高等数学求极限的14种方法
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高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在：
（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（2）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞
→⇔=∞
→lim lim lim )()(
(3) A x x x x A x f x x =→=→⇔
=→+
-
lim lim lim 0
)(
(4) 单调有界准则
（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件。是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（1）“00”“∞
∞
”时候直接用
(2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒
数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)
(1)()()()
(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；
)
()(1)
(1)(1)()(x g x f x f x g x g x f -
=
-
(3)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即
e
x f x g x g x f )
(ln )()
()
(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞•0”型未定式。
3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
12)!
1(!!21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θ ； 3211253)!
32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m
x m x m x x x x x θ
cos=221242)!
22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ ln （1+x ）=x-1
1132)1)(1()
1()1(32++-++-+-+-+n n n
n
n x n x n x x x θ (1+x)u =1112
)1(!
2)1(1+--+++++-+
+n n u n u n n u x x C x C x u u ux θ 以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设均不为零m n b a ,，
P （x ）=011
1a x a x a x a n n n n ++++-- ,0111)(b x b x
b x b x Q m m m m ++++=-- (1)⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==∞
→)(,)(,0)(,)()(lim m n m n n m b a x Q x P x n n
（2）若0)(0
≠x Q ，则)()
()()(00lim
0x Q x P x Q x P x x =→ 5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：
（1）设0>>>c b a ，n n n n n c b a x ++=，求n n x lim ∞
→
解：由于a a a a a x a n n n n n ==<<∞
→∞
→)3(,,3lim lim 以及，由夹逼定理可知a x n n =∞
→lim
（2）求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+
+++
∞
→222)2(1)1(11lim n n n
n
解：由n n
n n n n n
1
111)2(1)1(1102222
22=+++<++++
< ，以及01
0lim lim ==∞→∞→n
n n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++++∞
→n n n n n 2
221
211
1lim
解：由n
n n n
n n
n n
n n
n n n n
n
n
+=
++++
+<
+++++
+<
=++2
2
2
2
2
2
1111
211
11111
,
以及
11
111lim
lim
lim 2=+=+=∞
→∞
→∞
→n
n
n n n n n 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如：
求()12321lim -∞
→++++n n nx x x )1|(| 8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如： ⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n =1)1(11)1(113121211lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-∞→∞→n n n n n 9.利用1+n x x x 与极限相同求极限。例如： （1）已知n n a a a 12,211+==+，且已知n n a lim ∞ →存在，求该极限值。 解:设n n a lim ∞ →=A ，（显然A 0>）则A A 12+=，即0122=--A A ，解得结果并舍去负值得A=1+2 （2）利用．．单调有界的性质．．．．．．．。．利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例如 设n n n n x x x x x lim ,2,,22,2121∞ →-+=+==求 解：（i ）显然221< 21<<+k k x x 。所以，{}n x 是单调递增数列，且有上界，收敛。设 A n =∞ →lim ，（显然)0>A 则 A A +=2，即022=--A A 。解方程并舍去负值得A=2.即2lim =∞ →n n x 10.两个重要极限的应用。 （1）1sin lim 0 =→x x x 常用语含三角函数的“0 0” 型未定式 (2)()e x x x =+→1 1lim ，在“∞1”型未定式中常用 11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n n 快于n ！,n ！快于指数型函数n b (b 为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x 趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。 12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限x x x 2sin 2arccos lim π -→。解：设 t t x t x x t sin )2 cos(,00,2arccos -=+=→→- =π π 且时，则。 原式=2 1 sin 222arccos 22arccos 2sin 2lim lim lim -=-= - = - →→→t t x x x x x x t x x π π 13．利用定积分求数列极限。例如：求极限⎪ ⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim 。由于n i n i n +=+111，所以2ln 11111111211121lim lim ==⎪ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎰∞→∞→x n n n n n n n n n n 14.利用导数的定义求“0 0”型未定式极限。一般都是x →0时候，分子上是“)()(a f x a f -+”的形 式，看见了这种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你m ' =）（a f 告诉函数在具体 某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义） 例:设 ) (,0)(' a f a f >存在，求()n n a f n a f ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim 解：原式=()n a f a f n a f a f n a f a f n n n a f a f n a f a f a f n a f ) () ()1 () ()1 () ()()()1(1)(11lim lim -+⨯ -+∞→∞→⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++=⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢ ⎢⎢ ⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++ = ) ()(')(11) ()1 (lim a f a f a f n a f n a f n e e =-+∞ → 高数中求极限的16种方法 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致 一、极限分为一般极限和个数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 二、解决极限的方法如下： 1．等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2．LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） （1）首先他的使用有严格的使用前提 ①必须是 X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）②必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）③必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 （2）LHopital 法则分为3种情况 ①0比0，无穷比无穷的时候直接用 ②0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以，无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，这样就能变成1中的形式了 ③0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方 对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3．泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！) E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则——最大项除分子分母！ 无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！ 6.夹逼定理（主要对付的是数列极限！），这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1） 8.各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限），可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式（对付数列极限），例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.2 个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限） 11．当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！ x的x次方快于 x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!! 12．换元法，是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13．假如要算的话，四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的 14．转化为定积分。一般是从0到1的形式 15．单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！ 16直接使用求导数的定义来求极限 （一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候 f （0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！） 千里之行，始于足下。 高数中求极限的16种方法 在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。为了解决各种极限 问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。以下是高数中求极限的16种方法： 1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。 2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的 极限来确定未知函数的极限。 3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。 4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。 5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。 6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。 7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转 化为可计算的形式。 8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求 出极限。 9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。 10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。 第1页/共2页 锲而不舍，金石可镂。 11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。 12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。 13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。 14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。 15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。 16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。 除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。 首先说下我的感觉,假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面：首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。极限分为一般极限,还有个数列极限,（区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种）。解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！你还能有补充么？） 1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。 2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开高数中求极限的16种方法
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