高次方程的解法
高次幂方程怎么解
高次幂方程怎么解
高次幂方程的解法一般比较复杂，没有一般的通解公式。
以下列举一些常见的解法：
1.因式分解法：如果高次幂方程能够因式分解，则可以将其转化为一组一次或低次幂方程，从而求得解。
2.换元法：有些高次幂方程可以通过一些特殊的代换或变换，转化为比较容易解决的一次或低次幂方程。
常见的代换包括三角函数代换、指数函数代换等。
3.数值法：有时候高次幂方程的解很难用代数方法求出来，可以使用数值法逼近其解。
常见的数值法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等。
4.根号解法：一些高次幂方程可以通过根号解法转化为无理数方程，从而求解。
常见的根号解法包括拉格朗日等价形式法和积和变换法。
总之，高次幂方程的解法需要根据具体情况而定，有时候需要多种解法结合才能求出其解。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
特殊的高次方程的解法
特殊的高次方程的解法高次方程一直是数学中比较玄奥的话题之一，找到这种方程的解法一直以来也是一个十分棘手的难题。
但是在这里，我想和大家分享特殊的高次方程的解法，这种方法一定会让你眼前一亮。
首先，我们需要掌握的是Vieta定理。
Vieta定理是由法国数学家弗朗索瓦·瓦耶（François Viète）于16世纪提出，用于描述多项式系数之间的关系。
Vieta定理提供了关于多项式系数的非常有用的信息，特别是针对二次方程。
对于一个普通的二次方程ax²+bx+c=0，我们都有两个根，可以通过求根公式或配方法解出。
但是我们现在可以通过Vieta定理来求得解法。
对于一个二次方程ax²+bx+c=0，我们有如下的Vieta公式：1. 第一个根是x1 = (-b + √(b²-4ac))/2a2. 第二个根是x2 = (-b - √(b²-4ac))/2a3. 两个根的乘积是c/a4. 两个根的和是-b/a通过Vieta公式可以解决二次方程，接下来我们来看怎样处理高次方程。
假设我们有一个四次方程ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，如果直接求根就十分复杂，这时我们可以通过分析Vieta公式，来找到另外的解法。
对于上面这个四次方程，我们有如下的Vieta公式：1. 第一个根是x12. 第二个根是x23. 第三个根是x34. 第四个根是x45. 四个根的和是-b/a，即x1+x2+x3+x4=-b/a6. 两个根的积是e/a，即x1x2x3x4=e/a7. 任意三个根的乘积的和是d/a，即x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=d/a8. 任意两个根的积的和是c/a，即x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=c/a通过上面的公式，我们可以发现一个很有趣的性质，即根与根之间有许多的联系。
接下来我们以一个例子来说明。
高次方程的解法
高次方程的解法
高次方程是指次数大于等于3的多项式方程。
解高次方程的方法有以下几种：
1. 因式分解法：通过将方程进行因式分解，使得方程等号两边的表达式可以以某种方式相乘得到0，然后令每个因式等于0求解得到方程的解。
2. 求根法：对于二次方程，可以直接使用求根公式来求解。
对于次数更高的方程，可以使用数值计算的方法来逼近方程的解。
3. 割线法和牛顿法：这两种方法是数值计算中常用的逼近求解方法，通过不断迭代逼近的过程，找到方程的解。
4. 代数方法：对于一些特殊的高次方程，可以使用代数方法来求解。
例如，对于四次方程可以使用Ferrari公式，对于五次方程可以使用Galois理论等。
需要注意的是，高次方程的解法多样，对于特定的方程，可能需要结合多种方法来求解。
此外，由于高次方程的求解过程较为复杂，一般需要借助计算工具进行计算。
一元高次方程解法
• (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
•设
• •则
(y-9)(y+9)=19，
•即
y²-81＝19．
•
一般的高次方程及解法
• 一、 1判根法
• 例 解方程x4+2x³-9x²-2x+8=0 • 二、常数项约数求根法 • 例1 解方程x4+2x³-4x²-5x-6=0 • （高代第一章的方法）
23
2
(q)2 ( p)3 23
x
• 例1 解方程2 x4+3x3-16x²+3x+2=0
四、双二次方程及推广形式求根法
• 例 (x-6)4+(x-8)4=16 • 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx²+c=0
推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的 形式 x 6 x 8 x 7 • (x-6)4+(x-8)4=2(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则
• 3、倒数方程求解方法：
•
• 如果a x4+bx³+cx²+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x²
得：a(x²+ 1 )+b(x+1)+e=0,令x+1 =y, x²+ 1=y²-2,即原方程变为：
x2
x
x
x2
• ay²+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+ 1 =y，解得x的值。
原方程转化为 y 14 y 14 16 y 12 2 y 12 2 16,
• (y4+4y²+1+4y³+2y²+4y)+(y4+4y²+1-
解方程公式
解方程公式1. 引言解方程是数学中常见的问题之一，它要求找到一个或多个使得方程式成立的未知数的值。
本文将介绍解一元一次方程、一元二次方程和一般的高次方程的公式及求解方法。
同时还会涉及到方程的根、判别式的概念，并通过具体的例子来说明。
2. 一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
它的一般形式可以表示为：ax+b=0。
解这类方程的公式为：$x = -\\frac{b}{a}$。
具体求解时，只需要将方程中的系数a和b带入公式即可求得未知数x的值。
例如，求解方程3x+4=0：将a=3和b=4代入公式，得到：$x = -\\frac{4}{3}$。
3. 一元二次方程一元二次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程。
它的一般形式可以表示为：ax2+bx+c=0。
解这类方程的公式为：$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
其中，$\\pm$表示两个解，分别对应方程的两个根。
根的个数和判别式的符号有关。
判别式的计算公式为：D=b2−4ac。
•当D>0时，方程有两个不相等的实数根；•当D=0时，方程有两个相等的实数根；•当D<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
例如，求解方程2x2−5x+2=0：将a=2，b=−5和c=2代入公式，计算判别式：$D = (-5)^2 - 4 \\cdot 2\\cdot 2 = 1$。
因为D>0，所以方程有两个不相等的实数根。
代入公式，解得：$x_1 = \\frac{-(-5) + \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 + 1}{4} = \\frac{3}{2}$，$x_2 = \\frac{-(-5) - \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 - 1}{4} = 1$。
4. 高次方程高次方程是指未知数的最高次数大于2的方程。
高次同余方程解法
高次同余方程解法高次同余方程是数论中一种经典问题，它涉及到模运算和数的整除性质。
解决高次同余方程的方法有很多，本文将介绍其中的几种常见方法。
首先，我们来了解一下什么是高次同余方程。
高次同余方程指的是形如 $ax^n \equiv b \pmod{m}$ 的方程，其中 $a, b, m$ 是已知整数，$n$ 是已知正整数。
解决这类方程的目标是找到一个满足条件的整数解。
一种解决高次同余方程的方法是试位法。
这种方法的基本思想是通过尝试不同的取值来找出满足方程的整数解。
具体步骤如下：1. 准备一个数列 $S$，根据 $n$ 的大小可以选择不同的增量。
例如，如果 $n = 2$，可以选择 $S=\{0,1,2,3,\ldots\}$；如果 $n = 3$，可以选择$S=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$。
2. 遍历数列 $S$，对于每个数 $s$，计算 $as^n \bmod m$ 的结果。
3. 如果找到某个数 $s$，使得 $as^n \equiv b \pmod{m}$ 成立，则 $s$ 是方程的一个解。
4. 继续遍历数列 $S$，直到找到所有满足条件的解。
试位法的优点是简单易懂，但缺点是效率较低。
当 $m$ 较大、$n$ 较大时，试位法的计算量会非常大，很难在合理的时间内求解。
另一种解决高次同余方程的方法是费马小定理。
费马小定理是数论中的一条重要定理，它表明如果 $p$ 是一个素数，$a$ 是一个不被 $p$ 整除的整数，则 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。
利用费马小定理，可以简化高次同余方程的求解过程。
具体步骤如下：1. 如果 $n$ 不是一个素数，可以将方程转化为 $a^{n-1} \cdot a \equiv b\pmod{m}$ 的形式。
2. 如果 $n$ 是一个素数，根据费马小定理，可以得到 $a^{n-1} \equiv 1\pmod{n}$。
即方程可简化为 $a \equiv b \pmod{m}$ 的形式。
秦九韶与高次方程的数值解法
秦九韶是我国南宋时期的数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其著作《数书九章》是我国十三世纪数学成就的代表之一.秦九韶利用多项式算法，给出了求高次代数方程的完整解法，提出了相当完备的“正负开方术”，这一成就比西方早了五六百年.下面，我们具体介绍一下秦九韶在高次方程数值解法方面所做的工作.首先，我们先来介绍一下秦九韶的高次方程的表示方法，以及他对高次方程分类的方法.秦九韶沿用了前人在开方中所使用的列筹方法：把常数——“实”——置于第二层，在最上面一层放置得数——开方所得的“商”.之后，再由上向下依次放置x 的一次项、二次项等各项的系数(各“廉”)，在最下一层放置最高次项系数——“隅”.如图1所示的筹式，图1该式相当于列出了方程：f (x )=a 0x n +a 1x n -1+a 2x n -2+a 3x n -3+⋯+a n -1x +a n =0(a n <0).因为所计算的大都是长度、面积之类的问题，因而秦九韶以前的数学家们将开方式的“实”——即常数项常设为正数，在求得根的各位得数后，由下向上推算，再把最后算得的结果从常数项中减去.秦九韶觉得这样不方便，设“实常为负”(a n <0)，把a n 和各项系数列在一起，在计算时只要按增乘开方法累乘、累加直至最后即可.这就是说，古代数学家们所列筹式相当于：a 0x n +a 1x n -1+⋯+a n -1x =A ,A >0.而秦九韶则列出了：a 0x n +a 1x n -1+⋯+a n -1x +a n =0，而其中a n =-A 常是负数.在秦九韶的所有问题中，除了a n 之外，其他项的系数有时为正，有时为负，它们是不受任何限制的.清代数学家李锐称：“秦道古（即秦九韶）《数学九章》卷四上开方图，负算画黑，正算画朱.”但是现传刊本中已经看不见这种黑赤两色的记录了.现传刊本中只记有“上廉负”“下廉正”等.而方程的缺项，则在应列筹处划入零号“○”，并在其旁记入“虚方”“虚下廉”等，如图2（秦九韶正负开方法算草图，采自宜稼堂丛书本《数书九章》）所示.图2数学史话57秦九韶《数书九章》中有二十多个需要进行“开方”求解的方程问题.按各问题原有的名目看，这些问题都是和测量降雪深度、求各种形状的田地的面积、测量问题、计算粮仓的体积等实际应用问题有关的.在这些问题中，次数最高的有十次方程.秦九韶曾把高次方程按其系数的情况定为若干名目.若|a0|≠1，则称之为“开连枝某乘方”；如400x4-2930000=0（x=97643439，第4卷“竹器验雪”题），则称之为“开连枝三乘方”.若某方程的奇次幂系数皆为零时，则称之为“开玲珑某乘方”，如x10+15x8+72x6-864x4-11664x2-34992=0(x=3，第八卷“遥度圆城”题)，则称之为“开玲珑九乘方”.以上便是秦九韶的开方式列筹方式和他对方程进行的简单分类.下面，我们介绍一下秦九韶的“正负开方术”——任意高次方程的数值解法的具体运算步骤.这一解法的步骤和“增乘开方法”完全一致.以《数书九章》卷五中“尖田求积”的问题为例，简单叙述如下：“尖田求积”问题需要求解的方程为-x4+763200x2-40642560000=0.秦九韶在二十多个开方问题中，除了系数数字比较庞大的两个问题外，都附有算草和解说运算每一步骤的筹图.在“尖田求积”问题中就附有二十一个图式——“正负开三乘方图”，用来详细说明运算的每一个步骤.为了简洁起见，我们把二十一个筹算图式精简为八个图式，为了便于理解，将原图下附有的全部注文，附注于8个图式之旁.①列算如图.②上廉超一位，益隅超三位，商数进一位；上廉再超一位，益隅再超三位，商数再进一位；上商八百为定.③以商生（即乘）隅入益下廉，以商生下廉消（指正负相消）从上廉，以商生上廉入方，以商生方得正积，乃与实相消.以负实消正积，其积乃有余为正实，谓之“换骨”.④以商生隅入下廉——一变：以商生下廉入上廉内，相消——以正负上廉相消，以商生上廉入方内相消——以正负方相消.⑤以商生隅入下廉——二变：以商生下廉入上廉.⑥以商生隅入下廉——三变.⑦方一退，上廉二退，下廉三退，隅四退；商续置——四变.数学史话58⑧以方约实，续商置四十，生隅入下廉内，以商生下廉入上廉内，以商生上廉入方内.以续商四十命方法，除实适尽.所得商数八百四十步为田积（即x =840）.秦九韶的正负开方术和现代通常所谓的霍纳方法基本上是一致的，二者的运算步骤都采用了随乘随加的方法.在上列八个筹式中：图①相当于列出了方程：-x 4+763200x 2-40642560000=0（1）；图②相当于对(1)式进行x =100x 1的变换，得-(10)8x 14+763200·104x 12-40642560000=0（2）；求得8<x 1<9，确定出第一位得数为8，图③至图⑥就是用与霍纳算法完全一致的步骤进行x 2=x 1-8的代换，求出新方程(即图⑥）：-(10)8x 42-3200(10)6x 32-3076800(10)4x 22-826880000(10)2x 2+38205440000=0(3)图⑦相当于对(3)式进行了x 3=10x 2的换变之后，得出了新的方程：-(10)8x 43-3200(10)6x 33-3076800(10)4x 23-826880000(10)x 3+38205440000=0最后求得x 3=4，故得x =100x 1=100(8+x 2)=100(8+x310=840.我们注意到，秦九韶在求第二位得数时，采用了“以方约实”的试除法，用来求出第二位得数的估值.“以方约实”就是以方程的一次项系数除常数项，其得数与第二位得数的真值很相近.值得指出的是，在现代通常应用的霍纳算法中也使用这种试除法.秦九韶还对运算过程中所产生的某些特殊情况进行了讨论.例如他曾讨论了“换骨”“投胎”等情形.我们知道，在通常情况下，进行x =a +y 的代换后，方程的常数项符号保持不变，同时其绝对值逐渐减少.但也会有特殊情况发生.假如，在代换后常数项的符号由负变正，秦九韶称之为“换骨”，并将其开方式称为“开翻法某乘方”.上述“尖田求积”题中就有“换骨”的情况出现.这种情况是因为方程存在两个正根，而所求者恰好是由较大的数所产生的，假若所求的是由较小的数产生的，就不会有“换骨”的情况产生.如“环田三积”(卷六），“望敌圆营”(卷八），虽然都有可能出现两个正根，但因所求乃是由较小的数产生的，故而都没有“换骨”的情况产生.所谓“投胎”则是指常数项符号不变，但其绝对值增大的情况，如“古池推元”(卷八）：0.5x 2-152x -11552=0，在得到第一位商300进行代换后，常数项的绝对值反而增至12152，所以称之“投胎”，但在求得第二位商6并进行代换后，常数项绝对值反而减少至1472，最后求得x =366412429.当方程的根不为整数时，秦九韶采取了下列办法：（1）按原有步骤继续求其小数，即所谓“进退开除”的方法.如卷十二“囤积量容”问题中16x 2+192x -1863.2=0的答数为x =6.35，在同一问题中还有方程36x 2+360x -13068.8=0，其答数为x =14.7.（2）“命分”的方法.如卷六“环田三积”：-x 4+15245x 2-6262506.25=0，在求得初商进行减根变换后，秦九韶便以方、廉、隅各数(即减根变换后所得方程的一次、二次、三次，至四次项的各个系数)相并为分母，余实（常数项最后的余数）为分子，即得x =20+324506.25-1-80+12845+577800=2012980252362256.假如所求解的是一个二次方程，这种方法和《九章算术》刘徽注中所提出的“以借算加定法而命分”的方法相同.我们可以认为秦九韶的这种方法是古已有之的“命分”方法在高次方程解法中的推广.值得注意的是，伊斯兰国的数学家也采用了这种命分方法，在阿尔·卡西的《算术之钥》(公元1427年)一书中就记载了这样的例子.(3)当方程为两项方程，且其首项系数|a 0|≠1时，秦九韶又给出了所谓的“连枝同体术”.若a 0x 2-a 1=0中的系数a 0和a 1都是平方数时，则方程可以化为(αx )2=β2，可以立即得出x =βα.此外还可以首先进行x =y a 0的变换，把首项系数变为1.秦九韶用首项系数乘常数项，得出变换后的方程y 2-a 0a 1=0,解得y =a 0a 1,将其代入x =ya 0中，即可求得x 的值.如卷七“临台测水”一题中有方程24649x 2-41912676=0，其系数均为平方数，可得（157x )2=64742，从而得出x =6474157=4137157；而在卷六“漂田推积”问题中有方程121x 2-43264=0，以二次项系数乘常数项后的方程为y 2-121×43264=0,开方得y =2288,将其代入x =y a 0得x =2288121=181011.——摘自《中国数学史》数学史话59。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高次方程是指方程中最高次数的项大于等于2的方程。
高次方程的解法较为复杂，需要运用代数的知识和数学推导方法。
本文将介绍高次方程的解法。
一般来说，高次方程的解法可以分为两种：一种是可以直接求解得到解析解的
方程，另一种是无法得到解析解，只能通过数值逼近的方法求解。
对于可直接求解得到解析解的高次方程，我们可以通过一系列的代数操作将方
程化简为一元二次方程、三次方程或四次方程等可以直接求根的方程。
例如，
对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
来求解方程的根。
而对于三次方程和四次方程，我们可以使用卡尔达诺公式和
费拉里公式来求解方程的根。
然而，对于高于四次的高次方程，我们无法直接求解得到解析解。
这是由于高
于四次的高次方程在一般意义上是不可解的。
对于这种情况，我们可以通过数
值逼近的方法来求解方程的近似解。
常用的方法有二分法、牛顿迭代法和割线
法等。
这些方法通过不断的迭代计算，逐渐逼近方程的解，并可能得到任意精
度的解。
除了上述的解法之外，高次方程还存在一些特殊的解法。
例如，对于特殊形式
的高次方程，我们可以使用因式分解的方法来求解。
对于齐次方程，我们可以
使用换元的方法将方程转化为更简单的形式。
对于含有参数的高次方程，我们
可以通过改变参数的值来研究方程解的变化规律。
除了解析解和数值逼近的方法之外，我们还可以使用图像分析的方法来研究高
次方程的解的性质。
通过绘制方程的图像，我们可以获得方程解的一些性质，
例如解的个数、解的分布等。
这对于我们理解方程的解具有重要的启示作用。
综上所述，高次方程的解法包括可直接求解得到解析解的方程、通过数值逼近
方法求解的方程，以及一些特殊解法和图像分析方法。
对于高次方程的解法，
我们需要灵活运用代数的知识和数学推导方法，并结合具体的问题进行分析和
求解。
通过研究高次方程的解法，我们可以进一步深入理解和探索数学的奥秘。