数学---江苏省盐城市2016-2017学年高一下学期期末考试试题

江苏省盐城市2016-2017学年度高一下学期期末考试数学试题参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高． 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．函数π()2sin(2)3f x x =-的最小正周期为 ． 2．已知直线l 过定点(1,0)，且倾斜角为π3，则直线l 的一般式方程为 ． 3．若π2sin()23α+=，则cos 2α= ． 4．在Rt ABC ∆中，π2A =，4AB =，3AC =，则CA CB ⋅= ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若首项13a =-，公差2d =，5k S =，则正整数k = ．6．设a .b 表示两条直线，α.β表示两个平面，则下列命题正确的是 ．（填写所 有正确命题的序号）①若a //b ，a //α，则b //α； ②若a //b ，a α⊂，b β⊥，则αβ⊥； ③若α//β，a α⊥，则a β⊥；④若αβ⊥，a b ⊥，a α⊥，则b β⊥． 7．已知正项等比数列{}n a ，且153537225a a a a a a ++=，则35a a += ． 8．若圆锥的侧面展开图是半径为5.圆心角为6π5的扇形，则该圆锥的体积为 ． 9．已知向量a 是与向量b ＝(－3,4)同向的单位向量，则向量a 的坐标是 ． 10．已知函数3cos(2)y x ϕ=+是奇函数，则的最小值为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，以点（1,0）为圆心且与直线2410mx y m --+=()m R ∈相 切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．12．已知数列{}n a 满足1122,211,2n n n a n k a a n k ---=+⎧=⎨+=⎩（k ∈*N ），若11a =，则20S = ．13．如图，点P 是正六边形ABCDEF 的边上的一个动点，设AP xAB yAE =+，则x y +的 最大值为 ．||ϕ14．在锐角ABC ∆中，角A .B .C 的对边分别为a .b .c ，若22a b bc =+，则ab的取 值范围是 ．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G .H 分别是DF .BE 的中点．（1）求证：GH //平面CDE ；（2）若CD ＝2，DB ＝，求四棱锥F －ABCD 的体积．已知向量2x ka b =+ 和y a b =- ，其中(1,2)a =- ，(4,2)b =，k R ∈． （1）当k 为何值时，有x //y；（2）若向量x 与y的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，半径OA 在x 轴的上方，现将半径OA 绕原点O 逆时针旋转π3得到半径OB ．设PO A x ∠=(0πx <<)，()()f x OA OB OP =+⋅．（1）若π2x =，求点B 的坐标； （2）求函数()f x 的最小值，并求此时x 的值．如图，OA.OB是两条公路（近似看成两条直线），π3 AOB∠=，在A O B∠内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA.OB的距离分别为PD.PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA.OB分别交于点M.N．（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，312S =． （1）求24a 与7S 的值；（2）已知m .n 均为正整数，满足m n a S =．试求所有n 的值构成的集合．20．（本小题满分16分）如图，已知动直线l 过点1(0,)2P ，且与圆22:1O x y +=交于A .B 两点．（1）若直线l OAB ∆的面积；（2）若直线l 的斜率为0，点C 是圆O 上任意一点，求22CA CB +的取值范围；（3）是否存在一个定点Q （不同于点P ），对于任意不与y 轴重合的直线l ，都有PQ 平分AQB ∠，若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】一.填空题：每小题5分，共计70分.1.π0y - 3.19-4.95.56.②③7.58.12π9.34(,)55- 10.π211.22(1)2x y -+=12.2056 13.214.二.解答题：本大题共6小题,共计90分.15. (1)证明：连接FC ，∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC ． 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， 又H 为BE 的中点 ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG ∥CD ． ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴GH ∥平面CDE ．(2)解：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且F A ⊥AD ，又F A ⊂平面ADEF∴F A ⊥平面ABCD ． ∵AD ＝BC ＝6，∴F A ＝AD ＝6．又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD ． ∵SABCD ＝CD ·BD ＝82，∴V F －ABCD ＝13S ABCD ·F A ＝13×82×6＝162． 16.解：（1）由//x y ，设x t y = ，所以2()ka b t a b +=- ，即()(2)t k a t b -=+，又(1,2)a =- ，(4,2)b =，得a 与b 不共线，所以20t k t -=+=，解得2k =-. （2）因向量x 与y的夹角为钝角，所以(2)()0x y ka b a b ⋅=+⋅-<，又(1,2)a =- ，(4,2)b =，得0a b ⋅= ， 所以2225400x y ka b k ⋅=-=-< ，即8k <，又向量x 与y不共线，由（1）知2k ≠-，所以8k <且2k ≠-. 17.解：（1）因点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，又π2x =， 且半径OA 绕原点O 逆时针旋转3π得到半径OB ，所以5π6POB ∠=， 由三角函数的定义，得5cos 16B x π=，5πsin 16B y =，解得B x =，12B y =，所以1()2B . （2）依题意，(1,0)OP = ，(cos ,sin )OA x x = ，ππ(cos(),sin())33OB x x =++ ，所以π3()cos()cos cos 32f x x x x x =++=，所以1π()sin ))23f x x x x =-=-， 因0πx <<，ππ2π333x -<-<，所以当ππ32x -=时，即5π6x =，函数()f x 取最小值18.解法一：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则直线OB 的方程为y =， 又P 到直线OA 的距离PD =6千米，设(,6)P t ，12=，解得t =-，所以OP = （2）因P 为小路MN 的中点，点M 在x 轴上，即0M y =，所以12N y =，又点N 在OB上，所以N N y =，所以N x = 由（1）知P，所以M x =，24MN =.答：（1）P 到点O处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. 解法二：（1）设POA α∠=，则3POB πα∠=-，因P 到直线OA .OB 的距离分别为PD .PE ，PD =6千米，PE =12千米， 所以612πsin sin()3OP αα==-， 所以π2sin sin()3αα=-，化简得tan α= 又22sin cos 1αα+=，所以sin α，6sin OP α== （2）设PMO θ∠=，则23PMN πθ∠=-， 因P 为小路MN 的中点，即PM PN =， 所以612sin sin()3θθ=-，即2πsin()2sin 3θθ-=， 解得π6θ=，所以12224πsin 6MN PM ===. 答：（1）P 到点O处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. 19. 解：（1）因数列{}n a 是等差数列，所以32312S a ==，所以24a =， 又11a =，所以公差3d =，所以13(1)32n a n n =+-=-，213(132)22n n n S n n -=+-=，所以2470a =，27377702S ⋅-==. （2）由（1）知32m a m =-，由m n a S =，得23322n nm --=，所以2223433442(1)6623n n n n n n n m n -++-++===--， 因2(1)n n n n +=+为正偶数，22n n +为正整数，所以只需2(1)3n -为整数即可，即3整除1n -，所以{}31,A n n k k N ==+∈. 20. 解：（1）因为直线ll 213:+=x y ， 则点O 到直线l 的距离412|21|==d ，所以弦AB 的长度2154112||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，所以16152154121=⋅⋅=∆OAB S .（2）因为直线l 的斜率为0，所以可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23B ，设点),(y x C ，则122=+y x ，又()222222221122222CA CB x y x y x y y ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+=++-++-=++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2242CA CB y +=-，又[]1,1-∈y ， 所以22CA CB +的取值范围是[]2,6.（3）法一： 若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q .又设),(11y x A .),(22y x B ，因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ，代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1k x x k k x x +-=+-=+（*）若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的定义，AQ 与BQ 的斜率互为相反数 有12120y t y t x x --+=，又1112y kx =+，2212y kx =+， 化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=，代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ， 即2=t ， 即(0,2)Q解法二:若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q .又设),(11y x A .),(22y x B ， 因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ，代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1k x x k k x x +-=+-=+（*）若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的几何意义，点A 到y 轴的距离1d ，点B 到y 轴的距离2d 满足21:d QBd QA =，即||)(||)(2222212121x y t x x y t x -+=-+，化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=，代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ， 即2=t ， 即(0,2)Q。