高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §4-4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 含解析

[A 基础达标]
1．不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( )
A ．左上方
B ．右上方
C ．左下方
D ．右下方
解析：选D.将(0，0)代入2x －y －6，得－6＜0，(0，0)点在不等式2x －y －6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．
2．已知点(a ，2a －1)既在直线y ＝3x －6的上方，又在y 轴的右侧，则a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(5，＋∞)
C ．(0，2)
D ．(0，5) 解析：选D.因为(a ，2a －1)在直线y ＝3x －6的上方，
所以3a －6－(2a －1)＜0.即a ＜5.
又(a ，2a －1)在y 轴右侧，所以a ＞0.
所以0＜a ＜5.
3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0
表示的平面区域内整点的个数是( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
解析：选C.画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(3，0)共6个．
4．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )
解析：选 C.原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
5．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D.由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1，0)，B (0，1)，C (1，1＋a )，且a >－1.
因为S △ABC ＝2，
所以12
(1＋a )×1＝2，所以a ＝3. 6．不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域的面积为________．
解析：原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，
x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，x －y ≥－1，x ≤0，y ≥0，x ＋y ≥－1，x ≤0，y ≤0，
其表示的平面区域如图中阴影部分．
所以S ＝(2)2＝2.
答案：2
7．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0
表示的平面区域的公共点有________个．
解析：画出不等式组
⎩⎨⎧x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0
表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43
，故只有一个公共点(5，0)．
答案：1
8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0
表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积
相等的两部分，则实数k 的值是________．
解析：区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0，
1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1
只要经过AB 的中点即可．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，
解得A (1，0)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，
解得B (2，3)． 所以AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13
. 答案：13
9．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x －by ＋1>0表示的平面区域内，试求b 的取值范围．
解：由于点P (1，－2)关于原点的对称点的坐标为(－1，2)，由题意得，点(1，－2)和(－1，
2)都在不等式2x －by ＋1>0表示的平面区域内，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1－b ×（－2）＋1>0，2×（－1）－b ×2＋1>0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3>0，2b ＋1<0，
解得－32<b <－12
， 所以b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32
，－12. 10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0，x ＋y ≥0，x ≤4
表示的平面区域是Q .
(1)求Q 的面积S ；
(2)若点M (t ，1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合．
解：(1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝4， 解得A (4，－4)，
由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＝4，
解得B (4，12)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0
解得C (－4，4)．
于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8.
所以S ＝
1
2
×16×8＝64. (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0，t ＋1≥0，t ≤4，t ∈Z ，
即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7，t ≥－1，t ≤4，t ∈Z .
亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4，t ∈Z ，得t ＝－1，0，1，2，3，4. 故整数t 的取值集合是{－1，0，1，2，3，4}．
[B 能力提升]
11．某人上午7：00乘汽车以v 1千米/时(30≤v 1≤100)匀速从A 地出发到距离300 km 的B 地，在B 地不停留，然后骑摩托车以v 2千米/时(4≤v 2≤20)匀速从B 地出发到距离50 km 的C 地，计划在当天16：00至21：00到达C 地，设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x ，y 小时，则在xOy 坐标系中，满足上述条件的x ，y 的范围阴影部分如图表示正确的是( )
解析：选B.由题可得，v 1＝300x ，v 2＝50y
.
所以⎩⎪⎨⎪⎧30≤300x ≤100，4≤50y ≤20，9≤x ＋y ≤14，x ，y ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧3≤x ≤10，52≤y ≤252，9≤x ＋y ≤14，x ，y ≥0， 作图得B.
12．若以原点为圆心的圆全部在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，2x ＋y －4≤0，3x ＋4y ＋9≥0
表示的平面区域内，则圆的面积的
最大值为________．
解析：因为原点到直线x －3y ＋6＝0，2x ＋y －4＝0，3x ＋4y ＋9＝0的距离分别为3105，455
，95，且455<95<3105，所以以原点为圆心，455
为半径的圆是所给平面区域内面积最大的圆，其面积为π⎝⎛⎭⎫4552＝16π5. 答案：16π5
13．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名大学生可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．
解：不妨设用餐费为x 元，其他费用为y 元，由题意知x 不小于240，y
不小于180，x 与y 的和不超过500，用不等式组表示就是
⎩⎨⎧x ＋y ≤500，
x ≥240，y ≥180.
对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示． 14．(选做题)已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0
表示的平面区域内，求点N (a ＋b ，a －b )所在的平面区域的面积．
解：因为点M (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0表示的平面区域内，所以⎩⎨⎧a ＋b ≤2，
a ≥0，
b ≥0.
设X ＝a ＋b ，Y ＝a －b ，
则
⎩⎪
⎨
⎪⎧X≤2，
X＋Y
2≥0，
X－Y
2≥0，
即
⎩
⎨
⎧X＋Y≥0，
X－Y≥0，
X≤2，
所以点N(a＋b，a－b)，即点N(X，Y)所在的平面区域如图阴影部分所示．
由图可知其面积为S＝1
2×4×2＝4.。