矩阵的简单应用 (5)

1.掌握网络图、一级路矩阵、二级路矩阵的定义.
2.了解矩阵的简单应用.
[基础·初探]
1.矩阵的相关知识
(1)矩阵的概念及表示方法.
(2)矩阵的计算：二阶矩阵与平面列向量的乘法，两个二阶矩阵之间的乘法.
(3)常见的几何变换：恒等、伸压、反射、旋转、投影及切变变换，掌握它们的矩阵表示.
(4)二阶矩阵对应的几何变换均是线性变换.
(5)矩阵的乘法的几何意义在于对应变换的复合.
(6)矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律、消去律.
(7)逆矩阵的概念：掌握哪些(变换对应的)矩阵是可逆的，投影变换矩阵是重要的不可逆矩阵的例子.
(8)利用逆矩阵公式或者行列式法求逆矩阵；从几何变换上分析二元一次方程组的解.
(9)特征值与特征向量的概念、求法及其应用.
2.网络图与路矩阵
(1)在数学中，通常把像如图2-6-1这样表示关系的图形称为网络图，其中的交点A，B，C称为结点.
图2-6-1
(2)网络图所对应的反映从一个结点直达另一个结点的交通情况的矩阵叫做一级路矩阵，而从某个结点出发，先经过一个结点，再到达另外一个结点的交通情况的矩阵称为二级路矩阵.
(3)一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间接到达.
右图对应的一级路矩阵M ＝，
二级路矩阵N ＝.
3.求解矩阵应用题的方法及技巧
对于应用题，我们要读懂题意，如果还没弄清题意就去做题，则很容易出错.应用题主要考查分析能力、转化能力及运算能力.因此，我们要加强这方面能力的培养与训练，在解与矩阵有关的应用题时，要学会寻找分析问题和解决问题的突破口，在解题中提高自己的综合能力.
4.种群问题的数学模型
教材P 78例6种群问题的数学模型. ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a n
b n ，其中{a n }，{b n }表示两个相互影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量.若起初的种群数量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a 1
b 1，则经过n 个时段后的种群数量
为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a 1
b 1
.若矩阵M 的特征值λ1，λ
2对应的特征向量分别为
α1，
α2，且β＝m α1＋k α2，m ∈R ，k ∈R ，则⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M
n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝M n β＝M n (m α1＋k α2)＝
m M n α1＋k M n α2＝mλn 1α1＋kλn 2α2(n ∈N *
).
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
2件一等
品，1件二等品，B 中装有6件外观相同的产品，其中1件一等品，5件二等品.现任取A ，B 中的一个箱子，从中取出1件为一等品的概率是多少？
【精彩点拨】 找到基本量之间的关系，将其转化成矩阵问题.
【自主解答】 设取出一等品的可能性为X ，取出二等品的可能性为Y ，
则取出一个箱子的概率可表示为M ＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1212
A B
， 从两个箱子中取出1件一等品和1件二等品的概率可以表示为
N ＝，
故所求概率为
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤512712
X Y
，
即任取A，B中的一个箱子，从中取出1件一等品的概率为5
12.
4种，某天该公司的销售情况如下表所示(单位：台)：
C为800元/台，D为800元/台，求Ⅱ型号电脑在这天获得的总利润是多少？
【导学号：30650057】【精彩点拨】理清表格中数据所反映的基本关系，合理转化为矩阵的相关问题，从而求解.
【自主解答】由题意得Ⅱ型号电脑的销量为，
不同品牌的平均利润为
A
B
C
D
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
1 000
1 200
800
800
，
∴[]
1253
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
1 000
1 200
800
800
＝[]
1×1 000＋2×1 200＋5×800＋3×800＝[]
9 800.
∴Ⅱ型号电脑在这天获得的总利润为9 800元.
中某一个城市出发，直达另一个城市，那么他有几种选择？
图2-6-2
【精彩点拨】 根据网络图看清方向，找准位置关系，正确写出矩阵. 【自主解答】 用矩阵M 来刻画从某一城市直接到达另一城市的交通情况，则
M ＝，
其中第i 行第j 列元素表示的是从第i 个城市到第j 个城市的直达交通情况，i ＝1，2，3，j ＝1，2，3.例如，第1行第3列数字2表示从A 城市出发直达C 城市的走法只有2种.
2-6-3
所示：
明文X ――→加密密文Y ――→发送密文Y ――→解密明文X .
图2-6-3
已知加密方式为：把发送的数字信息写为a 11，a 21，a 12，a 22的形式，先左乘矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1 4－2
2，再左乘矩阵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤65 －25145 －85，得到密文Y ，现在已知接收方得到的密文为4，12，32，64，试破解该密码.
【精彩点拨】 解与密码等有关问题的关键是明确加密与解密过程的实质就是矩阵的乘法.
【自主解答】 由题意知 BA ＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤65 －25145 －85⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 1 4－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 46 8， ∴(BA )－1＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1 1234 －14.
∵(BA )X ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
4 3212 64， ∴X ＝(BA )－1⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
4 3212 64
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1 1234 －14⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 4 3212 64 ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2 00 8，即发送的数据信息是2，0，0，8.
和狐狸数量的相互影响.为了简便起见，不妨假设；
(1)由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
(2)由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
(3)第n 年时，兔子数量用R n 表示，狐狸数量用F n 表示；
(4)初始时刻(即第0年)，兔子数量R 0＝100只，狐狸数量F 0＝30只. 请用所学知识解决以下问题：
(1)列出兔子与狐狸的生态模型(即R n ，F n 的关系式)； (2)求R n ，F n 关于n 的关系式；
(3)讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量能否达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由.
【导学号：30650058】
【精彩点拨】 理清题中的相关关系，准确列式将其转化为矩阵的特征值与特征向量以及A n α的应用问题.
【自主解答】 (1)R n ＝1.1R n －1－0.15F n －1， F n ＝0.1R n －1＋0.85F n －1(n ≥1). (2)设αn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤R n F n ，
M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1.1 －0.150.1 0.85， ∴αn ＝Mαn －1＝M (Mαn －2)＝…＝M n α0(n ≥1). 易求得矩阵M 的特征多项式为： f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1.1 0.15－0.1 λ－0.85 ＝λ2－1.95λ＋0.95.
令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝0.95. λ1＝1对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
32，
λ2＝0.95对应的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11.
又α0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 30＝70⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－110⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11＝70α1－110α2，
∴αn ＝M n α0＝70λn 1α1－110λn
2α2
＝70×1n
×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－110×0.95n ×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
210－110×0.95n 140－110×0.95n ，
∴R n＝210－110×0.95n，F n＝140－110×0.95n(n≥1).
(3)当n越来越大时，兔子与狐狸的数量能达到一个稳定的平衡状态.理由如下：当n越来越大时，0.95n→0，则R n，F n分别趋向于常数210，140，即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加.当时间充分长后，二者的数量可以达到一个稳定的平衡状态.
[真题链接赏析]
(教材第81页习题2.6第3题)写出如图所示的网络表示的一级路矩阵(图2-6-4(2)的圆圈表示自己到自己有1条线路).
图2-6-4
如图2-6-5是由五个点A，B，C，D，E和连结它们的一些线组成的一个图，其相邻矩阵为__________.
图2-6-5
【命题意图】本例主要考查矩阵在解决网络方面的应用及转化与化归能力.
【解】
.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)。