第二十二章 二次函数复习课件
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二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
人教版九年级数学上册课件：第22章二次函数全章复习
每件利润（120-80-x）元，每天销售（20+2x）件
② 与坐标轴的交点：
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）
盈利最多？
当Δ=0时
；
每件利润（120-80-x）元，每天销售（20+2x）件
（1）设商场平均每天盈利 y 元， 试写出 y 与
件最低价不得低于 108 元．若每件衬衫降低 x 元
c为常数，且a≠0)的函数叫二次函数； （2）二次函数的图象： ① 开口方向、对称轴、顶点坐标
名称
表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax²+bx+c
y=a(x-h)²+k
温故知新
问题1
（1）二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c(其中a、b、
c为常数，且a≠0)的函数叫二次函数； （2）二次函数的图象： ① 开口方向、对称轴、顶点坐标
温故知新
问题1
（1）二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c(其中a、b、
c为常数，且a≠0)的函数叫二次函数； （2）二次函数的图象： ① 开口方向、对称轴、顶点坐标
名称
表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标
一般式 y=ax²+bx+c 顶点式 y=a(x-h)²+k
a>0向上 a<0向下
x=h （h，k）
x=h （h，k）
温故知新
问题1
（1）二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c(其中a、b、
c为常数，且a≠0)的函数叫二次函数； （2）二次函数的图象： ① 开口方向、对称轴、顶点坐标
名称 一般式 顶点式
表达式 y=ax²+bx+c y=a(x-h)²+k
22章二次函数总复习课件PPT
一、定义
各种形式的二次函数的关系
二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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y = a( x – h ) 2 + k
左右 平移 上下 平移
y = ax2 + k
上下 平移
y = a(x – h ) 2
左右
y = ax2
平移
3、二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2+k (a≠0) 图象 开口 对称轴 顶点 向上 直线x=h 向下 直线x=h a>0 a<0
4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交 点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程 ax2+bx+c= 0根的判别 式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不等的 实数根
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
当a>0，b<0，c>0时，下列图象有 2 可能是抛物线 y ax bx c 的是( A ) y y x y C B o x
A
o
y
x D o x
o
巩固练习:
1、填空：
2-x-6的图象顶点坐标 （1）二次函数 y=x 25 1 1 x= — （—，-— 2 是___________ 对称轴是_________ 。 4） 2 （2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标 （0，0）（2，0） 是___________ 1 2 （3）已知函数y=—x -x-4，当函数值y随 2 x的取值范围是 x的增大而减小时， x<1 ___________ （4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象 2 。 经过原点，则m= ____
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
第22章二次函数复习课件(共267张PPT)
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人教版九年级上册第22章二次函数复习 课件(共19张PPT)
y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
人教版数学九年级上册第22章二次函数章节复习课件(共36张)
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二 次项.
2.
y＝ax2
二
图象
次
a>0 y
O x
a<0 yx
O
函 位置开
数
口方向 开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
的 对称性
7.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问
题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质 解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ D ）
A. y= x2
B.y=x-1 C. y 3 x
4
D.y=-3x2
3 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
图
顶点坐标是原点（0，0）
象 顶点最值
与
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
性 增减性 质
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
2.
y＝ax2
二
图象
次
a>0 y
O x
a<0 yx
O
函 位置开
数
口方向 开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
的 对称性
7.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问
题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质 解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ D ）
A. y= x2
B.y=x-1 C. y 3 x
4
D.y=-3x2
3 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
图
顶点坐标是原点（0，0）
象 顶点最值
与
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
性 增减性 质
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
第22章二次函数复习总结课件.ppt
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
３、二次函数的y= ax2+bx+c的性质：
二次函数 y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
x=h
x b 2aห้องสมุดไป่ตู้
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
当x
1 2
时,y有最 小值,是
25 4
(1,-6) (0,-6)（—12 ，- 2—45 ）
函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0
当 x=-2或x=3 时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
3. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列
各不等式中成立的个数是____________
二次函数 复习课
知识梳理：
1、二次函数的概念：函数y= ax2+bx+c (a、b、c
为常数，a__≠__０__)叫做二次函数。
2、二次函数的图象是一条 抛物线 。
函数的图象及性质
抛物线
开口方 对称轴 顶点 最 增
向
坐标 值 减
性
y = ax2 y = ax2 + k y = a(x – h )2 y = a(x – h )2 + k
(1,-6) ⑥连线
(0,-6)（—12 ，-
25 —4
）
2.二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是（_—_12_，_-_2—4_5_）___
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O
x
配套训练 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0) 在同一平面直角坐标系的图象可能是（ A ） y
y
O A
x y
y
O x B
O
x
O D
x
C
专题五 二次函数与一元二次方程的关系
例5 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题：
①写出方程ax2+bx+c=0的根；
②写出不等式ax2+bx+c>0的解集； ③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； y 2 ④若方程ax +bx+c=k有两个不相等的实数根， 4 求k的取值范围. 解析 本题结合图象从中发现信息进行解题. -1 O 3 x
解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于
（-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3；
（2）由图象可知当-1<x<3时，函数的图象位于x轴的上方， 所以不等式的解集为-1<x<3； （3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小， ∴y随着x的增大而减小的x的取值范围为x>1; (4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与 二次函数图象有两个交点，∴k的取值范围为k<5.
(3)当x>0时，y随x的增大而减小.
x
配套训练 1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ C ） A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2) 2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c=
1 4
.
-4 3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=_______.
当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.
y (1,1.5) 丙 (0,1) 1m
丁
(4,1) x
甲O
1m
2.5m 4m
乙
（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同
学的距离为s米, 要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合 图像,直接写出s的取值范围.
丙
丁
1m
m2 5 m 8
3
是关于x的二次数.
(1) 求满足条件的m的值，并写出解析式； （2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最 小值？最值是多少？
（3）当x为何值时y随x的增大而减小？
解析 （1）根据定义可知m2+5m+8=2且m+2≠0;(2)在（1）的 基础上根据a的符号再作确定；（3）判断抛物线的增减性要 结合开口方向及对称轴.
m 2, m 2 0, 解：（1）由题意得 2 解得 m 2或m 3, m 3. m 5m 8 2,
∴满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3. y (2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次
y=-x2+3
O
函数有最大值，最大值是3.
③在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的
大小：y1________ y2(填“＞”“＜”或“＝”). ＜
配套训练 2.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0 时，x的取值范围是 -1<x<3 . y
3
-1
O
1
x
专题三 二次函数图象图象的变换
例3 如图，二次函数y1=－x2+2图象向右平移1个单位得到的 y2 ．回答下列问题：
配套训练 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情况是（ C ） y 8
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
O
x
专题六 待定系数法求二次函数的解析式
例6 你能求出图中抛物线的解析式吗？ 解析 图象中提供了我们解题的很多信息， y 4
x x1 x2 2
,因此这条抛物线的对称轴是直线
x
(1) 3 1 2
.
配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的 部分对应值如下表： x y
… …
-1 10
0 5
1 2
2 1 ； .
3 2
… …
则①抛物线的对称轴是 直线x=2 ②当y<5时，x的取值范围是 0<x<4
方法提示 知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线
与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线
上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用 最熟悉的方法.
配套训练 已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，
2 －8)，则二次函数的解析式是 y=-2(x-1) -6 .
交点式
y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值 抛物线与 x 轴交点的 二次函数与一元二次方程的关系 横 坐 标 就 是 其 对 应 一元二次方程的根 二次函数的应用
专题复习
专题一 二次函数的定义及基本性质
例1 已知函数 y
m 2 x
如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是
（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴 是直线x=2及顶点坐标是(1,4).
你有几种方法可 以求这条抛物线 的解析式，你最 喜欢哪一种？
-1 O
3
x
解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.由图象可知抛物线的对 称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标 为（1,4），∴有y=a（x-1）2+4，代入（-1,0）.∴a（-1-1） 2+4=0，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.
优翼 课件
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十二章 二次函数
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
定义 二次函数的概念 一般形式
y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
全体实数
自变量的取值范围
图 二 次 函 数 象 一条抛物线 一般式 解析式形式 顶点式
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）存在，理由如下：
作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C’，由抛物线的
性质可知点C‘在抛物线上，点C’的坐标是（-2,3），连接点
A.开口向下，顶点坐标(5,3) B.开口向上，顶点坐标(5,3) C.开口向下，顶点坐标(-5,3) D.开口向上，顶点坐标(-5,3)
2.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是
（ A ） y y
y
y
O A
x
O B
x
O
C
x
O
x
D
3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象
甲 1m
2.5m 4m 1<s<3
乙
课堂小结
二次函数的 定 义
二次函数的概念 及 图 象 特 征 用数形结合 的方法去研 究和运用
二次函数
二次函数的 图象及性质
二次函数的 应 用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解 决 实 际 问 题
课后训练
1.对于抛物线y=-2(x-5)2+3 ，下列说法正确的是（ A ）
的函数解析式是 y=2x2+1
.
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴 为 直线x=1 .
5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，
0）两点，与y轴交于点C（0,3）. （1）求该抛物线的解析式； y=-x2-2x+3 Q（-1，2）
专题四 二次函数图象与系数的关系
例4 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为
（-1，0）．则下面的四个结论 ：①2a＋b＝0；②4a－2b＋
c>0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞3．其中正确的是 （ C ） A.①② C.①④ B. ①③ D. ②③ y C
(0,1) 1m
丁
(4,1)
甲
1m
2.5m 4m
乙
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1 a b 1 1.5, 点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得 16a 4b 1 1,
1 2 解得： a ,b 6 3
1 2 2 y x x 1(1≤x≤4）, ，所以抛物线解析式为 6 3
函 数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) a>0 a<0 y
O
图
象
y x
x b 2a 2
O
x
开 口 性
向上，并向上无限延伸 向下，并向下无限延伸