浅谈微积分在经济学中的应用

浅谈微积分在经济学中的应用

【摘要】微积分是高等数学伟大的成就之一，在日常生活的各个领域都有着广泛的应用。利用高等数学微积分的数学定量来分析和解决各领域方面的问题己成为经济学中的一个重要部分，它使经济学由定性走向定量化，这使得微积分在经济领域中的作用越来越明显。

【关键词】微积分；经济学；边际分析

微积分是高等数学的伟大成就。微积分产生于生产技术和理论科学，同时又影响着科技的发展。在经济学的领域内，将一些经济问题利用相关模型转化为数学问题，用数学的方法对经济学问题进行研究和分析，把经济活动中的实际问题利用微积分的方法进行量化，在此基础上得到的结果具有科学的量化依据。

1.微积分在经济学中的应用

1.1边际分析

经济学中的边际问题，是指每一个自变量的变动导致因变量变动多少的问题，所以边际函数就是对一个经济函数的因变量求导，得出，其中在某一点的值就是该点的边际值。

例1：已知某工厂某种产品的收益（元）与销售量（吨）的函数关系是，求销售60吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。

解：根据题意得，销售这种产品吨的总收益函数为。因而，销售60吨该产品的边际收益是元。其经济学含义是：当该产品的销售量为60吨时，销售量再增加一吨（即=1）所增加的总收益是188元。这个问题看起来很简单，但是在实际生活中的应用意义很大。又如：

例2：某工厂生产某种机械产品，每月的总成本C（千元）与产量x（件）之间的函数关系为，若每件产品的销售价为2万元，求每月生产6件、9件、156件、24件时的边际利润，并说明其经济含义。

解：根据题意得，该厂每月生产x件机械产品的总收入函数为。因此，该厂生产的x件产品的利润函数为：，由此可得边际利润函数为，那么每月该厂生产6件、9件、15件、24件时的边际利润分别是：（千元/件），（千元/件），（千元/件），（千元/件）。这个经济学的含义是：当该厂月产量为6件时，若再增产1件，此时的利润将会增加18000元；当该厂的月产量为9件时，若再增产1件，利润将增加12000元，有所降低；当月产量增加到15件时，再增产1件，利润反而不会增加；当月产量为24件时，若再增产1件，此时的利润反而会相应的减少18000元。由此我们可以得出结论，产品的利润最大，并不是出现在最大量的时候，也就是说多增加产量必定能够增加利润，只有合理统筹安排工厂的

生产量，这样才能取得最大的利润。由此可得结论，当产品的边际收益等于产品的边际成本时，此时就已经达到了最大利润，如果再进行扩大生产了，产品反而会亏本。

1.2弹性分析

在经济学中，某变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数[2]。

在经济工作中有很多种的弹性，研究的问题不同，弹性的种类也不同。如果是价格的变化与需求之间的反映，这个反映我们称为需求弹性。由于消费需求的不同以及商品自身属性的差异，同样的价格变化给不同的商品的需求带来不同的影响。有些商品反应很灵敏，弹性大，价格的变动会造成很大的销售变动；有的商品反应较缓慢，弹性小，价格的变动对其没什么影响。

①需求弹性。对于需求函数，由于价格上涨时，商品的需求函数为具有一定单调性，是一个单调减函数，与异号，所以定义需求对价格的弹性函数为。

例3：设某种商品的需求函数为，求需求的弹性函数；，，的需求弹性。

解：，，说明当时，价格上涨1%，需求减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度；，说明当时，价格上涨1%，需求也减少1%，需求变动的幅度与价格变动的幅度是相同的；，说明当时，价格上涨1%，需求减少1.4%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

②收益弹性。收益R是商品的价格与其销售量Q的乘积。在任何的价格水平条件下，收益弹性与需求弹性之和总是等于1。若时，商品的价格上涨（或下降）1%，收益增加（或减少）；若时，价格变动1%，收益不变；若时，价格上涨（或下降）1%，收益减少（或增加）。

1.3最值分析

在生产理论中，研究长期生产问题通常主要是以两种可变生产要素的生产函数来表示[3]。假如企业利用劳动和资本这两种可变的生产要求来生产一种产品，那么可变生产要求的生产函数是：。公式中L为可变要求劳动的投入量多少，K为可变要求资本的投入量的多少，Q为产品的产量。生产的产品厂商可以通过对两个投入的可变生产要素的不断调整来实现一定成本条件下的最大产量的最佳生产要素组合。假定生产要素市场上核定的劳动的价格即工资率为ω，核定的资本的价格即利息率为r，产品厂商核定的成本支出为C，则依据相关函数可得成本方程为：，C 在一定的条件限制下，即：，由此建立的拉格朗日方程：

产品产量最大化的一阶条件为：，

由以上两式可得：，由此得出核定条件下要想实现最大产量的要素组合原则是：即产品的厂商不断通过对劳动和资本这两种可变要素投入量的调整，使得

最后一单位的成本支出不管用来购买哪种生产要素所获得的边际产量都是最高的，从而实现核定成本条件下的产量最大化。

1.4 最优化分析

边际分析研究的是函数边际点上的极值[4]。也就是来研究变量在边际点是递增变为递减，还是由递减变为递增，像这种边际点的函数值就是函数的极大值或极小值。经济研究的重点就是研究边际点是的最佳点，因为这是做出最优决策的最合理的边际点。因此，微积分法是研究最优化问题是必不可少的方法。

最优化理论是经济学中经济分析的基础，也是进行经济决策的依据。实现经济学的最优化，就是要求经济学中的一切经济活动都处于最佳的顶峰位置，任何一点偏离都要从顶峰向下倾斜，这个必然会用到微分的思想。

例4：设生产个产品的边际成本，其固定成本为元，产品的单价规定为500元.假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大，并求出最大利润。

解：总成本函数为，总收益函数为，总利润，，令，得。因为，所以当生产量为200个时，利润最大，最大利润为L（200）=400 200-200 200-1000=39000（元）。

2.总结

微积分在经济学中的地位是非常重要的。现如今在经济学领域，很多经济学研究均需要量化研究，所以越来越多地运用到了微积分的知识，这不但有利于微积分的发展，还能够帮助经济学更加的定量化、精密化和准确化。微积分在经济学中的应用使得经济学得到重大发展，并最终导致了微观经济学的形成。

参考文献：

[1]陈朝斌.微积分在经济学最优化问题中的应用[J].保山师专学报，2009（5）：34-36.

[2]张丽玲.微积分在经济学中的应用[J].百色学院学报，2009（5）：49-52.

[3]蔡洪新.微积分在经济学中的应用分析[J].数学学习与研究，2010（9）：99-100.

[4]向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2011（26）：57-82.