的应用是多方面的，它不仅可以帮助经济学家分析经济现象，预测经济走势，优化经济政策，还可以帮助投资者进行风险管理和决策优化。
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第3章 微积分及其经济学应用3、1 一元函数与多元函数在数学上,函数的定义为:如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对任意给定的x 值,仅存在一个y 值与其对应,则称y 就是x 的函数,表示为)(x f y =。
其中x 为自变量,y 为因变量。
由于函数关系中仅有一个自变量,因此该函数称为一元函数。
x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域,y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。
在对经济问题的分析过程中,我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。
例如,在商品的供求关系中,定义某种商品价格为P ,需求量为D Q ,供给量为S Q 。
那么,需求与价格的函数关系可以表示为:)(P f Q D =,)(P g Q S =。
然而我们所处的经济环境就是非常复杂的,每一个经济变量都要受到多种因素的影响。
因此,采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。
所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。
多元函数就是在一个函数关系中函数值就是由多个变量确定的,用),,,(21n x x x f y K =的形式来表示,它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21K 的大小。
例如在消费理论的基本假设中,每个消费者都同时对多种商品有需求,“效用”取决于所消费的各种商品的数量,效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U K =,其中U 表示消费者的效用,n x x x ,,,21K 就是对n 种商品的消费量。
这个函数称为效用函数。
同样,生产函数常表示为),(K L f y =,y 为产出水平,K 表示资本,L 表示劳动力。
它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。
Q=A*L^ alpha *K^ beltaA=1;alpha=0、5;belta=0、5;资本柯布道格拉斯生产函数劳动力产值3、2水平曲线二元函数),(y x f z =的水平曲线定义为:C y x f =),(,C 为常数,它表示曲面上z 值为常数C 的点),(y x 连接而成的曲线。
对于三元函数),,(z y x f M =,称C z y x f =),,(为水平曲面,它表示M 值为常数C 的点),,(z y x 连接而成的曲面。
水平曲线在经济学中有重要的应用,如生产函数为),(K L f y =,其中y 为产出,L 为劳动力,K 为资金,如下图所示第一象限中的点表示正的劳动投入与资金投入的所有可能组合,且每一个点对应一个y 值,所有对应5=y 的点(L,K)连接起来就就是一条曲线,这条曲线就就是一条水平曲线,经济学家将这条水平曲线称为等产量曲线,实际上这条曲线就是用5=y 平面截曲面),(K L f y =所得曲线在K L -平面的投影。
自然这条曲线上所有点对应的y 值为5,如下图中,点A 、B 、C 、D 对应的y 值皆为5,因此将这条水平线也称为等值线、等高线,E 点则代表产出为10的等产量曲线,F 点则代表产出为15的等产量曲线,可见越向右上方向的等产量曲线的产出值越大。
生产函数的水平曲线在消费理论中,假设消费者只消费两种商品,那么它的效用取决于这两种商品消费量的组合。
如果用U 表示效用,21,x x 分别表示这两种商品的消费量,那么它的效用函数就就是二元函数,可以表示为),(21x x U U =。
平面直角坐标系第一象限中的点表示出两种商品消费量的所有可能组合,平面上的每一点对应),(21x x U 曲面上的一个值。
如果将对应0U 的点连起来就表示在效用水平为0U 的情况下的一条水平曲线。
经济学上将这条水平曲线称为无差异曲线或等效用曲线。
3、3 极限1、极限的定义数列极限的定义:在数列{}n a 中,任取0>ε,如果存在N ,使得当N n >时,ε<-A a n ,则称当n 趋于无穷大时,A 为n a 的极限。
表示为:A a n n =∞→lim 或者A a n →)(∞→n 。
在数列{}n a 中,n a 与n 一一对应,因此可以将n a 视为定义域为正整数n 的函数)(n f a n =。
因此对数列极限的定义进行推广,就可以得到函数)(x f 当∞→x 与0x x →极限的定义。
函数极限的定义当∞→x 时函数极限的定义:任取0>ε,存在X ,使得当X x >时,ε<-A x f )(,那么常数A 为当∞→x 时)(x f 的极限,记为A x f x =∞→)(lim 或者 A x f →)()(∞→x 。
当0x x →时函数极限的定义:任取0>ε,存在0>δ,使得当δ<-<00x x 时,ε<-A x f )(,那么常数A 为当0x x →时)(x f 的极限,记为A x f x x =→)(lim 0或者A x f →)()(0x x →。
2、 左极限与右极限当x 从0x 的左侧(即小于0x 的方向)趋向于0x (记为-→0x x ),若此时)(x f 有极限A ,则称A 为当-→0x x 时的左极限。
记为A x f x x =-→)(lim 0或者A x f →)()(0-→x x 。
当x 从0x 的右侧(即大于0x 的方向)趋向于0x (记为+→0x x ),若此时)(x f 有极限A ,则称A 为当+→0x x 时的右极限。
记为A x f x x =+→)(lim 0或者A x f →)()(0+→x x 。
3、 极限的运算法则定理:如果A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,且A,B 有限则 (1) B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 000 (2) AB x g x f x g x f x x x x x x =-=→→→)(lim )(lim )]()([lim 000 (3) )(lim )(lim 00x f c x cf x x x x →→= (4) nx x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→= 4、 两个重要的极限 (1) 1sin lim 0=→x x x ,(2) e xx x =+∞→)11(lim 3、4连续复利连续复利的计算,就是函数极限在经济学的经典应用。
假设一个人将a 元存入银行,银行年利率为r ,若利息按复利计息,每年计算一次,则年底时她的存款总额为)1(r a +。
如果银行改为半年计算一次利息,年利率不变,则半年的利率为2r ,则年底时,她的存款总额应为2)21(ra +元。
当银行每年计息n 次,可以推得,年底时存款总额应为n nr a )1(+元。
当银行在年内连续计息时,即∞→n 时,年底存款总额为n n n r a )1(lim +∞→元。
对其求极限可以得到:r r r n n r r n n n n ae nr a n r a n r a =+=+=+∞→∞→∞→])1(lim [])1[(lim )1(lim 因此,在连续计息的情况下,年底时这个人的存款的余额为r ae 元。
我们可以将其推广到存款多年的情况,在连续计息时,第二年年底的存款余额为r r r ae e ae 2=⨯元,则可以得出t 年末的存款余额为tr ae 元。
因此,连续复利时,本金为a 元,年利率为r ,则t 年末的资金余额为:tr ae FV =元。
同样可以得到,t 年末的资金a 元,在连续复利的情况下,贴现值为:tr ae PV -=。
3、5一元函数的导数1、 一元函数导数的定义:设)(x f y =为定义在集合D 上的一元函数,D x ∈0,则函数在0x 点处的导数定义为:00)()(lim00x x x f x f dx dyx x x x --=→=或xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000' 2、 导数的四则运算法则:设函数)(x f 与)(x g 都在x 点可导,则这两个函数的与、差、积、商均在x 点可导。
(1) )()]([''x cf x cf =(c 为常数);(2) )()()]()(['''x g x f x g x f ±=±;(3) )()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=;(4) )()()()()(])()([2'''x g x g x f x g x f x g x f -=,]0)([≠x g 3.复合函数的导数——链式法则设函数))(()(x g f x h =就是与)(x g u =的复合函数,且函数)(x g u =在x 点处可导,)(u f y =在u 点处可导,则有)())(())](([)(''''x g x g f x g f x h == 或dxdu du dy dx dy =(链式法则) 3、6二元函数求偏导3.6.1二元函数的一阶偏导数二元函数的偏导数的定义为:设函数),(y x f z =在点),(00y x 的一个邻域有定义,当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时,如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 00000存在,则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 的对x 的偏导数,记作),(00y x x z ∂∂,),(00y x x f ∂∂,),(00y x z x 或),(00y x f x类似地,函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+=→∆),(),(lim 00000 记作),(00y x y z ∂∂,),(00y x y f ∂∂,),(00y x z y 或),(00y x f y 如果函数),(y x f z =在定义域D 内每一点),(y x 对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为对x 的偏导数函数。
记作x z ∂∂,x z ,),(y x f x 类似地,可以定义对自变量y 的偏导数函数,yz ∂∂,y z ,),(y x f y 在),(y x f z =求偏导数时,实际上与一元函数求导方法相同,求xf ∂∂时,只要把y 瞧作常量而对x 求导数;求yf ∂∂时,只要把x 瞧作常量而对y 求导数。
3.6.2二元函数高阶偏导数设函数),(y x f z =在定义域D 内具有偏导数),(y x f x ,),(y x f y ,那么在D 内),(y x f x ,),(y x f y 都就是x 、y 的函数,如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们就是函数),(y x f z =的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:),(22y x f x z x z x xx =∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂, ),(2y x f yx z x z y xy =∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂,),(22y x f yz y z y yy =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 类似地,可以定义三阶、四阶以及n 阶偏导数,二阶以上的偏导数称为高阶偏导数,在二阶偏导数计算中引出一个重要定理:杨格定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2,yx z ∂∂∂2在区域D 内连续,那么自该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。