相似三角形的判定课堂教学实录

相似三角形的判定(二)教学实况 师:上课生（齐鞠躬行礼):老师好。

师：（回礼）同学们好。

请坐。

师: 同学们，在上一节课的探索中，我们知道：如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

那么三角形 的相似还有没有其它条件呢？出示课题：27.2.1相似三角形的判定（二）[板书]师：下面请同学们回忆一下三角形全等条件—边角边（SAS ）的内容？ 生：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形全等。

教师板书：①两边对应相等 ②夹角相等师：如图，在ABC ∆和A B C '''∆中， A A '∠=∠.根据边角边（SAS ）判定条件来判断ABC ∆和A B C '''∆全等，还需要添加什么条件？生：还需要添加条件：AB A B ''=，AC A C ''= 教师板书：在ABC ∆和A B C '''∆中 因为A A '∠=∠AB A B ''=，AC A C ''=所以ABC ∆≌A B C '''∆师：如果把条件：AB A B ''=，AC A C ''=改写成：1AB ACA B A C ==''''。

那么ABC ∆和A B C '''∆是否还全等？（在刚才的板书中改写） 生：是的，因为条件AB A B ''=，AC A C ''=和条件1AB ACA B A C ==''''是等价 的，所以两个三角形仍然是全等的。

师：回答的很好！那么这两个三角形除了是全等关系外，还是什么关系？（学生思考）……生：相似吧，因为全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。

（教师把刚才板书中的ABC ∆≌A B C '''∆中的“≌”改成“∽”.） 改动后的板书：在ABC ∆和A B C '''∆中 因为A A '∠=∠1AB ACA B A C ==''''所以ABC ∆∽A B C '''∆师：的确如此！也就是说：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例（比值为1），并且夹角相等.那么这两个三角形相似. 师：伟大的科学家牛顿曾说过：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现和创造. 那么对于三角形相似的条件，你们有什么大胆的猜想呢？（学生想说，但又不敢说。

但在教师的鼓励下，有同学鼓起了勇气.） 生：我的猜想是：如果把比值改成2，两个三角形可能也是相似的. 教师在课件中出示猜想：在ABC ∆和A B C '''∆中，如果2AB ACAB AC==''，A A '∠=∠，那么ABC ∆和A B C '''∆ 相似吗？师：在古希腊，人们经常用测量的方法来研究图形.今天，我们不防也用测一测、量一量的方法来验证我们的猜想.如图，在∠A 和A B C '''∆中，A A '∠=∠师生共同操作：以∠A 为内角，画△ABC ，使得2A B AB ACA C ==''''师：同学们用量角器量一量B ∠和B '∠，你有什么发现吗？ 生：B ∠和B '∠相等.师：其他同学是否也有这样的发现？ 众生：是的！师：你能判断ABC ∆和A B C '''∆相似吗？ 众生 ：能.师：谁能说说你的判断理由？生：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.师：你们还有哪些更充分的理由：生：三边对应成比例，两个三角形相似；师：对；师：验证和证明，当比值为2的时候，两个三角形仍然相似.师：如果设比值为k.通过刚才的研究：当k=1时，两三角形……生：相似师：当k=2时，两三角形……生：相似师：此时，你还有什么更大胆的猜想？（学生很积极）生：k可以取一切实数.生：不对，k可以取大于0的一切自然数.生：k可以取大于0的一切实数.生：和k无关，只要两边对应成比例.师：同学们的猜想都很大胆，都具有牛顿的品质，但对吗？生：我们可以用测量的办法加以验证啊？师：对！下面就请同学们分别验证k=2.5、3、3.5、4的时候是否还相似. （学生通过测量的办法分别验证着自己的猜想）师：你们有什么发现吗？众生：仍然相似.师：同学们刚才认真的操作、仔细的观察加深了我们猜想的可信度。

但举例有限，而k的取值却无限，那么我们能否运用已有的知识加以说明呢？教师在投影片上出示：如图，在ABC ∆和A B C '''∆中，如果∠A=∠A ′，A B AB ACA C =''''， 试说明：ABC ∆∽ A B C '''∆师：下面就让我们沿着问题的路标，向成功迈进吧！！教师出示问题1：问题1：如何在△ABC 中构造出一个与△ABC 相似的三角形？（学生思考）生：作BC 边的平行线.（学生根据上一节的内容很容易想到） 师：非常棒！在AB 边上任找一点B ''，过点B ''作B C ''''∥BC ，交AC 于点C ''.根据上节课的知识，我们可以知道AB C ''''∆与△ABC 相似. 师：像这样的三角形有多少个？ 生：无数个.教师出示问题2问题2：点B ''在什么位置时，所构造的AB C ''''∆ 可能与A B C '''∆全等？（学生思考）生：AB A B ''''=时.教师出示下图：师：假如AB C ''''∆和A B C '''∆全等，而AB C ''''∆又和ABC ∆相似.那么ABC ∆就和A B C '''∆相似.师：AB C ''''∆和A B C '''∆全等已经有什么条件了？ 生：AB A B ''''=，A A '∠=∠. 师：还需要什么条件？生：AC A C ''''=或B B '∠=∠或C C '∠=∠ 师：我们不妨从边入手.教师出示问题3：问题3：如何说明AC A C ''''= （学生思考、讨论）生： 因为AB C ''''∆∽ABC ∆所以AB ACAB AC ='''' 又因为AB ACA B A C =''''，AB A B ''''= 所以AC A C ''''=师：刚才严谨的推理，再次说明了猜想的正确性. 师：请同学们用自己的语言总结出我们今天的发现.（学生积极发言，通过前面的研究，基本都可以能说对）教师总结：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角．．相等， 那么这两个三角形相似。

教师板书：师：通过前面的探索，我们又发现了一种判定两三角形相似的方法，下面我们就应用今天所学的知识，解决数学问题.（1）教师出示思考 思考：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠B= ∠B ′ .要使△ABC ∽△A ′B ′C ′，需要添加什么条件？生：B B '∠=∠ 生：A A '∠=∠ 生：AB ACA B A C =''''师：要说明两个三角形相似，若已知一对等角，则可找另一对等角，或找夹已知等角的两边对应成比例。

（2）教师出示讨论：讨论1：在△ABC中，AB=8㎝，AC=6㎝.在AB边上有一定点D，AD=4㎝，在AC边上有一动点E.试问：当AE= ㎝时，△ABC和△ADE相似.（学生充分讨论后，让学生在课件中找出两个三角形可能相似时点E的大概位置，如上图两点1E、2E）第一种情况：当动点E在1E处时：ADE∆∽ABC∆需要条件AD AE AB AC=第一种情况：当动点E在2E处时：AED∆∽ABC∆需要条件AD AE AC AB=讨论2：如图，在△ABC中，AB=4㎝，AC=2㎝.问题1：在AB上取一点D，当AD= ㎝时，△ACD∽△ABC；问题2：在AC的延长线上取一点E，当CE= ㎝时，△AEB ∽△ABC.问题3：此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？（3）教师出示观察：观察：如图，将方格纸分成6个三角形.在②、③、④、⑤、⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形有哪些？为什么？师：同学们，通过本节课的学习，你有什么收获？生：在今天的这节课中，我们通过“猜想—验证—推广—说理—应用”的过程，探索出三角形相似的条件。

在这过程中，我们感受到数学从已知到未知的魅力。

师：好！希望同学们在今后的学习中，秉承数学精神，探索数学世界、感受数学魅力。

（下课）生：（齐，行礼）老师再见。

师：（回礼）同学们再见。