高考数学课件8.3 直线、平面平行的判定与性质
等体积法求解.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是 ( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
答案 B 若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α 或n⊂α,故C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.
解析 (1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点, 所以OM∥VB. 又因为VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC, 所以VB∥平面MOC. (2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点, 所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC, 所以OC⊥平面VAB. 因为OC⊂平面MOC, 所以平面MOC⊥平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC= 2 , 所以AB=2,OC=1. 所以等边三角形VAB的面积S△VAB= 3 . 又因为OC⊥平面VAB,
评析 本题考查空间线面平行、面面垂直的判定等知识;考查推理论证能力及空间想象能力.
C组 教师专用题组
1.(2015北京,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥ BC且AC=BC= 2 ,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB; (3)求三棱锥V-ABC的体积.
所以三棱锥C-VAB的体积等于 13 OC·S△VAB= 33 .
又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,
所以三棱锥V-ABC的体积为 3 . 3
评析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,以及几何体体积的求解,考 查学生空间想象能力和逻辑推理能力.
2.(2015天津,17,13分)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2 5,AA1= 7,BB1= 2 7 ,点E和F分别为BC和A1C的中点. (1)求证:EF∥平面A1B1BA; (2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1; (3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.
半,然后求得S△BCM,最后利用棱锥的体积公式求得结果.
解后反思 ①证明立体几何中的平行关系,常常是通过转化为平面几何中的线线平行来实现,
而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形的对边互相平行等来推证;②求三棱锥的
体积的关键是确定其高,而确定高的关键是找出顶点在底面上射影的位置,,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF= 1 AD. 2
又因为BC∥AD,BC= 1 AD,所以EF∥BC且EF=BC, 2
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF, 因为CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB, 因此CE∥平面PAB.
2.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 1
2
2
3
3
答案 A 如图,过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体,易知平面α为平 面AF1E,则m,n所成角为∠EAF1(或其补角),因为△EAF1为正三角形,所以sin∠EAF1=sin 60°=
在△PBN中,由PN=BN=1,PB= 3 得QH= 1 , 4
在Rt△MQH中,QH= 14 ,MQ= 2 ,
所以sin∠QMH= 2 . 8
所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 2 . 8
方法总结 1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l∥α) ①线面平行的判定定理:在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α. ②面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α.
故S△BCM=
1 2
×4× 5
=2 5
.
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM= 13 ·S△BCM·P 2A =435 . (12分)
思路分析 (1)取BP的中点T,连接AT,TN,先结合条件证明四边形AMNT为平行四边形,从而得
到MN∥AT,再结合线面平行的判定定理可证;(2)由条件可知四面体N-BCM的高为棱PA的一
解析 (1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1.又 因为EF⊄平面A1B1BA,BA1⊂平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明:因为AB=AC,E为BC中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面 ABC,从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,又因为AE⊂平面AEA1,所以平面 AEA1⊥平面BCB1. (3)取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥
2.求线面角的方法. ①定义法:作出线面角,解三角形即可. ②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形. 例:求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法
求d),由sin θ= d 得结论.
AB
最好是画出图形,否则容易出错.
3.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD
证明 (1)证法一: 连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G为AC的中点, 可得DF∥GC,DF=GC, 所以四边形DFCG为平行四边形. 则M为CD的中点,又H为BC的中点, 所以HM∥BD,
又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH, 所以BD∥平面FGH. 证法二: 在三棱台DEF-ABC中, 由BC=2EF,H为BC的中点, 可得BH∥EF,BH=EF, 所以四边形HBEF为平行四边形, 可得BE∥HF. 在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点, 所以GH∥AB. 又GH∩HF=H,AB∩BE=B, 所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD⊂平面ABED, 所以BD∥平面FGH.
又AD∥BC,故TN������ AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB. (6分)
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 12 PA. (9分)
取BC的中点E,连接AE. 由AB=AC=3得AE⊥BC,AE= AB2 BE2 = 5 . 由AM∥BC得M到BC的距离为 5 ,
B1B,NE= 1 B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以四边形A1NEA为平行四边形,所以A1N∥AE,且A1N= 2
AE.又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角. 在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2. 因为BM∥AA1,BM=AA1, 所以四边形A1MBA为平行四边形,
高考文数 ( 课标专用)
§8.3 直线、平面平行的判定与性质
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2017课标全国Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在 棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( )
答案 A 解法一:B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C 选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A. 解法二:A选项中(如图),连接CB交MN于D,连接DQ,则平面MNQ与平面ABC的交线为DQ,在△ ABC中,Q为AC的中点,而点D为CB的四等分点,所以AB与DQ不平行,从而可知AB与平面MNQ 不平行,故选A.
(2)证明:连接BM,由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC= 1 AD,所以直线AB与CD相交, 2
所以PA⊥平面ABCD. 因为BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.
因为AD∥BC,BC= 1 AD, 2
所以BC∥MD,且BC=MD. 所以四边形BCDM是平行四边形. 又BC=CD,所以四边形BCDM为菱形, 所以MC⊥BD, 由(1)知MC∥AB,所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.
(2)连接HE.
因为G,H分别为AC,BC的中点, 所以GH∥AB. 由AB⊥BC,得GH⊥BC. 又H为BC的中点, 所以EF∥HC,EF=HC, 因此四边形EFCH是平行四边形.
所以CF∥HE, 又CF⊥BC,所以HE⊥BC. 又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H, 所以BC⊥平面EGH. 又BC⊂平面BCD, 所以平面BCD⊥平面EGH.
= 12 AD.
(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由; (2)证明:平面PAB⊥平面PBD.
解析 (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
连接CM.因为AD∥BC,BC= 12 AD,
所以BC∥AM,且BC=AM. 所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB. 又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB, 所以CM∥平面PAB. (说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)分别取BC,AD的中点为M,N.
连接PN交EF于点Q,连接MQ. 因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点, 在平行四边形BCEF中,MQ∥CE. 由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD. 因为PN∩BN=N, 所以AD⊥平面PBN, 由BC∥AD得BC⊥平面PBN, 因为BC⊂平面PBC, 所以平面PBC⊥平面PBN. 过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1. 在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD= 2 得CE= 2 ,
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新高考数学直线、平面平行的判定与性质精品课件
B
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[解析]如图,取CE的中点I,CC1的中点K,连接AI,IG,EK,因为CI=IE,CG=GK,所以IG∥EK,且IG=EK,又AB∥EK, AB=EK,AH=AB,所以IG AH,所以四边形AHGI为平行四边形,则AI∥GH,又GH⊄平面ACE,AI⊂平面ACE,所以GH∥平面ACE.易知HF,GF均不与平面ACE平行,故选B.
6.下列说法中正确的是 .(填序号) ①若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
课前基础巩固
[解析]对于①,a可以在经过b的平面内,故①错误;对于②,a与α内的直线平行或异面,故②错误;对于③,两平面也可以相交,故③错误;对于④,若a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α,故④正确.
D
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[思路点拨]由题意作出图形,取CE的中点I,连接AI,证出AI∥GH,利用线面平行的判定定理可知GH∥平面ACE,又HF,GF均不与平面ACE平行,即可得解.
图7-39-1
4. [教材改编] 如图7-39-2,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[解析]如图,取CE的中点I,CC1的中点K,连接AI,IG,EK,因为CI=IE,CG=GK,所以IG∥EK,且IG=EK,又AB∥EK, AB=EK,AH=AB,所以IG AH,所以四边形AHGI为平行四边形,则AI∥GH,又GH⊄平面ACE,AI⊂平面ACE,所以GH∥平面ACE.易知HF,GF均不与平面ACE平行,故选B.
6.下列说法中正确的是 .(填序号) ①若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
课前基础巩固
[解析]对于①,a可以在经过b的平面内,故①错误;对于②,a与α内的直线平行或异面,故②错误;对于③,两平面也可以相交,故③错误;对于④,若a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α,故④正确.
D
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC, CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
课堂考点探究
[思路点拨]由题意作出图形,取CE的中点I,连接AI,证出AI∥GH,利用线面平行的判定定理可知GH∥平面ACE,又HF,GF均不与平面ACE平行,即可得解.
图7-39-1
4. [教材改编] 如图7-39-2,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .
直线、平面平行的判定与性质 课件
(2)GH∥平面 PAD. 证明：连接 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 AC 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
又因为点 H 为 BC 的中点， 所以 OH∥BD. 又因为 OH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH.
判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
面面平行的判定与性质 [典例] 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； [证明] ∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
突破点(二) 平面与平面平行的判定与性质
平面与语言 符号语言
一个平面内的两条_相__交_ 判定 直__线__与另一个平面平 定理 行，则这两个平面平行
(线面平行⇒面面平行)
a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α， b⊂α⇒α∥β
如果两个平行平面同时
性质 定理
和第三个平面_相__交__，那 么它们的_交__线__平行
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG. [证明] ∵E，F 分别是 AB，AC 的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG.
直线、平面平行的判定及其性质 课件
解：(1)如图，交线即为 EC，AC，AE，平
面 α 即为平面 AEC．
(2)证明：连接 BD，设 BD 与 AC 交于点
O，连接 EO，∵平面 ABCD 为正方形，
∴O 是 BD 的中点，又 E 为 DD1 的中点．
∴OE∥BD1，又 OE⊂平面 α，BD1⊄平面 α．∴BD1∥平面 α．
Байду номын сангаас
行”)
图形语言 符号语言
∵_l∥__α_， _l⊂__β__， _α_∩__β_＝__b_， ∴l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
一个平面内的两条 相__交__直__线__与另一个 判定 平面平行，则这两 定理 个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面 平行”)
如果两个平行平面 性质 同时和第三个平面 定理 相__交__，那么它们的
考点三 空间平行关系在作图中的应用 [典例引领]
如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD＝AA1 ＝4，AB＝8，M，N 分别是 A1D1，AB 的中 点．过 MN 的截面 α 与 BD1 平行，且平面 α 与长方体的面相交． (1)求作交线(只画出图，不要求证明或说明)． (2)求该截面将长方体分成的两部分的体积之比．
考点二 平面与平面平行的判定与性质 [典例引领]
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG． 证明：(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1． 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
常见的命题角度有 (1)证明直线与平面平行 (2)线面平行性质定理的应用
面 α 即为平面 AEC．
(2)证明：连接 BD，设 BD 与 AC 交于点
O，连接 EO，∵平面 ABCD 为正方形，
∴O 是 BD 的中点，又 E 为 DD1 的中点．
∴OE∥BD1，又 OE⊂平面 α，BD1⊄平面 α．∴BD1∥平面 α．
Байду номын сангаас
行”)
图形语言 符号语言
∵_l∥__α_， _l⊂__β__， _α_∩__β_＝__b_， ∴l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
一个平面内的两条 相__交__直__线__与另一个 判定 平面平行，则这两 定理 个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面 平行”)
如果两个平行平面 性质 同时和第三个平面 定理 相__交__，那么它们的
考点三 空间平行关系在作图中的应用 [典例引领]
如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD＝AA1 ＝4，AB＝8，M，N 分别是 A1D1，AB 的中 点．过 MN 的截面 α 与 BD1 平行，且平面 α 与长方体的面相交． (1)求作交线(只画出图，不要求证明或说明)． (2)求该截面将长方体分成的两部分的体积之比．
考点二 平面与平面平行的判定与性质 [典例引领]
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG． 证明：(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1． 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
常见的命题角度有 (1)证明直线与平面平行 (2)线面平行性质定理的应用
高中数学直线与平面平行的判定优秀课件
目录
CONTENTS
01
直线与平面平行基本概念
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
直线与平面平行定义
直线与平面无公共点
若一直线与一平面没有交点，则称该 直线与平面平行。
平行直线与平面的关系
一直线与平面平行，则该直线与该平 面内的任意直线都平行或异面。
符号表示及相关术语
图形表示
在几何图形中，可以用直 线和平面的位置关系来表 示该定理。
定理证明过程剖析
01
02
03
04
第一步
根据已知条件，设定相关点和 线。
第二步
利用平行线的性质，构造辅助 线。
第三步
通过逻辑推理和演绎，证明直 线与平面无公共点。
第四步
根据直线与平面平行的定义， 得出结论。
注意事项与易错点分析
注意事项
ERA
知识点总结回顾
直线与平面平行的定义
直线与平面无公共点，则称直线与平面平行。
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平 行。
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。
解题方法技巧归纳
利用定义法
根据直线与平面平行的定义，通 过证明直线与平面无公共点来判
02
判定定理及其证明
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
直线与平面平行判定定理
01
02
03
定理内容
若平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行。
符号表示
高中数学课件：直线、平面平行的判定与性质
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题 还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中 差什么 点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行 找什么 关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定 理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以BD1∥平面AC1D， 又因为A1B∩BD1＝B， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四 边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中 点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.
直线、平面平行的判定及其性质完整ppt课件
思考4：有一块木料如图，
E
P为面BCEF内一点，要求 过点P在平面BCEF内画一
F
P D
条直线和平面ABCD平行，
那么应如何画线？
A
整理版课件
C B
5
思考5：如图，设直线b在平面α内，直 线a在平面α外，猜想在什么条件下直线 a与平面α平行？
a
a//b
α
b
整理版课件
6
探究（二）：直线与平面平行的判断定理
通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间 问题）转化为直线间的平行关系（平面 问题）.
整理版课件
10
思考6：设直线a，b为异面直线，经过
直线a可作几个平面与直线b平行？过a，
b外一点P可作几个平面与直线a，b都
平行？
a
b
p
b a a
p
整理版课件
b
11
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.
定理，分别用文字语言和符号语言可以
怎样表述？
γ
定理 如果两个平行
b
平面同时和第三个平 β
面相交，那么它们的
交线平行.
α
a
/ /, a ,整理版课件 b a / /b 48
思考2:上述定理通常称为平面与平面平 行的性质定理，该定理在实际应用中有 何功能作用？
/ / , a , b a / /b
整理版课件
41
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
整理版课件
42
问题提出
1.平面与平面平行的判定定理是什么？
直线、平面平行的判定与性质课件
考点一
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
直线和平面平行的判定定理ppt课件
判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
第八章 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课件(共58张PPT)
第八章 立体几何初步
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
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课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，
直线、平面平行的判定及其性质 经典课件(最新)
高中数学课件
解：(1)证明：由正方形的性质可知 A1B1∥AB∥DC，且 A1B1＝AB＝DC， ∴四边形 A1B1CD 为平行四边形，从而 B1C∥A1D. 又 A1D⊂面 A1DE，B1C⊄面 A1DE， ∴B1C∥面 A1DE. 又 B1C⊂面 B1CD1，面 A1DE∩面 B1CD1＝EF， ∴EF∥B1C.
解析：由两个平面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线与另外一个平 面平行，那么这两个平面平行．因此只有(4)符合．
答案：(4)
高中数学课件
6．判断线面平行的两种常用方法：线面平行的判定定理；面面平行的性质定理．
(1)a，b，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命
高中数学课件
【反思·升华】 证明线线平行的方法 (1)利用平面几何知识，如运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四 边形是平行四边形； (2)平行公理：a∥b，b∥c⇒a∥c；
(3)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b； (5)线面垂直的性质定(1)①中 α 与 β 可能相交．③④中 a 可能在 α 内． (2)连接 HF，NF，HN，由平面 HNF∥平面 B1BDD1 知，当 M 点在线段 FH 上时，有 MN∥平面 B1BDD1. 答案：(1)② (2)M∈线段 FH
高中数学课件
7．应用判定定理时，注意由“________”到“________”： “线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”； 应用性质定理时，注意由“________”到“________”： “面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”． 答案：低维 高维 高维 低维
③垂直于同一条直线的两个平面平行，即 l⊥α， l⊥β⇒α∥β. ④平行于同一个平面的两个平面平行．即 α∥γ，β∥γ⇒α∥β.