高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练41
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 两条直线的位置关系
√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0， 直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32， 所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三 角形，则实数m的取值集合为
解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二 两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1， 由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k， 解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
2023版高考数学一轮复习真题精练第八章平面解析几何pptx课件
【疑难点拨】 破解本题的疑难点是对最值问题如何进行转化,只需把|PM|·|AB|的最小值问题层层转化,最终
转化为|PM|的最小值问题,从而转化为点到直线的距离的最小值问题.
5 (多选)[2021新高考Ⅱ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]
已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是
1
连接AM,BM,易知四边形PAMB的面积为2|PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四边形PAMB的面积最小,即只需
△PAM的面积最小.因为|AM|=2,所以只需|PA|最小.
又|PA|= ||2 −||2 = ||2 −4,所以只需|PM|最小,此时PM⊥l.因为PM⊥AB,所以l∥AB,所以kAB=-2,排除
5
−2 + 1 = 0
= −1,
得ቊ
所以P(-1,0).易知P,A,M,B四点共圆,所以以PM为直径的圆的方程为
= 0,
1
5
x2+(y-2)2=( 2 )2,即x2+y2-y-1=0 ②,由①②得,直线AB的方程为2x+y+1=0,故选D.
优解 因为☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心M(1,1).
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案
5.ABD
对于A,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=
正确;对于B,若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=
2019-2020年高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练
2019-2020年高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【解】 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．2．(xx·陕西高考)如图886，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. 图886(1)求椭圆E 的方程．(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解】 (1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.3．给出双曲线x 2－y 22＝1. (1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4. 故求得直线方程为4x －y －7＝0.(2)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连结AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．【解】 (1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题意知，E 点坐标为(x 0,0)，设D (x D,0)，则AE →＝(x 0，－22)，AD →＝(x D ，－22)， 再由AD ⊥AE 知，AE →·AD →＝0，即x 0x D ＋8＝0. 由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ⎝⎛⎭⎪⎫8x，0. 故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.① 从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8x 0.②将②代入椭圆C 的方程，得 (x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③ 再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0.解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．[能 力 练]扫盲区 提素能1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．【解】 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设D (t,0)(t ＞0)， 则FD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D ＞0)， 因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D ＞0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x－2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围；(3)若点P 满足|PA |＝|PB |，求证：1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2为定值．【解】 (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92.①由题意知ba ＝22，② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32，∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1.(2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →，得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0. 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋332＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－332＋y 21＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113.又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]，∴113≤x 21＋113≤203，∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，203.(3)证明：由|PA |＝|PB |，知P 在线段AB 的垂直平分线上， 由椭圆的对称性可知A 、B 关于原点对称．①若A 、B 在椭圆的短轴顶点处，则点P 在椭圆的长轴顶点处，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2.若A 、B 在椭圆的长轴顶点处，则点P 在椭圆的短轴顶点处，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1a2＋1a 2＋2b2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②当点A 、B 、P 不在椭圆顶点处时，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OP 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 2，y 2)，B (－x 2，－y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 22＝31＋2k 2，y 22＝3k 21＋2k2.所以|OA |2＝|OB |2＝x 22＋y 22＝＋k21＋2k2， 用－1k代换k ，得|OP |2＝＋k 22＋k2.∴1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1＋2k 2＋k 2＋1＋2k2＋k2＋＋k2＋k2＝2. 综上，1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2为定值2. 3．已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在y 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l 与C 1有且只有一个公共点P ，且与C 2的准线相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设C 1，C 2的标准方程分别为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，x 2＝py ， ∵(0，－22)不符合x 2＝py ，∴该点必为椭圆上的点， 代入得a ＝2 2.即椭圆方程为y 28＋x 2b2＝1，若(4,1)在椭圆上，则有18＋16b2＝1，b 2＝1287＞a 2(不合题意)． 即(4,1)在抛物线上，∴p ＝16， 抛物线方程为x 2＝16y ，验证得⎝⎛⎭⎪⎫－1，116在抛物线上，(2，－2)不在抛物线上，∴(2，－2)在椭圆上，∴b 2＝4.故C 1，C 2的标准方程分别为y 28＋x 24＝1，x 2＝16y .(2)存在．设直线l 的方程为x ＝my ＋n ， 将其代入y 28＋x 24＝1，消去x 并化简整理得(1＋2m 2)y 2＋4mny ＋2n 2－8＝0， ∵l 与C 1相切，∴Δ＝16m 2n 2－4(1＋2m 2)(2n 2－8)＝0， ∴n 2＝4(1＋2m 2)， 设切点P (x 0，y 0)， 则y 0＝－2mn 1＋2m 2＝－8mn， x 0＝my 0＋n ＝n 2－8m 2n ＝4n.又直线l 与C 2的准线y ＝－4的交点Q (n －4m ，－4)， ∴以PQ 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4n (x －n ＋4m )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋8m n (y ＋4)＝0，化简并整理得x 2－4n x ＋(4m －n )x ＋8mn (y ＋2)＋(y ＋2)2＝0，当x ＝0，y ＝－2时，等式恒成立， 即存在定点M (0，－2)符合题意．4．(xx·湖北高考)一种画椭圆的工具如图887(1)所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图887(2)所示的平面直角坐标系．图887(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)因为|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立；同理，|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立，所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4()1＋4k 2(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.② 将①代入②，得S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号． 所以当k ＝0时，S △OPQ 取最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练46
分层限时跟踪练(四十六)(限时40分钟)[基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·福建高考)若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【解析】 由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.【答案】 B2．(2015·湖南高考)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b2a2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c2－a2a2＝169， 即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53. 【答案】 D3．(2015·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x29－y213＝1 B.x213－y29＝1 C.x23－y 2＝1D ．x 2－y23＝1 【解析】 由双曲线的渐近线y ＝±b ax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a2＋b2＝c2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y23＝1. 【答案】 D4．已知双曲线x2m －y2n ＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y ＝112x 2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．22x ±y ＝0B ．x ±22y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，所以双曲线焦点在y 轴上，所以n ＜0，m ＜0，渐近线方程为y ＝±n mx .又e ＝3， ∴1＋－m －n ＝9，∴n m ＝18，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x 22. 【答案】 B5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D. 【答案】 D二、填空题6．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________. 【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练47
分层限时跟踪练(四十七)(限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·兰州双基考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 【解析】 设抛物线的准线方程为x ＝－p2(p ＞0)，所以p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.【答案】 B2．(2015·四川绵阳二诊)抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22 B.24 C.12 D.14【解析】 ∵抛物线y 2＝2x 上一点M (x ，y )到它的焦点F 的距离为32，∴x ＋12＝32，∴x＝1.当x ＝1时，y ＝±2，∴△OFM 的面积为12×12×2＝24.故选B.【答案】 B3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意p22＝2，则p ＝8，所以C 2的方程为x 2＝16y .【答案】 D4．(2015·洛阳统考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝( )A.14 B ．1 C.54D ．2【解析】 由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋1＝5，解得x 1＝4，y 21＝4x 1＝16，由对称性，不妨取y 1＝4，所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程得4x 2－17x ＋4＝0，∴x 1＝4，x 2＝14，∴|BF |＝x 2＋1＝54.【答案】 C5．(2015·九江一模)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3 【解析】 设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22x －，解得B (1，－22)，∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3.【答案】 D 二、填空题6．(2015·陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝__________.【解析】 抛物线的准线方程为x ＝－p2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.【答案】 2 27．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若点A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.【解析】 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1.焦点F (1,0)，又A 到准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3.∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.【答案】1638．(2015·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．【解析】 由题意，从点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形知|MA |＋|MM 1|的最小值为圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于5.因此|MA |＋|MF |的最小值为5.【答案】 5 三、解答题9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，∴p ＝4， 从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.图87410．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解】 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－1＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．[能 力 练]扫盲区 提素能1．(2015·成都模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223【解析】 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ， 在Rt △PAN 中，sin ∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin ∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，|PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos ∠NPA ＝22， 故选B. 【答案】 B2．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且|RA |＝|RB |，|FA |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A.32 B ．1 C ．2 D.12【解析】 依题意知|FA |＋|FB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋2＝5，解得p ＝1，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减并整理得y 2－y 1x 2－x 1＝2y 2＋y 1＝21×2＝1，∴k AB＝1.【答案】 B3．已知P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．【解析】 由于P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上的点，且横坐标分别为4，－2，则P (4,8)，Q (－2,2)，从而在点P 处的切线斜率k 1＝4，由点斜式得曲线在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，同理在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)．联立这两个直线方程，可解得交点A 的纵坐标为－4.【答案】 －44．(2015·绵阳诊断)已知A 是抛物线y 2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线FA 交抛物线的准线于点B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为___________________________________________________________________．【解析】 依题意，①若点A 位于x 轴上方，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A 1，则有|AB |＝2|AF |＝2|AA 1|，∠BAA 1＝60°，直线AF 的倾斜角为120°.又点F (1,0)，因此直线AF 的方程为y ＝－3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x y ＞，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝233.此时点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.②若点A 位于x 轴下方，则此时点F (1,0)是线段AB 的中点，又点B 的横坐标是－1，故点A 的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y ＝－4×3＝－23，点A 的坐标是(3，－23)．综上所述，点A 的坐标是(3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.【答案】 (3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2335．如图875，已知直线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，且点D 的坐标为(3，3)．图875(1)求p 的值；(2)若F 为抛物线的焦点，M 为抛物线上任一点，求|MD |＋|MF |的最小值．【解】 (1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，k OD ＝33，则k AB ＝－3，直线AB 的方程为y －3＝－3(x －3)，即3x ＋y －43＝0，将x ＝y 22p代入上式，整理得3y 2＋2py －83p ＝0，∴y 1y 2＝－8p ，由OA ⊥OB 得y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＋4p 2＝0，∴－8p ＋4p 2＝0，又p ＞0，则p＝2.(2)由抛物线定义知|MD |＋|MF |的最小值为D 点到抛物线y 2＝4x 准线的距离，又准线方程为x ＝－1，因此|MD |＋|MF |的最小值为4.6．(2015·湖南高考)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a ＋x 2b＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．【解】 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2＋8k22＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162k2＋＋8k22，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何课件
[五年考情]
考点
2016 年 2015 年 2014 年
2013 年
2012 年
直线的倾斜角 与斜率、直线的 方程、距离
17,4 分(文) 15,4 分(理)
3,位置关 系、圆与圆的位 10,6 分(文)
14,4 分(理) 14,4 分(文)
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
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谢谢欣赏！
2019/7/12
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
19,15 分 (理)
19,15 分 (文)
19,15 分 (理)
19,15 分 (文)
21,15 分 (理)
22,7 分(文)
22(2)，9 分(理) 22,14 分(文)
21(2)，8 分(理) 22,15 分(文)
[重点关注] 综合近 5 年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方 程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、 标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思 想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．
2019版高考数学一轮复习第八章平面解析几何
七
节
双曲线
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双 基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必
过
教
材
关
1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1， F2的 距离的差的绝对值等于非零 常数 (小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线 ______
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 a b
图形
性 质
范围 对称性
x≤－a 或 x≥a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
标准方程 顶点 渐近线 离心率 性 质 a，b，c 的关系
2 y 即其标准方程为x2－ ＝ 1. 2 2 y 答案：x2－ ＝1 2
课 堂 考 点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 双曲线的标准方程
[题组练透]
x2 y2 1． (2017· 天津高考 )已知双曲线 2－ 2 ＝ 1(a>0， b>0)的左焦点 a b 为 F，离心率为 2 .若经过 F和 P(0,4)两点的直线平行于双 ( )
x2 y2 解析：设要求的双曲线方程为 2－ 2＝ 1(a>0， b>0)， a b x2 y2 由椭圆 ＋ ＝1，得椭圆焦点为(± 1,0)，顶点为(± 2,0)． 4 3 所以双曲线的顶点为(± 1,0)，焦点为(± 2,0)． 所以a＝ 1， c＝ 2，所以b2＝ c2－ a2＝ 3，
高考数学一轮复习(通用版)分层限时跟踪练43第八章 平面解析几何 Word版含解析
分层限时跟踪练(四十三)(限时分钟)础练],扣教材练双基)一、选择题．(·肇庆二模)已知圆的圆心是直线－＋＝与轴的交点，且圆与直线＋＋＝相切，则圆的方程为( )．(＋)＋＝．(＋)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝【解析】由(\\(－＋＝，＝))得圆心坐标为(－)，由圆与直线＋＋＝相切得＝＝.故圆的方程为(＋)＋＝.【答案】．设圆的方程是＋＋＋＋(－)＝，若＜＜，则原点与圆的位置关系是( ) ．原点在圆上．原点在圆外．原点在圆内．不确定【解析】将圆方程化为标准式得(＋)＋(＋)＝，因为＜＜，所以(＋)＋(＋)－＝(－)＞，即(＋)＋(＋)＞，∴原点在圆外．【答案】．点(，－)与圆＋＝上任一点连线的中点轨迹方程是( )．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝【解析】设圆上任一点坐标为(，)，则＋＝，连线中点坐标为(，)，则(\\(＝＋，＝－，))∴(\\(＝－，＝＋，))代入＋＝得(－)＋(＋)＝.【答案】．设是圆(－)＋(＋)＝上的动点，是直线＝－上的动点，则的最小值为()．．．．【解析】如图，圆心(，－)与定直线＝－的最短距离为＝－(－)＝，又圆的半径为，故所求最短距离为－＝.【答案】．(·全国卷Ⅱ)已知三点()，(，)，(，)，则△外接圆的圆心到原点的距离为( )【解析】在坐标系中画出△(如图)，利用两点间的距离公式可得＝＝＝(也可以借助图形直接观察得出)，所以△为等边三角形．设的中点为，点为外心，同时也是重心．所以＝＝，从而＝＝＝，故选.【答案】二、填空题．圆(＋)＋＝关于原点对称的圆的方程为．【解析】因为所求圆与已知圆的圆心(－)关于原点()对称，所以所求圆的圆心为()，半径相等为，故所求圆方程为(－)＋＝.【答案】(－)＋＝．(·绍兴模拟)点()和圆：＋＋＋＋＝上的点的距离的最小值是．【解析】圆的方程化为标准式为(＋)＋(＋)＝.∴圆心(－，－)，半径＝.易知点()在圆外．。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练42
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练42(限时40分钟)一、选择题1．(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝( )A．－1 B．2C．0或－2 D．－1或2【解析】若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0与x＝－3，此时两直线不平行，所以a≠0，则有＝≠，解得a＝－1或a＝2.【答案】D2．(2015·浙江名校联考)已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay －1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，l1⊥l2，充分性成立；若l1⊥l2，则1×(a－2)＋a(a－2)＝0，即a＝－1或a＝2，必要性不成立，应选A.【答案】A3．(2015·广元模拟)若直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝( )A．0 B．1C．－1 D．2【解析】∵直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为，∴∴n＝－2，m＝2(负值舍去)．∴m＋n＝0.【答案】A4．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】解方程组得交点坐标为.因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．【答案】B5．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0【解析】设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得＝，∴k＝2或k＝－.∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.【答案】D二、填空题6．(2015·秦皇岛检测)直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l2的方程为y ＋1＝k(x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k2＋1＝，解得k ＝(k ＝2舍去)，∴直线l2的方程为x －2y ＝0. 【答案】 x －2y ＝07．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a ，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a 的值为________．【解析】 l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y 轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x 轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a 的值为1或0. 【答案】 0或18．若直线m 被两平行线l1：x －y ＋1＝0与l2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为2，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 其中正确答案的序号是________．【解析】 两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为＝，又动直线l1与l2所截得的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．【答案】①⑤三、解答题9．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．【解】(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k2≠0.即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④联立③④，解得或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝，b ＝2.10．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA|＝|PB|，且点P 到直线l 的距离为2.【解】 设点P 的坐标为(a ，b)，∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P(a ，b)在上述直线上，∴a －b －5＝0.① 又点P(a ，b)到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②可得或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或.1．如图821，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )图821A ．2B ．6C ．3D ．25【解析】 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD|＝2.【答案】 A2．(2015·开原模拟)已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A. B.25C. D.105【解析】(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝，故选A.【答案】A3．已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB 线段的中点为P，则线段AB的长为________．【解析】依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)、B(－2y，y)，故则A(4,8)、B(－4,2)，所以|AB|＝＝10.【答案】104．双曲线x2－y2＝4左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b＝________.【解析】由点到直线的距离公式得，＝，即|a－b|＝2，又P(a，b)为双曲线左支上一点，故应在直线y＝x的上方，所以a－b＜0，所以a－b＝－2.因为P(a，b)在双曲线上，所以a2－b2＝4，所以(a＋b)(a－b)＝4，故a＋b＝－2.【答案】－25．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．【解】(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，解得λ＝2或λ＝.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. (2)由解得交点P(2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA 时等号成立)． ∴dmax ＝|PA|＝.6．已知点A(3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上各找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．【解】 由点A(3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于y ＝x 的对称点B(1，3)，同样可求得点A 关于y ＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为|BC|＝2.由B(1,3)，C(3，－1)可得直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝53，故M 点的坐标为.对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝， 故N 点的坐标为.故在直线y ＝x 上找一点M ，在y ＝0上找一点N ，可使△AMN 的周长最短，为2.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练43
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练43(限时40分钟)一、选择题1．(2015·肇庆二模)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8【解析】由得圆心坐标为(－1,0)，由圆与直线x＋y＋3＝0相切得r＝＝.故圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.【答案】A2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是( )A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定【解析】将圆方程化为标准式得(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，即(0＋a)2＋(0＋1)2＞2a，∴原点在圆外．【答案】B3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【解析】 设圆上任一点坐标为(x0，y0)， 则x ＋y ＝4，连线中点坐标为(x ，y)，则∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2，代入x ＋y ＝4得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 【答案】 A4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】 如图，圆心M(3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.【答案】 B5．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B.213C.D.43【解析】 在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝，故选B.【答案】 B 二、填空题6．圆(x ＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程为__________________． 【解析】 因为所求圆与已知圆的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径相等为，故所求圆方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】(x－2)2＋y2＝57．(2015·绍兴模拟)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．【解析】圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.易知点P(1,2)在圆外．∴点P到圆心C的距离为|PC|＝＝≥3.∴|PC|min＝3.∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.【答案】28．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________________．【解析】由圆的几何性质知kPQ·kOM＝－1.∵kOM＝2，∴kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.【答案】x＋2y－5＝0三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．【解】(1)法一设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，－＋－2－＝r2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3， 与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． ∴半径r ＝＝2，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)法一 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D2＋E2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x －4y －95＝0. 法二 由A(1,12)，B(7,10)，得AB 的中点坐标为(4,11)，kAB ＝－， 则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.10．已知圆x2＋y2＝4上一定点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ 中点的轨迹方程．【解】(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)【解析】由题意，得圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，得b＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a＞0，解得a＜2，∴a－b＝2＋a＜4.【答案】A2．(2015·孟津模拟)已知圆心C在直线2x＋y＝0上，且圆C夹在两条平行线l1：x＋y＋5＝0与l2：x＋y－3＝0之间，圆上的点到两条平行线的最小距离均为，则圆C的标准方程为( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2B．(x－1)2＋(y＋2)2＝4C．(x－2)2＋(y＋4)2＝2D．(x－1)2＋(y＋2)2＝2【解析】由题意知圆心C在直线x＋y＋1＝0上，由，得圆心C(1，－2)，半径r＝－＝，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.【答案】D3．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为____________________________________________．【解析】由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.【答案】x2＋2＝434．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．【解析】lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝，则AB边上的高的最小值为－1，故△ABC的面积最小值为×2×＝3－.【答案】3－ 25．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，(1)求的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值与最小值．【解】(1)方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4.y表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆相切时，斜率最x大或最小，如图①所示．设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.(2)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，如图②所示．由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.6．(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点M(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆M上，从而OM⊥PM.因为OM的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.。
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分层限时跟踪练(四十一)
(限时40分钟)
[基 础 练]扣教材 练双基
一、选择题
1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3 D ．－33
【解析】 斜率k ＝－sin 30°cos 150°＝－sin 30°－cos 30°＝tan 30°＝33
. 【答案】 A
2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是
( )
A ．m ≠－32
B ．m ≠0
C ．m ≠0且m ≠1
D ．m ≠1 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m2＋m －3＝0，m2－m ＝0，
得m ＝1，
故m ≠1时方程表示一条直线．
【答案】 D
3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C ．y －3＝3(x －1)
D ．y －3＝－3(x －1)
【解析】 ∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ，∴k AB ＝－k OA ＝－3.
∴直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．
【答案】 D
4．直线x ＋(a 2
＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 【解析】 ∵直线的斜率k ＝－1a2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
【答案】 B
5．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A ．x ＋2y －6＝0
B ．2x ＋y －6＝0
C ．x －2y ＋7＝0
D ．x －2y －7＝0
【解析】 法一 直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.
法二 设方程为x a ＋y b ＝1，将P (1,4)代入得1a ＋4b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋4a b ≥9，
当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，
∴直线方程为x 3＋y 6
＝1，即2x ＋y －6＝0. 【答案】 B
二、填空题
6．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，m 共线，则实数m ＝________. 【解析】 由题意得k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312
－2， ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即m －312
－2＝－1， 解得m ＝92
. 【答案】 92
7．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．
【解析】 设P (x,1)，Q (7，y )，
则x ＋72＝1，y ＋12
＝－1， ∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)，
故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13
. 【答案】 －13。