江苏省苏州市昆山中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题
2021年高一下学期3月段考数学试卷含解析
2021年高一下学期3月段考数学试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．等差数列{a n }中，若a 1+a 2=5，a 3+a 4=7，则a 5+a 6= ． 2．sin15°•cos15°= ．3．三个数1，a ，2成等比数列，则实数a= ．4．在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值= ． 5．在等差数列{a n }中，前15项的和S 15=90，则a 8= ． 6．已知，，则= ．7．在△ABC 中，已知a 2tanB=b 2tanA ，则此三角形的形状为 三角形． 8．已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则a n = ．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= ．10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ． 13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且=，（n ∈N +）则+= ．14．在锐角△ABC 中，b=2，B=，sin2A +sin （A ﹣C ）﹣sinB=0，则△ABC 的面积为 ．二、解答题：15．已知数列{a n }为等差数列，且a 3=5，a 6=11． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 1+a 2+a 3，求数列{b n }的前n 项和S n ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2+ab=c 2． （1）求角C 的大小；（2）若c=2acosB ，b=2，求△ABC 的面积．17．在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项和为S n ，且S 6=S 15， （1）求{a n }的通项公式；（2）求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； （3）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）求2sin 2A +cos （A ﹣C ）的范围．19．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）写出a 1，a 2，a 3； （2）求a n 的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a ，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．xx学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．等差数列{a n}中，若a1+a2=5，a3+a4=7，则a5+a6=9．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，∴a1+a2+a5+a6=2（a3+a4），∴5+a5+a6=2×7，解得a5+a6=9，故答案为：9．2．sin15°•cos15°=．【考点】二倍角的正弦．【分析】给原式乘以2后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出原式的值．【解答】解：sin15°•cos15°=×2sin15°•cos15°=sin30°=×=．故答案为：3．三个数1，a，2成等比数列，则实数a=±．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比中项的概念列式得答案．【解答】解：∵三个数1，a，2成等比数列，∴a2=1×2=2，则a=．故答案为：．4．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=﹣．【考点】余弦定理．【分析】根据题意结合正弦定理得a：b：c=2：3：4．设a=2k，b=3k，c=3k，利用余弦定理求出cosC之值，即得最大角的余弦值【解答】解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴根据正弦定理，得a：b：c=2：3：4，可得c为最大边，角C是最大角设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）∴cosC===﹣即最大角的余弦值为﹣故答案为：﹣5．在等差数列{a n}中，前15项的和S15=90，则a8=6．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可求a8【解答】解：由等差数列的前n和可得∴a8=6故答案为：66．已知，，则=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．【解答】∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣7．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形的形状为等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】根据同角三角函数的基本关系与正弦定理化简题中的等式，可得sinAcosA=sinBcosB，由二倍角的正弦公式算出sin2A=sin2B，再利用诱导公式得出A=B或A+B=，从而可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a2tanB=b2tanA，∴a2•=b2•．根据正弦定理，可得sin2A•=sin2B•，化简整理，得sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，又∵A、B∈（0，π），∴2A=2B或2A=π﹣2B，解得A=B或A+B=，因此可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角8．已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则a n=．【考点】数列的函数特性．【分析】这是数列中的知S n求a n型题目，解决的办法是对n分n=1与n≥2两类讨论解决．【解答】解：∵S n=3+2n，∴当n=1时，S1=a1=3+2=5，=2n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，不符合n≥2时的表达式．∴a n=．故答案为：a n=．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= 30° ．【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB 利用正弦定理化简，代入第一个等式用b 表示出a ，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c 与a 代入求出cosA 的值，即可确定出A 的度数． 【解答】解：将sinC=2sinB 利用正弦定理化简得：c=2b ， 代入得a 2﹣b 2=bc=6b 2，即a 2=7b 2， ∴由余弦定理得：cosA===， ∵A 为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30°10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= 20 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10）=log 3（a 5a 6）5，由此能够求出其结果．【解答】解：∵等比数列{a n }中，每项均是正数，且a 5a 6=81， ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10） =log 3（a 5a 6）5 =log 3320 =20．故答案：20．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin （α+β），sin α的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解． 【解答】解：∵α、β为锐角， ∴α+β∈（0，π），∵cos （α+β）=＞0，cos α=， ∴sin （α+β）==，sin α==，∴cos β=cos [（α+β）﹣α]=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=×+×=． 故答案为：．12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ﹣2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】通过记等比数列{a n }的通项为a n ，利用S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，计算即得结论．【解答】解：记等比数列{a n }的通项为a n ， 则a n +1=a n •q ，a n +2=a n •q 2，又∵S n +1、S n 、S n +2成等差数列， ∴S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n ， 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．13．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N）则+=．+【考点】数列的求和．【分析】由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．【解答】解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，），且=，（n∈N+∴+====．故答案为：．14．在锐角△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0，则△ABC的面积为．【考点】解三角形．【分析】根据三角形的内角和定理得到三个角之和为π，表示出B，代入已知的等式中，利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式及和差化积公式变形，提取2cosA，等式左边变为积的形式，根据两数之积为0，至少有一个为0，可得cosA=0或sinA=sinC，由cosA=0，根据A为三角形的内角，可得A为直角，但三角形为锐角三角形，矛盾，故舍去；由sinA=sinC，根据A和C都为锐角，可得A=C，又B为，可得三角形为等边三角形，且边长为2，进而求出等边三角形的面积即可．【解答】解：∵A+B+C=π，∴B=π﹣（A+C），∴sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），代入sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0得：sin2A﹣[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）]=0，变形得：2sinAcosA﹣2cosAsinC=0，即2cosA（sinA﹣sinC）=0，所以cosA=0或sinA=sinC，解得A=（又锐角△ABC，此情况不满足，舍去）或A=C，所以A=C，又B=，b=2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积S=×22=．故答案为：二、解答题：15．已知数列{a n}为等差数列，且a3=5，a6=11．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差d，∵a3=5，a6=11，∴，解得a1=1，d=2，a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a1+a2+a3=9，b1=3，∴q=3，∴{b n}的前n项和为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2+ab=c2．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理即可得出．（2）利用余弦定理可得a=b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2．∴cosC===﹣．∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵c=2acosB，b=2，∴c=2a×，∴a2=b2，即a=b=2，∴△ABC的面积S=absinC=×=．17．在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S6=S15，（1）求{a n}的通项公式；（2）求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值；（3）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列前n项和公式=，将a1=20，即可求得公差d，根据等差数列通项公式即可求得{a n}的通项公式；（2）根据二次函数图象对称确定，当n=11，a11=0，可知n=10或11时，S10=S11，S n取得最大值，根据等差数列前n项和公式，即可求得S n取得最大值；（3）由题意可知当n≤11时，a n≥0，求得T n，当n≥12时，a n＜0根据数列的性质，可知T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，即可求得数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意可知：S6=S15，即=，∴2a6=3a1+5a15，∴2（a1+5d）=3a1+5（a1+14d），解得：d=﹣2，∴a n=20+（﹣2）（n﹣1）=22﹣2n，∴{a n}的通项公式a n=22﹣2n；（2）由题意可知，S6=S15，∴S n=f（n）的对称轴方程为：n==10.5，10.5∉N*，∴n=10或11时，S10=S11，∴a11=0，d＜0，∴S10=S11==110，S n最大值为110．（3）由题意可知：a11=0，∴当n≤11时，a n≥0，T n==21n﹣n2，当n≥12时，a n＜0，T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，∴．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【考点】正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，∴sinB=2sinBcosB，又在△ABC中，sinB≠0，∴，∵0＜B＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴∴==，∵，∴∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．19．某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材的存量，（1）写出a1，a2，a3；（2）求a n的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）【考点】数列递推式；对数的运算性质．【分析】（1）要求出a n的表达式，主要思路是求出前几项然后观察规律，从而推出得出a n 的表达式，求解即可（2）只需代入，化简后的指数式转化利用对数的运算即可顺利解答．【解答】解：（1）设第一年的森林的木材存量为a1，第n 年后的森林的木材存量为a n ， 则，，，所以．（2）当时，有得即， 所以，．答：经过8年后该地区就开始水土流失．20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（1）通过变形为（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）可知数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列，进而可得结论； （2）通过a n =n +1，裂项可知b n =（﹣），并项相加即得结论；（3）通过a n =n +1化简可知（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可． 【解答】（1）证明：依题意，（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）， 即a n +1﹣a n =1（n ≥2，n ∈N *），且a 2﹣a 1=1， ∴数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n =n +1； （2）解：∵a n =n +1， ∴b n ==（﹣），∴T n =（1﹣+﹣+…+﹣+﹣） =（1+﹣﹣） =﹣，易知T （n ）=﹣随着n 的增大而增大， 且T （n ）=，T （1）=， ∴≤T （n ）＜； （3）解：∵a n =n +1， ∴，∵c n +1＞c n 恒成立， ∴恒成立，∴3•4n ﹣3λ•（﹣1）n ﹣12n +1＞0恒成立， ∴（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，（ⅰ）当n 为奇数时，即λ＜2n ﹣1恒成立， 当且仅当n=1时，2n ﹣1有最小值为1， ∴λ＜1；（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，∴λ=﹣1；综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有b n＞b n．+1精品文档xx年10月24日36665 8F39 輹tP22824 5928 夨36750 8F8E 辎27373 6AED 櫭40769 9F41 齁34602 872A 蜪/33178 819A 膚31477 7AF5 竵实用文档。
江苏省高一下学期3月联考数学试题(解析版)
高一下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知满足，则（ ）α1sin cos 3αα+=sin2α=A ．B ．C ．D ．23-2389-89【答案】C【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可. 【详解】，，1sin cos 3αα+=112sin cos 9αα∴+=即，8sin22sin cos 9ααα==-故选:C ．2．在如图中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则（ ）ABC BE =A ．B ． 1344AB AC -3144AB AC -+C ．D ．3144AB AC +1344AB AC -+【答案】B【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-BE = 3144AB AC -+故选: B.3．若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）a b 2a b = ()a b b -⊥ a b【答案】B【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案.2a b b ⋅= 【详解】因为，所以，即，()a b b -⊥ ()20a b b a b b -⋅=⋅-= 2a b b ⋅= 设量、的夹角为，则，a b θ21cos 2b a a b a b b b a θ====⋅⋅⋅因为，所以.π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=故选：B4．已知，则（ ）πsin cos 16θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1 B C ．D ．1-12【答案】A【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.【详解】. π11πsin cos sin sin sin sin 16223θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=-==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ） (),1a x = ()2,23b x =+ ,a bx A ．B ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()3,22,4∞⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭C ．D ．3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭332,,44∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.cos ,0a b a b a b ⋅<>=<⋅,a b【详解】夹角为钝角，且不共线， ,a b cos ,0a b a b a b ⋅∴<>=<⋅ ,a b 即且，解得：且，430a b x ⋅=+<()232x x +≠34x <-2x ≠-的取值范围为. x ∴()3,22,4∞⎛⎫--⋃--⎪⎝⎭故选：B.6．已知角，满足，，则（ ）． αβ1tan 3α=()sin 2cos sin βαβα=+tan β=【答案】B【分析】根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式()sin 2cos 2sin 2cos βααβ-=即可求解.【详解】由得，进而()sin 2cos sin βαβα=+()()sin sin sin βαβαααβ+--⎡⎤=+⎣+⎡⎤⎦⎣⎦， ()()sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβββαβαβαβ=+⇒=+-=+所以， ()222sin 22sin cos 2tan 1sin 2cos 2sin 2cos tan 2cos 23sin cos 3tan 12ααααβααββαααα-=⇒====-++故选：B7．已知函数的图象关于对称，且，则()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠6x π=()085f x a =0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ． B ． C ．D ．725-2425-7252425【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，再由6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b =()085f x a=可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】因为， ()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+0ab ≠其中，sin ϕ=cos ϕ=由于函数的图象关于对称，所以 6x π=6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即， 12a b =所以，即，()00008sin cos 2sin 35f x a x x a x a π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， 20000227sin 2sin 2cos 22sin 16323325x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.8．如图，在等腰中，已知，，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且ABC 2AB AC ==120A ∠= ，，其中，，且，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则AE ABλ= AF AC μ=λR μ∈21λμ+=的最小值是（ ）MNA B C D 【答案】B【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得11(),()22AM AC AB AN AB AC μλ=+=+，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求MN AN AM =- 21λμ+=2MN μMN的最小值.【详解】在等腰中，已知则，因为ABC o2,120,AB AC A ==∠=u u u r u u u r cos 2AB AC AB AC A ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r 分别是边的点，所以，而,E F ,AB AC 111()(),()222AM AF AE AC AB AN AB AC μλ=+=+=+，左右两边平方得1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-222221[(1)2(1)(1)(1)]4MN AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+- ， 22221[4(1)4(1)(1)4(1)]14λλμμλμλμλμ=----+-=+---+又因为，21λμ+=所以， 222237417()77MN μμμ=-+=-+u u u r 所以当时，的最小值为， 27μ=2MN 37即的最小值为MN 故选：B.二、多选题9．下列计算正确的是（ ）A ．B ． 2cos 75=1tan1051tan105+=-C ．D ．tan1tan44tan1tan441++=sin7012⎫=⎪⎪⎭【答案】AC【分析】根据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可判断选项ABC ，根据同角三角函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D 的结果.【详解】根据二倍角的余弦公式可得A 正确； 21cos150cos 752+===由可得，所以B 错误； tan 451=()1tan105tan45tan105tan 45105tan1501tan1051tan45tan105++===--+=因为，所以，即()tan1tan44tan 14411tan1t n44+a ==-+tan1tan4411+tan tan44=- ，所以C 正确；tan1tan44tan1tan441++=由于sin701sin701sin70⎫⎫-==⎪⎪⎪⎪⎭⎭，所以D 错误； ()2cos 4002cos 70sin140sin70sin701sin 40sin 40sin 430===⋅⋅=+故选：AC10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEFA ．B ．AC AE BF -= 32AC AE AD += C ． D ．在上的投影向量为2AD AB AB ⋅= AD AB AB 【答案】BCD【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D 结合图形即可判断.【详解】对A ，，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对B ，由图易得，直线平分角，AE AC =AD EAC ∠且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向， ACE △2AC AE AH += AD易知均为含,EDH AEH π6，4AD DH = 而，故，故，故B 正确；26AH DH = 232AH AD = 32AC AE AD +=对C ，， 2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===，则，又，， π6BDC DBC ∴∠=∠=π2ABD ∠=AD //BC π3DAB ∴∠=，，故C 正确；2AD AB = 221cos 232AD AB AD AB AB AB π⋅==⨯=对D ，由C 知，则在上的投影向量为，故D 正确. π2ABD ∠=ADAB AB故选：BCD.11．已知函数（ ） ()2sin cos f x x x x =+()f x A ．最小值为2-B ．关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．最小正周期为πD ．可以由的图象向右平移个单位得到 sin2y x =π6【答案】BCD【分析】对于AC ，利用三角函数的恒等变换化简，从而得以判断； ()f x 对于B ，利用代入检验法进行检验即可；对于D ，利用三角函数平移变换求得新的三角函数，由此得以判断.【详解】对于A ，因为()211cos 2sin cos sin 222x f x x x x x -==， 1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以的最小值为，故A 错误；()f x 1-对于B ，因为，所以关于点对称，故B 正确；πππsin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,06⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，因为，所以，故C 正确； 2ω=2ππT ω==对于D ，的图象向右平移个单位得到的的图象，故D 正sin2y x =π6ππsin2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭确.故选：BCD.12．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.ABC O BC O ,AB AC ,M N 设，则下列选项正确的是（ ）,AB mAM AC nAN ==A ．B ．C ．D ．1m n +=1mn ≤222m n +≥111m n+≤【答案】BC【分析】根据向量的共线定理可得，即可判断A ，利用均值不等式判断BCD. 2m n +=【详解】由图象可知，0,0m n >>因为，且三点共线，112222m n AO AB AC AM AN =+=+,,M O N 所以，即，选项A 错误； 122m n+=2m n +=，当且仅当时等号成立，B 正确；212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1m n ==，当且仅当时等号成立，C 正确；()()2222222m n m n m n mn ++=+-≥=1m n ==，当且仅当，即时等号成立，D 错()1111112222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m n =1m n ==误， 故选：BC三、填空题13．已知，且，则的值为______．π1cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22ππ17cos 22cos 1213339αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦故答案为：7914．在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 是边AB 中点，若AE 交DO 于点M ．且2DE CE =-u u u r，则______．AM AB AD λμ=+λμ+=【答案】57【分析】由已知可得可得答()2437AM AD DM AD DE EM AD DC EA =+=++=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r 3277AD AB =+u u ur u u u r 案.【详解】在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 边AB 中点，2DE CE =-u u u r所以E 是边DC 离近C 的三等分点，可得，， 43==DE EM AO MA 47=EM EA u u ur u u r 所以()AM AD DM AD DE EM =+=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2437AD DC EA =++u u u r u u u r u u r()24243737AD AB AE AD AB AD DE =+-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又，3277AD AB =+u u ur u u u r AM AB AD λμ=+ 所以， 57λμ+=故答案为：. 5715．若，，且，是方程的两个根，则ππ22α-<<ππ22β-<<tan αtan β240x ++=αβ+=______． 【答案】 2π3-【分析】根据韦达定理，可得的值，根据两角和的正切公式，化简整理，结tan tan ,tan tan αβαβ+合的范围，即可得答案.,αβ【详解】、是方程的两个根，tan α tan β240x ++=由韦达定理可得，，，，tan tan αβ∴+=-tan tan 40αβ=>tan 0α∴<tan 0β<ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ，π,,02αβ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭则， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-()π0αβ+∈-，则． 2π3αβ+=-故答案为： 2π3-四、双空题16．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，ABCD O l AB CD M N ，若是的中点，则的取值范围是___________；若是平面上一点，且满足Q BC QM QN ⋅P ，则的最小值是___________.()21OP OB OC λλ=+- PM PN ⋅【答案】[]1,0-74-【分析】根据向量的线性运算，将转化为，再结合，QM QN ⋅ 22QO OM - 1QO =即可求得答案；设，由题意可得点在上，推得，再将转化为，即可求2OT OP = T BC 12OP ≥ PM PN ⋅ 22PO OM - 得答案.【详解】因为直线过中心且与两边､分别交于点､， l O AB CD M N 所以为､中点，所以，O M N OM ON =-所以，()()22QM QN QO OM QO ON QO OM ⋅=+⋅+=-因为是的中点，所以，， Q BC 1QO = 2210QO OM -≤-≤ 即的取值范围为；QM QN ⋅[]1,0-令，由知点在上，2OT OP =()21OT OP OB OC λλ==+- T BC 又因为为､中点，所以，从而， O M N 1OT ≥ 12OP ≥，因为()()22PM PN PO OM PO ON PO OM ⋅=+⋅+=- 所以，即的最小值为.2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=- PM PN ⋅ 74-五、解答题 17．已知．2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-(1)求的值； tan α(2)求的值．sin 211sin 2cos2ααα+++【答案】(1) 2-(2)12-【分析】(1)将题干中式子化简，并结合同角三角函数的基本关系即可得到结果； (2)利用二倍角公式将所求式子化简成，然后利用（1）的结论即可求解.1(tan 1)2α+【详解】（1）因为，则，2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-sin 2cos 0αα-≠所以， 8sin 12cos sin 2cos αααα+=-所以，所以；7sin 14cos αα=-tan 2α=-（2）2222sin 21(sin cos )1sin 2cos2(sin cos )cos sin ααααααααα++=++++-．sin cos 11(tan 1)sin cos cos sin 22ααααααα+==+=-++-18．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角、，它们的终边分别交单位xOy Ox αβ圆于、两点，已知、. A B A B(1)求、的值；sin αsin β(2)求、的值； ()cos αβ+()sin 2αβ+【答案】(1)sin α=sin β=【分析】（1）求出的坐标，根据三角函数的定义即可求得答案；,A B （2）利用二倍角公式求得，根据两角和的正余弦公式即可求得答案. sin 2,cos 2ββ【详解】（1）由题意可得的坐标分别为， ,A B ,A B故，sin αsin β=（2）因为、为锐角，结合（1）可得， αβcos α=cos β=故 ()c s o cos cos sin si n αβαβαβ+=-==，243sin 22sin cos ,cos 22cos 155βββββ===-=故. ()sin 2sin cos 2cos si 345n 25αβαβαβ=+==+19．已知向量，点为直线上一动点.(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP ===Q OP (1)求；||OA OB + (2)当取最小值时，求的坐标.QA QB ⋅OQ 【答案】(1)； 10(2).(4,2)【分析】（1）根据平面向量加法运算的坐标表示，求出的坐标表示，再利用模的坐标表示OA OB +计算作答.（2）利用向量共线表示出向量的坐标，再结合向量线性运算及数量积运算，借助二次函数求OQ解作答.【详解】（1）因为，则， (1,7),(5,1)OA OB == (6,8)OA OB +=所以.|10|OA OB +==（2），因为点为直线上一动点，则，(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP === Q OP //OQ OP 于是设，则，(2,)OQ xOP x x == (12,7),(52,1)QA OA OQ x x QB OB OQ x x ==-=---=--，当且仅当时取等号， 22(12,7)(52,1)520125(2)88QA QB x x x x x x x ⋅=--⋅--=-+=--≥-2x =所以当时，取得最小值，此时的坐标为.2x =QA QB ⋅8-OQ (4,2)20．已知，且 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 3πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求的值； sin 2α（2）求的值． αβ-【答案】（1；（2）．4π-【分析】（1）利用同角三角函数和二倍角公式可求得，，根据sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果；sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）根据同角三角函数可求得，由，结合两角和cos 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin cos 63ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦差余弦公式和的范围可求得结果. αβ-【详解】（1），， 2,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0,62ππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭sin 6πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，3sin 22sin cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，24cos 22cos 1365ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦314525=⨯+=（2），，， 2,63ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ,32ππβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭cos 3πβ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭()sin sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--++=--+⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos sin sin 6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛== ⎝，，. 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22ππαβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭4παβ∴-=-21．如图，在平面四边形中，，，，，、分ABCD BC AD ∥2AB BC ==4=AD 120BAD ∠=︒E F 别是，的中点，为线段上一点，且.设，.AD DC G BC BG BC λ=AB a = AD b =(1)若，以，为基底表示向量与；13λ=a b AF EG u u u r (2)若，求的取值范围. ()0,1λ∈AF EG ⋅【答案】(1)；13+24AF a b = 13EG a b =-(2) ()61--，【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与；AF EG u u ur （2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围. EG u u u rAF EG ⋅ 【详解】（1）解：++AF AB BC CF =11++22a b CD =()11++++22a b CB BA AD =111+++222a b b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 13+24a b = 所以；13+24AF a b =因为，所以13λ=++EG EA AB BG =11++23b a BC =-11++26b a b =- ，13a b =- 所以；13EG a b =- （2）解：++EG EA AB BG =1++2b a BC λ=-11++22b a b λ=- ，()1+12a b λ=- 所以，()1+12EG a b λ=- 又，，，所以，120BAD ∠=︒2a = 4b = 1cos1202442a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以 ()131++1242AF EG a b a b λ⎛⎫⎡⎤⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()22113+++142281a a b b λλ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ ()()221132++4+1442182λλ⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎭=⎝⨯()511λ=--因为，所以，所以，01λ<<()65111λ-<--<-16AF EG -<⋅<-所以的取值范围为. AF EG ⋅()61--，22．如图，在扇形中，圆心角，A 是扇形弧上的动点． OMN π3MON ∠=(1)若平分时，求的值；OA MON ∠tan OAM ∠(2)若，矩形内接于扇形，求矩形面积的最大值．2OM =ABCD ABCD【答案】(1)2【分析】(1)由条件求的大小，再利用两角和正切公式求；OAM ∠tan OAM ∠(2) 设，利用表示矩形的面积，化简函数表达式，结合正弦函数性质和不等式AON θ∠=θABCD 性质求其最大值. 【详解】（1）因为，平分，所以，又，所以π=3MON ∠OA MON ∠π=6AOM ∠=OA OM ，ππ5π6=212OAM -∠=5πππtan =tan tan 21246OAM ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭（2）设，因为，所以，， AON θ∠=2OA =2cos OD θ=2sin AD θ=所以，2sin BC AD θ==在中，，，，所以，BOC 2sin BC θ=π3BOC ∠=π2BCO∠=πtan 3BC OC θ=2cos CD θθ=，222cos sin 4sin cos ABCDS CD AD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 2226θθθ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝因为，得，当时，即时，，π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ5π2+666θ⎛⎫∈⎪⎝⎭,ππ2+=62θπ=6θmax S。
2020-2021学年江苏省苏州市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
C．若
⊥
，则 m
t
ণ 足
D．若| |＝13，则 m＝﹣8 或 16
11．已知 i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）
A．若复数 z 满足|z|＝0，则 z＝0
B．若复数 z1，z2 满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则 z1•z2＝0
C．若复数 z＝a+ai（a∈R），则 z 可能是纯虚数
D．若复数 z 满足 z2＝3+4i，则 z 对应的点在第一象限或第三象限
的值； th
（2）若θ＝45°，2 tt 与 足 垂直，求实数 t 的值．
19．如图，△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，c＝8，cos∠ACB t ，且 b＝14cosB． （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）点 D 在 BC 边的延长线上，且 CD＝CA，求 AD 的长．
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对于 C，z＝a+ai（a∈R），若 a＝0，则 z 为实数，若 a≠0，则 z 为虚数，z 不可能为纯虚
数，故 C 错误；
对于 D，设 z＝a+bi（a，b∈R），由 z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，
∴ 足 t 足 ণ，解得 足˨
足，或 t 足． t
∴z 对应的点在第一象限或第三象限，故 D 正确．
䅠的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）
B．（7，6）
C．（5，0）
D．（11，8）
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝3，c＝2，B＝2C，则△ABC 的面
积为（ ）
ণ
A． 足
B．
ণ C． ˨
D． ˨
6．已知复数 z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为 7，则 a 的值为（ ）
2020-2021年高一下学期数学3月份月考试卷
高一年级三月份月考卷一、填空题1.已知()3131x x f x -=+，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.若0a >，1a ≠，0x y >>，*n N ∈，则下列各式：（1）()log log na a x n x =； （2）()log log n n a a x x =；（3）1log log a a x x =-；（4）log log log a a a x x y y =；（51log a x n=； （6）log log a a x n =（7）log log n n a a x x =；（8）log log a x y x y x y x y-+=-+- 其中正确的是 .3.函数2log 23y x x =+-的定义域是 . 4.函数()13912x x f x +=+-的反函数()1f x -= .5.己知()22log ,(0,),(1,0]2(,1]x x x x x f x x ⎧∈+∞⎪=∈-⎨⎪-∈-∞-⎩，则(()()2f f f -= .6.已知,,x y z 都是大于1的正数，0m >，且log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m = .7.设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是 .8.如果函数()()2log 3a a f x x x =-+在区间[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 9.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则不等式()0f x >的解集是 .10.不论a 为何值，函数(1)22x a y a =-⋅-的图像恒过一定点，这个定点的坐标是 . 11.设14log 7a =，145b =，则35log 28= .（用,a b 表示） 12.若函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 . 13.已知函数()1x x a f b -=+（0,1b b >≠）的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，则()1f x -= .14.若227log 333m x m +>对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .15.定义在[2,2]-上的连续函数()f x 满足()()120182018f x f x -=，且在[0,2]上是增函数，若()[]24log log (2)f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是 .二、选择题16.函数()2x xx e f e --=的反函数（ ） A.是奇函数，它的(0,)+∞上是减函数B.是偶函数，它的(0,)+∞上是减函数C.是奇函数，它的(0,)+∞上是增函数D.是偶函数，它的(0,)+∞上是增函数17.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<18.若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数5log y x =的图像交点个数为（ ）A.2B.6C.8D.多于8三、解下列关于x 的方程19.22122123235x x x x ++⋅+⋅=20.()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ 四、解答题21.若()3log 3m f x x x -=+，设其定义域上的区间[,]αβ（0βα>>）. （1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当1m >时，判断函数在区间[,]αβ（0βα>>）上的单调性，并证明；（3）当01m <<时，若存在区间[,]αβ（0βα>>），使函数()f x 在该区间上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，求实数m 的取值范围.22.设()xf x a b =+同时满足条件()02f =和对任意x R ∈都有()()121f x f x +=-成立.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在定义域内()()g x f x =，求()1g x -；（3）求函数()()1y g x g x -=+的值域.23.已知a R ∈，函数()21log a x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()2log [(4)25]0a x f x a --+-=的解集恰好有一个元素，求实数a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.。
数学 昆山中学20-21学年高一第二学期3月月考(数学答案-)
(2) 当 m = 2 时，AB = (1，-4)，AC = ( -4，-1)，AB ⊥ AC ，
△ABC 的面积为 21 |AB|•|AC| = 21 • 17• 17 = 127 ．
18. 本题共 12 分
=
8 3
，解得：t
=
2
或
-18(
舍
)；
故t=2
二、多选题 ( 每题 5 分，共 20 分，选对一个答案得 3 分，选错得零分 )
9. 在水流速度为 10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以 10 3km/h 的速度与河的南岸垂
直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为 (
)
A. 北偏西 30°
B. 内心
C. 垂心
D. 重心
【答案】D
【解析】∵ AB + AC 经过 BC 边中点 ，点 P 在 BC 边的中线上移动 ，所以点 P 一定经过 △ABC 的重心, 故选：D．
5. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a = 2bcosC ，则 △ABC 的形状为
+ +
2) 1)
> ≠
0 0
；解得
λ
>-53
，且
λ
≠
0；
∴
实数
λ
的取值范围是：(
-
5 3
，0)
∪
(0，+∞)．故答案为：(
-53
，0)
∪
(0，+∞)．
14.
已知
π 2
<
α
<
β
<
π，且
sinα
=
55 ,sinβ
2020-2021学年江苏省苏州市昆山中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市昆山中学高一下学期3月月考数学试题一､选择题(每题5分共40分)1.已知函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是（ ）A.2πB.πC.2π D.4π 2.若平面向量b 与向量()1,2a =-的夹角是180,且35,b =则b =（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 3.1tan151tan15-+的值为（ ）A.13 D.1 4.已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB ACλλ=++，则点一定P 经过ABC 的（ ）A.外心B.内心C.垂心D.重心5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos a b C =，则ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.ABC 的外接圆的圆心为,2,O AB AC ==则AO BC ⋅等于（ ）A.94-B.94C.12-D.12 7.已知3,24ππβα<<<若()()123cos ,sin 135αβαβ-=+=-，则sin2β=（ ） A.13 B.13- C.5665D.1665- 8.在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且,(0,0)AB mAE AC nAF m n ==>>，若1t m n +的最小值为83，则正数t 的值为（ ） A.1 B.2 C.83 D.113二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)9.在水流速度为10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）A.北偏西30°B.北偏西60°C.20km/hD.30km/h10.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.a ba b ⋅B.若a b c b ⋅=⋅且0,b ≠则a c =C.//,//a b b c ，则//a cD.若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向11.对于函数()sin f x x x =，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()1f α= C.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称 D.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()3f x f x αα+=+恒成立 12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.2GH OG = B.0GA GB GC ++= C.OH OA OB OC =++D.OA OB OC ==三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)13.已知向量()()1,2,1,1a b ==，若a 与a tb +的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是__________.14.已知2παβπ<<<，且510sin ,sin αβ==，则αβ+=__________. 15.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()4,60a b c C +-==，则ABC 的面积为__________.16.在ABC 中，2,3,120,AB AC BAC D ∠===是BC 中点，E 在边AC 上，1,,2AE AC AD BE λ=⋅=则AD =__________；λ的值为__________.四､解答题(本题70分)17.(本题共10分)已知向量()()()1,2,,2,3,1OA OB m OC ==-=-，O 为坐标原点. （1）若,AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求ABC 的面积. 18.(本题共12分)如图，在ABC 中，,83B AB π∠==，点D 在边BC 上，且12,cos 7CD ADC ∠==.（1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长. 19.(本题共12分)（1）求值：()cos20tan203sin40-⋅（2）证明：()()21tan 31sin21tan 312sin x xx xππ+--=---.20.(本题共12分)如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知AB DB AD BD ⋅=⋅，且AB AD DB +=（1）求证:ABD 为等腰直角三角形：（2）若2,1BC CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值. 21.(本题共12分)如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且.OA OD =（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值. 22.(本题共12分) 已知函数()()2123cos2sin 12sin ,22224x f x x x g x x π⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,,x x t ∈当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程()()()()12210a f x g x f x g x ⎡⎤⋅-+-+-=⎣⎦在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.江苏省昆山中学2020-2021学年第二学期3月月考高一数学一､选择题(每题5分共40分)1.已知函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是（ ）A.2πB.πC.2πD.4π 【答案】B2.若平面向量b 与向量()1,2a =-的夹角是180,且35,b =则b =（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 【答案】A3.1tan151tan15-+的值为（ ）A.13 D.1 【答案】B4.已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB ACλλ=++，则点一定P 经过ABC 的（ ）A.外心B.内心C.垂心D.重心 【答案】D5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos a b C =，则ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A6.ABC 的外接圆的圆心为,2,O AB AC ==则AO BC ⋅等于（ ） A.94-B.94C.12-D.12【答案】C7.已知3,24ππβα<<<若()()123cos ,sin 135αβαβ-=+=-，则sin2β=（ ）A.13B.13-C.5665D.1665-【答案】D8.在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且,(0,0)AB mAE AC nAF m n ==>>，若1t m n +的最小值为83，则正数t 的值为（ ） A.1 B.2 C.83 D.113【答案】B二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)9.在水流速度为10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以103km/h 的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）A.北偏西30°B.北偏西60°C.20km/hD.30km/h 【答案】AC10.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.a ba b ⋅B.若a b c b ⋅=⋅且0,b ≠则a c =C.//,//a b b c ，则//a cD.若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 【答案】AD11.对于函数()sin 3cos f x x x =，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()1f α=C.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称 D.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()3f x f x αα+=+恒成立 【答案】ABD12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.2GH OG = B.0GA GB GC ++= C.OH OA OB OC =++D.OA OB OC == 【答案】ABC三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)13.已知向量()()1,2,1,1a b ==，若a 与a tb +的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】()5,00,3∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭14.已知2παβπ<<<，且sin αβ==αβ+=__________. 【答案】74π 15.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()4,60a b c C +-==，则ABC 的面积为__________.16.在ABC 中，2,3,120,AB AC BAC D ∠===是BC 中点，E 在边AC 上，1,,2AE AC AD BE λ=⋅=则AD =__________；λ的值为__________.【答案】2；13 四､解答题(本题70分)17.(本题共10分)已知向量()()()1,2,,2,3,1OA OB m OC ==-=-，O 为坐标原点.（1）若,AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求ABC 的面积. 【解析】（1）向量()()()1,2,,2,3,1,OA OB m OC AB OB OA ==-=-∴=-=()()1,4,4,1m AC OC OA --=-=--若,AB AC ⊥则()()1,44,14440,AB AC m m ⋅=--⋅--=-+=求得 2.m = （2）当2m =时()(),1,4,4,1,AB AC AB AC =-=--⊥ABC 的面积为11171717.222AB AC ⋅=⋅⋅= 18.(本题共12分)如图，在ABC 中，,83B AB π∠==，点D 在边BC 上，且12,cos 7CD ADC ∠==.（1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长. 【解析】（1）在ABC 中，1cos 7ADC ∠=， 2214843sin 1cos 1749ADC ADC ∠∠⎛⎫∴=-=-== ⎪⎝⎭则()431sin sin sin cos cos sin 2BAD ADC B ADC B ADC B ∠∠∠∠∠=-=⋅-⋅=- 13337=（2）在ABD 中，由正弦定理得338sin 143sin 43AB BAD BD ADB ∠∠⋅===，在ABC 中，由余弦定理得2222212cos 852852AC AB CB AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯49=，即7AC =19.(本题共12分)（1）求值：()cos20tan203sin40-⋅（2）证明：()()21tan 31sin21tan 312sin x xx xππ+--=---.（1）原式sin20cos20sin203cos20cos203cos20sin40sin40⎛⎫-=-⋅=⋅=⎪⎝.()2sin 20602sin402sin40sin40-=-=-.（2）左边()()sin 11tan 1tan cos sin cos sin 1tan 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x xx-+---====--+++， 右边()()22222(cos sin )(sin cos )(cos sin )cos2cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x x ---====--+ cos sin cos sin x x x x-+则左边=右边，即等式成立. 20.(本题共12分)如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知AB DB AD BD ⋅=⋅，且AB AD DB +=（1）求证:ABD 为等腰直角三角形：（2）若2,1BC CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）证明:,0AB DB AD BD AB DB AD DB ⋅=⋅∴⋅+⋅=即()()220,,AB AD AB AD AB AD +⋅-=∴=即AB AD =又222,()()AB AD DB AB AD DB AB AD +=∴+==-整理得0,,AB AD AB AD ⋅=∴⊥即,2A π=ABD ∴是等腰直角三角形（2）设,C θ=可得241221cos 54cos ,BD θθ=+-⨯⨯⨯=-则四边形ABCD 的面积2111521sin sin cos 2224ABD CBDS SSBD θθθ=+=⨯+⨯⨯⨯=-+ 52sin 44πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,,θπ∈∴当34πθ=时，S 取得最大值524+. 21.(本题共12分)如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且.OA OD =（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值3POQ π∠=且OA OD =AOD ∴为等边三角形，,3DAO π∠∴=又四边形ABCD 为矩形，,26DAB BAP ππ∠∠=∴=在扇形OPQ 中，半径1OP =. 过B 作OP 的垂线，垂足为Nsin sin BN OB αα∴==在ABN 中,2sin sin sin6BN BNAB BAP απ∠=== （2）矩形ABCD 面积,S AB AD =设,BOP ∠α=由（1）可知2sin ,AB BN α==sin ,cos cos ,cos6ON OB AN AB παααα====cos OA ON AN αα∴=-=()2sin cos sin2ABCD S AB AD AB OA ααααα=⋅=⋅==+-扇2sin 23πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0,,2,333πππααπ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当2,32ππα+=即12πα=时，矩形ABCD 面积取最大值，最大值为2-22.(本题共12分) 已知函数()()213cos2sin 12sin ,22224x f x x x g x x π⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,,x x t ∈当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程()()()()12210a f x g x f x g x ⎡⎤⋅-+-+-=⎣⎦在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）()2111cos2sin 12sin cos2sin cos cos22222x f x x x x x x x ⎛⎫=+⋅-=+⋅=+ ⎪⎝⎭1sin22224x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-令()()(),h x f x g x =-则()3222444h x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin2,24x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为()()12,h x h x <所以()h x 在[]0,t 上单调递增, 因为()h x 的增区间为,,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦所以,4t π所以t 的最大值为4π（2）()()()()()()()21112210211h x a f x g x f x g x a h x h x +⎡⎤⋅-+-+-=⇒==-⎣⎦++，即2a =1sin21x -+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，因为31sin21,2x a -<<∴<。
江苏省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则（ ） cos 3sin 0αα+=tan 2α=A ．B ．C ．D ．3434-35-38-【答案】B【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值. tan 2α【详解】由，可得cos 3sin 0αα+=1tan 3α=-则 2212()2tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯-===----故选：B2．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．“”是“是以C 为直角的ABC A cos cos a A b B =ABC A 直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用正弦定理将边角互化，结合充分条件、必要条件的定义计算可得； 【详解】解：若，由正弦定理可得，cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =，或，即或，sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=22A B π+=A B =2A B π+=所以为等腰三角形或是以为直角的直角三角形，故充分性不成立； ABC A C 若是以为直角的直角三角形，即，ABC A C 2A B π+=所以，所以，即，2A B π=-22A B π=-()sin 2sin 2sin 2A B B π=-=所以，则，故必要性成立；sin cos sin cos A A B B =cos cos a A b B =故“”是“是以C 为直角的直角三角形”的必要不充分条件； cos cos a A b B =ABC A 故选：B3．设M 为内一点，且，则与的面积之比为（ ） ABC A 1145AM AB AC =+ ABM A ABC A A ． B ． C ． D ．15144959【答案】A【分析】做出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为． AE AC【详解】如图所示，∵点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足，1145AM AB AC =+以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，， 15AE AC =则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比， //EF AB 所以． 15ABM ABC S AE S AC ==A A 故选：A4．已知a ＝（1+tan21°）（1+tan22°），b ＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（ ） A ．a ＝b ＝2 B ．ab ＝4C ．a 2+b 2＝9D ．a 2＝b 2﹣2【答案】B【分析】根据两角和的正切可求ab ＝4，再根据得到，从而可得tan152︒=236(74a -<<正确的选项.【详解】解：因为，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°，tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒︒︒︒︒+==-故2＝（1+tan21°）（1+tan24°），同理2＝（1+tan22°）（1+tan23°）， 故ab ＝4，故B 成立；而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1， 故a ＜b ，故A 错误；而，故， tan 45tan 30tan1521tan 45tan 30︒︒︒︒︒-==+2(3a >因，故，所以，2(3,4a bab <<=2(32a <<236(74a -<<又若a 2+b 2＝9，则，解得22169a a +=2a =因为，36(736(74 1.733)2.448->-⨯=，故无解，故C 错误；9 4.123 2.43852-=22169a a +=若a 2＝b 2﹣2，则，则，22162a a=-21a =这与矛盾，故D 错误． 22.44836(74a <-<<故选：B ．5．已知、是两个非零向量，它们的夹角为，，则下列结论正确的是（ ）a bθb e b= A ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a e θ θa b为()cos a e θ- B ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a b θ θa b为()cos a b θ- C ．若存在实数，使，则λb a λ=a b a b ⋅= D ．若，则一定存在唯一的实数，使 a b a b ⋅= λb a λ=【答案】D【分析】利用投影向量的定义可判断AB 选项；利用平面向量数量积的定义结合共线向量的定义可判断CD 选项.【详解】对于AB 选项，向量在上的投影为，易知为与同向的单位向量， a b cos a θ e b所以，在方向上的投影向量为，AB 均错；a b()cos a e θ 对于C 选项，若存在实数，使，则、共线，λb a λ=a b 若，则、共线，但，C 错； θπ=a ba b a b ⋅=- 对于D 选项，若，则，，则，即、方向相同， a b a b ⋅= cos 1θ=0θπ≤≤Q 0θ=a b则、共线，一定存在唯一的实数，使，D 对. a b λb a λ=故选：D.6．已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）a b a b ⋅ 14=-2c a b =+cos a cA ．B C ．D 1314【答案】C【分析】先利用数量积表示模长.c a =+【详解】由已知知，，1a b ==r r 2c a =+=则 ()22||21cos ,4||||a a b a c a a b a c a c a c a c⋅+⋅+⋅====故选：C.7．已知函数的图象关于点及直线对称，且()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =在不存在最值，则的值为（ ）()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕA ．B ．C ．D ．π3-π6-π6π3【答案】C【解析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据对2,12T k N kπ=∈+T π≥2T π=1ω=称中心得到，得到答案.,6m m Z πϕπ=+∈【详解】函数的图象关于点及直线对称.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =则. 2+,,4236212T kT T k N kππππ=+=∴=∈+在不存在最值，则，故时满足条件，，.()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭T π≥0k =2T π=1ω=，则.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈当时满足条件，故.0m =6πϕ=故选：.C 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD 上一动点，则的取值范围为（ ）AP CP ⋅A ．B ．C ．D ．[]6,0-25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]7,0-【答案】C【分析】根据题意可计算出AB 的长，由此建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.,AP CP AP CP ⋅【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，， BCD △60DBC ∠=︒30ABD ∠=︒在中， ,； Rt △ABD tan 302AD BD =⨯== 24AB AD ==如图以B 为原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，BC BA则有，，由于，故可设P 点坐标为,且()0,4A ()C 60DBC ∠=︒()x 0x ≤≤所以，，()4AP x =- ()CP x =-所以， (4AP CP x x ⋅=-+-2244274x x ⎛- =⎝=-因为，当时，取得最小值 ，当 时，0x ≤≤x =22744x ⎛- ⎝274-0x =取得最大值为0， 22744x ⎛- ⎝所以， 2704AP CP -≤⋅≤故选：C.二、多选题9．下列等式成立的是（ ）A ．B ． ()21sin15cos152-=22sin 22.5cos 22.5-=C ．D ．1cos 24cos36cos 66cos542-=(3sin 40tan102=-【答案】AC【分析】利用二倍角公式可判断AB 选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断C 选项；利用辅助角公式以及二倍角的公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，A 对； ()21sin15cos1512sin15cos151sin 302-=-=-=对于B 选项，B 错； 22sin 22.5cos 22.5cos 45-=-= 对于C 选项，()()cos 24cos36cos 66cos54cos 9066cos36cos 66cos 9036-=---，C 对； ()1cos36cos 66sin 36sin 6636sin 302sin 66=-=-==对于D 选项，(sin10sin 40tan10sin 40cos10⎛=⋅= ⎝，D 错.()()2sin 40sin 10602sin 40sin 502sin 40cos 401sin 80sin 80cos 9080-==-=-=--故选：AC.10．下列说法正确的是（ ）A ．向量与共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件ABCD B ．若，则存在唯一实数使得//a b λb a λ= C ．已知，则与的夹角为锐角的充要条件是()()=1,3,1,1= a b a a b l + ()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若，则是在上的投影向量 AB AC AD AB AC λ+=BDBA BC 【答案】ACD【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和的平分线表示的向量平行的向量可得BAC ∠AD 为的平分线，又因为为的中线可判断 D.BAC ∠AD BC 【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线向量与共线，反之不成立，所以A 正确；⇒ABCD 对于B 选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数0a = 0b ≠λb a λ=0a = 0b = λ使得，故B 错误；b a =对于C 选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充()1,3a = ()1,1b =r ()1,3a b λλλ+=++ a a b l +要条件是且与不同向共线，()·0a a b λ+>a ab l + 即，()()1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>1≠解得，则实数的取值范围是，故C 正确；()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭λ()5,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭对于D 选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因AB ACAB AC+BAC ∠为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所AB ACAD AB ACλ+=AD BAC ∠AD BC AD BC ⊥以是在的投影向量，故选项D 正确. BDBA BC 故选：ACD. 11．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）()cos 22si n 1fx x x =-+A ．的最小正周期为 B ．的最小值为()f x π()f x 2-C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在上单调递减()f x 2x π=()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A. 利用周期函数的定义判断；B. 利用二倍角公式得到()22si n 2si n 2fx x x =--+，再令，利用二次函数的性质求解判断； C.利用二次函数的性质判断；D. 利用复[]sin 1,1x t =∈-合函数的单调性判断. 【详解】解：因为()()()cos 22si n 1fxx x πππ⎡⎤+=+-++⎣⎦，故A 错误；()cos 22si n 1x x fx =++≠，()cos 22si n 1fx x x =-+22cos 2si n x x =-22si n 2si n 2x x =--+令，[]sin 1,1x t =∈-则，当时，函数取得最小值-2，故B 正确；2215222222y tt t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭1t =因为关于对称，此时 ，则或2222y tt =--+12t =-1sin 2x =-2,6x k k Z ππ=-+∈， 52,6x k k Z ππ=-+∈所以函数的图像不关于直线对称，故C 错误；()f x 2x π=因为，在上递增，在上递减，而 在上递2222y tt =--+11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin y x =,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦增，在上递增，,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以由复合函数单调性知：函数在上递减，所以函数在上递减，故D 正()f x ,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦确；故选：BD12．如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，，，m ＞0，n ＞0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC 的面积分别为S 1，S 2，AD mAB = AE nAC =S 3，则（ ）A ．B ．C ．D ．113m n+=12S mn S =1345S S >1345S S ≤【答案】ABC【分析】A 选项，由题可得＝，设，，m ＞0，n ＞0，结AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = 合可得答案；1()3AG AB AC =+B 选项，由S 1＝，S 2＝可得答案；1||||sin 2mn AB AC A ∠ 1||||sin 2AB AC A ∠CD 选项，，后利用基本不等式可得答案. 32111S S S S =-11mm=-【详解】A 选项，由D 、G 、E 三点共线，则＝，设，，AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = m ＞0，n ＞0.则，(1)AG mAB nAC λλ=+-又由重心性质可知， 211()()323AG AB AC AB AC =⨯+=+ 则，，即，即选项A 正确； 13m λ=11(1)33n n λ-==113m n +=B 选项，S 1＝＝，1||||sin 2AD AE A ∠ 1||||sin 2mn AB AC A ∠ S 2＝，则，即选项B 正确；1||||sin 2AB AC A ∠12S mn S =CD 选项，＝≤，当且仅当，即时取等32121111S S S S S S S -==-11mm -2115()124m n +-=11m n =23m n ==号，则，即选项C 正确， D 错误. 1345S S >故选：ABC ．三、填空题13．如图，正八边形ABCDEFGH ，其外接圆O 半径为1.则___________.OA AB ⋅=1【分析】根据平面向量的基本运算，将转换为有关的表达式计算即可OA AB ⋅ OA OB，【详解】易得的夹角为，再由图可得OA OB ，4π()2,·AB OB OA OA AB OA OB OA OA OB OA =-⋅=-=⋅-. 1111=⨯=-1【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算与数量积运算，属于基础题14．若，，则_________．cos 2α=()sin αβ-=,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭αβ+=【答案】##4π-45- 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，根据()sin 2,cos ααβ-()()cos cos 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦，由两角和差余弦公式可求得，结合的范围可得结果.()cos αβ+αβ+【详解】，，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭sin 2α∴==又，，，,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭33,42ππαβ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭()cos αβ∴-==()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβααβααβααβ∴+=--=-+-⎡⎤⎣⎦⎛= ⎝，.3,04παβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭4παβ∴+=-故答案为：.4π-15．已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范()2cos 22f x m x x =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 围是______．【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】利用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数后利用正弦函数性质求解．【详解】由已知， 1()22cos 222sin 22026f x x x m x m π⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由题意此方程有两个不等实根．sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，，，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由得，∴时递减，时，递增，226x ππ-=3x π=0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x [,32x ππ∈()g x ，，，13g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭122g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1(0)2g =作出，的图象，作直线，如图，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦y m =∴当时，它们有两个不同的交点．有两解．112m ≤-<-sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把问题通过方程的根转化为直线与函数图象交点个数，然后利用函数图象得出结论．四、双空题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，a=2，⊙O 为△ABC 的外接圆，6A π=.OP mOB nOC =+（1）若m=n=1，则________.=OP （2）若m ，，则点P 的轨迹所对应图形的面积为________. []0,1n ∈【答案】【分析】（1）若，将两边同时平方，计算得出结果； 1m n ==OP OB OC =+（2）若m ，，讨论点P 的轨迹，得出是菱形，再去求面积即可. []0,1n ∈【详解】∵，，为的外接圆，6A π=2a =O A ABC A ∴，，. 22421sin 2a R R A ===⇒=260BOC A ∠=∠=︒ 2 OB OC ==（1）若，则，1m n ==OP OB OC =+()2222212OP OB OCOB OC OB OC OP =+=++⋅=⇒=（2）若m ，，则点P 的轨迹：[]0,1n ∈当，时，，此时点P 在线段上； 0m =[]0,1n ∈OP nOC =OC 当，时，，此时点P 在线段上；0n =[]0,1m ∈OP mOB =OB 当，时，，构造平行四边形，此时点P 在线段上（如图1m =[]0,1n ∈OP OB nOC =+OBDC BD 1）；当，时，，构造平行四边形，此时，点P 在线段上；1n =[]0,1m ∈OP mOB OC =+OBDC CD 当m ，时，，此时，点P 在菱形内部，（如图3）；()0,1n ∈OP mOB nOC =+OBDC 综上，P点的轨迹为菱形组成的图形区域，则 OBDC .12222sin 602OBC OBCD S S==⨯⨯⨯⨯︒=△菱形五、解答题17．已知单位向量的夹角为，向量，向量.12,e e 23π12a e xe =- 1232b e e =+(1)若∥，求x 的值；a b(2)若，求. a b ⊥a r 【答案】(1)23-【分析】（1）由，可得存在实数，使得，然后将，代入化简可求出x 的值， a b∥λλa b = a b （2）由，可得，再将，代入化简可求出x 的值，从而可求出a b ⊥0a b ⋅= a b a r 【详解】（1）因为，所以存在实数，使得，a b∥λλa b = 即，()1212123232e xe e e e e λλλ-=+=+ 则有，， 13λ=2x λ=-解得；23x =-（2）由，有，a b ⊥0a b ⋅= 即，()()()22121211221323(23)2323202e xe e e e x e e xe x x -⋅+=+-⋅-=---= 解得，4x =故，124a e e =-所以a ===18．已知,设函．())22cos ,1,,2cos ,m x n x x x R =-=∈ ()1f x m n =⋅+(1)求函数的最小正周期；()f x (2)若，且，求的值．7,312ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦8()5f α=cos 2α【答案】(1) π(2)【分析】（1）根据平面向量的数量积坐标公式，以及辅助角公式化简，再根据周期公式求最()f x 小正周期.（2）根据的值计算,再利用和角公式计算.()f απsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2α【详解】（1）由已知条件得：21()cos 2cos 12cos 222cos 22f x x x x x x x x ⎫=-+=-=-⎪⎪⎭πππ2sin 2cos cos 2sin 2sin 2666x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小正周期 2ππ2T ==（2），又 π8()2sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ π4sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭π7π312α≤≤ππ2π26α∴≤-≤故，进而可得πcos 206α⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭π3cos 265α⎛⎫-==- ⎪⎝⎭ππππππ341cos 2cos 2=cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+---=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM CN 于.P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅【答案】（1）；（2）. 12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值； x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC =λk的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，APAB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，，因此，； 34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设， 3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即， NP k NC =()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以， 314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB⋅=+-=+⋅- . 221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 20．在△ABC 中，，，O 是的外接圆圆心，若AB =2AC =56BAC π∠=ABC A ．AO AB AC λμ=+ (1)求及； AO AB ⋅AO (2)求，．λμ【答案】(1)32AO AB ⋅= (2) 74,2λμ==【分析】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，取的中点，的中点，连接A AB M AC N ，设，根据O 是的外接圆圆心，可得，则有,OM ON (),O x y ABC A ,OM AB ON AC ⊥⊥，求得点的坐标，再根据向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示即可得解； 00MO AB NO AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩O （2）根据结合向量线性运算的坐标表示列出方程组，解之即可得解.AO AB ACλμ=+【详解】（1）解：如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， A 则，())()0,0,,A BC 取的中点，的中点，连接，AB M AC N ,OM ON 则， 1,2M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭设，则， (),O x y 1,2MO x y NO x y ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(),AB AC ==因为O 是的外接圆圆心， ABC A 所以，,OM AB ON AC ⊥⊥则，解得，0102MO AB x NO AC x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩72x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， )7322AO AB ⎫⋅=⋅=⎪⎪⎭；=（2）解：因为，AO AB AC λμ=+即，，)())7,2λμμ⎫=+=⎪⎪⎭所以，解得.72μ=⎪=⎪⎩472λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩所以. 74,2λμ==21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且ABC ∆BC P B C H BC 满足.已知，，设.CH AB ⊥90ACB ∠=︒1dm AB =ABC θ∠=（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值ABC PCB ∠=∠CA CP +θ时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何60PBA ∠=︒CH CP +θ值时，取得最大值，并求该最大值. CH CP +【答案】（1）（2）当， π6θ=π12θ=CH CP +【解析】（1）设，则在直角中，，，计算得到ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=，计算最值得到答案.2sin sin 1AC CP θθ+=-++（2）计算，得到.sin cos CH θθ=⋅πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则在直角中，，. ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=在直角中，，PBC ∆2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=.sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=，，22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当，即，的最大值为.1sin 2θ=π6θ=AC CP +54（2）在直角中，由，ABC ∆1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅可得. sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅在直角中，，PBC ∆πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以，， 1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎭π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-， 11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以当，. π12θ=CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.22．对于函数，若存在定义域中的实数a ，b 满足b ＞a ＞0且，则()f x ()()2()02a bf a f b f +==≠称函数为“M 类”函数．()f x (1)试判断＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类”函数，并说明理由；()f x (2)若函数，，n ∈N *为“M 类”函数，求n 的最小值． ()2log 1f x x =-()0,x n ∈【答案】(1)不是M 类函数，理由见解析 (2)7【分析】（1）由题意，假设为“M 类”函数，则存在b ＞a ＞0，使得b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ()f x ＝π+2k π，k ∈Z .后分两种情况求的值，即可导出矛盾； sin a （2）由题可得，由对数运算性质结合可得22211212l og l og l og a ba b +-=-=-4ab =，后由零点存在性定理可得b 范围，由此可得n 的最小值． 24()8b b b+=326480b b b ⇒---=【详解】（1）由题意，假设为M 类函数，则存在b ＞a ＞0，使得sin a ＝sin b ， ()f x 则b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ＝π+2k π，k ∈Z ， 根据题意，有． sin 2sin2a ba +=①当b ＝a +2k π，k ∈Z 时，有 ，k ∈Z ， ()2si n si n πa a k =+即sin a ＝±2sin a ，解得sin a ＝0，不成立；②当b +a ＝π+2k π，k ∈Z 时，有，k ∈Z ，22πsi n si n πa k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即sin a ＝±2，不成立， ∴函数不是M 类函数；()f x （2）由题意，则在单调递减，在单调递增． ()22log 121log 02x x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩，，()f x ()0,2()2,+∞又∵是M 类函数，∴存在0＜a ＜2＜b ，满足， ()f x 22211o 1o 12|log 1|2a bg a g b +-=-=-又由等式可得：，则ab ＝4，()2log 2ab =所以，214(2)2(4)0222a b a a a a+--=+-=>则，所以得， 21o 102a b g +->221o 12(log 1)2a bg b +-=-从而有，则有，即，222log 1log ()2a b b ++=2()24a b b +=24()8b b b +=所以b 4﹣8b 3+8b 2+16＝0，则.()()3226480b b b b ----=由b ＞2，则b 3﹣6b 2﹣4b ﹣8＝0， 令＝x 3﹣6x 2﹣4x ﹣8，()g x 注意到当2＜x ＜6时，＝，()g x ()26480x x x ---<且，且连续不断，()()63207130，g g =-<=>()g x 由零点存在性定理可得存在，使得，此时. ()6,7b ∈()0g b =()0,2a ∈∴n 的最小值为7．【点睛】关键点睛：本题涉及函数新定义，难度较大.（1）先假设满足题意，从而得到相应等量关系，后由等量关系得，从而发现矛盾； ()f x sin a （2）问将求的最小值，转化为求的范围，关键为得到关于的等式.n b b。
2021年高一下学期3月月考数学试题含答案
2021年高一下学期3月月考数学试题含答案（时间：120分钟满分：150分）xx.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A. B. C. D.2．运行程序后输出A,B的结果是（）A. B. C. D.3．执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A. B. C. D.4．对任意的实数k,直线与圆的位置关系一定是（）A.相离B. 相切C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心5．在100各零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个，则（）A.不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B. ①②两种抽样法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C. ①③两种抽样法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D. 采取不同的方法，这100个零件中每个个体被抽到的概率不同6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（）A. B. C. D.7．连续投掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为（）A. B. C. D.8．已知地铁列车没10分钟（含在车站停车时间）一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A. B. C. D.9．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方体中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）A. B. C. D. 无法计算10．有五组变量：①汽车的重量和汽车没消耗一升汽油所行驶的距离②平均日学习时间和平均学习成绩③某人每天的吸烟量和身体健康状况④圆的半径与面积⑤汽车的重量和每千米的耗油量其中两个变量成正相关的是（）A.②④⑤B. ②④C. ②⑤D.④⑤11．圆与圆的公切线有且仅有（）A. 1条B. 2条C.3条D. 4条12．设圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离（）A. B. C. D.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校对全校男女学生工1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是人.14在面积为S的内部任取一点P，则的面积大于的概率是.15．在相同的条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？.16.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙没有射中目标”，③从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”④从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”其中属于互斥事件的是.（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题10分）画出计算的程序框图，要求框图必须含有循环结构.18.（本题12分）从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.（1）求所选2人恰有一名男生的概率；（2）求所选2人中至少有一名女生的概率.19. （本题12分）某制造商生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的:分组频数频率10205020合计100（1）补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率；（3）统计方法中，同一小组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是40.00）作为代表，据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）.20. （本题12分）有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1,2,3,4. （1）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；（2）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线与圆有公共点的概率.21. （本题12分）某车间为了工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作出了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5加工的时间y(（小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中，画出表中数据的散点图：（坐标系见答题纸）（2）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时？参考公式：22. （本题12分）已知圆C的方程为.（1）求过点且与圆C相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆C相交于A,B两点，若，求直线的方程；（3）圆C上有一动点，若Q为MN的中点，求点Q的轨迹方程.c24403 5F53 当24487 5FA7 徧_J29761 7441 瑁BQ n37267 9193 醓40477 9E1D 鸝。
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因为 β＜α ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为cos（α﹣β） ，sin（α+β） ，
所以 ，
则sin2β .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．B
【分析】
利用平面向量的线性运算法则求得 ，可得 ，则 ，展开后利用基本不等式可得 的最小值为 ，结合 的最小值为 列方程求解即可.
【详解】
解：对于A，若 中有零向量，则 显然成立，若 均不为零向量，则因为 ，所以 ，所以A正确；
对于B，若 所在的直线在 所在直线夹角的平分线上，且 ，则有 ，而 不成立，所以B错误；
对于C，若 ，则 ，而 不一定共线，所以C错误；
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，所以 与 共线且反向，所以D正确，
江苏省苏州市昆山中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
2．若平面向量 与 的夹角是180°，且 ，则 等于( )
12．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设 中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．设向量 ， ，且 与 夹角为锐角，则实数 的取值范围是__________．
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正切函数．题中巧妙的利用了1＝tan45°构建了正切的两角和公式．
4．D
【分析】
取 的中点 ，由 ，得 ，从而可得 与 共线，得直线 与直线 重合，进而得结论
【详解】
解：取 的中点 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 与 共线，即直线 与直线 重合，
所以直线 一定过 的重心，
【详解】
解：分别取 的中点 ，连接 ，则
，
所以 ，
所以 ，
，
所以
故选：C
【点睛】
关键点点睛：此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是分别取 的中点 ，连接 ，从而可得 ，进而可得 和 的值，考查数形结合思想，属于中档题
7．D
【分析】
根据 β＜α ，确定 ， ，再由cos（α﹣β） ，sin（α+β） ，求得 ，然后利用角的变换求解.
21．（1） ；（2）矩形 面积的最大值为 .
【分析】
（1）由题意可得 ，过 作 的垂线，垂足为 ，在 中，即可求解.
（2）由（1）可得 ， ，从而可得 ， ，根据矩形面积公式以及辅助角公式即可求解.
【详解】
（1） 且 ，
为等边三角形， ,
又四边形 为矩形， ， ，
在扇形 中，半径 ，
过 作 的垂线，垂足为 ，
17．（1）1；（2） .
【分析】
（1）根据向量 ，得到向量 ，再由 ，利用坐标运算求解.
（2）由（1）得到 ，然后由 求解.
【详解】
（1）因为向量 ，
所以向量 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 .
（2）由（1）知： ，
所以 ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
故答案为：
16．
【分析】
由 ，结合平面向量数量积的运算即可得 ；由平面向量的线性运算可得 ，再由平面向量数量积的运算即可得 .
【详解】
因为 ， ， ，所以 ，
由题意 ， ，
所以
，
所以 ；
由 可得
，
解得 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
【分析】
（1）首先变形 ，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱导公式化简正切，即 ，代入后化简证明.
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
【点睛】
思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子.
A． B． C． D．
7．已知 β＜α ，若cos（α﹣β） ，sin（α+β） ，则sin2β＝（）
A． B． C． D．
8．在 中，点 是 的三等分点， ，过点 的直线分别交直线 于点 ，且 ，若 的最小值为 ，则正数 的值为（）
A．1B．2C． D．
二、多选题
9．在水流速度为10 的自西向东的河中，如果要使船以 的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（）
（2）在（1）的条件下，求△ABC的面积．
18．如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ， .
（1）求 ；
（2）求 的长.
19．（1）化简： ；
（2）证明： .
20．如图， 是平面四边形 的一条对角线，已知 ，且 .
（1）求证： 为等腰直角三角形；
（2）若 ， ，求四边形 面积的最大值.
21．如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 ，A是半径 上的动点，矩形 内接于扇形 ，且 .
9．AC
【分析】
如图所示，设 ， ，解三角形即可得出．
【详解】
如图所示，设 ， ，所以 ，而 ，所以 ，即船出发时行驶速度的大小为20 ，方向为北偏西30°．
故选：AC．
10．AD
【分析】
对于A，由向量的夹角公式判断即可；对于B，举反例即可；对于C，若 ，则 不一定共线；对于D，对 两边平方化简即可
A．北偏西30°B．北偏西60°C．20 D．30
10．已知 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）
A．
B．若 且 则
C． ，则
D．若 ，则 与 共线且反向
11．对于函数 ，给出下列选项其中不正确的是（）
A．函数 的图象关于点 对称
B．存在 ，使
C．存在 ，使函数 的图象关于 轴对称
D．存在 ，使 恒成立
18．（1） ；（2）7.
【详解】
试题分析：（I）在 中，利用外角的性质，得 即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得 ，在 中，由余弦定理，即可计算结果．
试题解析：（I）在 中，∵ ，∴
∴
（II）在 中，由正弦定理得：
在 中，由余弦定理得：
∴
考点：正弦定理与余弦定理．
19．（1） ；（2）详见解析.
20．（1）见解析；（2） .
【分析】
（1）首先利用题中的条件 ，结合向量的运算法则，得到 ，再根据条件 ，转化得到 ，从而得到 ，进而证得结果；
（2）设 ，利用余弦定理得到 ，将四边形 的面积转化为两个三角形的面积之和，应用辅助角公式化简，从而得到其最大值.
【详解】
（1）证明：因为 ，所以 ，
即 ，
对于 说明 是函数的周期，
函数 的周期为 ，故 ，
不存在 ，使 恒成立， 不对.
故选： .
【点睛】
本题考查和差公式及三角函数性质，根据公式对原式进行化简，再代入选项值判断对称性、周期性即可，属于中等题.
12．ABC
【分析】
根据欧拉线定理、外心､垂心和重心的性质以及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案.
故选：D
5．A
【分析】
由余弦定理 代入整理得 ，进而得答案.
【详解】
解:由余弦定理 ,
故代入 边角互化得: ,整理得:
所以 ,故三角形为等腰三角形.
故选：A
【点睛】
本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化.
6．C
【分析】
分别取 的中点 ，连接 ，则可得 ，而 ，结合图形分别求出 和 的值，从而可求出结果
故选：AD
11．ABD
【分析】
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的对称性，函数的值域对称轴判断选项的正误即可.
【详解】
函数 ，
对于 ：函数 ，当 时， ，
不能得到函数 的图象关于点 对称. 不对；
对于 ，可得 ， ，不存在 ；
不对.
对于 ：函数 的对称轴方程为： ，可得 ，
当 ， 时，可得图象关于 轴对称. 对.
【详解】
解：（1）依题可知：
，
又∵ ，∴ ，
令 ，
则
.
∵ ，∴ 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 的最大值为 .
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 在 上有解，
∵ ，∴ .
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
（1）若 ，求线段 的长；
（2）求矩形 面积的最大值.
22．已知函数 ， .
（1）对任意的 ，当 时，均有 成立，求正实数 的最大值；
（2）在满足（1）的条件时，若方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.