解高次方程
高次方程的解法
高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。
其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。
我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。
其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。
比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。
因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。
其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。
如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。
那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。
通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。
所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。
比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。
所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
高次方程解法
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
1．卡尔丹公式
一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
２．盛金公式
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
高次方程的韦达定理
高次方程的韦达定理1. 引言在数学中，高次方程是指其中最高次项的次数大于1的代数方程。
解决高次方程一直是数学研究的重要课题之一，而韦达定理则是解决高次方程的重要工具之一。
韦达定理，也称为韦达方程，是由法国数学家韦达（François Viète）于16世纪提出的。
本文将详细介绍高次方程的韦达定理，包括其定义、推导过程、应用以及相关例题分析等内容。
通过阅读本文，读者将能够全面了解和掌握韦达定理在解决高次方程中的应用。
2. 定义韦达定理：对于一个n 次方程a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0=0其根为x 1,x 2,⋯,x n ，则有以下关系成立：{ x 1+x 2+⋯+x n =−a n−1a n x 1x 2+x 1x 3+⋯+x n−1x n =a n−2a n ⋯x 1x 2⋯x n =(−1)n a 0a n3. 推导过程为了推导韦达定理，我们先来观察一个二次方程的特例：ax 2+bx +c =0这个方程的根为x 1,x 2，则根据求根公式可得：x 1+x 2=−b ax 1x 2=c a我们可以将这个特例推广到n 次方程。
假设n 次方程的根为x 1,x 2,⋯,x n ，我们可以将该方程表示为以下形式：(x −x 1)(x −x 2)⋯(x −x n )=0展开上述等式后，可以得到一个n 次方程。
通过展开和比较系数，我们可以得到韦达定理中的各个关系。
具体地，我们将(x −x i )展开后得到多项式p i (x )。
则有：p i (x )=(x −x i )=x n−1+a i,n−2x n−2+a i,n−3x n−3+⋯+a i,0其中a i,j 表示p i (x )中x j 的系数。
因此，我们可以得到以下关系：{p 1(x )+p 2(x )+⋯+p n (x )=0p 1(x )p 2(x )+p 1(x )p 3(x )+⋯+p n−1(x )p n (x )=0⋯p 1(x )p 2(x )⋯p n (x )=0通过将p i (x )展开，我们可以得到韦达定理中的具体表达式。
任意高次方程求解方法
任意高次方程求解方法对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理。
但经常会遇到高次方程的问题，如何通过一种简便的方法快速得到高次方程的解，成为一个迫切的需求。
本人发现了数列与高次方程的关系，可以通过数列与高次方程的关系可以得到高次方程的一个解。
这种方法适用于任意高次有解的方程。
任一高次方程:可以变化为： 以上方程可以产生一个数列，通过数列前后项相除可以得到方程的近似解。
以下为求解结论：二次方程： 所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： 三次方程:所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： ܽݔ+ܾݔିଵ+ܿݔିଶ+⋯+ݔ+ݍ=0ଵݔ+ଶݔିଵ+ଷݔିଶ+⋯+ݔ=1ଵݔଶ+ଶݔ=1ቐ݂ଵ=݂ܽଶ=ܾ݂=ଵ݂ିଶ+ଶ݂ିଵݔ=lim →ஶ(݂ିଵ݂)0<ݔ<1ଵݔଷ+ଶݔଶ+ଷݔ=1݂ଵ=݂ܽଶ=ܾ݂ଷ=݂ܿ=ଵ݂ିଷ+ଶ݂ିଶ+ଷ݂ିଵݔ=lim →ஶ(݂ିଵ݂)0<ݔ<1(ܽ,ܾ不同时为0的常数)(ܽ,ܾ,ܿ不同时为0的常数)依次类推n次方程:所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： 以上求解的方法基本为,将通用方程转化为数列对应方程,再由方程产生一个对应的数列,数列前项除后项可以得到方程的近似解,数列的项越靠后,这个近似解不断逼近方程的解.当迭代次数m趋向于无穷大时,这个值为方程的一个解,这个解大于0小于1.当方程无解时,方程对应的数列会循环或前后项相除的结果比较离散,不会逼近一个值.以上的求解方法可以通过Execl去验算，目前只是发现了这个现象还没有很好证明，至于方程是否有解，也只能从演算的结果去判断。
有兴趣的朋友可以一起(159探5246讨5840)。
但在实际应用中，迭代次数m取一定的值就可以得到方程的近似解，在要求不高时，可以很快得到方程的一以下为一个五次的方程，得到对应的数列，数列的前五位全选1，数列生成到12位。
高次方程的解法
高次方程的解法
高次方程是指次数大于等于3的多项式方程。
解高次方程的方法有以下几种：
1. 因式分解法：通过将方程进行因式分解，使得方程等号两边的表达式可以以某种方式相乘得到0，然后令每个因式等于0求解得到方程的解。
2. 求根法：对于二次方程，可以直接使用求根公式来求解。
对于次数更高的方程，可以使用数值计算的方法来逼近方程的解。
3. 割线法和牛顿法：这两种方法是数值计算中常用的逼近求解方法，通过不断迭代逼近的过程，找到方程的解。
4. 代数方法：对于一些特殊的高次方程，可以使用代数方法来求解。
例如，对于四次方程可以使用Ferrari公式，对于五次方程可以使用Galois理论等。
需要注意的是，高次方程的解法多样，对于特定的方程，可能需要结合多种方法来求解。
此外，由于高次方程的求解过程较为复杂，一般需要借助计算工具进行计算。
牛顿迭代求解高次方程
设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。
过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。
利用普通计算器求解高次方程的解摘要：介绍了一种利用普通计算器求解高次方程解的方法，具有很强实用性。
关键词：普通计算器，一元三次方程，牛顿迭代法0引言一元二次方程我们在初中就知道怎么解了，一元三次方程也有解析解，但太复杂，没多少人能记住，除了少部分通过观察可以进行因式分解求解，大部分都没那么简单能一眼猜出来。
遇到这些高次方程，一般用matlab求下，很简单，但其最大的缺点是要用电脑。
其实只要我们手上有下图所示“计算器”就可以解一般的三次方程，甚至是更复杂的高次方程。
这里所谓的“普通计算器”是指一般学生使用的卡西欧计算器等，如下图，普及率应该很高。
以求一元三次方程2x^3-7x^2+x-15=0为例，1原理原理为迭代法，“数值分析”的知识就强大在这里。
对于一般的方程：f(x)=0求x0使得f(x0)=0。
转化f(x)的形式，f(x)=x-G(x)，x=G(x)使用牛顿迭代法，G(x)的形式为：G(x)=x-f(x)/f'(x)，（牛顿！），带入可见f(x)=0自然成立。
我们给G(x)中的x一个初值，计算得到的值可以再作为x带入G(x)计算，直到x稳定在某一个值，此时G(x0)=x0，这个稳定的值x0就是方程的一个根，（不动点）。
2、原理完了，就是实际的操作。
图示计算器内置有10个变量，A-F，X，Y，M，以及Ans，可以分别赋值并带入表达式计算。
高次同余方程解法
高次同余方程解法高次同余方程是数论中一种经典问题，它涉及到模运算和数的整除性质。
解决高次同余方程的方法有很多，本文将介绍其中的几种常见方法。
首先，我们来了解一下什么是高次同余方程。
高次同余方程指的是形如 $ax^n \equiv b \pmod{m}$ 的方程，其中 $a, b, m$ 是已知整数，$n$ 是已知正整数。
解决这类方程的目标是找到一个满足条件的整数解。
一种解决高次同余方程的方法是试位法。
这种方法的基本思想是通过尝试不同的取值来找出满足方程的整数解。
具体步骤如下：1. 准备一个数列 $S$，根据 $n$ 的大小可以选择不同的增量。
例如，如果 $n = 2$，可以选择 $S=\{0,1,2,3,\ldots\}$；如果 $n = 3$，可以选择$S=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$。
2. 遍历数列 $S$，对于每个数 $s$，计算 $as^n \bmod m$ 的结果。
3. 如果找到某个数 $s$，使得 $as^n \equiv b \pmod{m}$ 成立，则 $s$ 是方程的一个解。
4. 继续遍历数列 $S$，直到找到所有满足条件的解。
试位法的优点是简单易懂，但缺点是效率较低。
当 $m$ 较大、$n$ 较大时，试位法的计算量会非常大，很难在合理的时间内求解。
另一种解决高次同余方程的方法是费马小定理。
费马小定理是数论中的一条重要定理，它表明如果 $p$ 是一个素数，$a$ 是一个不被 $p$ 整除的整数，则 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。
利用费马小定理，可以简化高次同余方程的求解过程。
具体步骤如下：1. 如果 $n$ 不是一个素数，可以将方程转化为 $a^{n-1} \cdot a \equiv b\pmod{m}$ 的形式。
2. 如果 $n$ 是一个素数，根据费马小定理，可以得到 $a^{n-1} \equiv 1\pmod{n}$。
即方程可简化为 $a \equiv b \pmod{m}$ 的形式。
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解高次方程
求解高次方程，首先需要确定方程的阶数，并把该方程化为一般形式：axn+bxn-1+…+k，然后通过代入法、求根公式、简化指数或其他基本方法来解决该方程。
具体步骤包括：
（1）用拉格朗日分解法，将方程化为axn+bxn-1+…+k=0的通式；
（2）通过代入法或其他基本方法找出每个未知系数；
（3）如果有a≠0，则使用中国剩余定理将找到的另外n-1个系数代入高次方程中求出a；
（4）对得到的a、b、c…等系数，检验立方根的可行性，如果不存在可行的立方根，即a=0，则重新求解方程；
（5）将所有的系数代入到原方程中，检验结果的正确性。