高阶导数与高阶微分学习笔记
高等数学a1_学习笔记
第一章：函数与极限1.1函数的定义与性质1.2极限的概念与计算1.3右极限与左极限1.4极限的性质第二章：连续性2.1连续函数的定义2.2连续性的判别2.3连续函数的性质2.4介值定理第三章：导数与微分3.1导数的定义与几何意义3.2导数的计算法则3.3微分的概念与应用3.4逻辑与高阶导数第四章：应用导数4.1函数的单调性与极值4.2曲线的凹凸性与拐点4.3应用导数解决实际问题4.4L'Hôpital法则第五章：定积分5.1定积分的定义与性质5.2定积分的计算方法5.3牛顿莱布尼茨公式5.4定积分的应用第六章：不定积分6.1不定积分的基本概念6.2常见的不定积分公式6.3不定积分的计算技巧6.4分部积分法与换元积分法第1章：函数与极限函数的定义与性质函数的定义：一个函数是一个将每个输入（自变量）与一个唯一的输出（因变量）相对应的关系。
通常用f(x)表示，其中x是自变量。
定义域：函数的定义域是所有可能的自变量x的集合。
值域：函数的值域是所有可能的因变量f(x)的集合。
例子：f(x)=x^2，定义域为所有实数，值域为所有非负实数。
单调性：如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则f(x)是单调递增的；反之则是单调递减的。
有界性：如果存在M，使得对所有x，|f(x)|≤M，则f(x)是有界的。
奇偶性：如果f(x)=f(x)，则f(x)是奇函数；如果f(x)=f(x)，则f(x)是偶函数。
周期性：如果存在T，使得f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数。
例子：正弦函数sin(x)是周期函数，其周期为2π。
复合函数：如果g(x)是另一个函数，则复合函数f(g(x))是将g(x)的输出作为f(x)的输入。
例子：若f(x)=x^2，g(x)=x+1，则复合函数f(g(x))=(x+1)^2。
反函数：若f(x)是单调函数，则存在反函数f^(1)(x)，使得f(f^(1)(x))=x。
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
第三章高阶导数与微分详解
五、高阶导数
如果函数 f (x) 的导数 f (x) 在点 x 处可导，则 f (x) 在点 x 处的导
数称为函数 f (x) 在点 x 处的二阶导数，记作
y ，
f
( x)
，
d2y dx2
或
d dx
(dy) dx
例如：y=x 3 ，则 y =3x 2 ， y=6x
y=sinx，则 y =cosx， y=-sinx
)= sec 2 x dx ;
(4)d( )= xdx , d( )=cos3xdx , d( )= e t dt ,
(5)adx=d( ) , bxdx=d( ) ,
(6)sin3xdx=d( ) , cosaxdx=d( )
(7)e 2x dx=d( ) , e 3x dx=d( )
三、高阶导数和微分
y= e x ，则 y = e x ， y = e x
y=lnx，则
y
=
1 x
，
y
=-
1 x2
三、高阶导数和微分
类似的，二阶导数的导数称为三阶导数，记作：y ，f (x)或 d 3 y ；
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数，记作：
y(4)
，
f
(4)
( x) 或
d4y dx4
，一般地，
（n-1）阶导数的导数称为
=
1 cos
1
(-sin
1 x
) ( 1 )
x
x
x
=-tan
(cos 1 ) x
(-
1 x2
)=
1 x2
tan
1 x
dy=
1 x2
tan
3.5高阶导数与高阶微分
例: 设y x2
解: (1)x为自变量时,有dy 2xdx, d 2 y d(dy) d(2xdx) 2dx dx 2dx2.
(2)x不是自变量而是另一个变量t的函数时, 例x t 2,于是y t 4,故dy 4t3dt.d 2 y d (dy) d (4t3dt) 12t 2dt dt 12t 2dt 2. 由此可见: 求d 2 y时,如果从d 2 y 2dx2出发,以x t2代入, 则d 2 y 2dx2 2(dx)2 2[d(t2 )]2 2[2tdt]2 2[4t2 (dt)2 ] 8t2 (dt)2 8t2dt2.
3.5、高阶导数与高阶微分
设y f (x)在(a,b)内可导,则它的导函数y f (x)和微分函数dy df (x) f (x)dx 作为(a, b)内的点x的函数, 我们仍然可以讨论它们的可导性与可微性, 这就产生了 高阶导数与高阶微分.
一、高阶导数
定义3.4 : 如果y f (x)在点 x0 处可导,则称y f (x)在点 x0 处二阶可导, 且称y f (x)在点 x0 处的导数为函数f (x)在点 x0 的二阶导数,用f (x0 )
如果记(dx)n dxn.
由定义3.5知: d 2 y d(dy) d[ f (x)dx] dx d[ f (x)] dx f (x)dx f (x)[dx]2 f (x)dx2.
由数学归纳法知 : d n y d (d (n1) y) d[ f (n1) (x)dxn1] dxn1 d[ f (n1) (x)]
dxn1 f (n) (x)dx f (n) (x)dxn
从而高阶导数可用高阶微分定义 :
f
( x)
d2y dx2
,
f
(n) (x)
微积分(上)D2_3高阶导数
03
罚函数法
罚函数法是一种处理约束优化问题的 方法，通过引入罚函数将约束条件加 入到目标函数中，从而将约束优化问 题转化为无约束优化问题进行求解。
实际案例分析与讨论
01
经济学中的应用
在经济学中，高阶导数可以用于描述边际效用的变化率，从而分析消费
者的消费行为和市场需求。例如，通过求解效用函数的二阶导数，可以
复合函数与隐函数高阶导数
复合函数高阶导数
复合函数的高阶导数需要通过链式法则进行 求解，即先求出内层函数的导数，再将其代 入外层函数的导数表达式中进行计算。
隐函数高阶导数
隐函数的高阶导数需要通过对隐函数方程两 边同时求导得到，具体求解过程需要根据方 程的具体形式进行推导。
03
高阶导数在图形分析中应用
高阶导数与函数图像
高阶导数可以反映函数图像的局部性质，如拐点和凹凸性，从而帮助绘制出更准确的函 数图像。
趋势分析
通过分析函数的高阶导数，可以了解函数的变化趋势，如增减性、极值点等，进而对函 数的整体性质有更深入的认识。
曲线渐近线与斜渐近线求解
渐近线定义
渐近线是指当曲线上的点趋于无 穷远时，曲线与某一直线的距离 趋于0，则该直线称为曲线的渐近 线。
可能出现的波动。
05
高阶导数在微分方程中应用
线性微分方程通解结构定理
线性微分方程
线性微分方程是未知函数及其各阶导数都是 一次的方程，通解可以通过特征根和特征向 量求得。
通解结构定理
对于n阶线性微分方程，其通解可以表示为n个线性 无关的特解的线性组合，系数由初始条件确定。
特征根和特征向量
特征根是微分方程对应的特征方程的根，特 征向量是与特征根对应的解空间的基向量。
高等数学微积分第3章 第5节 高阶导数
(n)
( x0 )
y
(n) x x0
d y n dx
n
x x0
d f n dx
n
x x0
(4)求法
2至5阶,反复求导.
n阶导数,先求几阶再总结规律.
例1 设 y e sin x , 试证 y 2 y 2 y 0.
x
(e x sin x ) (e x ) sin x (sin x )e x 证 y
d2y x 1 t 例6 设 y cos t ,求 2 . dx sin t dy sint 解 2t 2t dx
2
d y d sin t d sin t dt ( ) ( ) 2 dx dx 2t dt 2t dx
2
cos t 2t 2 sint 1 2 4t 2t sint t cos t . 3 4t
y ( 1)( 2)( 3)(2 x 3)4 23
y
(n )
( 1) n !(2 x 3)
n
( n 1)
2
n
例4 求 y cos x 的n阶导数. 解 y sin x cos(x ) 2 y sin(x ) ( x ) cos( x 2 ) 2 2 2 y sin(x 2 ) ( x 2 ) 2 2
x x
2e cos x
x
代入得
y 2 y 2 y 0.
例2 求 y x (n为正整数)的n阶导数.
n
解
nx n1 y
y n( n 1) x
n 2
y n( n 1)( n 2) x
高等数学第二章导数知识总结
高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。
微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。
三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。
再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。
导数与微分重点知识归纳
导数的概念例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量这就是质点在时间段△t的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为：若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义，如下导数的定义设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。
注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件函数的和差求导法则法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：。
其中u、v为可导函数。
常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。
用公式可写成：函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。
用公式可写成：函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。
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则有(sin x)(k1) (sin(x k )) cos(x k ) sin(x k 1 )
2
2
2
依数学归纳法知结论成立
类似有: (cosx)(n) cos(x n ),n 1,2,
2
例4 求y ln(1 x)的n阶导数
解： (ln(x 1)) 1 (1 x)1, 1 x
x3ex 90x2ex 2610xex 24360ex
教材上还有例6，是通过找递推关系式来求解。
二 高阶微分
1 概念 若y f (x)的微分函数 dy关于x可微,则称y f (x)关于x二阶可微,
其微分称为二阶微分，记作： d 2 y, d 2 f (x), 类似地有d n y, d n f (x) 若记(dx)n dxn,则有:
y(30) (x3ex )(30)
x3 (ex )(30) C310 (x3 )(ex )(29) C320 (x3 )(ex )(28) C330 (x3 )(ex )(27)
x3(1)30 ex 30(3x2 )(1)29 ex 30 29 (6x)(1)28 ex 21
30 29 28 6 (1)27 ex 3 21
2
2
sin x
分析：正弦函数的导数是4阶一个轮回，而其本身就是一个周期函数，函 数值一个周期重复一次，因此可考虑利用其周期来处理。
猜想其n阶导数为：
(sin x)(n) sin(x n )
2
下面用数学归纳法进行证明：
(1)n 1时结论显然成立
(2)假设n k时结论成立,即有(sin x)(k) sin(x k )
高阶导数与高阶微分学习笔记
一、高阶导数 二、高阶微分
一、高阶导数
1 二阶导数的定义
若y f (x)的导函数 y f (x)在x0可导， 则称
f (x)在x0的导数为 f (x)在x0的二阶导数 ， 记作
y x x0 或
d2y dx2
xx0 或
d2 f dx2 xx0
按定义有 :
f (x0 )
d 2 y d (dy) d ( f (x)dx) dxd[ f (x)] f (x)(dx)2 f (x)dx2
d n y d (d n1 y) f (n) (x)dxn
因此高阶导数也有相应的微商形式：
f
( x)
d2y dx2
f
(n) (x)
dny dxn
2 注：高阶微分不具有形不比变性
y (1)(1 x)2
y (1)(2)(1 x)3, y(4) (1)(2)(3)(1 x)4 L
y(k) (1)(2)L (k 1)(1 x)k (1)k1(k 1)!(1 x)k
因此类似地可用数学归纳法进行证明，得出其一般结论为：
(ln(x 1))(n) (1)n1(n 1)!(x 1)n, n 1,2,
例1 求y xk (k为正整数)的n阶导数y(n)
解： y (xk ) kxk1
y ( y) (kxk1) k(k 1)xk2 LLLL
y(k1) k (k 1)L 3 2x, y(k) k !, y(k1) 0
当k n时, y(k) k(k 1)L (k n 1)xkn ,
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
注： 若f (x)在D上每一点都二阶可导,则有二阶导函数f (x),
依定义有: f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
2 n阶导数 设f (x)的n 1阶导函数f (n1) (x)在x0可导，
则称其导数为f (x)在x0处的n阶导数,记作f (n) (x0 )或y(n)
等
x x0
按定义有 :
f
(n)
( x0
)
lim
xx0
f (n1) (x) f (n1) (x0 ) x x0
当然可以类似定义n阶导函数f (n) (x)
3 、 高阶导数的计算
若是计算一个具体阶次的高阶导数，则应由一阶开始逐阶计算，若为任 意阶次的高阶导数的计算，则应首先求出几个低阶导数，分析各阶之间的关 系，然后猜想n阶的结论，再用数学归纳法进行证明。
当k n时, y(k) 0
例2 设y ex , 求y(n) (0)
解： y ex , y ex ,L y(n) ex , y(n) (0) e0 1
例3 求y sin x和y cos x的n阶导数
解： (sin x) cos x sin(x ), (sin x)(5) cos x sin(x 5 )
2
2
(sin x) sin x sin(x 2 ), (sin x)(6) sin x sin(x 6 )
2
2
(sin x) cos x sin(x 3 ),
2
(sin x)(7)
cos x sin(x 7 )
2
(sin x)(4) sin x sin(x 4 ), (sin x)(8) sin x sin(x 8 )
所以二阶微分不具有形式不变性， 即x为自变量
和中间变量时dy的形式是不一样的
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
解:
1 x
y(n)
n! (1 x)n1
,
n3
(3)
y
x2
1 3x
2
提示:
令
1
(x 2)(x 1)
当x是自变量时,dx关于x是常数, 当x是中间变量时,dx是关于自变量的函数,
因此有: (1)若x为自变量,则d 2 y d ( f (x)dx) f (x)(dx)2
(2)若x为中间变量,则
d 2 y d[ f (x)dx] dxd[ f (x)] f (x)d (dx)
f (x)(dx)2 f (x)d (dx)
4 、高阶导数公式（教材上为小字）
（1）公式1： [ f (x) g(x)](n) f (n) (x) g(n) (x)
（2）公式2：
n
[ f (x)g(x)](n) Cnk f (k) (x)g (nk) (x)
k 0
f (n) (x)g (0) (x) Cn1 f (n1) (x)g (1) (x) L
AB x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1)x 2 x 1
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
(4) y sin6 x cos6 x
解:
sin4 x sin2 x cos2 x cos4 x
1 3 sin 2 2x 4
Cnk f (nk ) (x)g (k ) (x) L f (x)(0) g (n) (x)
其中f (0) (x) f (x), g (0) (x) g(x),
称此公式为莱布尼兹公式, 类似于二项展开式(a b)n的形式
例5 设y x3ex,求y(30)
解： (x3)(k) 0, k 3;(ex )(n) (1)nex
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)