高阶导数与高阶微分
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
高阶导数与高阶微分学习笔记
则有(sin x)(k1) (sin(x k )) cos(x k ) sin(x k 1 )
2
2
2
依数学归纳法知结论成立
类似有: (cosx)(n) cos(x n ),n 1,2,
2
例4 求y ln(1 x)的n阶导数
解： (ln(x 1)) 1 (1 x)1, 1 x
x3ex 90x2ex 2610xex 24360ex
教材上还有例6，是通过找递推关系式来求解。
二 高阶微分
1 概念 若y f (x)的微分函数 dy关于x可微,则称y f (x)关于x二阶可微,
其微分称为二阶微分，记作： d 2 y, d 2 f (x), 类似地有d n y, d n f (x) 若记(dx)n dxn,则有:
y(30) (x3ex )(30)
x3 (ex )(30) C310 (x3 )(ex )(29) C320 (x3 )(ex )(28) C330 (x3 )(ex )(27)
x3(1)30 ex 30(3x2 )(1)29 ex 30 29 (6x)(1)28 ex 21
30 29 28 6 (1)27 ex 3 21
2
2
sin x
分析：正弦函数的导数是4阶一个轮回，而其本身就是一个周期函数，函 数值一个周期重复一次，因此可考虑利用其周期来处理。
猜想其n阶导数为：
(sin x)(n) sin(x n )
2
下面用数学归纳法进行证明：
(1)n 1时结论显然成立
(2)假设n k时结论成立,即有(sin x)(k) sin(x k )
高阶导数与高阶微分学习笔记
一、高阶导数 二、高阶微分
一、高阶导数
1 二阶导数的定义
48高阶导数与高阶微分
y
(n) 2
2019/4/22
(a b ) e sin(bx n )
ax
n 2 2
b ( arctan ) a
9
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
y
(5)
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
2019/4/22
13
隐函数的高阶导数
用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次 求导,(y是x的函数),最后解出y的高阶导数.
例1
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
k 0 k n
2019/4/22
n
( n k )
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
2019/4/22 3
二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
1 y 1 x2 1 2x y ( ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
2019/4/22 11
3.间接法 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
高阶导数与微分
高阶导数与微分微积分是数学中的重要分支，其核心概念之一就是导数。
在导数的基础上，我们可以引入高阶导数的概念，进一步深化对函数变化率的研究。
本文将探讨高阶导数与微分的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、导数回顾在开始讨论高阶导数之前，我们先回顾一下导数的定义。
设函数f(x) 在某一点 a 处可导，那么 f(x) 在点 a 处的导数定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x) - f(a)] / (x - a)导数描述了函数在某一点上的变化率。
如果函数在所有点上都可导，我们可以得到一个新的函数 f'(x)，称为 f(x) 的一阶导函数。
二、高阶导数定义对导数概念的进一步推广就是高阶导数。
函数 f(x) 的二阶导数定义为：f''(x) = [f'(x)]'其中，[f'(x)]' 表示 f'(x) 的导数。
同样地，我们可以定义函数的三阶导数、四阶导数，以此类推。
三、高阶导数与微分之间的关系高阶导数与微分之间存在着密切的联系。
首先，我们知道导数可以看作是函数 f(x) 在某一点 a 处的线性近似。
那么，二阶导数 f''(x) 就是一阶导数 f'(x) 在点 x 处的线性近似。
具体而言，对于函数 f(x)，我们有以下等式成立：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2这个等式就是微分的定义。
它告诉我们，当 x 靠近 a 时，函数 f(x) 可以用它在点 a 处的函数值、一阶导数和二阶导数来近似表示。
同样地，我们可以使用高阶导数来推广微分的定义。
假设函数 f(x) 具有 n 阶导数，则有：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x - a)^n 其中，f^(n)(a) 表示函数 f(x) 的 n 阶导数在点 a 处的值。
清华大学微积分课件——微分运算与高阶导数
2011-9-51二、高阶导数第七讲微分运算与高阶导数一、导数与微分的运算法则2011-9-52一、导数与微分的运算法则1. 四则运算求导法则则可导在设函数,)(),(x x v x u 且可导在函数,)()()1(x x v x u ±)()(])()([x v x u x v x u ′±′=′±且为常数可导在函数),()()2(C x x u C )(])([x u C x u C ′=′2011-9-53且可导在函数,)]()([)3(x x v x u ⋅)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u ′⋅+⋅′=′⋅且可导在函数,)()()4(x x v x u 2)]([)()()()(])()([x v x v x u x v x u x v x u ′⋅−⋅′=′)0)((≠x v 2011-9-54)()(x v x u y ⋅=设)()()()(x x v x u x x v x x u ΔΔΔ+−++=vx u x x v u ΔΔΔ⋅++⋅=)()()()()()(x v x u x x v x u −++Δ[证] (3)x v x u x x v xux y ΔΔΔΔΔΔΔ⋅++⋅=)()()()()()(])()([lim lim 00x v x u x v x u x vx u x x v x u x y y x x ′⋅+⋅′=⋅++⋅==′→→ΔΔΔΔΔΔΔΔΔ可导必连续)()()()(x v x u x x v x x u y −Δ+Δ+=Δ2011-9-55的导数求函数例2sin ln cos 24]7[35+−+−=x x x x y xx x x 1sin 212524−−−=[解])2(sin )(ln )(cos 2)(4)(35′+′−′+′−′=x x x x )2sin ln cos 24(35′+−+−=′x x x x y 2011-9-56)cos sin ()(tan ′=′xxx xx x x x 2cos )(cos sin cos )(sin ′⋅−⋅′=.sec cos 1cos )sin (sin cos cos 222x x xx x x x ==−⋅−⋅=的导数求函数例x x f tan )(]8[=[解]xx x 22cos1sec )(tan ==′2011-9-572、复合函数导数公式（1）复合函数微分法（链式法则）且也可导在点则复合函数可导在点函数可导在点设函数,)]([,)(,)(x x g f y x x g u u u f y ===dxdudu dy dx dy ⋅=或)()]([)]([x g x g f dxx g df ′⋅′=2011-9-58[证]x y x ΔΔΔlim →⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅=→→→x u u y x u u y x u x ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ000lim limlim dxdu du dy ⋅=)())((x g x g f ′′=0,0≠→x x ΔΔ时当不能保证中间变量的增量)()(x g x x g u −+=ΔΔ总不等于零上面的证法有没有问题？2011-9-59[证]⇒=可导)(u f y αΔΔ+′=⇒)(u f uy)0lim (0=→αΔu )(lim0u f uyu ′=→ΔΔΔ上式化为时当,0≠u Δ)1()(u u u f y ΔαΔΔ⋅+⋅′=0)()(,0=−+==u f u u f y u ΔΔΔ时当(1) 式仍然成立！xu x u u f x y ΔΔαΔΔΔΔ⋅+⋅′=⇒)(2011-9-510xu x u u f x y x x x x ΔΔαΔΔΔΔΔΔΔΔ0000limlim lim )(lim→→→→⋅+⋅′=⇒)()(lim )]([0x g u f x y dxx g df x ′⋅′==⇒→ΔΔΔ0lim lim 0==⇒→→ααΔΔu x )()()](([x g u f dxx g f d ′⋅′=⇒连续可导)()(x g u x g u =⇒=00→⇒→u x ΔΔ2011-9-511（2）微分的形式不变性(复合函数微分法则)且其微分为也可微则复合函数函数均为可微和设函数,)]([,)()(x g f y x g u u f y ===dxx u u f du u f dy )(')(')(=′=xx g f dy x Δ⋅′=)]([[证]x x g x g f Δ)()]([′⋅′=duu f ⋅′=)(有时当,)(x x g u ==x x x g du ΔΔ=′=)(xdx Δ=⇒2011-9-512我们将微分写成因此对于自变量,x dxx f x x f x df )()()(′=′=Δdxx f x df )()(′=udu x x g u Δ≠≠=,)(时当不能将微分写成对于中间变量),(x u u =uu f x u df Δ)()]([′=dxx u u f du u f x u df )(')(')()]([=′=的函数，微分形式不变还是中间变量是自变量不论u x y 但有微分的形式不变性2011-9-513.11]1[23的导数求函数例⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=x x y [解]⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=11112321x x dx d x x dx dy 221)1(21123+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=x x x 2521)1()1(3+−=x x 2011-9-51442,,ln π+===x v tgv u u y 设x v u x x tgv u y )42()()(ln ′+⋅′⋅′=′π.)]42ln[tan(]2[的导数求函数例π+=x y [解]21cos 112⋅⋅=v u 21)(cos 1)(142242⋅+⋅+=ππx x tg )sin(12π+=x xcos 1=x sec =2011-9-515.)1ln(]3[2的导数求函数例++=x x y xx x x x x y )1(1122′++⋅++=′1111112222+=+++⋅++=x x x x x x ])1(1[1122x x x x ′++⋅++=[解]])1(1211[11222x x x x x ′+⋅++⋅++=2011-9-516.ln ]4[的导数求函数例x y =⎩⎨⎧<−>==时当时当0,)ln(0,ln ln x x x x x y xx y x 1)(ln ,0=′=′>时当])[ln(,0′−=′<x y x 时当)0(1)(ln ≠=′⇒x xx xx x1)(1=′−⋅−=[解].ln ln 同的导数公式有相与x x )()(])([ln ])([ln x f x f x f x f ′=′=′2011-9-5172011-9-5183. 反函数求导法则)(1])([,))(()(,0)(,,,11x f y fx f y y y fx x f x f x ′=′==≠′−−且可导在则它的反函数且可导在且严格单调的某邻域连续设函数在2011-9-519的导数求函数例x x f y arcsin )(][==[解]2211ππ<<−<<−y x yx x y sin ,)1,1(arcsin =⇒−=存在反函数增加且严格上连续在y y x cos 1)(sin 1)(arcsin =′=′⇒2211sin 11x y−=−=由反函数求导法则2011-9-5204. 隐函数求导法定义：（隐函数）.0),())((,0),(,.,的隐函数确定是方程或关系则称此对应对应唯一的由方程若设有非空数集==∈=∈∀⊆y x F x f y f Y y y x F X x R Y X 0)](,[,≡∈∀x f x F X x 有的解必是方程确定的隐函数由方程注意0),()(0),(][===y x F x f y y x F 2011-9-521.),(0),(可导并且函数隐函数能够确定假定方程f x f y y x F ==?,)(如何求出导数的情况下问题：在不解出显式x f y =隐函数求导问题的提法2011-9-522.,0))(,(),(,0),(x y x x y x F x x f y xy y x F ′≡==解出求导两边对的恒等式：关于于是方程可看成的函数：看成把中在方程.,,求导法则因此需要应用复合函数的函数是要注意注意：左端求导时x y 隐函数求导法2011-9-523得求导方程两边对,x )2(02sin cos 3cos )]([22223=+−′++′x x x x x y x y y y e xy .),(01cos ]1[23x xy y x f y x x ye ′==+−求隐函数确定由方程例[解])1(0)1()cos ()(23=′+′−′+′x x e y y e xy xy 得解出,y ′)1(sin cos 6cos 2222223xy e e y x x x x y xy xy+−−=′?)0(:=′y 问0)0(1)0(=′⇒−=y y 2011-9-5245. 参数方程求导法参数方程)1(]2,0[sin cos ]1[π∈⎩⎨⎧==t tb y ta x 椭圆：例0,)cos 1()sin (]2[>⎩⎨⎧−=−=a t a y t t a x 摆线：例a •aπ22011-9-525]2,0[sin cos ]3[33π∈⎩⎨⎧==t ta y ta x 星形线：例a内旋轮线,323232>=+a a y x 隐函数方程：2011-9-526(2) 参数方程求导法?dxdy 如何求).()(,0)(,)(),(1x t t x t t t −==≠′′′ϕϕϕψϕ存在可导的反函数且都存在设确定由参数方程：设函数⎩⎨⎧===)()()(t y t x x f y ψϕ2011-9-527的复合函数成为通过x t y ⇒)(t y ψ=分析函数关系:)()(1x t t x −=⇒=ϕϕ)]([1x y −=ϕψ利用复合函数和反函数微分法, 得)()(t t dt dx dtdydx dt dt dy dx dy ϕψ′′==⋅=2011-9-528]2,0[sin cos ]9[π∈⎩⎨⎧==t t b y ta x 求椭圆：例,24cos ,4a a x t ===ππ时当.4处的切线方程在π=t 24sin b b y ==π)2,2(:0a a M 切点⇒[解]4tan :πα===t dxdyk 切线斜率2011-9-529t abt a t b t t dx dy cot sin cos )()(−=−=′′=ϕψa b a b dxdy k t −=−==⇒=44sin cos 4πππ:切线方程⇒)2(2a x a b b y −−=−bx aby 2+−=即2011-9-530的导数求幂指函数)()()(x v x u x f =)(ln )()(x u x v e x f =再应用复合函数微分法（链式法则）方法二: 利用对数微分法方法一: )()( ])([lnx f x f x f ′=′6. 对数微分法])()[ln ()(′=′⇒x f x f x f2011-9-531y x y x ′=的导数求幂指函数例cos )(sin ]1[得到求导两边对,x xx x x x y y sin cos cos )ln(sin )sin (1⋅+⋅−=′⋅[解]两边取对数, 得得解出,y ′)]ln(sin sin sin cos [)(sin 2cos x x xx x y x⋅−⋅=′对数微分法)ln(sin cos ln x x y =2011-9-532y x x x x y ′−−−−=求设例,)4)(3()2)(1(]2[3)]4ln()3ln()2ln()1[ln(31ln −−−−−+−=x x x x y ]41312111[31−−−−−+−=′⇒x x x x y y [解])41312111()4)(3()2)(1(31)(ln 3 −−−−−+−−−−−=′=′x x x x x x x x y y y 2011-9-533[例3][解]求切线斜率(x,y )处切线方程：线段长度等于常数。
高等数学教材详细答案
高等数学教材详细答案1. 极限与连续1.1 数列极限的定义与性质(1) 数列极限的定义(2) 数列极限的性质1.2 函数极限的定义与性质(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质1.3 极限运算法则(1) 四则运算法则(2) 复合函数的极限(3) 三角函数的极限1.4 连续与间断(1) 连续的定义与性质(2) 间断点与间断类型2. 导数与微分2.1 导数的概念(2) 导数的几何意义2.2 导数的基本运算法则(1) 乘积法则(2) 商法则(3) 复合函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分(1) 高阶导数的定义(2) 高阶导数的性质2.4 微分的概念与运算(1) 微分的定义(2) 微分运算法则3. 微分中值定理与应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理(1) 罗尔定理(2) 拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则(2) 洛必达法则3.3 泰勒公式与极值问题(1) 泰勒公式的推导(2) 极值问题的求解4. 不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质(1) 不定积分的定义(2) 不定积分的基本性质 4.2 基本积分表与常用公式(1) 基本积分表(2) 常用公式与性质4.3 定积分的概念与性质(1) 定积分的定义(2) 定积分的性质4.4 定积分的计算方法(1) 几何与物理应用(2) 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用5.1 平面图形的面积(1) 平面图形的面积计算5.2 几何体的体积(1) 旋转体的体积计算(2) 截面法计算体积5.3 物理应用(1) 质量和质心的计算(2) 转动惯量和转动中心的计算6. 多元函数微分学6.1 二元函数与二元函数的极限(1) 二元函数的定义与极限(2) 二元函数的性质6.2 偏导数与全微分(1) 偏导数的定义与计算(2) 全微分的概念与性质6.3 多元函数的微分学定理(1) 多元函数的极值定理(2) 多元函数的条件极值问题7. 重积分7.1 二重积分的概念与性质(1) 二重积分的定义(2) 二重积分的性质7.2 二重积分的计算方法(1) 矩形区域的二重积分(2) 极坐标下的二重积分7.3 三重积分的概念与性质(1) 三重积分的定义(2) 三重积分的性质7.4 三重积分的计算方法(1) 柱面坐标和球面坐标下的三重积分(2) 三元函数的体积计算8. 曲线与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质(1) 第一类曲线积分(2) 第二类曲线积分8.2 曲线积分的计算方法(1) 参数方程下的曲线积分(2) 平面曲线的曲线积分8.3 曲面积分的概念与性质(1) 第一类曲面积分(2) 第二类曲面积分8.4 曲面积分的计算方法(1) 参数方程下的曲面积分(2) 线面积分的转化9. 常微分方程9.1 高阶常微分方程(1) 二阶常微分方程(2) 高阶常微分方程的线性方程 9.2 变量可分离方程与齐次方程(1) 变量可分离方程(2) 齐次方程9.3 一阶线性微分方程(1) 一阶线性微分方程的求解 9.4 常系数线性微分方程(1) 齐次线性微分方程的解法(2) 非齐次线性微分方程的解法10. 线性代数基础10.1 向量的基本概念与运算(1) 向量的定义与性质(2) 向量的线性运算10.2 矩阵与矩阵运算(1) 矩阵的定义与性质(2) 矩阵的运算法则10.3 行列式的定义与性质(1) 行列式的定义(2) 行列式的性质10.4 线性方程组与解的判定(1) 线性方程组的解的性质(2) 线性方程组的解的判定。
微分形式的高阶导数
微分形式的高阶导数微分形式在数学中是一种形式化的量，它可以用来描述切向量、曲面和流形上的微积分结构。
微分形式的概念一直以来都是微积分和流形理论中不可或缺的一部分。
其中，微分形式不仅可以表示向量场的通量、旋度和散度，而且还能提供很多有用的信息，比如高阶导数等。
本文将从微分形式的角度出发，探讨其中的高阶导数。
一、微分形式的基本概念微分形式最初由爱德华·卢埃林·德·卡特在20世纪初提出，他是拓扑学和微积分的先驱之一。
微分形式是一种在微积分和流形理论中非常有用的概念，它主要用于描述切向量、曲面和流形上的微积分结构。
微分形式可以看做一个标量函数的线性组合，并且对于每一个向量场，都可以与之对应一个微分形式。
比如，设一个二维平面上的向量场F＝P(x,y)i+Q(x,y)j，其中i和j分别是该平面上的标准单位向量，那么就可以构造一个标量函数w＝Pdx+Qdy，这个w就是F所对应的微分形式。
其中dx和dy 是自变量x和y的微分。
二、高阶微分形式对于微分形式而言，高阶形式指的是它所对应的微分形式的高阶外微分。
假设f是一个标量函数，那么它的一阶微分形式df就是：df＝(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy对于这个微分形式来说，也可以进行外微分，得到二阶微分形式d(df)。
其中，d是外微分算子，它的定义如下：对于任意的微分形式w，外微分算子d(w)等于其在一定基础上的外积。
也就是说，对于形式幂级数：w= Σu_I(x)dx_I其中I=(i1,i2,...,in)，u_I是关于变量x_i的标量函数，dx_I=dx_i1 ∧dx_i2 ∧...∧dx_in 是逆序n元之外积（i1<i2<...<in），那么外微分算子d的作用就是：d(w)=∑(d(u_I) ∧ dx_I)其中，d(u_I)是u_I的一阶外微分。
回到二阶微分形式d(df)，在进行外积的基础上，会得到三阶微分形式d(d(df))，依此类推，可以构造出更高阶的微分形式。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2
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由定义3.4知 : y(n)
x= x0
=
f
(n)
( x0
)
=
lim
∆x→0
f
(n−1) ( x0
+ ∆x) − ∆x
f
(n−1) ( x0 )
= lim f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) .
x → x0
x − x0
y(n) = f (n) (x) = lim f (n−1) (x + ∆x) − f (n−1) (x)
2018/11/5
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例 : 设y = ln(1+ x),求y(n).
解 : y′ = [ln(1+ x)]′ = 1 = (1+ x)−1 1+ x
y′′ = [ln(1+ x)]′′ = [(1+ x)−1]′ = (−1)(1+ x)−2
y′′′ = [ln(1+ x)]′′′ = [(−1)(1+ x)−2 ]′ = (−1)(−2)(1+ x)−3 设y(k) = [ln(1+ x)](k) = (−1)(−2)(−k +1)(1+ x)−k = (−1)k−1(k −1)!(1+ x)−k
解 : y(n) = a0n!
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例 : 设y = ex , 求y(n)与y(n) (0).
解 : y′ = (ex )′ = ex , y′′ = (ex )′ = ex ,, y(n) = ex.
y(n) (0) = y(n) = ex = e0 = 1.
即
:
lim
∆x→0
f ′(x0
+ ∆x) − ∆x
f ′(x0 )
存在, 则称y
=
f
(x)在
点 x0 处二阶可导, 且称y′ = f ′(x)在点 x0 处的导数为函数f (x)在点 x0 的二阶导数.
用f
′′(x0 ) 或 y′′
x= x0
d2y , 或 dx2
x= x0
d2 f , 或 dx2
x=0
x=0
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例 : 设y = sin x, 求y(n).
解 : y′ = (sin x)′ = cos x = sin(x + π ),
2
y′′ = (cos x)′ = − sin x = sin(x + π ) = sin(x + 2 ⋅ π ).
y(k) = k(k −1)(k − 2)3⋅ 2 ⋅1 = k!
y(k+1) = 0, y(k+2) = 0,, y(k+i) = 0(i ≥ 1).
( ) 故y(n) =
xk
(n)
k(k −1)(k − n +1)xk−n , =
n≤k
0
n>k
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22
2
由数学归纳法知 : (cos x)(n) = cos[x + n ⋅ π ], (n = 1,2,3,).
2
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例 : 设y = x−1, 求y(n).
解 : y′ = [x−1]′ = −x−2. y′′ = [(−x−2 ]′ = (−1)(−2) ⋅ x−3. y′′′ = [(−1)(−2) ⋅ x−3]′ = (−1)(−2)(−3) ⋅ x−4. 设y(k) = (−1)(−2)(−k ) ⋅ x−k−1 = (−1)k ⋅ k!⋅x−(k+1).
y′′ = (ex + xex )′ = ex + ex + xex = 2ex + xex.
例: 设 y = arctan x, 求y′′, y′′′.
解
:
y′
=
1 1+ x2
y′′
=
1
1
+
x
2
′
=
− 2x (1+ x2 )2
.
y′′′
=
− 2x
(1
+
x
2
)
2
′
=
2(3x2 −1) (1+ x2 )3
3.5、高阶导数与高阶微分
设y = f (x)在(a,b)内可导,则它的导函数y′ = f ′(x)和微分函数dy = df (x) = f ′(x)dx仍然是 (a,b)上的函数,因此可以继续讨论它们的可导性与可微性, 这就产生了高阶与高阶微分.
一、高阶导数
定义3.4 : 如果y′ =
f
′(
x)在x0点处可导,
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例 : 设y = x3e−x ,求y(30).
30
∑ 解 : [x3e− x ](30) =
C3k0 f (k)(x)g(30−k)(x)
k =0
= C300 f (0)(x)g(30)(x) + C310 f ′(x)g(29)(x) + C320 f ′′(x)g(28)(x) + C330 f ′′′(x)g(27)(x)
2 设y(k) = (sin x)(k) = sin(x + k ⋅ π ).
2
则y(k+1) = (sin x)(k+1) = [sin(x + k ⋅ π )]′ = cos(x + k ⋅ π )
2
2
= sin(x + k ⋅ π + π ) = sin[x + (k +1) ⋅ π ].
22
+ C320 f ′′(x)g(28)(x) + C330 f ′′′(x)g(27)(x)
= C300 x3e−x + C3103x2(−1)e−x + C320 6xe−x + C330 6(−1)e−x = x3e−x − 90x2e−x + 2610xe−x − 24360e−x .
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则y(k+1) = [ln(1+ x)](k+1) = [(−1)k−1(k −1)!(1+ x)−k ]′
= (−1)k−1(k −1)!(−k)(1+ x)−k−1 = (−1)k (k)!(1+ x)−(k+1).
由数学归纳法知 : y(n) = (−1)n−1(n −1)!(1+ x)−n , (n = 1,2,3,).
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例 : 求y = arctan x在x = 0点的n阶导数.
解 : y′ = 1 , y′′ = − 2x , y′′′ = − 2 + 6x2 .
1 + x2
(1 + x2 )2
(1 + x2 )3
由y′ = 1 ⇒ (1 + x2)y′ = 1. 1 + x2
y′′
=
(−
sin
x)′
=
−
cos
x
=
cos( x
2 +
π
)
=
cos(
x
+
2
⋅
π
)
2
设y(k) = (cos x)(k) = cos(x + k ⋅ π )
2
则y(k+1) = (cos x)(k+1) = [cos(x + k ⋅ π )]′ = − sin(x + k ⋅ π )
2
2
= cos(x + k ⋅ π + π ) = cos[x + (k +1) ⋅ π ].
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例 : 设y = ln( x2 + 3x − 4), 求y(n).
解 : y = ln( x −1) + ln( x + 4) ⇒ y′ = 1 + 1 . x −1 x + 4
y′′
=
1 x −1
+
x
1 +
′ 4
=
1
′
x −1
[ ] 在(1 + x2)y′ = 1方程两边对x求n − 1阶导数,即(1 + x2)y′ (n−1) = 1(n−1).
[ ] ∑ 那么 : (1 +
x2 )y′ (n−1)
=
n −1
Cnk−1(1 +
x2 )(k )( y′)(n−1−k )
k =0
= Cn0−1(1 + x2 )(0)( y′)(n−1) + Cn1−1(1 + x2 )(1)( y′)(n−2) + Cn2−1(1 + x2 )(2)( y′)(n−3)
.
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例 : 求y = xk (k为正整数)的n阶导数y(n).
解 : y′ = (xk )′ = kxk−1 y′′ = (kxk−1)′ = k (k −1)xk−2
y′′′ = [k(k −1)xk−2 ]′ = k(k −1)(k − 2)xk−3 y(k−1) = k(k −1)(k