117斯托克斯公式
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斯托克斯公式
3
2
0
D xy
1
1
y
3(
1
2
1方 程 ； 2 x轴
3
)zdx
1
x
1
3 3 zdx 3 (1 x )dx 0 3 2
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则.
z
n
o
y
x
3 ：x y z 2
4 3 dS 3 2 9 2 3 3dxdy . 2 D xy
x y
Dxy
x y 1 2
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3 2
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二、*等价结论
1 推论 设G是空间 一维单连通区域， 、Q、R CG， P
A的旋度 R Q P R Q P rotA dS ( , , ) dS
物理意义: rotA穿过流向指定侧的流量 A沿 (正向)的环流量。
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Pdx Qdy Rdz A ds
0 D xy
1
x
1
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例 2 求 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,是
3 x y z 截立方体:0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 2
的表面所得截痕,从 Ox 轴正向看去取逆时针方向. 3 z n 解 取Σ : x y z ,上侧,被 2 0 1 (1,1,1) 所围部分. 则 n
《高数》斯托克斯(stokees)公式
20
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
作业:P183: 1-(1)(3), 2-(1), 3-(2),4-(1)
22
五、积分学四大公式比较
Newton-Leibnitz公式
b df dx f ( x) b
a dx
a
Green公式 Gauss公式
D
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy;
D
ab
D
D
1 x
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
y 1
7
解 按斯托克斯公式, 有
z 1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
o
1 x
y 1
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
y
zdx xdy ydz
1
dydz dzdx dxdy
cos
x
P
cos
y Q
cos
z
dS Pdx Qdy Rdz
R
2. Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线 积分之间的关系.
斯托克斯公式公式
斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。
这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。
斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。
注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。
例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。
斯托克斯公式
∂ ∂y
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
微积分II课件——11-7 斯托克斯公式stokes公式 环流量与旋度
PQR
2. 旋度的定义:
i j k 称向量 ∂ ∂ ∂ 为向量场的旋度 (rotA ) .
∂x ∂y ∂z PQR
i j k 旋度 rotA = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z PQR
= (∂R − ∂Q)i + (∂P − ∂R) j + (∂Q − ∂P )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Γ的单位切向量为 t = cosλ i + cos µ j + cosν k
斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds 或∫∫ (rotA )n dS = ∫Γ Atds
Σ
Σ
其中
(rotA )n = rotA ⋅ n
= (∂R − ∂Q)cosα + (∂P − ∂R)cos β + (∂Q − ∂P )cosγ
四、小结
cos α cosβ cos γ
斯托克斯公式
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ds = ∂z
PQR
dydz dzdx dxdy
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
P Q R = ∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ tds
Σ
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P dxdy ∂y
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )cosγds
即
∫∫
Σ
∂P ∂z
斯托克斯公式
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式
Pdx Qdy Rdz
P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }
一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )
R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)
斯托克斯公式
为了方便记忆，斯托克斯公式可写为：
Γ
∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂P − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ ∂y
dydz dzdx dxdy
= ∫∫ ∂ Σ ∂x
∂ ∂y Q
∂ ∂z R
∵ Σ 取上侧 ∴ cos γ > 0
∴ n
0=
1 − − − （ − 1， 1， 1） 3
1 1 1 = ( , ) , 3 3 3
= (cos α , cos β , cos γ )
1 1 1 ∴ cos α = , cos β = , cos γ = 3 3 3
∴ 由斯托克斯公式，得
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
Γ Γ
(1) (2) (3)
∂R ∂R ∫ Rdz = ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx Σ
先证: (1)式成立。
1、简单情形 设 Σ 与平行于 z 轴的直线至多交于一点。
z
n Σ
Γ
Σ : z = z( x , y )
( i ) Σ 取上侧
±（ z x ，z y ， 1） −
y
1 + zx + z y
Γ
1
y
x
D xy
例2 利用斯托克斯公式计算
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
3 其中 Γ 为平面 x + y + z = 2 截立方体：
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z n
O
y
x
解 : x yz 3的
z
2
上侧被 所围的部. 分
111
O
n (1 ,1 ,1 )e ,n(3,
, 3
), 3
x
dydz
I
x
y2 z2
dzdx
y z2 x2
dxdy
z x2 y2
n
y
1
1
1
z
3
3
3
x
y
dS z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
O
43(xyz)dS
2. 斯托克斯(stokes)公式
定理 1 设为分段光滑的闭 空曲 间 ,线 有 是向 以为边界的分片向 光曲 滑 ,面 的定 正向 与 侧符合右.手 函规 数 P(x则 ,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在(连同边 )上 界具有一阶连,则 续有 偏导数
R y Q zdydz P z R xdzdx Q x P ydxdy
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
cos0, cos
1, 2
cos 1
2
利用斯托克斯公式得
o
c oc so c so s x
2y
I
x
y2
y
xy
z
dS 12(yz)dS 0
xz
*二、空间曲线积分与 路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函P 数 ,Q ,R在 G 内
x
在 上 xyz3, 2
n
y
43(xyz)dS
2 3dS
23 1zx 2z2 yd
Dxy
2 3 3d
Dxy
6(Dx的 y 面)积 92 .
y
1
xy1.5
0.5 D xy
xy0.5
O 0.5 1 x
练习. 为柱面 x2y22y 与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y 2 d x xd y xd z.
PdxQ dyR dz.
斯托克斯公式
便于记忆形式
dyddz zdxdxdy
x
y
z
PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
coscos cos
x
y
z
dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {, c c 中 , c o o } o s ss
斯托克斯公式的实质 表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的
o
1y
1
x
Dxy
x
y
z
zxy
d y d z d zd x d x d y3Dxydxdy
3 2
利用轮换对称性
例2 计算(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,
其中 是用平 x面 yz3截立方 [0,1体 ][0,1][0,1] 2
的表面所得,若 的从 z截 轴痕 正向, 看 取去 逆时针 . 方
定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. 是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格 林公式的推广.
若 R (x ,y,z)0 , 位 x于 O 面y取 ,则 上侧
Q x P y d x d yP d xQ d y.
格林公公式 特殊情形
格林公式
二、典型例题
例1 利用斯托克斯曲公线式积计分算
I y2dxxdyz2dz,
其中 是平y面 z2与柱x2面 y2 1的交,若 线 从z轴正向,看 取去 逆时针 . 方向 解 P y 2 ,Q x ,R z 2 , 为 yz2的上 所 侧围 被.的部分
D xy:x2y21
dydz
I
x
y2
dzdx
y x
dxdy
z
(12y)dxdy
设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为, M 为刚体上任一
点, 建立坐标系如图, 则
(0,0,),r(x,y,z)
z l M
z2
(12y)dxdy
Dxy
2πd 1(12si)n rd r
0
0
π .
练习. 利用斯托克斯公式计算积分 zdxxdyydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
zdxxdyydz
dydz dzdx dxdy
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P dxQ dyR dz0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , PdxQ dyRdz
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
P y Q x, Q z R y, R x P z
( R y Q z ) d y d z ( P z R x ) d z d x ( Q x P y ) d x d y
P dxQ dyR dz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo ,s cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c,c oo ,s cso ) s
x
y
z
A记作 roAt
PQR
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
r A o n d t S A d s
或
(ro A )nd t S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场 A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的
旋度.
旋度的力学意义:
P1Q, Q1R, R 1 P y x z y x z
积分与路径无关, 因此
z
x
y
z
(x,y,z)
u(x,y,z) 0 d x x d y (x y) d z
0
0
0
O
x y (xy)z
(x,0,0)
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
例4. 验证曲线积分(y z )d x ( z x )d y ( x y )d z
与路径无关, 并求函数
u ( x ,y ,z ) ( ( 0 x , , 0 y , 0 , z ) ) ( y z ) d x ( z x ) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z , Q z x ,R x y
则斯托克斯公式可写为
R y Q z c o P z R x c s o Q x P y c s d S o (P c o Q s c o R s co )d ss
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
R y Q z, P z R x, Q x P y