江苏省13市中考数学试题分类解析汇编 专题17 阅读理解

专题17：阅读理解型问题1. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB''=．已知关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，在以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，则k t ⋅的值等于【 】A.34 B. 1 C. 43 D. 32【答案】D ．【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），∴点C 的坐标为()1t -，-.∵矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，A B k AB''=， ∴点A ′的坐标为()k kt ，，点C ′的坐标为()k kt -，-.∵关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，∴由()323mn x n -=-得mn =3，且32n ≠，即3n m =（m ≠2）.∵以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上， ∴反比例函数3n m=的图象只经过点A ′或C ′.而根据反比例函数的对称性，反比例函数3n m =的图象同时经过点A ′或C ′，只有在32,2A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，32,2C ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭ 时反比例函数3n m =的图象只经过点C ′.∴3322kt kt =-⇒=-. 故选D ．1. （2015年江苏连云港3分）已知一个函数，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式 ▲ (写出一个即可）． 【答案】22y x =--（答案不唯一）.【考点】开放型；一次函数、反比例函数和二次函数的性质．【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质写出符合条件的函数关系式即可：如：<0k 的一次函数：1,2,22,2y x y x y x =-=-+=--⋅⋅⋅ ；>0k 的反比例函数：123,,,2y y y x x x===⋅⋅⋅ ；<0,02b a a-≤ 的二次函数：()222,2,211,y x y x y x =-=-+=-++⋅⋅⋅ .等等（答案不唯一）.2. （2015年江苏无锡2分）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 ▲ 元． 【答案】838或910．【考点】函数模型的选择与应用；函数思想和分类思想的应用．【分析】由题意知：小红付款单独付款480元，实际标价为480或480×0.8=600元，小红母亲单独付款520元，实际标价为520×0.8=650元，如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838元； 如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910元．∴答案为：838或910．3. （2015年江苏盐城3分）如图，在△ABC 与△ADC 中，已知AD =AB ，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC ，只需要再添加的一个条件可以是 ▲ ．【答案】BAC DAC ∠=∠或BC DC =（答案不唯一）. 【考点】开放型；全等三角形的判定.【分析】在△ABC 与△ADC 中，已知AD =AB ，又有公共边AC =AC ，因此，在不添加任何辅助线的前提下，根据SAS ，添加BAC DAC ∠=∠，可使△ABC ≌△ADC ； 根据SSS ，添加BC DC =，可使△ABC ≌△ADC . 答案不唯一.4. （2015年江苏扬州3分）如图，已知△ABC 的三边长为a b c 、、，且<<a b c ，若平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为123s s s 、、，则123s s s 、、的大小关系是 ▲ （用“<”号连接）.【答案】132<<s s s .【考点】阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质.【分析】设△ABC 的周长为m ，面积为S ，如答图，设,AD x AE y == ，则,BD c x CE b y =-=- . ∵平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分，∴AD AE BD CE BC +=++，即x y c x b y a +=-+-+. ∴()1122x y a b c m +=++=. ∵DC ∥BC，∴ADE ABC ∆∆∽.∴21s AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()122m AD AE AD AE x y mAB AC AB AC c b b c b c ++=====++++. ∴()12s mS b c =+. 同理可得，()22s m S a b =+，()32s mS a c =+. ∵<<a b c ，∴()()()3120<<<<<<<222s s s m m ma b a c b c b c a c b c S S S+++⇒⇒+++. ∴132<<s s s .1. （2015年江苏南京8分）如图，点E 、F 分别在AB 、CD 上，连接EF ，∠AFE 、∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H ． （1）求证：四边形EGFH 是矩形．（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作MN ∥EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，过H 作PQ ∥EF ，分别交AB 、CD 交于点P 、Q ，得到四边形MNQP ．此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列图中补全他的证明思路．【答案】解：（1）证明：∵EH 平分∠BEF ，∴12FEH BEF ∠=∠． ∵FH 平分∠DFE ，∴12EFH DFE ∠=∠． ∵AB ∥CD ，∴180BEF DFE ∠+∠=︒ ．∴11()1809022FEH EFH BEF DFE ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒． 又∵180FEH EFH EHF ∠+∠+∠=︒，∴180()1809090EHF FEH EFH ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒． 同理可证，90EGF ∠=︒．∵EG 平分∠AEF ，∴12FEG AEF ∠=∠． ∵EH 平分∠BEF ，∴12FEH BEF ∠=∠．∵点A 、E 、B 在同一条直线上，∴∠AEB =180°，即∠AEF +∠BEF =180°． ∴11()1809022FEG FEH AEF BEF ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，即 ∠GEH =90°． ∴四边形EGFH 是矩形．（2）FG 平分∠CFE ；GE =FH ；∠GME =∠HQH ；∠GEF =∠EFH ．【考点】阅读理解型问题；角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定；全等三角形的判定和性质；菱形的判定．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，证明90EHF ∠=︒，90EGF ∠=︒和∠GEH =90°即可证明结论．（2）结合全等三角形的判定和性质，根据菱形的判定找出相应的思路．2. （2015年江苏泰州14分）已知一次函数42-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数图像上， P 到x 轴、y 轴的距离分别为1d 、2d . （1）当P 为线段AB 的中点时，求21d d +的值；（2）直接写出21d d +的范围，并求当321=+d d 时点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使421=+ad d （a 为常数）， 求a 的值.【答案】解：（1）∵一次函数24y x =-的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴()()2,00,4A B - 、.∵P 为线段AB 的中点，∴()1,2P - . ∴12123d d +=+=. （2）122d d +≥.∵设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-.当<0m 时，12244234d d m m m m m +=+-=-+-=-+，由343m -+=解得13m =，与<0m 不合，舍去.当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，由43m -+=解得1m =，此时()1,2P -.当2m ≥时，12242434d d m m m m m +=+-=+-=-，由343m -=解得73m =，此时72,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上所述，当123d d +=时点P 的坐标为()1,2 -或72,33⎛⎫⎪⎝⎭.（3）设(),24P m m - ，∴1224,d m d m =-= .∵点P 在线段AB 上，∴02m ≤≤.∴124,d m d m =-= . ∵124d ad +=，∴424m am -+=.∴()20a m -= ∵存在无数个P 点，∴2a =.【考点】阅读理解型问题；一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；绝对值的意义；分类思想的应用.【分析】（1）根据直线上点的坐标与方程的关系，由一次函数解析式， 可求出点点A 、B 的坐标，从而求出中点P 的坐标，根据定义求出12d d +.（2）设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-，当<0m 时，122442344d d m m m m m +=+-=-+-=-+≥；当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，∴由1224d d ≤+≤； 当2m ≥时，122424342d d m m m m m +=+-=+-=-≥. 综上所述， 12d d +的范围为122d d +≥. 同样分类讨论123d d +=时点P 的坐标.（3）设(),24P m m - ，则1224,d m d m =-= ，由点P 在线段AB 上得m 的范围，得到12,d d ，根据124d ad +=求解即可.3. （2015年江苏盐城12分）知识迁移我们知道，函数2()(00,0)y a x m n a m n =-+≠>>，的图像是由二次函数2y ax =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到.类似地，函数(000)ky n k m n x m=+≠>>-，，的图像是由反比例函数ky x=的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到，其对称中心坐标为（m ，n ）. 理解应用 函数311y x =+-的图像可以由函数3y x=的图像向右平移 ▲ 个单位，再向上平移 ▲ 个单位得到，其对称中心坐标为 ▲ ． 灵活运用如图，在平面直角坐标系xOy 中，请根据所给的4y x-=的图像画出函数422y x -=--的图像，并根据该图像指出，当x 在什么范围内变化时，1y ≥-？实际应用某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识学习后经过的时间为x ，发现该生的记忆存留量随x 变化的函数关系为144y x =+；若在x t =（t ≥4）时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x 变化的函数关系为28y x a =-.如果记忆存留量为12时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x 为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？ 【答案】解：理解应用：1；1；（1，1）.灵活运用：函数422y x -=--的图像如答图：由图可知，当1y ≥-时，2<2x -≤. 实际应用：当x t =时，144y t =+，∴由14142y t ==+解得4t =. ∴当4t =进行第一次复习时，复习后的记忆存留量变为1.∴点（4，1）在函数28y x a=-的图象上. ∴由814a =-解得4a =-.∴284y x =+.∴由28142y x ==+解得12x =.∴当12x =时，是他第二次复习的“最佳时机点”.【考点】阅读理解型问题；图象的平移；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；数形结合思想和方程思想的应用.【分析】理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的平移变换的规律：上加下减；右减左加.灵活运用：根据平移规律性作出图象，并找出函数图象在直线1y =-之上时x 的取值范围. 实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），代入28y x a=-，求出a ，从而求出第二次复习的“最佳时机点”.4. （2015年江苏扬州10分）平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点),(y x P 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(),P x y 的勾股值，记为：P ⎡⎦，即P x y ⎡⎦=+.（其中的“+”是四则运算中的加法）（1）求点()1,3A - ,)2,2B的勾股值A ⎡⎦、B ⎡⎦；（2）点M 在反比例函数3y x=的图像上，且4M ⎡⎦=，求点M 的坐标； （3）求满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积.【答案】解：（1）∵()1,3A - ,)2,2B，∴134A ⎡⎦=-+=，22224B ⎡⎦==+=.（2）∵点M 在反比例函数3y x =的图像上，∴可设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .∵4M ⎡⎦=，∴34m m+=.若0m >，则34m m +=，解得121.3m m == .∴()1,3M 或()3,1M . 若0m <，则34m m--=，解得121.3m m =-=- .∴()1,3M - -或()3,1M - -.综上所述，点M 的坐标为()1,3 或()3,1 或()1,3- -或()3,1- -. （3）设(),N x y ，∵3N ⎡⎦=，∴3x y +=.若0,0x y ≥≥ ，则3x y +=，即3y x =-+. 若0,0x y ≥< ，则3x y -=，即3y x =-. 若0,0x y <≥ ，则3x y -+=，即3y x =+. 若0,0x y << ，则3x y --=，即3y x =--.∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形是正方形，如答图. ∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积为18.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）直接根据定义求解即可.（2）设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，根据4M ⎡⎦=得到34m m +=，分0m >和0m <求解即可.（3）设(),N x y ，根据3N ⎡⎦=得到3x y +=，由,x y 负分类即可求解.5. （2015年江苏常州10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． （1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE =DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接A H ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE =90°，∴∠HAE +∠HEA =90°． ∵DH ⊥AE ，∴∠ADH =∠EDH =90° ∴∠HAD +∠AHD =90°∴∠AHD =∠HED ，∴△ADH ∽ ▲ ． ∴AD DH DH DE=，即DH 2=AD ×DE ． 又∵DE =DC∴DH 2= ▲ ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． （2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与ABCD Y 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． （3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 ▲ （填写图形名称），再转化为等积的正方形． 如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． （4）拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n ﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．【答案】解：（1）△HDE；AD×DC.Y等积的矩形.（2）如答图1，矩形ANMD即为与ABCD如答图2，CF为与△ABC等积的正方形的一条边.（4）如答图3，△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.，【考点】阅读理解型问题；尺规作图（复杂作图）；全等、相似三角形的判定和性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理；转换思想和数形结合思想的应用．【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．（2）过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，以点M为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点N，连Y等积的矩形.接AN，则易证△DCM≌△ABN，因此，矩形ANMD即为与ABCD（3）三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形，再转化为等积的正方形．首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形BCMN；然后延长BC到E，使CE=CM，以BE为直径作圆．延长CM交圆于点F，则CF即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）连接AC，过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E，连接CE，则△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.6. （2015年江苏淮安12分）阅读理解：如图①，如果四边形ABCD 满足AB =AD ，CB =CD ，∠B =∠D =900,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”. 将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD 先折叠成如图②所示的形状，再展开得到图③，其中CE 、CF 为折痕，∠BCD =∠ECF=∠FCD ，点B ′为点B 的对应点，点D ′为点D 的对应点，连接EB ′、FD ′相交于点O .简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ▲ ； （2）当图③中的120BCD ∠=︒时，∠AEB ′＝ ▲ °；（3）当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有 ▲ 个（包含四边形ABCD ）. 拓展提升：当图中的90BCD ∠=︒时，连接AB ′，请探求∠AB ′E 的度数，并说明理由.【答案】解：简单应用：（1）正方形. （2）80. （3）5.拓展提升：45AB E ∠'=︒，理由如下： 如答图，连接EF ，∵90B D BCD ∠=∠=∠=︒，且AB =AD ， ∴四边形ABCD 是正方形. ∴90A ∠=︒.由折叠对称的性质，得''90EB F EB C ∠=∠=︒， ∴点'A E B F 、、、在以EF 为直径的圆上.∵由对称性，知AE AF =，∴45AFE ∠=︒. ∴45AB E AFE ∠'=∠=︒.【考点】新定义和阅读理解型问题；折叠问题；正方形的判定和性质；折叠对称的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质. 【分析】简单应用：（1）根据“完美筝形”的定义，知只有正方形是“完美筝形”.（2）∵120BCD ∠=︒，∴根据折叠对称的性质，得1403BCE BCD ∠=∠=︒.∵90B ∠=︒，∴50BEC CEB ∠=∠'=︒. ∴80AEB ∠'=︒.（3）根据“完美筝形”的定义，可知',',,'',EBCB FDCD ABCD CD OB AEOF 是“完美筝形”. 拓展提升：作辅助线“连接EF ”，由题意判定四边形ABCD 是正方形，从而证明点'A E B F 、、、在以EF 为直径的圆上，即可得出45AB E AFE ∠'=∠=︒.7. （2015年江苏南通8分）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程． 【答案】解：本题的答案不唯一．问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？ 设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意，得34222623x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得42.5x y =⎧⎨=⎩．则x +y =4+2.5=6.5（吨）．答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【考点】开放型；二元一次方程组的应用．【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可． 8. （2015年江苏镇江7分）活动1：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率．（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球）活动2：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：▲ →▲ →▲ ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则第一个摸球的同学胜出的概率等于▲ ，最后一个摸球的同学胜出的概率等于▲ ．猜想：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n（n为正整数）的n个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系．你还能得到什么活动经验？（写出一个即可）【答案】解：（1）画树状图如答图1，∵共有6种等可能结果，甲摸到1号球的结果有2种，∴甲胜出的概率为：P（甲胜出）=21 63 ．（2）丙、甲、乙（答案不唯一）；14；14.（3）这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）．得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关（答案不唯一）．【考点】开放型；列表法或树状图法；概率；探索规律题（数字的变化类）．【分析】（1）应用树状图法，判断出甲胜出的概率是多少即可．（2）首先对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，然后应用树状图法，判断出第一个摸球的丙同学和最后一个摸球的乙同学胜出的概率各等于多少即可：画树状图如答图2：∵共有24种等可能结果，第一个摸球的丙同学和最后一个摸球的乙同学摸到1号球的结果都各有6种，∴第一个摸球的丙同学胜出的概率：P（丙胜出）=61244=；最后一个摸球的乙同学胜出的概率：P（乙胜出）=61 244=．（3）首先根据（1）（2）探索出规律，得到这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）=1n；然后总结出得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关．9. （2015年江苏镇江9分）【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=α（α≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知2sin3AED∠=，AD=1，求DG的长．【答案】解：【思考】点D还在经过A，B，C三点的圆上.如答图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，∵∠ADE是△BDE的外角，∴∠ADB＞∠AEB.∴∠ADB＞∠ACB.∴∠ADB＞∠ACB，这与条件∠ACB=∠ADB矛盾.∴点D也不在⊙O内.【应用】（1）证明：如答图2，取CD的中点O，则点O是Rt△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上. ∴∠ACD=∠AED.∵∠FDA=∠AE D，∴∠ACD=∠FDA.∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°. ∴∠FDA+∠ADC=90°.∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线.（2）如答图3，∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上.又∵过C、A、E三点的圆是Rt△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上.∵CD是直径，∴∠DGC=90°.∵AD∥BC，∴∠ADG=90°.∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形. ∴DG=AC.∵2sin3AED∠=，∠A CD=∠AED，∴2sin3ACD∠=.∴在Rt△ACD中，23 ADCD=，∵AD=1，∴32CD=.∴225AC CD AD=-=.∴52 DG AC==．【考点】阅读理解型问题；圆的综合题；圆周角定理；三角形的外角性质；矩形的判定和性质；锐角三角函数定义；勾股定理．【分析】【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内.【应用】（1）作出Rt△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则证得∠ACD=∠FDA，又因为∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可证得DF是圆的切线；（2）根据【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上，进而易证四边形AOGD 是矩形，根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的长．10. （2015年江苏镇江10分）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点（0，3），且当x =1时，y 有最小值2．（1）求a ，b ，c 的值；（2）设二次函数()()222y k x ax bx c =+-++（k 为实数），它的图象的顶点为D ． ①当k =1时，求二次函数()()222y k x ax bx c =+-++的图象与x 轴的交点坐标；②请在二次函数2y ax bx c =++与()()222y k x ax bx c =+-++的图象上各找出一个点M ，N ，不论k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，直接写出点M ，N 的坐标（点M 在点N 的上方）；③过点M 的一次函数34y x t =-+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象交于另一点P ，当k 为何值时，点D 在∠NMP 的平分线上？④当k 取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线()()222y k x ax bx c =+-++的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？【答案】解：（1）∵二次函数()20y ax bx c a =++≠当x =1时，y 有最小值2，∴可设()212y a x =-+.将（0，3）代入，得a =1，∴()221223y x x x =-+=-+. ∴a =1，b =﹣2，c =3.（2）①当k =1时，241y x x =-+-，令2410y x x =-+-=，解得23x =，∴图象与x 轴的交点坐标（230），（23，0）. ②M （﹣1，6），N （﹣1，﹣6）.③如答图，设直线34y x t =-+与x 轴交于点A ，MD 与x 轴交于点B ，MN 与x 轴交于点E ，过点B 作BC ⊥AM 于点C ， ∵34y x t =-+经过M （﹣1，6），∴()3614t =-⨯-+，解得214t =. ∴32144y x =-+，则A （7，0）. ∵MN ⊥x 轴，∴E 点的横坐标为﹣1.∴AE =8.∵ME =6，∴MA =10．∵MD 平分∠NM P ，MN ⊥x 轴，∴BC =BE .设BC =x ，则AB=8﹣x ，∵△ABC ∽△AME ，∴BC AB ME AM =. ∴8610x x -=，解得x =3. ∴B （2，0）. ∴MD 的函数表达式为24y x =-+．∵()()()22222142y k x ax bx c x k k k =+-++=-⎡-+⎤++-⎣⎦， ∴()21,42D k k k ++- .把()21,42D k k k ++- ，代入24y x =-+，得()242214k k k +-=-++，解得313k =-±.∵1>1k +-，∴313k =--舍去.∴313k =-+.④是．当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．【考点】阅读理解型问题；二次函数综合题；二次函数的性质；轴对称的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；方程思想和数形结合思想的应用．【分析】（1）利用顶点式的解析式求解即可.（2）①当k =1时，241y x x =-+-，令2410y x x =-+-=，解得x 的值，即可得出图象与x 轴的交点坐标.②当x =﹣1时，223y x x =-+与()()22223y k x x x =+--+的图象上点M ，N ，不论k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，可得M （﹣1，6），N （﹣1，﹣6）. ③由34y x t =-+，经过M （﹣1，6），可得t 的值，由MN ⊥x 轴，可得E 点的横坐标为﹣1，可得出AE ，ME ，MA 的值．设MD 交AE 于点B ，作BC ⊥AM 于点C ，设BC =x ，则AB =8﹣x ，由△ABC ∽△AMN 列式，可求出x 的值，即可得出MD 的函数表达式为y=﹣2x+4．再把点D 代入，即可求出k 的值样.④观察可得出当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．。