微积分在经济中应用
·406
· 第十二章 微积分在经济中的应用
§1.1 微积分在经济中的应用内容网络图
§1.2内容提要与例题
一、极限在经济中的应用
1.复利.
例1 X 银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y 银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？
解 两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A 为
一年后：A=100（1.08）， 两年后：A=100（1.08）2，…，t 年后：A=100（1.08）t .
而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4
元，所以余额B 为
一年后：B =100（1.02）4，二年后：B =（1.02）4×2，…，t 年后：B =（1.02）4t
。 注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下，
微积分在经济中的应用 数列在经济中的应用
复利
年有效收益
极限在经济中的应用
连续复利
导数在经济中的应用
成本函数 平均最小成本 需求函数 供给函数 均衡价格 收益函数 利润函数 边际函数
弹性函数
最大利润 供给弹性
需求弹性 积分在经济中的应用 收入流的现值 收入流的将来值 消费者剩余 生产者剩余
偏导数在经济中应用 求最大利润
常微分方程与差分方程 在经济中的应用
把经济中的某些问题转化为常微方程来求解
·407·
计算一年后的总余额显示
一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）.
2.年有效收益
由上面的例子，我们可以测算出复利的效果，由于在一年支付四次，复利为年利率的8%的条件下投100元，一年之后可增加到108.24元，我们就说在这种情况下年有效收益为8.24%.
我们现在有两种率来描述同一种投资行为：一年支付四次的8%复利和8.24%的年有效收益，银行称8%为年百分率（或年利率）或APR （aannual percentage rate ），我们也称为票面利率（票面的意思是“仅在名义上”）.然而，正是年有效收益确切地告诉你一笔投资所得的利息究意有多少.因此，为比较两种银行帐户，只须比较年收益.
例2 银行X 提供每月支付一次，年利率为7%的复利，而银行Y 银供每天支付一次，年利率为6.9%的复利，哪种收益好？若分别用100元投资于二个银行，写出t 年后每个银行中所存余额的表达式.
解 由题意知，设在银行X 的一年后的余额为A 1，t 年后的余额为A t ；设在银行Y 的一年后的余额为B 1，t 年后的余额为B t .由题意知
),3072.1(100)286072.1(100)833005.1(100)12
07.01(1001212
1≈==+
=A ),4071.1(100)413071.1(100)189000.1(100)365
069.01(100365365
1≈==+=B
所以银行X 帐户年有效收益%23.7≈，银行Y 帐户年有效收益%14.7≈.因此，银行X 提供的
投资行为效益好.t 年后每个银行中所存余额则为
.)4071.1(100)413071.1(100,)3072.1(100)286072.1(100t t t t t t B A ≈=≈=
由此，我们可以得出：如果年利率为r （票面利率）的利息一年支付n 次，那么当初始存款为P 元时，t 年后余额A t 则为).()1(是票面利率r n
r P A nt
t +
= 3. 连续复利
在上式中，令n ∞→,得,rt
t Pe A =如果初始存款为P 元的利息水平是年率利为r 的连续复利，则t 年后，余额B 可用以下公式计算：.rt Pe B =在解有关复利的问题时，重要的是弄清利率是票面利率还是年有效收益，以及复利是否为连续的.
在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等等.
例3 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为0R （元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为.5
2
0t e
R R =
假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求06.0=r 时的t 值.
解 根据连续复利公式，这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为rt
t A -=Re
)(，而
·408
· t e
R R 5
20=，所以.)(5
2
0rt t e
R t A -=令.2510)51(
2
052
0r t r t
e R dt dA
rt
t =
=-=-，得唯一驻点 又],101
)51
[(32
5
2022t r t e R dt
A
d rt
t --=-则有.0)5.12(325102
20
<-==r e
R dt A
d r
t t
于是，20251r t =
是极大值点即最大值点，故窖藏2
251
r t =（年）售出，总收入的现值最大. 当06.0=r 时，119
100
≈=t （年）.
4. 现值与将来值
一笔P 元的存款，以年复利方式计息，年利率为r ，在t 年后的将来，余额为B 元，那么有
.)
1()1(t t r B
P r P B +=
+=或
若把一年分成n 次来计算复利，年利率仍为r ，计算t 年，并且如果B 元为t 年后P 元的将来值，而P 元是B 元的现值，则.)1()1(nt
nt n
r B
P n
r P B +=
+=或 当n 趋于无穷时，则复利计算息变成连续的了（即连续复利），即.rt rt rt
Be e
B
P Pe B -==
=或 例4 你买的彩票中奖1百万元，你要在两种兑奖方式中进行选择，一种为分四年每年支付250 000元的分期支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额为920000元的一次付清方式，也就是现在支付.假设银行利率为6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式？
解 我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付250 000元的支付方式的现总值为P ，则306.0206.006
.0000250250000000250000250?-?--+++=e e e P
818208730221411235000250+++≈.000920989915
<=
因此，最好是选择现在一次付清920 000元这种兑奖方式.
二、导数在经济中的应用
1. 导成本函数
某产品的总成本C 是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（如劳动力、原料、设备等）的价格或费用的总额，它由固定成本C 1与可变成本C 2组成，平均成本C 是生产一定量产品，平均每单位产品的成本.
设产品数量为q ，成本为C ，若生产的产品越多，成本就越高，所以C 是增函数，对多数产品来说，如杯子、彩电等，只能是正整数，所以C 的图象通常如图12-1所示
·409·
图12-1 图12-2 图12-3 但我们通常将C 的图象看成一条通过这些点的连续曲线（图12-2），这样，对于研究问题更有利.成本函数通常具有如图12-2所示的一般形状（也有特殊的情形），C 轴上的截距表示固定成本，它是即使不生产也要支出的费用（例如厂房、设备等）.成本函数最初增长很快，然后就渐渐慢下来，因为生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，即所谓规模经济.当产量保持较高水平时，随着资源的逐渐匮泛，成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房、设备时，成本函数会急速增长.因此，C （q ）开始时是下凹的，后来变成上凹.
设C 1为固定成本，C 2为可变成本，C 为平均成本，则.)
()()(),(2121q
q C q C q q C q C q C C C +==
+= 2. 收益函数
总收益R 是企业出售一定量产品所得到的全部收入.
平均收益p 是企业出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p 表示.p 与q 有关，因此，).(q p p =设总收益为R ，则).(q qp qp R ==
3. 利润函数
设利润为L ，则利润=收入— 成本，即.C R L -= 4. 需求函数
“需求”指的是顾客购买同种商品在不同价格水平的商品的数量.一般来说，价格的上涨导致需求量的下降.
设p 表示的商品价格，q 表示需求量.需求量是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求量与价格的关系，则)(p f q =是单调减少函数，称为需求函数（图12-3）.
若)(p f q =存在反函数，则)(1
q f
p -=也是单调减少函数，也称为需求函数.
根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据对),(q p .常用下列一些简单初等函数来拟合需求函数，建立经验曲线.
,0,0,;0,0,≠>=
>>-=p k p k
q b a ap b q .0,,;0,0,,>=≠>=-b a ae q p k a p
k p bp a 5. 供给函数
“供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量.一般说来，当价格上涨时，供给量增加.设p 表示商品价格，q 表示供给量，略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系，则)(p q ?=是单调增加函数，称为供给函数（图12-3）.
若)(p q ?=存在反函数，则)(1
p q -=?也是单调增函数.
·410
· 我们常用以下函数拟合供给函数，建立经验曲线.
.0,,;0,,;0,,>=>=>+=p a ae q a k kp q b a b ap q bp a
6. 衡价格
均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格.在图12-3中表示为需求曲线与供给曲线相交的点处的横坐标*p p =,此时需求量与供给*
q 称为均衡商品量.
如图12-3所示,当*
p p <时(不妨设1p p =),此时消费者希望购买的商品量为q 需,生产者卖出商品量为q 供.由于需供q q <,市场出现了商品供不应求,会形成抢购,从而导致价格上涨,即p 增大，因而生产者增加产品的生产，有-→*p p .当*
p p >时，如图12-3中2p p =上，此时需供q q >，市场出现了供大于求，商品滞销，自然导致价格下跌，即p 减少，有+
→*p
p .
总之，市场上的商品价格将趋向于均衡价格和均衡数量，即*
*q p 和.而两条曲线正是在此处相交，这意味着在平衡点处，一种数量为*
q 的商品将被生产出来并以单价*
p 销售 。
7．边际分析
一般地，若函数)(x f y =可导，则导函数)('x f 也称为边际函数.
x
x f x x f x y ?-?+=
??)
()(00称为)(x f 在],[00x x x ?+上的平均变化率，它表示在],[00x x x ?+内)(x f 的平均变化速度. )(x f 在点0x 处的变化率)('0x f 也称为)(x f 在点0x 处的边际函数值，它表示)(x f 在点0x 处的变化速度.
在点0x 处，x 从0x 改变一个单位，y 相应的改变值为())(10001
x f x f y x x x -+=?==?，当x 的一
个单位与0x 值相比很小时，则有).(')(')()1(00001
01
1
x f dx
x f dy
x f x f y
x x x x x dx x x x ==≈-+=?==?====?
（当1-=?x 时，标志着x 由0x 减小一个单位）.
这说明)(x f 在点0x 处，当x 产生一个单位的改变时，y 近似地改变)('0x f 个单位.在实际应用中解释边际函数值的具体意义也略去“近似”二字.
因此，我们称)('),('),('q L q R q C 分别为边际成本，边际收益，边际利润，而)('0q C 称为当产量为0q 时的边际成本，其经济意义是当产量达到0q 时，再生产一个单位产品所增添的成本（即成本的瞬时变化率）.同样)('0q R 称为当产量为0q 时的边际收益，其经济意义是当产量达到0q 时，再
·411·
生产一个单位产品所得到的收益（即收益的瞬时变化率）.
8．最大利润
利润函数为)()()(q C q R q L -=，可利用求函数最大值、最小值的方法来求最大利润. 由于)(')(')('q C q R q L -=，令)(')('0)('q C q R q L ==得，即)(q L 取到最大值的必要条件是：边际收益等于边际成本.当然最大利润或最小利润也不一定发生的MC MR =时，有时还要考虑导数不存在的点及端点.可是这一关系要比我们对个别问题得出的答案有力得多，因为它是帮助我们在一般情形下确定最大（或最小）利润的条件.
例5 已知某厂生产x 件产品的成本为2
40
120000025x x C +
+=（元）
，问 （1）要使平均成本最小，应生产多少件产品；
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解 （1）设平均成本为y ，则40
20000025x
x y +
+=， 令0401
00025'2
=+-
=x
y ，解得1000,100021-==x x （舍去）.而.0105'',000
50''51000
3
>?==
-=x y x
y 所以当1000=x 时，y 取得唯一的极小值.从而，要使平均
成本最小，应生产1000件产品.
（2）利润函数2500040
300)4020000025(500)(2
2--=++-=x x x x x x L ，由于 ,20300)('x x L -
=令0)('=x L ，解得x=6000.因为.0)6000('',20
1
)(''<-=L x L 所以当x=6000时，
L 取得唯一的极大值，即最大值.从而，要使利润最大，应生产6000件产品.
例6 一商家销售某种商品的价格p 满足关系式x p 2.07-=，其中x 为销售量（单位：kg ），商品的成本函数（单位：百元）是C=3x+1.
（1）若每销售1kg 商品，政府要征税t （单位：百元），求该商家获得最大利润时的销售量； （2）t 为何值时，政府税收总额量大.
解 （1）当销售了x kg 商品时，总税额为.tx T =商品销售总收入为x x px R )2.07(-==，利润函数为 ,1)4(2.02
--+-=--=x t x T C R L
t x dx
dL
-+-=44.0， 令0=dx dL ，解得,0).4(2522<-=dx
L d t x 又所以)4(25
t x -=为利润最大时的销售量.
（2）将)4(25t x -=
代入tx T =，得0.510,25102=-=-=dt
dT t dt dT t t T 令，解得.2=t 又T t dt T
d ,2,052
2时所以=<-=有唯一极大值，同时也是最大值.此时，政府税收总额最大.
·412
· 例7 某商品进价为a （元/件），当销售价为b （元/件）时，销售量为c 件（a,b,c 均为正常数，且a b 3
4
≥
），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价.试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润.
解 设p 表示降价后的销售价，x 为增加的销售量，L(x)为总利润，那么
,1.04.0b
c
p b x =- 则.4x c b b p -
=从而).)(4()(x c a x c
b
b x L +--= 对x 求导，得0)('.432)('=-+-=x L a b x
c b x L 令，得惟一驻点.2)43(0b
c
a b x -=
由问题的实际意义或02)(''0<-=c
b
x L 可知，0x 极大值点，也是最大值点，故定价为
a b a b b p 2185)2183(+=--=（元）时，得最大利润20)45(16)(a b b
c
x L -=（元）.
9．弹性分析 （1）弹性的概念
定义 函数)(x f y =的相对改变量
000)()(y x f x x f y y -?+=?与自变量的相对改变 量
0x x ?之比0
0x x
y y
??称为函数)(x f 从0x x =到x x x ?+=0两点间的相对变化率或称两点间的弹性.
若)('0x f 存在，则极限值0
0000lim 000lim
)('//y x
x f x y y x x x y y x x =???=??→?→?，称为)(x f 在点0x 处的相
对变化率，或相对导数或弹性，记作
).(00x f Ex
E
Ex
Ey x x 或
=即
.)(')(0
0000
y x x f x f Ex E
Ex Ey x x ==
= 若)('x f 存在，则
y
x
x f x y y x x x y y x f Ex E Ex Ey x x )('//)(lim 0lim 0=???=??==→?→?（是x 的函数），称为)(x f 的弹性函数.
由于x x f Ex E x x y y x ?=??→?当).(//000lim
充分小时，)(//000x f Ex E x x y y ≈??，从而
).(000x f Ex
E x x y y ?≈?若取
)%.(%,1000x f Ex
E y y x x ≈?=?则
微积分及经济学应用
微积分及经济学应用 Prepared on 22 November 2020
第3章 微积分及其经济学应用 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对任意给定的x 值，仅存在一个y 值与其对应，则称y 是x 的函数，表示为 )(x f y =。 其中x 为自变量，y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P ，需求量为D Q ，供给量为S Q 。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(P f Q D =， )(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用),,,(21n x x x f y =的形式来表示，它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21 的大小。 例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为 ),,,(21n x x x f U =，其中U 表示消费者的效用，n x x x ,,,21 是对n 种商品的消 费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(K L f y =，y 为产
微积分在经济生活中的应用
微积分在经济生活中的应用 人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系． 1 导数及微分的应用 导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +?时，成本相应改变 ()()C C x x C x ?=+?- 成本的平均变化率为 ()() C C x x C x x x ?+?-= ?? 若当0x ?→时，0lim x C x ?→??存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情 况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是： 00()() ()lim lim x x dC C C x x C x C x dx x x ?→?→?+?-'= ==?? 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元． 在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有 (100)40C '= (100) 50100 C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本． 1.1.2 边际收入 边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题． 设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是
微积分在微观经济学中的应用
微积分在微观经济学中 的应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
1 引言 微积分广泛地应用在自然科学、社会科学及应用科学等各个领域，用来解决那些仅靠代数学不能有效解决的问题．经济学作为社会科学“皇冠上的明珠”，其与微积分的联系也尤为紧密，我们就拿微观经济学为例．微观经济学是研究社会资源配置以及社会微观个体的经济关系的一门科学，从它诞生之日便和数学结下了不解之缘．自威廉-斯坦利和卡尔-门格尔等人的“边际革命”将边际分析引入经济学分析起，微积分在经济学研究中的作用越来越重要，它为解决以“变量”为研究对象的大量问题提供了一种深刻的思想方法，是运用定量分析方法研究经济理论的有效工具．微积分以其特有的严密性为微观经济学理论提供了科学的论证和精确的数理分析，严格的量化的论证与分析提高了经济学理论的科学性．微观经济学这一百多来的发展实践证明：将现代的数学方法例如微积分引入到微观经济学领域，大大地推动了经济学的研究和发展． 本文主要结合微观经济学中的典型的经济模型和经济问题，探讨微积分在微观经济学研究中的具体运用，以提高用高等数学中的方法来处理复杂经济现象的能力．下面研究主要集中在诸如边际分析、弹性分析、成本问题、收入问题、消费者剩余和生产者剩余这些方面，从而让我们对微积分这个分析工具在经济学中的运用有个更加清晰全面的认识． 2经济学中常用函数[1] 在引入微积分在微观经济学中的运用之前，先来简要介绍下经济学中的几个常用的函数．需要注意的是，由于在现实中许多经济函数并不是连续函数，为了能够进行微积分运算，我们不妨先假设它们是连续且可微函数． 需求函数 需求函数是反映在每一可能的价格水平下消费者对某种商品愿意并且能够购买的有效需求量Q与该商品的价格P之间一一对应关系的函数,记作() d =． Q Q P 供给函数 供给函数是反映在每一可能的价格水平下生产者对某种商品愿意并且能够提供的有效供给量Q与该商品的价格P之间一一对应关系的函数，记作() S =． Q Q P 效用函数
微积分及经济学应用
第3章 微积分及其经济学应用 3.1 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对任意给定的x 值，仅存在一个y 值与其对应，则称y 是x 的函数，表示为)(x f y =。 其中x 为自变量，y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P ，需求量为D Q ，供给量为S Q 。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(P f Q D =，)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用 ),,,(21n x x x f y =的形式来表示，它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21 的大小。 例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U =，其中U 表示消费者的效用，n x x x ,,,21 是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(K L f y =，y 为产出水平，K 表示资本，L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0.5;belta=0.5;
微积分在现实中的应用
微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛
的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的
高数在经济学中的应用演示版.doc
《高等数学》知识在经济学中的应用举例 由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数 学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。 一、复利与贴现问题 1、复利公式 货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利 息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。 如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。 下面推出按福利计息方法的复利公式。 现有本金A 0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末A 0将增值到A t ，试计算A t 。 若以年为一期计算利息： 一年末的本利和为A 1=A 0（1+r ） 二年末的本利和为A 2=A 0（1+r ）+A 0（1+r ）r= A 0（1+r ）2 类推，t 年末的本利和为A t = A 0（1+r ）t （1） 若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是 r m ，容易推得 0(1) mt t r A A m =+ （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t 的复利公式。 若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m →∞，这时，由于 000lim (1)lim[(1)]m mt rt rt r m m r r A A A e m m →∞→∞+=+= 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是 0rt t A A e =
微积分在经济学中的若干应用
微积分在经济学中的若干应用 微积分在经济学中的若干应用 1微积分的基本思想 微积分是微分论文联盟学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。 1.1微分学的基本思想：微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线--该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。 1.2积分的基本思想：积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。现在我们来举一个例子——物理中运动物体经过的路程：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤：（1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立.因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现：论文网
①“分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段； ②“求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，，. （2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步： ①“求和”：； ②“求极限”：，其中. 可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：（1）微小局部求近似值； （2）利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。 2微积分在经济学中的基本应用 （1）一般均衡理论中的微积分方法：经济均衡理论是瓦尔拉斯创立的。所谓瓦尔拉斯均衡,就是对每一个商品市场的供给和需求相等的所有均衡条件进行描述。即寻求在经济生活中消费者追求效用最大化,生产者追求利润最大化的过程中,均衡价格体系存在的条件。一般均衡分析是在构建多变量方程组的前提下,运用微积分理论对商品
【精品完整版】微积分在经济学的应用
唐山师范学院本科毕业论文 题目微积分在经济学的应用 学生武亚南 指导教师张庆教授 年级 2014级专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2016年5月
郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张庆的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明. 毕业论文（设计）作者（签名）： 年月日
目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 微积分在经济学的应用 (1) 2.1 边际分析 (1) 2.2 弹性分析 (3) 2.2.1 弹性的概念 (3) 2.2.2 需求弹性 (3) 2.2.3 需求弹性与总收入的关系 (4) 2.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用 (5) 2.3.1 边际经济量 (5) 2.3.2 偏弹性 (6) 2.3.3 偏导数求极值 (8) 2.4 积分在经济分析中的应用 (9) 2.4.1 边际函数求原函数 (9) 2.4.2 消费者剩余与生产者剩余 (9) 2.4.3 收益流的现值与未来值 (10) 2.5 实际问题探索 (12) 2.5.1 经济批量问题 (12) 2.5.2 净资产分析 (13) 2.5.3 核废料的处理 (14) 3结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18) 外文页 (19)
微积分在经济学的应用 武亚南 摘要本文从边际分析、弹性分析、多元函数偏导数在经济分析的应用、积分在经济分析中的应用、实际问题探索五方面来讨论微积分在经济学的应用.其中实际问题探索是利用微积分去解决实际问题，为本文讨论的重点. 关键词微积分边际分析弹性分析实际问题 1 引言 微积分的产生是数学史上伟大的成就，它不仅仅是从社会生产和理论科技中产生的，反过来，它应用到我们生活中的社会和科学技术中去.如今，微积分已是广大科学工作者和科技人员必不可少的工具. 微积分是微分学和积分学的总称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.并且它的产生与科学地继承和发展数学上的长期积累的研究成果是分不开的.以我国古代来说，三国时期魏人刘徽（公元263年）总结了前人的成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”用正多边形逼近圆周.这是极限论思想的成功运用. 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题.积分概念是求某些面积、体积和弧长而引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积.阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽.通过前人的研究成果，十七世纪末英国物理学家兼数学家牛顿（Newton，1642-1727）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）创立了微积分学.它的产生并不是偶然的.那时候，建筑工程的盛兴、河道堤坝的修建、造船事业的发展等提出了很多计算不同形状物体的面积、体积、重心、器壁上液体压力等静力学的与流体力学的问题.所以微积分的产生是由于社会经济的发展、生产技术的进步所促使产生的. 2 微积分在经济学的应用 2.1 边际分析 在经济问题中，常常会使用变化率的概念.变化率一般分为平均变化率和即时或瞬时率，平均变化率就是函数的增量与自变量的增量之比，瞬时变化率就是函数对自变量的导数，在经济学中也将
微积分及经济学应用
第3章 微积分及其经济学应用 3、1 一元函数与多元函数 在数学上,函数的定义为:如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对任意给定的x 值,仅存在一个y 值与其对应,则称y 就是x 的函数,表示为)(x f y =。 其中x 为自变量,y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量,因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域,y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中,我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如,在商品的供求关系中,定义某种商品价格为P ,需求量为D Q ,供给量为S Q 。那么,需求与价格的函数关系可以表示为:)(P f Q D =,)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境就是非常复杂的,每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此,采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数就是在一个函数关系中函数值就是由多个变量确定的,用 ),,,(21n x x x f y K =的形式来表示,它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21K 的 大小。 例如在消费理论的基本假设中,每个消费者都同时对多种商品有需求,“效用”取决于所消费的各种商品的数量,效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U K =,其中U 表示消费者的效用,n x x x ,,,21K 就是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样,生产函数常表示为),(K L f y =,y 为产出水平,K 表示资本,L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0、5;belta=0、5;
考研数学之微积分在经济学中的应用
考研数学之微积分在经济学中的应用 来源：文都教育 这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。 一、 差分方程 1、定义 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ?, 即t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?. 一阶差分的差分称为二阶差分t y 2?, 即 t t t t y y y y ?-?=??=?+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,…… ),(),(3423t t t t y y y y ??=???=? 2、差分方程的概念 一般形式：0),,,,,(2=???t n t t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 特别的，称1(x)y (x)x x y P f ++=为一阶差分方程，同样的，(x)0f ≠为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程. 3、一阶常系数线性差分方程的解法 一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程； 当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐
微积分在经济中的应用分析
一、经济分析中常用的函数 （一）需求函数和供给函数】【2 1.需求函数。需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q （p ）（Q 表示某种商品的需求量，P 表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数（如图一）。 需求曲线是从左上方向右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。 2.供给函数。一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S （p ），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg 。一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。（如图二）
供给函数特征：横轴S为供给量，纵轴P为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。 （二）、市场均衡 在市场中，当一种商品满足Q=S即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。 （三）、价格函数、收入函数、利润函数 1.价格函数。一般来说，价格是销售量的函数。在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多就可以把价格讲得越低。例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）。要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系。 2.收入函数。在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R=R（Q）=PQ。其中 Q 表示销售量，P表示价格。 3.利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L。则L=L（Q）=R （Q）-C（Q）。其中Q 表示产品的的数量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本。总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。 三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用 （一）、边际分析 经济学中的“边际”这一术语是指“新增”的或“额外”的意思。例如，当 【3。消费者多吃一单位的冰淇淋时，会获得“新增”的效用或满足，即边际效用】【4：设函数y=f(x)可导，则导函数f'（x）在经济学中称为边际函数。 定义】 在经济学中，我们经常用到边际函数，例如边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数C（P）表示生产P个单位某种产品时的总成本。平均成本函数c（P）表示生产P个单位某种产品时平均每个单位的成本，即c（P）=c（P）/P。边际成本函数是成本函数C（P）相对于P的变化率，即C（x）的导函数） （p C 。 边际成本的变动规律：最初在产量开始增加时由于各种生产要素的效率为得到充分发挥，所以，产量很小；随着生产的进行，生产要素利用率增大，产
微积分在经济学中的应用分析.doc
微积分在经济学中的应用分析 李博 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。 关键词:微积分;经济学;边际分析 Calculus’s Applied Analysis in Economics Li bo School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Based on the close relationship between economics and maths,this paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics. Key words: calculus; Economics; marginal analysis 1.数学与经济学的紧密联系 经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。 经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。 数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂
微积分在经济学的应用毕业论文
微积分在经济学的应用毕业论文 目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 微积分在经济学的应用 (1) 2.1 边际分析 (1) 2.2 弹性分析 (3) 2.2.1 弹性的概念 (3) 2.2.2 需求弹性 (3) 2.2.3 需求弹性与总收入的关系 (4) 2.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用 (5) 2.3.1 边际经济量 (5) 2.3.2 偏弹性 (6) 2.3.3 偏导数求极值 (8) 2.4 积分在经济分析中的应用 (9) 2.4.1 边际函数求原函数 (9) 2.4.2 消费者剩余与生产者剩余 (9) 2.4.3 收益流的现值与未来值 (10) 2.5 实际问题探索 (12) 2.5.1 经济批量问题 (12) 2.5.2 净资产分析 (13)
2.5.3 核废料的处理 (14) 3结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18) 外文页 (19)
微积分在经济学的应用 武亚南 摘要本文从边际分析、弹性分析、多元函数偏导数在经济分析的应用、积分在经济分析中的应用、实际问题探索五方面来讨论微积分在经济学的应用.其中实际问题探索是利用微积分去解决实际问题，为本文讨论的重点. 关键词微积分边际分析弹性分析实际问题 1 引言 微积分的产生是数学史上伟大的成就，它不仅仅是从社会生产和理论科技中产生的，反过来，它应用到我们生活中的社会和科学技术中去.如今，微积分已是广大科学工作者和科技人员必不可少的工具. 微积分是微分学和积分学的总称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.并且它的产生与科学地继承和发展数学上的长期积累的研究成果是分不开的.以我国古代来说，三国时期魏人徽（公元263年）总结了前人的成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”用正多边形逼近圆周.这是极限论思想的成功运用. 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题.积分概念是求某些面积、体积和弧长而引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积.阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽.通过前人的研究成果，十七世纪末英国物理学家兼数学家牛顿（Newton，1642-1727）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）创立了微积分学.它的产生并不是偶然的.那时候，建筑工程的盛兴、河道堤坝的修建、造船事业的发展等提出了很多计算不同形状物体的面积、体积、重心、器壁上液体压力等静力学的与流体力学的问题.所以微积分的产生是由于社会经济的发展、生产技术的进步所促使产生的. 2 微积分在经济学的应用 2.1 边际分析 在经济问题中，常常会使用变化率的概念.变化率一般分为平均变化率和即时或瞬时率，平均变
微积分在经济中应用
·406 · 第十二章 微积分在经济中的应用 §1.1 微积分在经济中的应用内容网络图 §1.2内容提要与例题 一、极限在经济中的应用 1.复利. 例1 X 银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y 银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？ 解 两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A 为 一年后：A=100（1.08）， 两年后：A=100（1.08）2，…，t 年后：A=100（1.08）t . 而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4 元，所以余额B 为 一年后：B =100（1.02）4，二年后：B =（1.02）4×2，…，t 年后：B =（1.02）4t 。 注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下， 微积分在经济中的应用 数列在经济中的应用 复利 年有效收益 极限在经济中的应用 连续复利 导数在经济中的应用 成本函数 平均最小成本 需求函数 供给函数 均衡价格 收益函数 利润函数 边际函数 弹性函数 最大利润 供给弹性 需求弹性 积分在经济中的应用 收入流的现值 收入流的将来值 消费者剩余 生产者剩余 偏导数在经济中应用 求最大利润 常微分方程与差分方程 在经济中的应用 把经济中的某些问题转化为常微方程来求解
·407· 计算一年后的总余额显示 一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）. 2.年有效收益 由上面的例子，我们可以测算出复利的效果，由于在一年支付四次，复利为年利率的8%的条件下投100元，一年之后可增加到108.24元，我们就说在这种情况下年有效收益为8.24%. 我们现在有两种率来描述同一种投资行为：一年支付四次的8%复利和8.24%的年有效收益，银行称8%为年百分率（或年利率）或APR （aannual percentage rate ），我们也称为票面利率（票面的意思是“仅在名义上”）.然而，正是年有效收益确切地告诉你一笔投资所得的利息究意有多少.因此，为比较两种银行帐户，只须比较年收益. 例2 银行X 提供每月支付一次，年利率为7%的复利，而银行Y 银供每天支付一次，年利率为6.9%的复利，哪种收益好？若分别用100元投资于二个银行，写出t 年后每个银行中所存余额的表达式. 解 由题意知，设在银行X 的一年后的余额为A 1，t 年后的余额为A t ；设在银行Y 的一年后的余额为B 1，t 年后的余额为B t .由题意知 ),3072.1(100)286072.1(100)833005.1(100)12 07.01(1001212 1≈==+ =A ),4071.1(100)413071.1(100)189000.1(100)365 069.01(100365365 1≈==+=B 所以银行X 帐户年有效收益%23.7≈，银行Y 帐户年有效收益%14.7≈.因此，银行X 提供的 投资行为效益好.t 年后每个银行中所存余额则为 .)4071.1(100)413071.1(100,)3072.1(100)286072.1(100t t t t t t B A ≈=≈= 由此，我们可以得出：如果年利率为r （票面利率）的利息一年支付n 次，那么当初始存款为P 元时，t 年后余额A t 则为).()1(是票面利率r n r P A nt t + = 3. 连续复利 在上式中，令n ∞→,得,rt t Pe A =如果初始存款为P 元的利息水平是年率利为r 的连续复利，则t 年后，余额B 可用以下公式计算：.rt Pe B =在解有关复利的问题时，重要的是弄清利率是票面利率还是年有效收益，以及复利是否为连续的. 在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等等. 例3 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为0R （元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为.5 2 0t e R R = 假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求06.0=r 时的t 值. 解 根据连续复利公式，这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为rt t A -=Re )(，而
微积分(经济学)期末试题
微积分B 第一学期总练习题 第一、二章 函数极限与连续 1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. 2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-= x x x g f ，则=)2 3 (f _ _. 3. 若点)2,1(在函数b ax y +=的图像上，又在它反函数的图像上，则数对),(b a 为(). (A) )7,3(-- (B) )7,3(- (C) )7,3(- (D) 不存在 4．设???>≤=000)(x x x x f ，???>-≤=0 00 )(2 x x x x g 求：[])(x f f ， [])(x g f ， [])(x g g ，[])(x f g . 5. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+- (C) )()()()(x g x f x g x f ?=-?- (D) )()()()(x g x f x g x f ?-=-?- 6． ()()() 1020 15 21213lim 16x x x x →∞ +++. 7．()()111lim 13352121n n n →∞??+++ ? ???-+?? . 8. 2 31 sin 5 3lim x x x x -∞→ 10. 32sin 01tan 1tan lim 1 x x x x e →+---..
9. 设???? ? ?? ?? >=<+=0 sin 01 0)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0 x f x →. 第三章 导数 1．设函数()f x 依次是,,sin x n e x x ,则()()n f x =____. 2．若直线1 2y x b = +是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____. 3．设)(x f 是可导函数，则220()() lim x f x x f x x ?→+?-=?( ). (A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x ' 4．若0 ()sin 20 ax e x f x b x x ?<=?+≥? 在0x = 处可导,则,a b 值应为( ). (A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.曲线2 1y ax =+在点1x =处的切线与直线1 12 y x = +垂直,则a =___. 6.设()2x f x =,则0 ()(0) lim x f x f x →''-=____. 7. 设[]12()max (),(),02F x f x f x x =<<，其中212(),()f x x f x x ==，则( ). (A) 1102 ()1222 x F x x x ? <
浅谈微积分在经济学中的应用
浅谈微积分在经济学中的应用 【摘要】微积分是高等数学伟大的成就之一，在日常生活的各个领域都有着广泛的应用。利用高等数学微积分的数学定量来分析和解决各领域方面的问题己成为经济学中的一个重要部分，它使经济学由定性走向定量化，这使得微积分在经济领域中的作用越来越明显。 【关键词】微积分；经济学；边际分析 微积分是高等数学的伟大成就。微积分产生于生产技术和理论科学，同时又影响着科技的发展。在经济学的领域内，将一些经济问题利用相关模型转化为数学问题，用数学的方法对经济学问题进行研究和分析，把经济活动中的实际问题利用微积分的方法进行量化，在此基础上得到的结果具有科学的量化依据。 1.微积分在经济学中的应用 1.1边际分析 经济学中的边际问题，是指每一个自变量的变动导致因变量变动多少的问题，所以边际函数就是对一个经济函数的因变量求导，得出，其中在某一点的值就是该点的边际值。 例1：已知某工厂某种产品的收益（元）与销售量（吨）的函数关系是，求销售60吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。 解：根据题意得，销售这种产品吨的总收益函数为。因而，销售60吨该产品的边际收益是元。其经济学含义是：当该产品的销售量为60吨时，销售量再增加一吨（即=1）所增加的总收益是188元。这个问题看起来很简单，但是在实际生活中的应用意义很大。又如： 例2：某工厂生产某种机械产品，每月的总成本C（千元）与产量x（件）之间的函数关系为，若每件产品的销售价为2万元，求每月生产6件、9件、156件、24件时的边际利润，并说明其经济含义。 解：根据题意得，该厂每月生产x件机械产品的总收入函数为。因此，该厂生产的x件产品的利润函数为：，由此可得边际利润函数为，那么每月该厂生产6件、9件、15件、24件时的边际利润分别是：（千元/件），（千元/件），（千元/件），（千元/件）。这个经济学的含义是：当该厂月产量为6件时，若再增产1件，此时的利润将会增加18000元；当该厂的月产量为9件时，若再增产1件，利润将增加12000元，有所降低；当月产量增加到15件时，再增产1件，利润反而不会增加；当月产量为24件时，若再增产1件，此时的利润反而会相应的减少18000元。由此我们可以得出结论，产品的利润最大，并不是出现在最大量的时候，也就是说多增加产量必定能够增加利润，只有合理统筹安排工厂的
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。 1 利用定积分求原经济函数问题
在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(105210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为10000=c 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,