律制详解 五度相生律 十二平均律 纯律
转音律常识
转音律常识律制详解(五度相生律\十二平均律\纯律)音律是指音高的决定方式。
现代乐器的音律主要有三种：(1) 纯律：纯律中任何两个音的频率都成整数比，这种音律源于号角，因为它可以吹出大调音阶中的三和弦(简谱中的1 3 5)，它们的频率之比为4:5:6。
大调音阶中的其它三和弦也可以用这种方法得到，例如简谱中的4 6 1和5 7 2。
这种音律在演奏和声时很有优势，因为频率的整数比可以产生最好的结合。
铜管乐器指法不变时遵循纯律，所以在演奏和声时，要尽可能地使用同样的指法。
由于小调以小三和弦为主(简谱中的6 1 3)，所以频率之比正好与大调相反，为1/6:1/5:1/4，即10:12:15，然而没有一种乐器是按照这种音律定音的。
(2) 五度相生律：事实上它是纯律的一部分，它规定五度音的频率之比为2:3，其他音程都由若干个五度产生，五声音阶宫商角徵羽(简谱中的1 2 3 5 6)按照五度相生律定音，顺序是：宫→徵→商→羽→角。
实践表明，按照五度相生律的音高演奏的旋律是最优美的，弦乐器就是典型的按照五度相生律定音的乐器。
五度相生律根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度关系，即由某一音开始向上推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律，如此继续相生年定出的音律叫做五度，产生再次一律，如此继续相生所定出的音律叫做五度相生律。
例如五度相生律所订出的七个基本音级间的音高关系，和十二平均律中七个基本音级的音高关系是不同的。
虽然EF、BC之间亦为半音，但比十二平均律中的半音要小。
其余相邻两音级之间虽然亦为全音，但比十二平均律中的全音要大。
这种音高的差异就是由于定律方法的不同而产生的。
(3) 十二平均律：简称平均律，它是根据对数关系确定音的频率的，然而在八度上，频率的比值却是严格的1:2，所以更完整的说法应该是“八度的十二平均律”。
十二平均律纯律五度相生律的区别
十二平均律纯律五度相生律的区别1、音程。
就是两个音之间的距离，以度为单位，以C-1（do）、D-2（re）、E-3（me）、F-4（fa）、G-5（so）、A-6（la）、B-7（si）一个基本音级为例，1-1是一度，1-2是二度。
1-7是七度，1-高音1是八度。
以八度音为一个基本音级是遵从人的听觉的，这与物理学上的发声原理也是契合的，假如将一个频率200Hz的音高称为1的话，那么高音1的频率为400Hz，高高音1为800Hz，是一个等比关系，听觉上感觉像是一个音，但高低不同。
2、五度相生律。
是人们试图将一个等比区间的两个音（即今天的八度）进行切割分成几个音，建一个标准而得出的，即定律。
以一根弦为例，空弦发音如果定为基音F的话，将其二等分，1/2弦发音音高为2F，三等分，1/3长度发出的音对应3F，2/3长度发出的音对应3/2F，四等分，1/4对应4F，3/4对应4/3F，这些音与基音F都是和谐的，但3/2F、4/3F与基音和谐度上是逐步递减的，到五等分、六等分已经不是很和谐，因此不继续等分，而取三等分剩下的2/3长度再进行三等分，取其2/3的音，即3/2的平方，大于2的除以2，大于4的除以4，以此类推，直到3/2的五次方约等于7.59，与2的三次方8较为接近，于是把3/2的五次方定为一个F 至2F的最后一个拆分音，因此得出了F、9/8F、81/64F、4/3 F、3/2 F、27/16 F、243/128 F七个音，即上表中的蓝色字体，CDEFGAB，也就是1234567七个音的由来（中国古代的五声音阶“宫、商、角、徵、羽”，对应的音是12356），因为定律的方法是取弦的2/3循环拆分，2/3弦的音高为3/2F，即G（5），与C（1）的距离是纯五度，因此叫五度相生律。
但是，由于E-F的距离是上表的1.500-1.424=0.076，而C-D是0.125，D-E是0.141等，比0.076高出一倍左右，因此把E-F的距离定为一个半音，也就是最小的音高距离，而C-D、D-E叫一个全音，一个全音等于两个半音，各音之间的距离差距较大且不平均，因此把距离为全音的两个音之间各加一个音，把距离都变成半音，就出现了上表的12个音，各音间的距离都是半音，距离差减小，但依然不平均，可以一直分下去，但太过复杂。
律制详解(五度相生律、十二平均律、纯律)
律制详解音乐中的基本元素有哪些？节奏、旋律和和弦。
而和弦则是由若干个音符组成。
要让多个音符组成和谐的和弦，需要考虑到它们的音高关系。
律制就是对音高关系的一种规定和约束，使得音乐能够有序、和谐地呈现。
本文将详细介绍三种常见的律制：五度相生律、十二平均律和纯律。
五度相生律五度相生律是其它律制的基础。
所谓“五度相生”，指的是将任意一个音符的下一个“高一度”的音符再往上的第五个音符作为下一个“高两度”音符，如此进行下去。
这样的话，最终得到的一连串音符组成的音阶是比较和谐的，因为相邻的音符之间都是以五度相隔。
同时，在这种音阶上进行和弦的排列，也能得到比较和谐的和弦。
五度相生律存在的问题在于，当一连串的五度音阶不断延伸下去时，例如我们从C音符开始不断“上五度”，得到的音阶中的音符F#和C#都比平均律中的相应音符要高，而音符Bb和Eb则比平均律低。
这样，当我们在一个五度相生律音阶上对和弦进行排列时，就会出现不自然、不和谐的情况。
十二平均律为了解决五度相生律的问题，十二平均律应运而生。
它是将一个八度间隔分成12个均匀的半音间隔，从而得到了12个音符，对应着钢琴键盘上的所有的白键和黑键。
在十二平均律中，每个半音的音高关系都是相等的，换句话说，任意两个半音的音高关系都相同。
这就保证了在一个十二平均律的音阶中进行和弦排列时，不会出现五度相生律那样的问题。
在十二平均律中，相邻的两个半音之间的频率比为21/12。
也就是说，从某个音符开始，向上走12个半音之后，得到的音符频率是原来的2倍。
这一规律很好地解释了为什么八度的音高关系是“高一倍”，即为2。
纯律纯律是最早出现的律制形式之一，它是基于音比的比值来决定每个音符的音高关系。
在纯律中，将一个八度间隔分成7个“纯律五度”和4个“纯律四度”。
相邻两个纯律五度的比值为3/2，即高音的频率是低音的1.5倍，而相邻两个纯律四度的比值为4/3。
这样，我们就可以用纯律的规则来构建一连串音符的音阶，也可以用纯律的规则来排列和弦。
律学常识
第十一章律学常识主要内容：基音与泛音、泛音列，律制、十二平均律、五度相生律、纯律。
一、基音、泛音、泛音列、谐音、谐音列乐音是物体有规律振动产生的。
当物体有规律地振动时，除了整体振动之外，其各分段处（例如1/2处、1/3处等）也会跟着振动，其中整体振动产生的音，称之为基音，也是人耳最先和最易感知到的音；其各分段处产生的音称之为泛音，一般很难分辨得出。
例如，弹奏大字组的C时，全弦振动产生的音（即基音）即为C，而全弦1/2处产生的音则为高纯八度的C（即c），全弦1/3处产生的音则为高纯十二度的G（即g），如下例。
在上例中，五线谱上的音是基音及其产生的泛音列。
序号为1的为基音，序号为2的为第一泛音，序号为3的为第二泛音，依此类推。
在表述上，“基音”、“泛音”和“泛音列”也可用另一对名词——“谐音”与“谐音列”。
其中，“基音”与“泛音列”合称“谐音列”，“谐音列”中的每一个音都称之为“谐音”。
谐音列在识记上，可以先记住第1、2、4、8、16号谐音，它们相邻的音程关系均为纯八度。
第2与第4号谐音之间只有一个谐音，即第3号谐音，与其前后两个谐音分别为纯五度关系和纯四度关系。
在第4与第8号谐音之间有三个谐音，分别为第5、6、7号谐音，与前面相邻的音程关系分别为大三度、小三度、小三度。
在第8与第16号谐音之间有七个谐音，分别为第9、10、11、12、13、14、15号谐音，与前面相邻的音程关系分别为大二度、大二度、大二度、小二度、大二度、小二度、增一度。
二、三种常见的律制——十二平均律、五度相生律、纯律一般而言，将相邻八度的音级按顺序依次排列，就形成音阶。
规定音阶中各个音级的由来及其精确音高的数学方法就是律制。
①不同的律制由不同的生律法决定的，而生律法则与所选择的音程及其计算方法相关。
常见的且应用最为广泛的律制是十二平均律、五度相生律、纯律。
两个音之间的距离称之为音程，目前多以“音分”作为音程值的单位。
此为英国数学家兼比较音乐学家、语言学家A.J.埃利斯(1814～1890)所创用，他规定八度的音程值为1200音分。
古琴调律
（2）五度相生律定弦法
定弦步骤如下（以下徽位均指泛音）：
①定五弦：通过定音器或校音器定五弦为标准音
②定七弦：五弦四徽→七弦五徽
③定四弦：七弦七徽→四弦五徽或：七弦四徽→四弦二徽
1．标准音高（绝对音高）的确立
首先需确定古琴的绝对音高。若只是独奏或个人练习，也可略过该步骤。
目前国际上通常采用的是标准音高a1＝440 Hz，这一标准在国内各类中西乐队中也被广泛采用，因此古琴定音也多采用之。在正调定调时，五弦的散音音高相当于A，则其四徽或十徽泛音的音高应为a1。用音高为a1的单音定音哨、音叉或电子定音器发出440 Hz的标准音，再在琴上弹奏五弦的散音或四徽（十徽）泛音，用耳朵仔细辨别先后两个音的差异。若是琴音偏高，则将五弦琴轸略旋松一点，反之则略旋紧一点。也可以采用数值式或指针式的电子校（调）音器，在古琴五弦上取音后只看指针或数值显示就可知道与标准音间的偏差（以指针角度或音分值表示），根据偏差方向和大小调整琴轸，直至没有偏差即可。电子校音器一般可以近似连续地分辨全程音高（大于钢琴琴键范围），使用起来简便直观，精密灵活，缺点是在嘈杂环境中易受干扰，且缺乏对耳朵听音能力的锻炼；单音定音哨、音叉或电子定音器定音准确，通过耳朵的分辨很容易将弦音调准，缺点是不够直观，很难听出两个音之间的确切音差。
（3）两种律制定弦的差异
取两张琴，分别按照上述纯律和五度相生律定弦，通过弹奏比较即可发现，纯律定弦的琴，其一、三、四、六弦音高均比五度相生律定弦的琴高一个普通音差（22音分），而二、五、七弦的音高在两种律制定弦下是相同的。
明白了各种律制间差异的原理，就不难理解为何有一些历代流传下来古琴谱弹奏起来似乎并不和谐，并不一定是因为传抄的错误，而很可能是遵循不同律制的差异所致。
五度相生律 纯律 十二平均律适用于
五度相生律纯律十二平均律适用于五度相生律，纯律和十二平均律是音乐中的重要概念，它们对于乐理和音乐表达有着深远的影响。
在这篇文章中，我们将介绍这三个概念，并探讨它们在音乐中的应用和意义。
五度相生律是指在音程中，当两个音的频率比为3:2时，它们之间的音程被称为纯五度。
五度相生律建立在这个比例关系之上，通过连续的五度相生，可以得到12个不同的音符。
这种纯粹的比例关系使得五度相生律具有高度的和谐感和稳定感，因此在早期音乐中被广泛应用。
然而，五度相生律也存在一些问题，最显著的是由于连续的五度相生导致的纯五度与纯四度之间的差值，这种差值称为纯五度循环减小。
纯五度循环减小使得五度相生律在不同调性中产生了不和谐的音程，因此在现代音乐中很少应用。
纯律是一种基于纯音程的音律系统，它是五度相生律的一种改进。
纯律通过对五度相生律中的不和谐音程进行微调，使得所有音程都具有高度的和谐感。
具体来说，纯律通过将基准音的频率与其他音的频率之比进行微调，使得所有的音程都尽可能地接近纯粹的音程。
纯律在中世纪和文艺复兴时期得到了广泛的应用，它成为了当时音乐中的基本理论框架。
然而，纯律也存在一些问题，最主要的是它无法涵盖所有的调性，而且在不同调性中产生了不同的音程。
为了解决这个问题，人们发展出了十二平均律。
十二平均律将八度音程等分为12个等距的音符，这样可以覆盖所有的调性，并且使得所有的音程都尽可能地和谐。
虽然十二平均律牺牲了一些音程的和谐感，但是它的普适性使得它成为了现代音乐的标准音律系统。
在现代音乐中，十二平均律被广泛应用，几乎所有的乐器都是基于这种音律系统制作的。
同时，十二平均律也在音乐创作中产生了深远的影响，它极大地丰富了音乐中的和声和旋律。
同时，纯律和五度相生律也在一些特殊的音乐中得到了应用，因为它们具有独特的和谐感。
总之，五度相生律，纯律和十二平均律是音乐中的重要概念，它们在不同的历史时期和文化中产生了深远的影响。
通过对这些概念的理解和应用，我们可以更好地理解和欣赏音乐，并且更好地创作和演奏音乐。
“平均律”、“五度相生律”和“纯律”.doc
“平均律”、“五度相生律”和“纯律”生律方法与频率（音调）的关系把两个相差八度音程之间的音顺序排列，就成为音阶。
前已讲过，在一个八度之内有五个音的就叫五声音阶，有七个音的就是七声音阶。
把一个八度音程分成十二个音，就是半音阶。
常见的就是这几种音阶。
从一个音出发，如何生出音阶中各个音，有不同的生律方法。
不同的生律方法也就是不同的律制。
用不同律制构成音阶，就形成不同的音律。
这都是有严格的数学方法的。
音律中的每一个音也叫律。
我们在这里仅简略地讲一下。
音阶中的各个音都有音名，由于生律方法不同，不同律制生成音律中的同名音。
例如都是c1，其频率是不一样的。
不同律制下的各律之间的音程或频率比也是不一样的，于是就成了各种音律理论。
现在我们就从物理内容上来看看音律学。
最常用的三种律制是十二平均律、五度相生律和纯律。
当前的钢琴和所有键盘乐器用的都是十二平均律，就是把一对八度音，即频率比为1∶2的两个音之间按频率等比分为十二个半音。
比西欧早了几十年。
十二平均律有许多优点，它易于转调，简化了不同调的升、降半音之间的关系，即对所有调都有#c=bd，#d=be等。
带品的弦乐器也是用的十二平均律。
十二平均律是当前最普遍流行的律制，钢琴家巴赫很推崇十二平均律，他写下了大、小调各两套十二平均律钢琴曲48首。
虽然，十二平均律没有纯律或五度相生律那样纯。
但一般人们的耳朵也已适应了十二平均律。
除十二平均律外，还可以有五平均律，六平均律，十四平均律等等。
如果从一个调式主音开始，不断地用三倍频（上生五度）或1/3倍频（下生五度）得出的音律就叫五度相生律。
这是一种最古老的、也是与自然最相匹配的律制，即把弦线或管长加上或减少三分之一生成下一律。
五度相生律现在已较少使用，在弦乐器的独奏中有时还用到。
如果采用三倍频（包括1/3倍频）和五倍频（包括1/5倍频）生律，就成为纯律。
纯律的各音之间有最小的整数比关系，而十二平均律和五度相生律有时就会差一点点。
什么是十二平均律和五度相生律
什么是十二平均律和五度相生律什么是十二平均律和五度相生律什么是十二平均律和五度相生律.txt我这人从不记仇，一般有仇当场我就报了。
没什么事不要找我，有事更不用找我！就算是believe中间也藏了一个lie！我那么喜欢你，你喜欢我一下会死啊?我又不是人民币，怎么能让人人都喜欢我？什么是十二平均律和五度相生律？这个问题太难了。
好像还没人通俗的说清楚过。
我试试？也未必能让您满意。
首先，什么是八度？学过中学物理后，我们都知道，音高是由乐器振动部分的振动频率决定的。
你可以这样尝试：绷紧一根琴弦www.，用琴弓摩擦振动，记录它的振动频率。
然后，不改变它绷紧程度，取1/2长度，再记录它的振动频率。
你会发现，这两次记录的振动频率（当然只是基波）正好成一倍关系，例如前后分别是220Hz与440Hz。
（这就是国际流行的a 的音高，就是钢琴上C调的6）。
我们就认为，这是一个八度。
实际上，“8度”是翻译问题。
科学的叫法应当是“1倍频程”。
将这一个八度，按指数（对数）关系分成12份，让每相邻两份的关系都有相同的比例，这就是钢琴的校音原理。
我们将这种原理，称为十二平均律。
十二平均律用在转调中非常实用。
也是管弦乐队的音准基础。
对乐器制造，半音的单位太粗略了。
因此人们引入了音分（Cent）的概念，它是十二平均律中半音的百分之一，一个大二度就是200音分。
1倍频程（八度音）就包含1200音分。
中国古代很早就应用了十二平均律制造乐器，例如近年出土的编钟。
16世纪末，明代的朱载堉提出了十二平均律的理论和算法。
可惜，十二平均律在中国长期不受重视。
尤其是弦乐器。
什么是十二平均律和五度相生律 (续)文章提交者：长短句加贴在音乐之声说一个现象：为什么传统的二胡演奏家，如果用钢琴伴奏时，音高听上去好像不准？这就是采用的音律不同。
实际上，二胡两根空弦的传统五度比钢琴上的五度大。
我们常常说，长笛这样的铜管乐器，声音非常“纯正”。
这是什么意思呢？从声学角度看，“纯正”可以有两重意义：1. 音高很稳定。
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律制详解(五度相生律、十二平均律、纯律)音律是指音高的决定方式。
现代乐器的音律主要有三种：(1) 纯律：纯律中任何两个音的频率都成整数比，这种音律源于号角，因为它可以吹出大调音阶中的三和弦(简谱中的1 3 5)，它们的频率之比为4:5:6。
大调音阶中的其它三和弦也可以用这种方法得到，例如简谱中的4 6 1和5 7 2。
这种音律在演奏和声时很有优势，因为频率的整数比可以产生最好的结合。
铜管乐器指法不变时遵循纯律，所以在演奏和声时，要尽可能地使用同样的指法。
由于小调以小三和弦为主(简谱中的 6 1 3)，所以频率之比正好与大调相反，为1/6:1/5:1/4，即10:12:15，然而没有一种乐器是按照这种音律定音的。
(2) 五度相生律：事实上它是纯律的一部分，它规定五度音的频率之比为2:3，其他音程都由若干个五度产生，五声音阶宫商角徵羽(简谱中的1 2 3 5 6)按照五度相生律定音，顺序是：宫→徵→商→羽→角。
实践表明，按照五度相生律的音高演奏的旋律是最优美的，弦乐器就是典型的按照五度相生律定音的乐器。
五度相生律根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度关系，即由某一音开始向上推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律，如此继续相生年定出的音律叫做五度，产生再次一律，如此继续相生所定出的音律叫做五度相生律。
例如五度相生律所订出的七个基本音级间的音高关系，和十二平均律中七个基本音级的音高关系是不同的。
虽然EF、BC之间亦为半音，但比十二平均律中的半音要小。
其余相邻两音级之间虽然亦为全音，但比十二平均律中的全音要大。
这种音高的差异就是由于定律方法的不同而产生的。
??(3) 十二平均律：简称平均律，它是根据对数关系确定音的频率的，然而在八度上，频率的比值却是严格的1:2，所以更完整的说法应该是“八度的十二平均律”。
计算频率时，只要对2开12次方根，就可以确定两个半音频率的比值了。
十二平均律是由巴赫首先倡导在钢琴上使用的，钢琴上每个半音具有同等地位，因此这种音律在转调频繁的作品中很有优势。
十二平均律是由明朝律学家朱载堉所提出，早於西方五百年出现。
他将三分损益法所产生的五度相生律无法还原的问题解决了，其实五度相生律是纯律的物理和谐倍数关系，每个调性都会衍生不同的频率差异音阶，为了转调的实用性，平均律的出现虽然解决了转调问题，却也产生另一个和音不够完美的问题。
十二平均律将八度间（倍频），刻划成平均的十二个音阶，以12根号2为基数为音阶间格，这样完整的十二个平均音阶就可以让１２个调性圆满转换，每个音阶都可以吻合应用，钢琴是十二平均律的典型乐器，西洋音乐之父巴哈就以此十二平均律编写了十二种调性的古典乐曲，为十二平均律完整乐曲之始。
一般认为，没有受过音乐训练的人，无法辨别20音分以内的音调差别，而对音准非常敏感的人，例如小提琴家或钢琴调音师，可以辨别5音分以内的音差。
表5-2就以音分为单位比较了三种音律的差别，归纳起来有以下两点：(1) 纯律的五度音和五度相生律是一样的，但三度音差别很大，大三度音程偏小，小三度音程偏大，即大调的第三级音明显偏低，这种现象在铜管乐器上很突出(详见第七章)。
(2) 五度相生律和十二平均律差别不大，就全音而言，前者比后者多4音分，就半音而言，前者比后者少10音分，这就是五度相生律所谓的“大全音”和“小半音”。
对人的听觉来说，小半音是最舒适的半音，而平均律的半音略显得大些，这是平均律唯一的缺陷。
要介绍《十二平均律曲集》，就得先介绍什么是“十二平均律”。
而要介绍“十二平均律”，就得先介绍什么是“律”。
“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
举例而言就是，人能听出100HZ 和102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ 的声音有什么不同。
另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。
）需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。
打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。
100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。
换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍 (16)倍。
大家可以听一下，感觉它们是不是音越高就“距离”越近。
用音乐术语来说，这些音都是110HZ的“谐波”（harmonics），即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。
这个ogg文件可以用“暴风影音”／StormCodec软件来试听。
）由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。
用音乐术语来说，×2就是一个“八度音程”（octave）。
前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si后面的那个高音do，这两个do之间就是八度音程的关系。
也就是说，高音do的频率是do的两倍。
同样的，re和高音re之间也是八度音程的关系，高音re的频率是re的两倍。
而高音do 上面的那个更高音的do，其频率就是do的4倍。
也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。
显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。
很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。
这种等效性，其实就是“等差音高序列”的直接结果。
“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。
比如我国浙江的河姆渡遗址，曾经出土了一管距今9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏8个音符，其中就包含了一个八度音程。
当然这个八度音程不会是do到高音do，因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系。
明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的。
这其实是律学的中心问题。
也就是说，如果某一个音的频率是F，那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。
如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发声是因为琴弦的振动。
而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。
如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。
这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。
因为在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。
由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。
他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。
那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。
一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。
这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。
这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。
（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F～4F中的同样位置。
）接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。
一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。
另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。
现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。
同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。
在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。
这个现象也被很多民族分别发现了。
比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。
我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。
具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F。
如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。
得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。
实际上4/3F已经比3/2F 的和谐程度要低不少了。
古人于是换了一种方法。
与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。