高阶导数函数的微分
第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
( x)
2, 2x,
0 1
x x
1 2
1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页 例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u(
x
h) h
u
(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2
3.5高阶导数与高阶微分
例: 设y x2
解: (1)x为自变量时,有dy 2xdx, d 2 y d(dy) d(2xdx) 2dx dx 2dx2.
(2)x不是自变量而是另一个变量t的函数时, 例x t 2,于是y t 4,故dy 4t3dt.d 2 y d (dy) d (4t3dt) 12t 2dt dt 12t 2dt 2. 由此可见: 求d 2 y时,如果从d 2 y 2dx2出发,以x t2代入, 则d 2 y 2dx2 2(dx)2 2[d(t2 )]2 2[2tdt]2 2[4t2 (dt)2 ] 8t2 (dt)2 8t2dt2.
3.5、高阶导数与高阶微分
设y f (x)在(a,b)内可导,则它的导函数y f (x)和微分函数dy df (x) f (x)dx 作为(a, b)内的点x的函数, 我们仍然可以讨论它们的可导性与可微性, 这就产生了 高阶导数与高阶微分.
一、高阶导数
定义3.4 : 如果y f (x)在点 x0 处可导,则称y f (x)在点 x0 处二阶可导, 且称y f (x)在点 x0 处的导数为函数f (x)在点 x0 的二阶导数,用f (x0 )
如果记(dx)n dxn.
由定义3.5知: d 2 y d(dy) d[ f (x)dx] dx d[ f (x)] dx f (x)dx f (x)[dx]2 f (x)dx2.
由数学归纳法知 : d n y d (d (n1) y) d[ f (n1) (x)dxn1] dxn1 d[ f (n1) (x)]
dxn1 f (n) (x)dx f (n) (x)dxn
从而高阶导数可用高阶微分定义 :
f
( x)
d2y dx2
,
f
(n) (x)
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
高阶导数的运算法则
应用
高阶微分方程在描述复杂系统的行为和解决某些数学问题中有重要应用。
05
高阶导数的物理应用
速度与加速度的关系
总结词
描述速度和加速度之间的数学关系
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的两 个重要物理量。速度是描述物体位置变化的量，而加 速度是描述物体速度变化快慢的量。通过高阶导数， 我们可以更精确地描述速度和加速度之间的关系。例 如，物体的运动方程可以表示为速度关于时间的导数 （即加速度），而加速度关于时间的导数则表示加加 速度（即物体速度变化的速率）。
举例
$y'' = f(x, y, y', y'')$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变量。
应用
二阶微分方程在振动、波动和曲率等领域有广泛应 用。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含一个未知函数及其高阶导 数的方程。
举例
$y^{(n)} = f(x, y, y', ldots, y^{(n)})$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变 量。
幂的导数法则
总结词
幂的导数法则是计算幂函数的高阶导数的规 则。
详细描述
幂的导数法则是说，如果幂函数y=x^n对x有 n阶导数，则其高阶导数的形式为 d^ny/dx^n=(n!)*x^(n-1)/[(n-
1)!]+...+2*x/1+0*1/x，其中n为非负整数。
03
高阶导数的应用
求极值
极值判定定理
04
高阶导数在微分方程中的应 用
一阶微分方程
定义
01
一阶微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
高等数学第二章导数知识总结
高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。
微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。
三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。
再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2
3.3 高阶导数与微分概念
dy f ( x )x yx
ex 9. 设 y x , 求 dy.
Solution. y 1, dy x dx x.
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx x .
ex 3.设 f ( x ) cos x , 求 f
( n)
( x ).
Solution. f ( x ) sin x cos x 2
x cos x cos x 2 f ( x ) sin 2 2 2 2
dx 1 d2x ex 5.由 , 求 2 . dy y dy
Solution.
d2x d 1 2 dy y dy
d 1 dx dx y dy
1 1 2 y y y y 3 y
二. 高阶导数的运算法则
则 y( n) a0 n!
ex 2.设 y a x , 求 y (n ) .
Solution. y a x ln a ,
y a x ln 2 a ,,
y ( n ) a x ln n a.
注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结
果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
注意：求高阶导数的方法可归纳为三种
方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
方法3(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
x2 5 ex 7.设 y 2 , 求 y( n) . x 2x 3