高中数学学案：矩阵的简单应用

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2019学年高中数学矩阵的简单应用教学案苏教版选修4

矩阵的简单应用设λ1、λ2是二阶矩阵A 的两个不同的特征值，α1、α2是A 的属于特征值λ1、λ2的特征向量，对于任意的非零向量β，设β＝t 1α1＋t 2α2(t 1，t 2∈R )，则有A nβ＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2(n ∈N *)．[对应学生用书P42][例1] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (1)求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2)计算M 4β，M 10β，M 100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？[思路点拨] (1)先求出矩阵M 的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；(2)利用A nβ＝t 1λn1α1＋t 2λn2α2(λ1、λ2是矩阵A 的特征值，α1、α2是λ1、λ2的特征向量，β＝t 1α1＋t 2α2)计算；(3)由M nβ中n 的变化情况与计算结果即可发现规律． [精解详析] (1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2)，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.所以它们对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816. 同理可得，M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2 210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋2 2100.(3)当n 很大时，可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n .求A nα的一般步骤为：第一步：求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量ξ；第二步：把向量α用ξ1，ξ2线性表出，即α＝t 1ξ1＋t 2ξ2；第三步：由公式计算A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．已知矩阵A 的一个特征值为3，对应特征值3的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，求A 100α. 解：A 100α＝λ100α＝3100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－31003101.2．给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A 4B .解：(1)设λ为A 的特征值，由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ＝λ(λ－2)－3＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3.当λ1＝－1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值－1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3. 同理，A 属于特征值3的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)设B ＝m α1＋n α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ m －3m ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，－3m ＋n ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.所以B ＝α1＋α2.因此A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝(－1)4α1＋34α2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8278.[例2] 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2，利用矩阵的特征值和特征向量计算A n.[思路点拨] 先求出矩阵A 的特征值λ1，λ2与其对应的特征向量α1，α2，然后利用A nα＝λnα，并令A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，最后利用待定系数法建立二元方程组求得a ，b ，c ，d .[精解详析] A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 53 λ－2＝(λ－4)(λ－2)－15 ＝λ2－6λ－7＝0，令f (λ)＝0，得A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－1.对λ1＝7，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝0，3x ＋5y ＝0，可得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3为矩阵A 的属于特征值λ1＝7的特征向量．对λ2＝－1，解相应的方程组⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋5y ＝03x －3y ＝0，可得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为矩阵A 的属于特征值λ2＝－1的特征向量．于是A α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7·⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3A α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝－1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.显然A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3，A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤5a －3b 5c －3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5·7n－3·7n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n－n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a －3b ＝5·7n，5c －3d ＝－3·7n ，a ＋b ＝－n ，c ＋d ＝－n.解得a ＝5·7n＋－n8，b ＝－5·7n＋－n8，c ＝－3·7n＋－n8，d ＝3·7n＋－n8，所以A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5·7n＋－n8－5·7n＋－n8－3·7n＋－n83·7n＋－n8.矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值对计算进行设计、转化．一般步骤为：(1)求二阶矩阵A 的特征方程的根λ1，λ2，并分别求出对应的一个特征向量X 1，X 2，令X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2n 2；(2)设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，根据A nX 1＝λn1X 1，A nX 2＝λn 2X 2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λn 1m 1λn 1n 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2n 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λn2m 2λn 2n 2； (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧am 1＋bn 1＝λn 1m 1am 2＋bn 2＝λn2m2和⎩⎪⎨⎪⎧cm 1＋dn 1＝λn 1n 1，cm 2＋dn 2＝λn2n 2，即可求得A n.3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111，求A 10. 解：特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1－1 λ－1＝(λ－1)2－1＝λ2－2λ，令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝0，λ2＝2，对λ1＝0，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝0，－x －y ＝0，可得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 属于特征值λ1＝0的一个特征向量．对λ2＝2，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，可得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝2的一个特征向量．于是，A α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝0·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， A α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 111 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 显然，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设A 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10241024. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，c －d ＝0，a ＋b ＝1024，c ＋d ＝1024.解得a ＝512，b ＝512，c ＝512，d ＝512.所以，A 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤512 512512 512.4．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130，求A n. 解：特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ＝(λ－2)λ－3＝λ2－2λ－3.解方程λ2－2λ－3＝0，求得特征值λ1＝－1，λ2＝3.对于λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x －y ＝0，－3x －y ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3是属于λ1的一个特征向量．对λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－3x ＋3y ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是属于λ2的一个特征向量．于是A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，显然A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，① A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.② 设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，代入①②得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3b c －3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －1n －3×－1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n3n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝－n，a ＋b ＝3n ，c －3d ＝－－n，c ＋d ＝3n，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝3n ＋1＋－n4，b ＝3n－－n4，c ＝3n ＋1＋－n ＋14，d ＝3n＋－n4.因此A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3n ＋1＋－n43n－－n43n ＋1＋－n ＋143n＋－n4.[例3] 某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资亏损的概率为23；如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为12，假设2013年他获利的概率为34.(1)求他2014年投资获利的概率；(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？[思路点拨] 列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解．[精解详析] (1)2013年他获利的概率为34，则投资亏损的概率为14，它可以用W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414表示.2014年他获利与亏损的概率为W 2014＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858，所以2014年获利的概率为38.(2)2015年获利与亏损的概率为W 2015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 122⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716916. 所以2015年获利的概率为716，2015年投资获利机会大．对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问题，利用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的．5．为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密原理如下：明文X 加密,密文Y 发送,密文Y 解密,明文X现在加密方式为：把发送的数字信息X 写为“a 11a 21a 12a 22”的形式，先左乘矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－22，再左乘矩阵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145 －85，得到密文Y .现在已知接收方得到的密文是4,12,10,22，试破解该密码．解：由题意知，BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145 －85 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 46 8， ∴(BA )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1234 －14. 又(BA )X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22，∴X ＝(BA )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11234 －14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 102，即发送的数据信息是2 012.6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0.确定的平面区域为F 0，点M 0(a ，b )在平面区域F 0内，点M 1(a ＋b,2b )在平面区域F 1内．(1)求平面区域F 1的面积；(2)若点M 1(a 1，b 1)在平面区域F 1内，则点M 2(a 1＋b 1,2b 1)便在平面区域F 2内，若点M 2(a 2，b 2)在平面区域F 2内，则点M 3(a 2＋b 2,2b 2)便在平面区域F 3内，…，依次类推，试判断平面区域F n 的形状，并求其面积S n (n ∈N *)．解：(1)设M 1(a 1，b 1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋b ，b 1＝2b ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b .由于平面区域F 0是由三个点O 0(0,0)，A 0(2,0)，B 0(0,2)组成的，故平面区域F 1是由三个点O 1(0,0)，A 1(2,0)，B 1(2,4)组成的，其面积S 1＝4.(2)设M n ＋1(a n ＋1，b n ＋1)(n ∈N *)，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋b n ，b n ＋1＝2b n ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ1＝1对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，λ2＝2对应的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2α1，故A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2λn 1α1＝2×1n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝－2α1＋2α2，故A n⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝－2×λn 1α1＋2×λn2α2＝－2×1n α1＋2×2nα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1－22n ＋1. 由题意知矩阵A 所对应的变换是线性变换，即在矩阵A 的作用下，将直线A 0B 0变换成A 1B 1，将A 1B 1变换成A 2B 2，…，将直线A n －1B n －1变换为A n B n ，∴平面区域F n 是由三点O n (0,0)，A n (2,0)，B n (2n ＋1－2,2n ＋1)组成的三角形，其面积S n＝2n ＋1(n ∈N *)．[对应学生用书P45]1．已知向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，把α用ξ1，ξ2线性表出．解：设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2即⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2t 1＋t 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝2，t 1＋t 2＝3，故⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝1，t 2＝2.∴α＝ξ1＋2ξ2.2．若矩阵A 有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们对应的特征向量分别为i ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10和j ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01(1)求矩阵A 及逆矩阵A －1；(2)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，试求A 100α.解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Ai ＝λ1i ，Aj ＝λ2j ，即⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b d ＝－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝－1，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 －1.所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 －1. (2)设α＝m i ＋n j ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤116＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .所以m ＝1，n ＝16.所以A 100α＝m λ 1001i ＋n λ 1002j ＝1·2100⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋16·(－1)100·⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210016.3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3452，求A n (n ∈N *)．解：矩阵A 的特征多项式为：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －4－5 λ－2＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，令f (λ)＝0得矩阵A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－2. 把λ1＝7，λ2＝－2代入线性方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－3 －4－5 λ－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00 得各自对应的一个特征向量α1、α2，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5.∴A α1＝λ1α1，A α2＝λ2α2，A n α1＝λn 1α1，A n α2＝λn2α2.设A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝7n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5＝(－2)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5.解得：a ＝19[5×7n ＋(－1)n ·2n ＋2]，b ＝49[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，c ＝59[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，d ＝19[4×7n ＋(－1)n ×5×2n ]．∴A n＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤19[5×7n＋－1n·2n ＋2] 49[7n＋－1n ＋1·2n ]59[7n＋－1n ＋1·2n ] 19[4×7n＋－1n×5×2n].4．若M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－12 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤212 12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2，求[(MN )－1]100β.解：∵MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－12 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 12 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －11 0， ∴det(MN )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2 －1 1 0＝1.∴(MN )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 －2.设(MN )－1的特征值为λ，特征向量为ξ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 －2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－λ －1 1 －2－λ＝－λ(－2－λ)＋1＝λ2＋2λ＋1＝0. ∴λ＝－1，ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.∴β＝2ξ. ∴[(MN )－1]100β＝λ100·2ξ＝2ξ＝β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2. 5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b 的一个特征值为λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74.求a 、b 及A 5β.解：由题意可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21 即：⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4－2＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0得：λ1＝2，λ2＝3.显然λ1＝2时的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设λ2＝3时的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x－x ＋4y ＝3y ，得y ＝x ，不妨令α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3α1＋α2，∴A 5β＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×26＋353×25＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1254及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34， (1)计算A n α，并分析讨论当n 的值越来越大时，A nα的变化趋势； (2)给出A nα的一个近似公式，并利用这一公式计算A 100α. 解：(1)f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－5 λ－4＝λ2－5λ－6＝(λ＋1)(λ－6)，则矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝6. 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝6的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝α1＋α2.A nα＝λn1α1＋λn2α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n＋2×6n－n ＋1＋5×6n .当n 的值越来越大时，(－1)n和(－1)n ＋1可忽略不计，A nα≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×6n5×6n .(2)由(1)可得，A nα≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×6n5×6n ，∴A 100α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×61005×6100.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2，求点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标．解：矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 0 0 λ－2＝(λ－12)(λ－2)，由f (λ)＝0得λ1＝12，λ2＝2.当λ＝12时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧0x －0y ＝0，0x －32y ＝0，令x ＝1，y ＝0，得属于特征值12的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.同理属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，所以A 50⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎝⎛⎭⎪⎫1250⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎣⎢⎡⎦⎥⎤01 ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12503·250，即点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1250，3·250. 8．狐狸和兔子在同一栖息地生存，我们忽略其他因素，只考虑兔子数量与狐狸数量的相互影响．现假设在第n 年时，兔子的数量为a n ，狐狸的数量为b n ，在初始时刻时(即第0年)，兔子有a 0＝100只，狐狸有b 0＝30只，且两种群之间满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1.1a n －1－0.15b n －1，b n ＝0.1a n －1＋0.85b n －1.(n ≥1) (*)试分析随着时间的变化，兔子和狐狸的数量有着怎样的变化？解：令βn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.1 －0.150.1 0.85，则(*)式可以改写成βn ＝M βn －1(n ≥1)．由此可知βn ＝M βn －1＝M 2βn －2＝…＝M nβ0.经过计算，矩阵M 有两个特征值λ1＝1，λ2＝0.95，且分别可取α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为对应的特征向量，显然α1，α2不共线，又不妨假设β0＝s α1＋t α2(其中s ，t 待定)．则有⎩⎪⎨⎪⎧100＝3s ＋t ，30＝2s ＋t ，解得s ＝70，t ＝－110，即β0＝70α1－110α2.从而由特征向量性质知βn ＝M nβ0＝M n(70α1－110α2)＝70λn1α1－110λn2α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝70×1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－110×0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210140－0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110110. 即第n 年兔子和狐狸的数量为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝210－110×0.95n，b n ＝140－110×0.95n .由此可看出，随着时间的增加，兔子和狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．。

高中数学矩阵的教学

高中数学矩阵的教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计围绕高中数学中的矩阵知识进行展开，旨在使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算及其应用，并能够运用矩阵解决实际问题。

教学任务包括：介绍矩阵的定义及性质；讲解矩阵的加、减、乘法运算；探讨矩阵的逆矩阵及矩阵的秩；分析矩阵在实际问题中的应用，如线性方程组的求解等。

2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。

经过之前的学习，学生已经掌握了基本的代数运算，具备了一定的逻辑推理和问题分析能力。

此外，学生对数学学习具有一定的兴趣和热情，但在面对复杂问题时可能会表现出一定的困惑和恐惧。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的心理变化，激发学生的学习兴趣，帮助他们建立信心，克服困难。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解矩阵的定义，掌握矩阵的表示方法，能够识别并运用不同类型的矩阵；（2）掌握矩阵的加、减、乘法运算，了解矩阵乘法的性质，能够熟练进行矩阵运算；（3）理解逆矩阵的概念，掌握求逆矩阵的方法，能够运用逆矩阵解决实际问题；（4）了解矩阵的秩的定义，掌握求矩阵秩的方法，能够分析矩阵的线性相关性；（5）能够运用矩阵解决线性方程组问题，了解矩阵在解决实际问题中的应用。

2、过程与方法（1）通过问题驱动的教学方式，引导学生主动探究矩阵的性质和运算规律，培养学生的逻辑思维能力和创新意识；（2）采用分组讨论、合作学习等形式，促进学生之间的交流与合作，提高学生的问题分析和解决能力；（3）运用实际案例，让学生了解矩阵在现实生活中的应用，培养学生学以致用的能力；（4）利用多媒体教学资源，如动画、软件等，辅助教学，提高学生的学习兴趣和直观理解；（5）通过课堂讲解、课后练习、辅导答疑等多种途径，巩固学生的知识掌握，提高学生的数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对矩阵知识的好奇心和求知欲，培养他们积极向上的学习态度；（2）通过解决实际问题，让学生感受到数学的实用性和趣味性，增强学生对数学学科的价值认识；（3）在教学过程中，关注学生的心理需求，鼓励学生面对困难时保持积极的心态，培养他们的抗挫折能力；（4）培养学生严谨、认真的学习态度，使他们认识到细节决定成败，从而在学术和人生道路上取得更好的成绩；（5）通过团队合作，培养学生的集体荣誉感和责任感，提高他们的社会适应能力。

高中数学矩阵的简单应用教学案苏教版选修4

(3)当 n 很大时，可近似的认为
1
2n
Mnβ＝ Mn(2α1＋ α2)≈ M nα2＝ 2n 1 ＝ 2n .
求 Anα的一般步骤为：第一步：求矩阵 A 的特征值 λ和相应的特征向量 ξ；第二步：把向量 α用 ξ1， ξ2 线性表出，即 α＝ t1ξ1＋ t2ξ2；第三步：由公式计算 Anα＝ t1λn1ξ1＋ t 2λn2ξ2.
b2)在平面区域 F2 内，则点 M3(a2＋ b2,2b2)便在平面区域 F3 内，…，依次类推，试判断平面区域 Fn 的形状，并求其面积 Sn(n∈ N * )．
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
解： (1)设 M1(a1， b1)，依题意有
1
1
显然 An
＝ (－ 1)n
，①
－3
－3
1
1
An ＝ 3n .②
1
1
ab
设 An＝
，代入①②得
cd
ab cd
1
1 ab
＝ (－ 1)n
，
－3
－3 c d
1
1
＝3n ，
1
1
a－ 3b
∴
＝
c－3d
－1 n
a＋ b 3n
－ 3 × － 1 n ， c＋ d ＝ 3n .
a－ 3b＝－ 1 n，
a＋ b＝ 3n， ∴ c－3d＝－ 3 × － 1 n，
5
可得 α1＝
为矩阵 A 的属于特征值 λ1＝ 7 的特征向量．
－3
对 λ2＝－ 1，解相应的方程组
－ 5x＋ 5y＝ 0 ，
3x－ 3y＝ 0
马鸣风萧萧整理

矩阵的简单应用

矩阵的简单应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在物理、统计学、计算机科学、工程等许多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍一些矩阵的简单应用。

1. 线性方程组矩阵最基本的应用之一就是解线性方程组。

线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示。

例如下面这个方程组：x + y = 32x - y = 1可以表示为以下矩阵和向量：$$\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]$$通过进行矩阵运算，我们可以求出满足这个方程组的解。

2. 向量的线性组合矩阵可以用来表示向量的线性组合。

例如，我们可以将两个向量表示为矩阵的列向量：其中a和b是标量。

通过改变a和b的值，我们可以得到向量的不同组合。

3. 线性变换矩阵还可以表示线性变换。

线性变换是指满足以下两个条件的变换：1）对于任意的向量x和y，有f(x + y) = f(x) + f(y)。

例如，我们可以将矩阵M表示为线性变换，将一个向量x变换为y。

那么这个变换可以用以下方程表示：$$y = Mx$$4. 特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。

特征值是一个数，特征向量是一个向量。

如果一个向量在线性变换后仍然在同一条直线上，那么这个向量就是这个变换的特征向量，对应的特征值就是这个变换对这个向量的伸缩比例。

例如，下面这个矩阵：$$\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right]$$5. 矩阵的逆矩阵的逆是一个矩阵，它与原矩阵相乘会得到单位矩阵。

如果一个矩阵A的逆存在，那么它可以表示为以下形式：$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det} A}\text{adj} A$$其中，det A是A的行列式，adj A是A的伴随矩阵。

高中数学教案矩阵的乘法与应用

高中数学教案矩阵的乘法与应用高中数学教案：矩阵的乘法与应用高中数学作为学科中的一门重要课程，为学生提供了扎实的数学基础与解决实际问题的能力。

本教案将重点介绍矩阵的乘法与应用，帮助学生理解和掌握相关概念与技巧。

一、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，通过矩阵的乘法可以实现多个矩阵之间的运算和变换。

具体来说，设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB，计算方法如下：1.1 定义设A是一个 m×n 的矩阵，B是一个 n×p 的矩阵，那么乘积AB是一个 m×p 的矩阵，其中乘积矩阵中的元素c(i,j)可表示为：c(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,n)b(n,j)1.2 注意事项在进行矩阵乘法时，需要注意以下几点：1) 两个矩阵相乘的前提是，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等；2) 矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；3) 相乘的两个矩阵的对应元素必须满足相同的运算法则，通常为加法和乘法；二、矩阵的应用矩阵在数学中具有广泛的应用，尤其在线性代数、图论、概率统计等领域。

以下将简要介绍矩阵的几个常见应用。

2.1 线性变换矩阵可以用来表示线性变换，例如旋转、缩放、平移等。

通过对矩阵的乘法运算，可以实现对多个变换的叠加，从而达到复杂变换的目的。

2.2 线性方程组的求解矩阵可以应用于线性方程组的求解。

将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行相乘，可以将方程组转化为矩阵的乘法运算，从而通过求解矩阵的逆矩阵或使用高斯消元法来解得方程组的解。

2.3 图论中的邻接矩阵在图论中，矩阵可以用于表示图的相关信息。

邻接矩阵是描述无向图或有向图的常用方法之一。

通过邻接矩阵的乘法，可以实现对图的遍历、路径搜索等操作。

2.4 概率统计中的转移矩阵转移矩阵是概率统计中常见的矩阵表示形式。

通过转移矩阵的乘法运算，可以描述系统在不同状态之间的转移概率，例如马尔可夫链、隐马尔可夫模型等。

高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4_第13课_矩阵的简单应用

基础诊断1. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝3a n ＋2b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋2b n ＋2＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，则二阶矩阵M ＝________．2. 设某校午餐有A ，B 两种便当选择，经统计数据显示，今天订A 便当的人，第二天再订A 便当的概率是35；今天订B 便当的人，第二天再订B 便当的概率为45，已知星期一有40%的同学订了A 便当，60%的同学订了B 便当，则星期四时订A 便当同学的概率是多少？考向例1 自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝3a n ＋2b n ，其中a 1＝6，b 1＝4，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31.(1) 求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2) 计算M 4β，M 10β，M 100β；(3) 从第(2)小题的计算中，你发现了什么？考向例2 某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过10个环节，把由数字0，1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10 000个1，5 000个0.问：(1) 从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？(2) 最终接收端收到的信号中0，1个数各是多少？(精确到十位)(3) 该同学为了完善自己的仪器，决定在接收端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．学校餐厅每天供应1 000名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20%改选B 菜，而选B 菜的，下周星期一会有30%改选A 菜，若用A n ，B n 分别表示在第n 个星期一选A ，B 菜的人数．(1) 若⎣⎢⎡⎦⎥⎤A n ＋1B n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A n B n ，请写出二阶矩阵M ；(2) 若第一周有300人选择A 菜，700人选择B 菜，试判断其变换趋势．自测反馈1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.1. 对于二阶矩阵A ，它的特征值分别为λ1，λ2，其对应的特征向量分别为α1，α2，若当非零向量β＝m α1＋n α1，则A k β＝______________．2. 求A nβ的一般步骤为：第一步：求矩阵A的特征值λ和相应的特征向量α；第二步：把向量β用特征向量α线性表示，即________________；第三步：由公式A nβ＝____________________计算．3. 你还有哪些体悟，写下来：第13课矩阵的简单应用基础诊断1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004 解析：由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202，则M ＝A 2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004.2. 解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35152545，则M 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2535＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47125391257812586125⎣⎢⎡⎦⎥⎤2535＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211625414625，故星期四时订A便当同学的概率是211625.范例导航例1 解析：令β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，由此可求得矩阵M 的特征值λ1＝4，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 假设β＝m α1＋n α2(m ，n ∈R )，解得m ＝n ＝2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 20b 20＝M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 19b 19＝…＝M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1. M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝M 20β＝M 20(2α1＋2α2)＝2M 20α1＋2M 20α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝2×420⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋2×(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤242＋23×241－2.因此，20个时段后，种群X ，Y 的数量分别约为242＋2和3×241－2.解析：(1) 矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－10λ－2＝(λ－1)(λ－2)，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.所以它们分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2) 令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2，所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816. 同理可得，M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋22100.(3) 当n 很大时，可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n 2n . 例2 解析：(1) 从第1个环节转出的信号中，0的个数为10 000×0.3＋5 000×0.8＝7 000， 1的个数为10 000×0.7＋5 000×0.2＝8 000.(2) 数字错转的转移矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.70.20.30.8，1和0的个数对应列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，于是最终接收端收到的信号中1，0个数对应矩阵A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－0.7－0.2－0.3λ－0.8＝λ2－1.5λ＋0.5＝(λ－1)(λ－0.5)．令f (λ)＝0，得到矩阵A 的特征值为1或0.5，将1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧（λ－0.7）x －0.2y ＝0，－0.3x ＋（λ－0.8）y ＝0，解得3x －2y ＝0，不妨设x ＝2，于是得到矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.同理，把λ＝0.5代入上述方程组得x ＋y ＝0，不妨设x ＝1，可得矩阵A 的属于特征值0.5的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.设⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧10 000＝2m ＋n ，5 000＝3m －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3 000，n ＝4 000，所以A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝3 000×110⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋4 000×0.510⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 000＋4 000×0.5109 000－4 000×0.510≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000，所以最终接收端收到的信号中0约有9 000个，1约有6 000个．(3) 设修正器的转移矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s t s 1－t (0<s <1，0<t <1)，则由题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s t s 1－t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000，于是，得到6s －9t ＋4＝0. 因为0<s <1，0<t <1，所以可取s ＝12，t ＝79，也就是说1转为0的概率为12，0转为1的概率为79.注：第(3)问答案不唯一，只要满足方程6s －9t ＋4＝0(0<s <1，0<t <1)的s ，t 均可．解析：(1) 由A n ＋1＝45A n ＋310B n ，B n ＋1＝15A n ＋710B n ，得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4531015710. (2) 由f (λ)＝λ2－32λ＋12＝0，得λ1＝1，λ2＝12，属于λ1，λ2的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤300700＝200α1－300α2，所以M n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－300×⎝⎛⎭⎫12n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤600－300×⎝⎛⎭⎫12n400＋300×⎝⎛⎭⎫12n . 由此说明，若干周后，选择A ，B 两菜的人数分别稳定在600人和400人左右．自测反馈1. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，分别对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.所以M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.2. 解析：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝|λ－1－21λ－4|＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6＝(λ－2)(λ－3)，令f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，对应的一个特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，对应的一个特征向量为e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，令α＝m e 1＋n e 2，解得m ＝2，n ＝1，即α＝2e 1＋e 2，所以A 5α＝A 5×2e 1＋A 5e 2＝25×2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＋3526＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307.。

高中数学几何变换与矩阵2.6矩阵的简单应用学案苏教版选修4-2

2。

6 矩阵的简单应用1。

掌握网络图、一级路矩阵、二级路矩阵的定义.2.了解矩阵的简单应用.[基础·初探］1.矩阵的相关知识(1)矩阵的概念及表示方法。

（2）矩阵的计算:二阶矩阵与平面列向量的乘法，两个二阶矩阵之间的乘法.(3）常见的几何变换：恒等、伸压、反射、旋转、投影及切变变换，掌握它们的矩阵表示。

（4）二阶矩阵对应的几何变换均是线性变换。

(5）矩阵的乘法的几何意义在于对应变换的复合.（6)矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律、消去律.(7)逆矩阵的概念:掌握哪些(变换对应的)矩阵是可逆的,投影变换矩阵是重要的不可逆矩阵的例子.(8）利用逆矩阵公式或者行列式法求逆矩阵；从几何变换上分析二元一次方程组的解.（9)特征值与特征向量的概念、求法及其应用.2。

网络图与路矩阵（1)在数学中,通常把像如图2。

6。

1这样表示关系的图形称为网络图，其中的交点A，B，C称为结点。

图2 6.1(2）网络图所对应的反映从一个结点直达另一个结点的交通情况的矩阵叫做一级路矩阵，而从某个结点出发，先经过一个结点,再到达另外一个结点的交通情况的矩阵称为二级路矩阵。

(3)一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间接到达.右图对应的一级路矩阵M＝,二级路矩阵N＝。

3。

求解矩阵应用题的方法及技巧对于应用题，我们要读懂题意,如果还没弄清题意就去做题，则很容易出错.应用题主要考查分析能力、转化能力及运算能力。

因此,我们要加强这方面能力的培养与训练，在解与矩阵有关的应用题时，要学会寻找分析问题和解决问题的突破口，在解题中提高自己的综合能力.4.种群问题的数学模型教材P78例6种群问题的数学模型。

错误!＝M错误!＝错误!错误!，其中｛a n｝，｛b n}表示两个相互影响的种群X,Y随时间段变化的数量。

若起初的种群数量β＝错误!，则经过n个时段后的种群数量为错误!，且错误!＝M n 错误!。

高中矩阵教案

高中矩阵教案教案标题：高中矩阵教案教学目标：1. 了解矩阵的基本概念和特征，并能够正确地表示和读取矩阵。

2. 掌握矩阵的基本运算规则，包括矩阵的相加、相乘和数乘等操作。

3. 能够解决与矩阵相关的实际问题，如线性方程组的求解、向量的线性相关性等。

4. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和问题解决能力。

教学重点：1. 矩阵的基本概念和表示方法。

2. 矩阵的基本运算规则。

3. 矩阵在实际问题中的应用。

教学难点：1. 矩阵的相乘运算规则和其背后的数学原理。

2. 如何将实际问题转化为矩阵运算的形式进行求解。

教学准备：1. 教学课件和多媒体设备。

2. 高中数学教材和参考书籍。

3. 相关的练习题和实例题。

教学过程：步骤1：导入与激发兴趣（5分钟）通过展示一些与矩阵相关的实际问题，如线性方程组的求解、图像处理等，引起学生的兴趣，并解释矩阵在这些问题中的应用。

步骤2：介绍矩阵的基本概念和表示方法（15分钟）讲解矩阵的定义、元素、行、列等基本概念，并通过示例演示如何用行列表示矩阵。

步骤3：讲解矩阵的基本运算规则（20分钟）3.1 矩阵的相加和相减：介绍相同维度的矩阵相加和相减的规则，并通过实例进行演示和练习。

3.2 矩阵的数乘：讲解矩阵与数的乘法规则，并通过实例进行演示和练习。

步骤4：讲解矩阵的相乘运算规则（25分钟）4.1 矩阵的乘法定义：介绍矩阵相乘的定义和运算规则，并解释其背后的数学原理。

4.2 矩阵乘法的性质：讲解矩阵乘法的结合律、分配律等性质，并通过实例进行演示和练习。

步骤5：应用矩阵解决实际问题（20分钟）5.1 线性方程组的求解：将线性方程组转化为矩阵运算的形式，并通过矩阵的逆运算求解未知数。

5.2 向量的线性相关性：通过矩阵的秩来判断向量的线性相关性，并解释其在几何中的意义。

步骤6：总结与拓展（10分钟）对本节课的内容进行总结，并提供一些拓展的学习资源和练习题，以帮助学生进一步巩固所学知识。

教学辅助：1. 提供相关的课堂练习和作业，以巩固学生对矩阵的理解和运算规则的掌握。

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高中数学学案:矩阵的简单应用基础诊断1. 设数列{a n },{b n }满足a n ＋1＝3a n ＋2b n ,b n ＋1＝2b n ,且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋2b n ＋2＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ,则二阶矩阵M ＝________．2. 设某校午餐有A,B 两种便当选择,经统计数据显示,今天订A 便当的人,第二天再订A 便当的概率是35；今天订B 便当的人,第二天再订B 便当的概率为45,已知星期一有40%的同学订了A 便当,60%的同学订了B 便当,则星期四时订A 便当同学的概率是多少？范例导航考向例1 自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响,比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此,它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是,如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X,Y 随时间段变化的数量分别为{a n },{b n },有关系式⎩⎨⎧a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝3a n ＋2b n ，其中a 1＝6,b 1＝4,试分析20个时段后,这两个种群的数量变化趋势．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102,β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (1) 求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2) 计算M 4β,M 10β,M 100β；(3) 从第(2)小题的计算中,你发现了什么？考向例2 某同学做了一个数字信号模拟传送器,经过10个环节,把由数字0,1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3,把0错转为1的概率为0.2,若发出的数字信号中共有10 000个1,5 000个0.问:(1) 从第1个环节转出的信号中0,1各有多少个？(2) 最终接收端收到的信号中0,1个数各是多少？(精确到十位)(3) 该同学为了完善自己的仪器,决定在接收端前加一个修正器,把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1,则概率分别等于多少时,才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．学校餐厅每天供应1 000名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在本周星期一选A 菜的,下周星期一会有20%改选B 菜,而选B 菜的,下周星期一会有30%改选A 菜,若用A n ,B n 分别表示在第n 个星期一选A,B 菜的人数．(1) 若⎣⎢⎡⎦⎥⎤A n ＋1B n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A nB n ,请写出二阶矩阵M ； (2) 若第一周有300人选择A 菜,700人选择B 菜,试判断其变换趋势．自测反馈1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221,β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17,计算M 6β.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14,向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53,计算A 5α.1. 对于二阶矩阵A ,它的特征值分别为λ1,λ2,其对应的特征向量分别为α1,α2,若当非零向量β＝m α1＋n α1,则A k β＝______________．2. 求A n β的一般步骤为:第一步:求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量α；第二步:把向量β用特征向量α线性表示,即________________；第三步:由公式A nβ＝____________________计算．3. 你还有哪些体悟,写下来:第13课矩阵的简单应用基础诊断1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004 解析:由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ,设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202,则M ＝A 2,所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004. 2. 解析:设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35152545,则M 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤47125391257812586125⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤211625414625,故星期四时订A 便当同学的概率是211625.范例导航例1 解析:令β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64,M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n , 由此可求得矩阵M 的特征值λ1＝4,λ2＝－1,分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.假设β＝m α1＋n α2(m ,n ∈R ),解得m ＝n ＝2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 20b 20＝M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 19b 19＝…＝M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1. M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝M 20β＝M 20(2α1＋2α2)＝2M 20α1＋2M 20α2,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝2×420⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋2×(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤242＋23×241－2. 因此,20个时段后,种群X ,Y 的数量分别约为242＋2和3×241－2.解析:(1) 矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－10λ－2＝(λ－1)(λ－2),令f (λ)＝0,解得λ1＝1,λ2＝2.所以它们分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2) 令β＝m α1＋n α2, 则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31,解得m ＝2,n ＝1,即β＝2α1＋α2, 所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816. 同理可得,M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2210,M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋22100.(3) 当n 很大时,可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n .例2 解析:(1) 从第1个环节转出的信号中,0的个数为10 000×0.3＋5 000×0.8＝7 000, 1的个数为10 000×0.7＋5 000×0.2＝8 000.(2) 数字错转的转移矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.70.20.30.8,1和0的个数对应列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000,于是最终接收端收到的信号中1,0个数对应矩阵A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000,矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－0.7－0.2－0.3λ－0.8＝λ2－1.5λ＋0.5＝(λ－1)(λ－0.5)．令f (λ)＝0,得到矩阵A 的特征值为1或0.5, 将1代入方程组⎩⎨⎧（λ－0.7）x －0.2y ＝0，－0.3x ＋（λ－0.8）y ＝0，解得3x －2y ＝0,不妨设x ＝2,于是得到矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.同理,把λ＝0.5代入上述方程组得x ＋y ＝0,不妨设x ＝1,可得矩阵A 的属于特征值0.5的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.设⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1, 所以⎩⎨⎧10 000＝2m ＋n ，5 000＝3m －n ，解得⎩⎨⎧m ＝3 000，n ＝4 000，所以A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝3 000×110⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋4 000×0.510⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 000＋4 000×0.5109 000－4 000×0.510≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000,所以最终接收端收到的信号中0约有9 000个,1约有6 000个．(3) 设修正器的转移矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s t s 1－t (0<s <1,0<t <1),则由题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－st s 1－t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000,于是,得到6s －9t ＋4＝0. 因为0<s <1,0<t <1,所以可取s ＝12,t ＝79,也就是说1转为0的概率为12,0转为1的概率为79. 注:第(3)问答案不唯一,只要满足方程6s －9t ＋4＝0(0<s <1,0<t <1)的s ,t 均可．解析:(1) 由A n ＋1＝45A n ＋310B n ,B n ＋1＝15A n ＋710B n ,得M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4531015710. (2) 由f (λ)＝λ2－32λ＋12＝0,得λ1＝1,λ2＝12,属于λ1,λ2的一个特征向量分别为 α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1,又⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤300700＝200α1－300α2,所以M n⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤600－300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 400＋300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .由此说明,若干周后,选择A ,B 两菜的人数分别稳定在600人和400人左右．自测反馈1. 解析:矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0,解得λ1＝3,λ2＝－1,分别对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2,得m ＝4,n ＝－3.所以M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 2. 解析:矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝|λ－1－21λ－4|＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6＝(λ－2)(λ－3),令f (λ)＝0,解得λ1＝2,λ2＝3,当λ1＝2时,对应的一个特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21,当λ2＝3时,对应的一个特征向量为e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,令α＝m e 1＋n e 2,解得m ＝2,n ＝1,即α＝2e 1＋e 2,所以A 5α＝A 5×2e 1＋A 5e 2＝25×2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＋3526＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307.。