高阶导数与高阶微分
第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
( x)
2, 2x,
0 1
x x
1 2
1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页 例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u(
x
h) h
u
(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
高等数学基础教材课后答案详解
高等数学基础教材课后答案详解一、函数与极限1. 第一章函数与极限的概念在高等数学教材中，第一章讲述了函数与极限的概念及性质。
函数是数学中的基本概念，它描述了变量之间的关系。
而极限则关注函数在某一点处的变化趋势。
在考察函数与极限时，我们需要掌握函数的定义域、值域以及各种基本函数的性质。
同时，极限的概念也需要熟悉，特别是极限的存在性和唯一性。
2. 第一节函数的极限函数的极限是分析函数行为的重要工具。
在计算函数极限时，可以利用极限的基本运算法则，通过代数运算、函数性质和极限的定义进行求解。
需要注意的是，有些极限需要通过泰勒级数展开或者利用夹逼定理进行求解。
3. 第二节极限的性质与极限存在准则极限的性质包括保号性、四则运算性质以及复合函数的极限性质等。
这些性质是进行极限计算的基本工具。
极限存在准则包括单调有界准则、夹逼准则和柯西收敛准则等，它们在判断极限存在性时非常有用。
4. 第三节无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述极限性质的重要概念。
通过无穷小的定义和性质，我们可以更好地理解函数的极限行为。
无穷大则是对于无穷远处函数值的描述，它在研究函数的渐近线时非常有用。
二、微分学1. 第二章导数与微分导数是函数变化率的一种度量，它描述了函数在给定点附近的局部变化情况。
在微分学中，我们首先需要熟悉导数的定义和基本性质，然后可以利用导数进行函数的求导运算。
求导的常见方法包括基本函数的求导法则、常用公式以及高阶导数的计算。
2. 第一节导数的定义和几何意义导数的定义是基于函数的局部线性逼近，它可以解释为切线斜率的极限。
几何意义上，导数描述了函数图像上的切线斜率，具有重要的几何意义。
3. 第二节导数的计算方法导数的计算方法是微分学的核心内容之一。
通过利用导数的定义，可以求解各种类型函数的导数。
在计算导数时，常用的方法包括基本函数的求导法则、乘法法则、链式法则，以及隐函数求导等。
4. 第三节微分的概念和性质微分是导数概念的延伸，它由导数和自变量的微小增量构成。
高阶导数与高阶微分学习笔记
则有(sin x)(k1) (sin(x k )) cos(x k ) sin(x k 1 )
2
2
2
依数学归纳法知结论成立
类似有: (cosx)(n) cos(x n ),n 1,2,
2
例4 求y ln(1 x)的n阶导数
解： (ln(x 1)) 1 (1 x)1, 1 x
x3ex 90x2ex 2610xex 24360ex
教材上还有例6，是通过找递推关系式来求解。
二 高阶微分
1 概念 若y f (x)的微分函数 dy关于x可微,则称y f (x)关于x二阶可微,
其微分称为二阶微分，记作： d 2 y, d 2 f (x), 类似地有d n y, d n f (x) 若记(dx)n dxn,则有:
y(30) (x3ex )(30)
x3 (ex )(30) C310 (x3 )(ex )(29) C320 (x3 )(ex )(28) C330 (x3 )(ex )(27)
x3(1)30 ex 30(3x2 )(1)29 ex 30 29 (6x)(1)28 ex 21
30 29 28 6 (1)27 ex 3 21
2
2
sin x
分析：正弦函数的导数是4阶一个轮回，而其本身就是一个周期函数，函 数值一个周期重复一次，因此可考虑利用其周期来处理。
猜想其n阶导数为：
(sin x)(n) sin(x n )
2
下面用数学归纳法进行证明：
(1)n 1时结论显然成立
(2)假设n k时结论成立,即有(sin x)(k) sin(x k )
高阶导数与高阶微分学习笔记
一、高阶导数 二、高阶微分
一、高阶导数
1 二阶导数的定义
48高阶导数与高阶微分
y
(n) 2
2019/4/22
(a b ) e sin(bx n )
ax
n 2 2
b ( arctan ) a
9
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
y
(5)
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
2019/4/22
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隐函数的高阶导数
用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次 求导,(y是x的函数),最后解出y的高阶导数.
例1
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
k 0 k n
2019/4/22
n
( n k )
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
2019/4/22 3
二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
1 y 1 x2 1 2x y ( ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
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3.间接法 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
3.5高阶导数与高阶微分
例: 设y x2
解: (1)x为自变量时,有dy 2xdx, d 2 y d(dy) d(2xdx) 2dx dx 2dx2.
(2)x不是自变量而是另一个变量t的函数时, 例x t 2,于是y t 4,故dy 4t3dt.d 2 y d (dy) d (4t3dt) 12t 2dt dt 12t 2dt 2. 由此可见: 求d 2 y时,如果从d 2 y 2dx2出发,以x t2代入, 则d 2 y 2dx2 2(dx)2 2[d(t2 )]2 2[2tdt]2 2[4t2 (dt)2 ] 8t2 (dt)2 8t2dt2.
3.5、高阶导数与高阶微分
设y f (x)在(a,b)内可导,则它的导函数y f (x)和微分函数dy df (x) f (x)dx 作为(a, b)内的点x的函数, 我们仍然可以讨论它们的可导性与可微性, 这就产生了 高阶导数与高阶微分.
一、高阶导数
定义3.4 : 如果y f (x)在点 x0 处可导,则称y f (x)在点 x0 处二阶可导, 且称y f (x)在点 x0 处的导数为函数f (x)在点 x0 的二阶导数,用f (x0 )
如果记(dx)n dxn.
由定义3.5知: d 2 y d(dy) d[ f (x)dx] dx d[ f (x)] dx f (x)dx f (x)[dx]2 f (x)dx2.
由数学归纳法知 : d n y d (d (n1) y) d[ f (n1) (x)dxn1] dxn1 d[ f (n1) (x)]
dxn1 f (n) (x)dx f (n) (x)dxn
从而高阶导数可用高阶微分定义 :
f
( x)
d2y dx2
,
f
(n) (x)
高阶导数与微分
高阶导数与微分微积分是数学中的重要分支，其核心概念之一就是导数。
在导数的基础上，我们可以引入高阶导数的概念，进一步深化对函数变化率的研究。
本文将探讨高阶导数与微分的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、导数回顾在开始讨论高阶导数之前，我们先回顾一下导数的定义。
设函数f(x) 在某一点 a 处可导，那么 f(x) 在点 a 处的导数定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x) - f(a)] / (x - a)导数描述了函数在某一点上的变化率。
如果函数在所有点上都可导，我们可以得到一个新的函数 f'(x)，称为 f(x) 的一阶导函数。
二、高阶导数定义对导数概念的进一步推广就是高阶导数。
函数 f(x) 的二阶导数定义为：f''(x) = [f'(x)]'其中，[f'(x)]' 表示 f'(x) 的导数。
同样地，我们可以定义函数的三阶导数、四阶导数，以此类推。
三、高阶导数与微分之间的关系高阶导数与微分之间存在着密切的联系。
首先，我们知道导数可以看作是函数 f(x) 在某一点 a 处的线性近似。
那么，二阶导数 f''(x) 就是一阶导数 f'(x) 在点 x 处的线性近似。
具体而言，对于函数 f(x)，我们有以下等式成立：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2这个等式就是微分的定义。
它告诉我们，当 x 靠近 a 时，函数 f(x) 可以用它在点 a 处的函数值、一阶导数和二阶导数来近似表示。
同样地，我们可以使用高阶导数来推广微分的定义。
假设函数 f(x) 具有 n 阶导数，则有：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x - a)^n 其中，f^(n)(a) 表示函数 f(x) 的 n 阶导数在点 a 处的值。
高等数学教材详细答案
高等数学教材详细答案1. 极限与连续1.1 数列极限的定义与性质(1) 数列极限的定义(2) 数列极限的性质1.2 函数极限的定义与性质(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质1.3 极限运算法则(1) 四则运算法则(2) 复合函数的极限(3) 三角函数的极限1.4 连续与间断(1) 连续的定义与性质(2) 间断点与间断类型2. 导数与微分2.1 导数的概念(2) 导数的几何意义2.2 导数的基本运算法则(1) 乘积法则(2) 商法则(3) 复合函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分(1) 高阶导数的定义(2) 高阶导数的性质2.4 微分的概念与运算(1) 微分的定义(2) 微分运算法则3. 微分中值定理与应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理(1) 罗尔定理(2) 拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则(2) 洛必达法则3.3 泰勒公式与极值问题(1) 泰勒公式的推导(2) 极值问题的求解4. 不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质(1) 不定积分的定义(2) 不定积分的基本性质 4.2 基本积分表与常用公式(1) 基本积分表(2) 常用公式与性质4.3 定积分的概念与性质(1) 定积分的定义(2) 定积分的性质4.4 定积分的计算方法(1) 几何与物理应用(2) 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用5.1 平面图形的面积(1) 平面图形的面积计算5.2 几何体的体积(1) 旋转体的体积计算(2) 截面法计算体积5.3 物理应用(1) 质量和质心的计算(2) 转动惯量和转动中心的计算6. 多元函数微分学6.1 二元函数与二元函数的极限(1) 二元函数的定义与极限(2) 二元函数的性质6.2 偏导数与全微分(1) 偏导数的定义与计算(2) 全微分的概念与性质6.3 多元函数的微分学定理(1) 多元函数的极值定理(2) 多元函数的条件极值问题7. 重积分7.1 二重积分的概念与性质(1) 二重积分的定义(2) 二重积分的性质7.2 二重积分的计算方法(1) 矩形区域的二重积分(2) 极坐标下的二重积分7.3 三重积分的概念与性质(1) 三重积分的定义(2) 三重积分的性质7.4 三重积分的计算方法(1) 柱面坐标和球面坐标下的三重积分(2) 三元函数的体积计算8. 曲线与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质(1) 第一类曲线积分(2) 第二类曲线积分8.2 曲线积分的计算方法(1) 参数方程下的曲线积分(2) 平面曲线的曲线积分8.3 曲面积分的概念与性质(1) 第一类曲面积分(2) 第二类曲面积分8.4 曲面积分的计算方法(1) 参数方程下的曲面积分(2) 线面积分的转化9. 常微分方程9.1 高阶常微分方程(1) 二阶常微分方程(2) 高阶常微分方程的线性方程 9.2 变量可分离方程与齐次方程(1) 变量可分离方程(2) 齐次方程9.3 一阶线性微分方程(1) 一阶线性微分方程的求解 9.4 常系数线性微分方程(1) 齐次线性微分方程的解法(2) 非齐次线性微分方程的解法10. 线性代数基础10.1 向量的基本概念与运算(1) 向量的定义与性质(2) 向量的线性运算10.2 矩阵与矩阵运算(1) 矩阵的定义与性质(2) 矩阵的运算法则10.3 行列式的定义与性质(1) 行列式的定义(2) 行列式的性质10.4 线性方程组与解的判定(1) 线性方程组的解的性质(2) 线性方程组的解的判定。
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y(n) (cosx)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
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例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x)n.
4
Yunnan University
P(x) na0 xn1 (n 1)a1xn2 an1, P(x) n(n 1)a0 xn2 (n 1)(n 2)a1xn3 an3. P(n) (x) n(n 1)(n 2)3 2 1a0 n!a0. P(n1) (x) P(n2) (x) 0.
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
y (50)
x2
cos(x
50
2
)
C510
2x cos(x
49
2
)
C520
2 cos(x
48
2
)
x2 cosx 100x sin x 2450cosx.
7
Yunnan University
§8. 高阶导数与高阶微分
例6. y ax ln x，求 y(n). (a 0，a 1).
解： (a x )(n) a x (ln a)n ,
dt
(t)(t) (t)(t)
( (t )) 3
.
10
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§8. 高阶导数与高阶微分
例7.
x
a
cos
t，y
b
sin
t，求
d2y dx2
.
解： dy b ctgt， dx a
d2y dx2
d ( dy) dt dx
dx
( b ctgt) a
(a cost)
b ( csc2 t) a a sin t
§8. 高阶导数与高阶微分 高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
b a2
csc3 t.
dt
( du )2 dx
dy du
d 2u dx2
.
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§8. 高阶导数与高阶微分
(2) 参数方程x (t)，y (t)的二阶导数:
y dy (t) . dx (t)
y
d2y d2x
Байду номын сангаас
dy dx
d ( (t)) dt (t) d ((t))
(t)(t) (t)(t) ( (t ) )2 (t)
§8. 高阶导数与高阶微分
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为y，或 f (x)，或 d 2 y，即 dx2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
x
y f (x)的二阶导数f (x)在x的导数称为f (x)在x的三阶
x0
x
1
Yunnan
University
§8. 高阶导数与高阶微分
二 阶 与 二 阶 以 上 的 导 数统 称 为 高 阶 导 数. 根 据 定 义 ， 求n阶 导 数 就 是 反 复 运 用 求一 阶 导 数 的 方 法 ， 逐 阶 进 行n次.
例1. n次多项式P(x) a0 xn a1xn1 an.
2
y sin x cos(x ) sin(x 2 ),
2
2
y(n) (sin x)(n) sin(x n ).
2
3
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§8. 高阶导数与高阶微分
② y (cosx) sin x cos(x ),
2
y cos x sin(x ) cos(x 2 ),
(ln
x)(n)
(1) n 1 (n xn
1)! ,
n
y (n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0
n k 0
Cnk a x (ln
a)nk
(1) k 1 (k xk
1)! .
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是
重复应用一阶导数的法则. 如：
8
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2
Yunnan University
§8. 高阶导数与高阶微分
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax.
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cosx sin(x ),
§8. 高阶导数与高阶微分
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
dy dy du , dx du dx
d2y dx2
d dx
( dy ) dx
d dx
( dy du
du ) dx
d ( dy ) du dy d ( du ) dx du dx du dx dx
d2y du 2
k阶导数
(u v)(n)
注2. 法则1，2成立的条件是 u(x) 与v(x) 均存在 n 阶导数.
6
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§8. 高阶导数与高阶微分
例5. y x2 cos x，求y(50).
解： u cosx，u(n) cos(x n ).
2
v x2，v 2x，v 2，v 0.
其中
u(0)
u，v(0)
v，Cnk
n(n 1)(n k k!
1)
n! . k!(n k)!
5
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§8. 高阶导数与高阶微分 注1. 比较二项式展开公式
(u v)n u 0vn Cn1u1vn1 u nv0 ,
(u0 v0 1)，k次幂
记忆： (u v)n
导 数， 记 为y， 或f (x)， 或 d 3 y . dx3
一般地，y f (x)的n 1阶导数f (n1) (x)在x的导数称为f (x)在
x的n阶 导 数 ， 记 为y ( n)， 或
f (n) (x)， 或
d nx，即 dxn
y(n) f (n) (x) lim f (n1) (x x) f (n1) (x) ( f (n1) (x)).