河南省淇县高二数学上学期 1.2《应用举例》导学案 沪教版
1.2 应用举例 教案-高中数学人教A版必修5
平果二中“一课一研”教学设计表课题人教版必修5 第一章 1.2 应用举例课型新授课参备人修改建议教学目标1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)．参备教师签名重难点1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)．教法教具教学过程与自主预习：1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量上，根据测量需要适当确定的叫做基线．(2)性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越．思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫，目标视线在水平视线下方时叫。
(如图所示)．(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)板书设计思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？当堂练习1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据( )A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为( ) A．α＋βB．α－βC．β－αD．α3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为( )A． 3 B．2 3 C．23或 3 D．34．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B 两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为( )A．(30＋303)m B．(30＋153)m C．(15＋303)m D．(15＋33)m 合作探究例1．海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )A．10 3 海里B．1063海里C．52海里D．56海里三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．练习：1．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为________ m.【例2】(1)如图所示，从山顶望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．503米C ．502米D ．50(3＋1)米 (2)在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33 m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m[探究问题]1．已知A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．【例3】如图所示，为了测量河对岸的塔高AB ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200米，在C 点和D 点测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD ＝30°，求塔高AB .测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．1．本节课要掌握三类问题的解法(1)测量距离问题．(2)测量高度问题．(3)与立体几何有关的测量问题．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.课后练习：1．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )A．d1>d2B．d1<d2C．d1>20 m D．d2<20 m 2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )海里/小时．A．8(6＋2) B．8(6－2) C．16(6＋2) D．16(6－2) 3．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：科研处盖章审核人年月日。
人教新课标版数学高二必修5导学案 1.2 应用举例(二)学生版
1.2 应用举例（二）学习目标1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．学习过程一、自主学习1.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?二、合作探究探究点1：测量仰角(或俯角)求高度问题例1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10m B．53mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)探究点2：测量方位角求高度问题例3如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.三、当堂检测1．一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m．(精确到0.1m)2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
人教A版必修5数学 精品导学案：1.2应用举例—①
§1.2应用举例—①班级姓名学号学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，∠BAC=α，∠ACB=β. 求A、B两点的距离.分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.例3、坡度、仰角、俯角、方位角探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时2. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．4.在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c A:B:C 的值.1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C 、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 在∆ABC中，b=2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
平面向量的应用举例-沪教版教案
一、学习目标1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系3. 掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现向量与物理之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题.二、学习重难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决三、学法指导本节关键是选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决•四、自主预习1、复习：（1）若0为重心,则++= __________（2）水渠横断面是四边形,=,且|=1，则这个四边形为. 类比几何元素之间的关系你会想到向量运算之间都有什么关系？（3）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力•为什么？2、预习教材P109—P112。
整理题型五、问题探究：iur uuu urnr问题1:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型•如下图，AC AB AD，ILLT Ulin ULLTDB AB AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？结论：____________________________________BE、BF分另U与AC 问题2：平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点, 交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？结论：问题3:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的?⑴__________________________________________________⑵__________________________________________________⑶____________________________________________________ 问题4:在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度解释这种现象吗？问题5：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d 500m 一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船的速度| w|=10km/h ,水流的速度|V 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精 确到？六、达标检测 （A 组必做，B 组选做） A 组：1.给出下面四个结论：B.直角三角形C.等腰三角形fff4.在四边形 ABC ［中, AB=- CD AC- BD= 0，则四边形为（）.若线段 uuv AC=AB+BC 则向量 AC uuv uuvAB BC ;若向量 LUIV UUV LUUVAC AB BC ,则线段AC=AB+BC若向量 uuv uuuAB 与BC 共线，则线段 AC=AB+BC; 若向量 uuv uuu ―K —KAB 与BC 反向共线，则 AB BCAB BC .其中正确的结论有 A. 0个 2.河水的流速为2m s ， 一艘小船想以垂直于河岸方向10^S 的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为"s B.2 26C . W63.在ABC 中，若(CA CB)?(CA CB) =0，则ABC 为（）A.正三角形 D.无法确定A.平行四边形 B •矩形 C •等腰梯形 D .菱形5.已知在厶ABC 中, AB= a , AC= b ,且a • b <0,则厶ABC 的形状为（ ）.A.钝角三角形 B •直角三角形 C •锐角三角形 D •等腰直角三角形f f f f f f6•点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足 OA OB= OB- OG OC- OA 则点O 是厶ABC2.已知直线ax + by + c = 0与圆 Ox 2+ y 2= 4相交于A B 两点，且|AB = 2 3，则6人f B=3. 在平面直角坐标系中，正方形 OABC 勺对角线OBf f的两端点分别为 O 0,0），B （1,1），则AB- AC=f f4.已知点A （1,0），直线I : y = 2x - 6，点R 是直线I 上的一点，若RA= 2AP,求点P 的轨迹 方程.C 组（体验咼考）:1.ABC 中，AB 边上的高为CD ,uuu r uuur r r rr uuu若 CB a,CAb,a b 0,|a|1,|b| 2,则 AD ( )1 r 1 r o2 r 2r c 3r 3r 4 r 4r A. — abB. a bC . — a bD .a b 3 33 35 55 5uuu iuu2.在厶 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3 BC=1Q 则 AB AC = _________3.如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC 2，点E 为BC 的中点，点 F 在边CD 上，若LLLT UUU - UUU UUUABg AF 2，贝y AEg BF 的值是uuv uuv4. 如图4，在平行四边形 ABCD 中 ，API BD,垂足为P, AP 3，则APgAC = _.— 七、知识梳理八、问题备忘: 九、巩固作业 教材 120 页 4、 6、 7A.三个内角的角平分线的交点 B •三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D•三条高的交点7.已知 OR OP 2 OP 30, OR OP 2OP 3 1，则OR 、OP 2、OF 3两两夹角是B 组：1.已知 ABC 中，a 2,b 3,C600，求边长c 。
高二数学教案：平面向量应用举例教案
高二数学教案：平面向量应用举例教案高二数学教案：平面向量应用举例教案一、预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：1. 例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗?2. 利用向量方法解决平面几何问题的三步曲是什么?3. 例3中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少?⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.二、学习过程回事?例3.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少?⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)?变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在方向上的投影。
三、反思总结结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。
向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。
有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
《数学应用举例》word“高效课堂”优质课教案
从双基教学的产生，到素质教育、情感态度价值观、学生学科核心素养等一系列理念的提出、研究和实施，不难发现，在这个变化发展的过程中，教育教学目标的实施一步步具体、明确、可操作，充分体现了基础教育科学研究的不断深入，体现了教育研究水平的不断提高。
我们要深刻体会这种变化，最大限度地提高教学效率和教育质量，为现代化建设事业培养全面发展的合格接班人。
本课中，既体现出了双基教学，也在高效课堂上注重了重要环节的描写。
通用技术课程立足实践，注重创造，高度综合，融科学与人文于一体，课程学习与实践中，必然涉及相关的数学核心素养，与其它素养相辅相成，使学生的身心素质得到全面健康的发展。
数学研究学习——生活中的数学应用案例及做一个尽可能大的长方体生活中无处不存在数学，数学是应用到我们的每个细节。
学数学不是当死知识，而是要灵活运用。
我们只有真正的学好数学，才能用到实际生活当中。
这天，我正在玩物理学具，因为电学下学期还要学，所以我就玩起了电学里的连接电路。
看着那一闪一亮的灯泡，我突然心中起了一个问号，灯泡的容积怎么求呢？那不方不正，又不是球形的灯泡，又怎么能计算求出它的容积呢？最简单的办法就是碗里面灌满水，然后倒出来量。
可是灯泡又扭不开，也不可能打碎，这怎么求。
我低头思考了一会，就想出办法。
我首先找出一个玻璃钢（鱼缸），然后将灯泡放进去，测量说升高了多少。
然后套用公示：升高的高度*长*宽，就计算出来了。
还有一个实例：过年的时候，小姑要和姑父回家乡过年，说是要给我带纪念品。
不知道他们什么时候走的，等的我就急了，问爸爸，他这就考我了：“你小姑回去一周，平年2月有28天.，你算算吧。
”我不假思索的回答，“她7号回来，对不对？”知道我是怎么算的吗？是这样的。
设这七天最中间的一天为x，得到一个方程：(x-3+x-2+x-1)+x+(x+1+x+2+x+3)=28解得x=4 4+3=7数学在生活中十分有用，只有不断探索，才会获得更多收获做一个尽可能大的长方体步骤1．准备：一张边长为20 cm的正方形纸板，一个无盖的长方体，以及剪刀、直尺、透明胶、细沙。
高中数学 1.2应用举例(2)导学案 新人教A版必修5
1.2应用举例第2课时预习案【学习目标】1.2.学会用正弦定理、有关的实际问题的方法。
3分析问题和解决问题的能力。
.【重点】 ： 问题。
【难点】 将预习不能解决的问题中标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在 上方的角叫仰角，在 下方的角叫俯角(如图①)．2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如②)．Ⅱ.教材助读1. 课本例3可转化为“已知任意两角与 ”的解三角形问题，可利用 定理得到解决。
2. 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 ，一般来说， 越长，测量的精度 。
例3中 是基底。
【预习自测】如图所示，B 、C 、D 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30°、45°，则点A 距地面的距离等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m图1【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点1：测量底部不能到达的某物体的高度（重点） 【例1】 如图2，测量河对岸的塔高AB 时，可以 选与塔底在同一水平面内的两个测量点C 与D. 现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C 处 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB.图2【规律方法总结】解决该类问题时，一定要准确理解和的概念.Ⅱ.我的知识网络图→训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！2.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离.二、综合应用-----挑战高手，我能行！3.(09·宁夏海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．1．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ.则θ的值为( )A．15°B．10°C．5°D．20°三、拓展探究题------战胜自我，成就自我！4.为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B,M,N在同一个铅垂平面飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 1.2 应用举例(一)
1．2应用举例(一)1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘．1．仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图．2．方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是．从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如北偏东30°，南偏东45°. 3．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度．要点一测量底部不能到达的建筑物的高度例1如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠CAD ＝β ，∠BAC ＝α－β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m(精确到1 m ，sin 35°≈0.574)． 答案 812解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈812(m)． 要点二 测量仰角求高度问题例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD＝AD.在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪演练2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β).∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.要点三测量两个不能到达点之间的距离问题例3如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝ 64( km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形． ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． 所以河对岸A 、B 两点间距离为64km. 规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪演练3 要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 两地的距离．解 如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°) ＝60°，由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75° ＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5∴AB ＝1005(米)．答 河对岸A 、B 两点间的距离为1003米．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，a ，βD ．b ，α，γ 答案 D解析 由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选D.2．如图，某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x 的值是________．答案 4解析 由余弦定理：x 2＋9－3x ＝13， 整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4.3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m ，________m. 答案 2034033解析 甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203(m)； 乙楼的高为：203－20tan30°＝203－20×33＝4033(m)． 4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为________m.答案 502解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理，得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， ∴AB ＝30(m)．1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离” 要综合运用正弦定理和余弦定理. 无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离．2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中，AB ＝10(n mile)，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝5 6 (n mile)．2．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( ) A ．6 km B ．3 3 km C ．3 2 km D ．3 km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝32(km)．3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( ) A ．10 m B ．10 2 m C ．10 3 m D ．10 6 m 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10(m)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600(m)，BC ＝DC ＝2003(m)．在△BCD 中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中， AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300(m)，故选B. 方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos2θ，即300＝2003cos2θ.cos2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ ＝2003×32＝300(m)， 故选B.5．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m.答案 60解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120 (m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)． ∴河的宽度为60 m.6．如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解 选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在G 、H 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD ＝a ，测角仪器的高是h . 那么，在ACD 中，根据正弦定理可得AC ＝a sin βsin (α－β)，AB ＝AE ＋h ＝AC sin α＋h ＝a sin αsin βsin (α－β)＋h .二、能力提升7．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15 mB ．5 mC．10 m D．12 m答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝ 3 h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．8．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m答案D解析由题意画出示意图，设高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500 (m)．故选D.9．如图所示，在高出地面30 m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60 m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则△ABC 中，tan α＝3060＝12.又∠DAB ＝45°＋α， tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060＝tan(45°＋α)． 又tan(45°＋α)＝tan 45°＋tan α1－tan 45°tan α＝3. ∴x ＋3060＝3，解得x ＝150 m. 答 所以电视塔的高度为150 m.10．如图，某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40 m 以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．解 在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝45°＋90°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC＝40sin 30°sin 135°＝202(m)． 在Rt △ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE，AB 为定值，故要使∠AEB 最大，需要BE 最小， 即BE ⊥CD ，这时∠AEB ＝30°.在△BCD 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD ·sin ∠BDE＝202sin 15°＝10(3－1)(m)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE tan ∠AEB＝10(3－1)·tan 30°＝103(3－3)(m)． 答 塔的高度为103(3－3) m. 11.如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度由B 向C 航行，航行的方位角是140°.A 处有一灯塔，其方位角是110°，在C 处观察灯塔A的方位角是35°，由B 到C 需航行半个小时，求C 到灯塔A 的距离．解 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋35°＝75°，∴∠BAC ＝75°.由正弦定理，得AC sin 30°＝BC sin 75°， ∴AC ＝BC sin 30°sin 75°＝10sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝406＋2＝10(6－2)(km)． 答 C 到灯塔A 的距离为10(6－2)km.三、探究与创新12．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ADC 中，∠DAC ＝30°.∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1(km)．又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)． 因此，BD ＝32＋620≈0.33(km)， 故B ，D 的距离约为0.33 km.。
河南省淇县2011-2012学年高二数学上学期 1.1.2《余弦定理余弦定理》导学案 沪教版
河南省淇县2011-2012学年高二数学上学期 1.1.2《余弦定理余弦定理》导学案 沪教版一、复习回顾：1 正弦定理： ；变形： ；2.正弦定理可以解决的两类问题：(1) ；(2) .二、知识探索：思考1：在ABC ∆中，已知b AC c AB ==,和角A ，求另一边BC ？能用正弦定理求吗？是否可以利用初中学过的勾股定理来证明？1.余弦定理： ； ； ；请大家用文字来描述一下余弦定理：.探究1：余弦定理是否可以利用向量的方法来证明？请大家试试看。
2.余弦定理的变形： ； ； ；3.余弦定理及其变形的基本作用： ；；思考2：勾股定理与余弦定理的关系 。
三、知识运用：例1：在ABC ∆中，已知ο60,26,32=+==B c a ，求b 和角A.说明：试用两种方法来解决这个问题。
例2：在ABC ∆中，已知21,29,20===c b a ，解三角形。
例3：在ABC ∆中，已知bc c b a ++=222，求角A.例4：在ABC ∆中，已知6:5:4sin :sin :sin =C B A ，求cos A:cos B:cos C.A ．B ．C ．D ． 2.钝角三角形的三边长为2,1,++a a a ，其最大角不超过0120，则a 的取值范围是：A ．30<<aB ．323<≤aC ．32≤<aD ．251<≤a 3.在△ABC 中，60,76,14B b a ===o ，则A = 。
4.在∆A B C 中，已知s i n :s i n :s i n ::A B C =654，则c o s A =___________。
5.如果在ABC ∆中，3=a ，7=b ，2=c ，那么B 等于： A ．6π B ．4π C ．3π D ．32π 6.已知ABC ∆中，3=a ，2=b ，226+=c ，那么A 等于__________。
7.在ABC ∆中，9=a ，10=b ，12=c ，这个三角形是__________三角形。
高二数学人教A版必修5第一章1.2 应用举例 教案
1.2 应用举例【课题】：1.2.3解三角形在三角形面积计算上的应用【学情分析】:在学习本节之前学生能解决直角三角形以及已知三角形的一边和这边上的高的三角形面积计算问题。
学生学了正弦定理和余弦定理并积累了一些解三角形的知识后，对三角形的面积的计算就可以向学生提出更高的要求了。
因此，在学生已掌握了正弦定理、余弦定理的基础上，让学生探讨解决“已知二边及夹角和已知三边求三角形面积”的问题，就有了可能。
【教学目标】：（1）知识与技能:使学生掌握在“已知二边及夹角”和“已知三边”的条件下求三角形面积的方法；提高计算和使用计算工具的能力；进一步领会方程的思想，提高解决问题尤其是实际问题的能力（2）过程与方法：通过合作与探究，加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高方程思想在实际中的运用能力（3）情态与价值：体验探求的乐趣，体会正弦定理、余弦定理的结构美，激发并提高学生学习数学的热情和兴趣【教学重点】：（1）公式的发现和它的灵活应用（2）方程思想的运用【教学难点】：在不同的条件下灵活的应用公式【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图创设情景问题1：在三角形ABC中，a=4，b=3，C = 60°，则ABCS∆=______ 生：求出对应边上的高，再利用12S a h=⋅求解∵AC=b，BC=a，作AD⊥BC，则AD为三角形BC边上的高∴AD=bsinC1sin2ABCS ab C=创设情景，引出问题，让学生主动学习，积极思考，由浅入深，寻求答案，灵活应用例1：在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）(1)已知a=14.8cm，c=23.5cm， B=148.50；(2)已知B=62.70，C=65.80，b=3.16cm；(3)已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.例2：如图，在某市进行环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68cm ,88cm，127cm，这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm2)例3：在△ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=（2）2222(cos cos cos)a b c bc A ca B ab C++=++例1，2是在不同条件下求三角形的面积问题，归根到底是灵活运用正弦定理和余弦定理，应让学生归纳总结方法并提高计算能力，例3是边化角或角化边思想的体现练一练1.在△ABC中，A=600，b=1，3ABCS=，则△ABC外接圆的半径是_________________.2. 在△ABC中，已知B=600，cosC=13,AC=36，则△ABC的面积是____3．在ABC∆中，193,32,222==++=acbbccba，求ABC∆的面积4.在△ABC中，2sin cos2A A+=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积是_________________.通过练习进一步熟悉公式，灵活地针对不同的条件解决问题，从而增加学生学好数学的兴趣和信心基础练习：1、在△ABC 中，a=2，A=030，C=045，则△ABC 的面积是_________________ 解：由正弦定理sin sin a bA B=有sin 2sin1051)sin sin 30a B b A === ∴11sin 21)1222ABC S ab C ∆==⋅⋅= 2、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C的对边，且tan tan tan A B A B +=⋅，a=4，b+c=5，则△ABC 的面积为________________________35. 3 C.D.222A 解：由tan tan tan A B A B ++=⋅得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅∴ A+B=23π C=3π又 ∵ 22222cos 1645c a b ab C b bb c ⎧=+-=+-⎨+=⎩∴ b=32113sin 4sin 2223ABCS ab C π==⋅⋅⋅=∴选C3、在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦是32，则△ABC 的面积是____________________解：由已知可知A 是最大角，所以3sin 2A =A=0060120或 又222(4)(2)2(2)cos c c c c c A +=++-⋅⋅+当A=0120时，上式化为260c c --=，解得c=3或c=-2（舍去） 当A=060时，上式无意义∴ 113153sin 532224ABCSbc A ==⋅⋅⋅= 4、在△ABC 中，a,b,c 分别为A ，B ，C 的对边的长，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5,S=53,求c 的长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.
2、搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；
3、理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4、通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 二、本节重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
三、本节难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
四、知识储备
1．正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+= ,cos 22
22B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=，⇔ab c b a C 2cos 2
22-+= 五、通过预习掌握的知识点
解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。
对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等。
但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。
这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。
关于三角形的有关几何计算，教科书还涉及了三角形的高和面积的问题，给出了计算三角形的高和面积的公式，这些公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到。
另外，关于三角形边角关系恒等式的证明问题，课程标准要求不在这类问题上作过于繁琐的训练，教科书选择的例题（P21例9）仅限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题。
六、知识运用
1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°. A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离. (答案：5km)
2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30︒，灯塔B在观察站C南偏东60︒，则A、B之间的距离为多少？（答案：2a km）
七、重点概念总结
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。
可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解附件1：律师事。