3.2圆的方程(概念)
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
7．(2012· 福建三明市高一检测)已知圆C：(x－3)2＋ (y－4)2＝4， (1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的 方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0
上，且与圆C外切，求圆D的方程． 解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1， 符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝ k(x－1)，即kx－y－k＝0.
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个
圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注 意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交 点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方 程．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
已知圆上两点求圆的方程
已知圆上两点求圆的方程1. 引言在我们的生活中，圆无处不在，像那甜甜的圆饼，或者是孩子们爱玩的跳圈。
你有没有想过，其实圆也是数学中的一个大明星？今天我们就来聊聊如何通过圆上的两点，轻松搞定圆的方程。
相信我，这可比做蛋糕简单多了！2. 圆的基本概念2.1 圆的定义首先，咱们得知道，圆是由一个中心点和所有与这个中心等距的点组成的。
换句话说，只要你找到了中心和半径，圆就来了！是不是觉得特别简单？想象一下，拿着铅笔，围着一个钉子转，就成了一个完美的圆。
2.2 圆的方程圆的方程可以用这种形式表示：( (x a)^2 + (y b)^2 = r^2 )。
这里的( (a, b) )就是圆心，而( r )则是半径。
就像是给圆穿上了衣服，衣服的尺寸和样式决定了它的样子。
不过，今天我们要讲的，可不是衣服，而是如何从两点出发，找到这件衣服的尺码。
3. 通过两点求圆的方程3.1 确定圆心假设你已经有了圆上的两个点，记作( A(x_1, y_1) )和( B(x_2, y_2) )。
首先，我们要找到这两点的中点，也就是圆心的一部分。
中点的公式是：( (x_m, y_m) = left(frac{x_1+ x_2{2, frac{y_1 + y_2{2right) )。
这一步其实就像是在找两个朋友的中间位置，大家一起聊聊天，挺不错吧？3.2 计算半径接下来，我们需要找出圆的半径。
圆心已经搞定，咱们再用一下两点之间的距离公式，来计算半径。
两点之间的距离公式是：( d = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 )。
不过，因为我们只需要半径，所以要把这个距离除以二，也就是：( r = frac{d{2 )。
是不是觉得这样找半径就像切蛋糕，一刀下去，正好分成两半？4. 整合方程现在，咱们把圆心和半径都找到了，可以把它们代入到圆的方程里了。
我们最终得到的方程就是：( (x x_m)^2 + (y y_m)^2 = r^2 )。
圆在直角坐标系的解析式
圆在直角坐标系的解析式圆在直角坐标系里的一些特性，对于学数学的朋友们来说，可能有点抽象。
但别担心，咱们来用一种简单、直白的方式聊聊这事儿，让你听了之后觉得“哦，原来是这么回事儿！”下面就跟着我一起走进圆的世界吧。
1. 圆的基本概念首先，我们得搞清楚什么是圆。
圆，大家都知道，就是一个平面上的点集合，这些点到一个固定点的距离都是相同的。
这个固定点叫做圆心，而这个固定的距离就叫做半径。
1.1 圆的标准方程在直角坐标系中，我们通常用一个叫做“标准方程”的方式来表示圆。
标准方程是这样的：[ (x h)^2 + (y k)^2 = r^2 ]。
其中，((h, k)) 是圆心的坐标，(r) 是半径。
这个方程就像是圆的身份证，告诉我们圆心在哪里，半径有多长。
你可以把它想象成你要画一个圆，圆心就是你先定的位置，然后从这个位置开始，半径就是你画圆的“半径线”的长度，绕着这个中心点画一圈就得了。
1.2 标准方程的例子举个简单的例子，假如圆心在点 ((2, 3))，半径是 4。
那么我们把这些数代入标准方程中，就会得到：[ (x 2)^2 + (y 3)^2 = 4^2 ]。
也就是：[ (x 2)^2 + (y 3)^2 = 16 ]。
这就是你要画的圆的方程啦。
2. 圆的几何性质了解了圆的方程，接下来我们来聊聊圆的一些性质。
其实，这些性质不仅好玩，还很实用。
2.1 圆的半径与直径半径就是圆心到圆上任意一点的距离，而直径则是经过圆心的最长的一条线段。
直径是半径的两倍，所以公式很简单：直径= 2 × 半径。
如果你知道半径是多少，直径也就呼之欲出了。
2.2 圆的圆周与面积说到圆的圆周，咱们常用的公式是：[ C = 2 pi r ]而面积的公式是：[ A = pi r^2 ]这里的 (pi) 是个常数，大概是 3.14。
圆周公式的意思是，如果你围绕圆走一圈，那么你走的距离就是圆周。
而面积公式就是圆的“占地面积”，告诉你这个圆到底有多大。
圆方程知识点总结
圆方程知识点总结一、圆的基本概念1.1 圆的定义在平面几何中，圆是一个平面上距离一个给定点（圆心）恒定距离的所有点的集合。
这个距离被称为圆的半径。
圆的直径是圆上两个点之间的最大距离，它等于半径的两倍。
1.2 圆的性质（1）圆的直径是圆的最长线段，它恰好将圆分为两个相等的半圆。
（2）圆的任意一条半径都与圆上的任意一点相连，这个半径就是这个点到圆心的距离。
（3）圆的所有直径均相等。
（4）圆上的所有弦都可以把圆分成两个部分，而且这两个部分的面积和相等。
1.3 圆的常见术语在讨论圆方程的时候，我们会使用一些特定的术语来描述圆的性质和位置关系。
下面是一些常见的圆相关术语：（1）圆心：圆的中心点，用O表示。
（2）半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
（3）直径：穿过圆心的两个端点在圆上的线段，用d表示。
（4）弦：连接圆上两点的线段。
（5）弧：圆上两点之间的曲线部分。
二、圆方程的基本形式在平面直角坐标系中，圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这就是圆的标准方程形式。
这个方程说明了圆上的任意一点(x, y)到圆心的距离等于半径r。
在笛卡尔坐标系中，任意一条线段的长度可以根据两点的坐标差的平方根计算，所以这个方程实际上是在描述点(x, y)到点(h, k)的距离，然后判断这个距离是否等于半径r。
例如，一个圆心在坐标系原点，半径为3的圆的方程就可以表示为：因为圆心在原点，所以h=0，k=0，半径为3，所以r=3。
所以这个方程描述了所有距圆心距离为3的点的集合，即圆形。
三、圆方程的推导圆的方程可以通过几何推导和代数推导得到。
3.1 几何推导圆的方程可以通过几何推导得到。
如果圆心是坐标系原点，半径为r，那么圆上任意一点(x, y)到圆心的距离等于r。
这可以用勾股定理来表示：(x - 0)² + (y - 0)² = r²简化得到：x² + y² = r²这就是圆心在原点的圆的方程。
圆的标准方程
圆的标准方程圆是平面上一点到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的集合。
在解决圆相关的问题时，我们通常会用到圆的标准方程。
圆的标准方程可以帮助我们更方便地描述圆的性质和特征，从而更好地解决与圆相关的数学问题。
圆的标准方程可以表示为，(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
在这个方程中，我们可以看到，圆的标准方程由两部分组成，第一部分是(x h)²，表示圆上任意一点的横坐标与圆心横坐标的差的平方；第二部分是(y k)²，表示圆上任意一点的纵坐标与圆心纵坐标的差的平方；等号右边的r²则表示圆的半径的平方。
通过这个方程，我们可以清晰地了解到圆的特性，圆上任意一点到圆心的距离等于半径r。
这也是圆的定义之一，因此圆的标准方程可以帮助我们更好地理解圆的性质。
接下来，我们来看一个例子，已知圆心坐标为(3, 4)，半径为5，求圆的标准方程。
根据圆的标准方程，我们可以直接将已知的圆心坐标和半径代入方程中，(x 3)² + (y 4)² = 5²。
通过这个例子，我们可以更清晰地理解圆的标准方程的应用方法。
当我们已知圆的圆心坐标和半径时，可以直接代入方程中，从而得到圆的标准方程。
除了求解圆的标准方程外，我们还可以利用圆的标准方程来解决一些与圆相关的几何问题。
例如，求圆与直线的交点、判断点是否在圆内外、求圆的切线等问题都可以通过圆的标准方程来进行分析和求解。
在实际应用中，圆的标准方程也经常用于计算机图形学、工程设计等领域。
通过圆的标准方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质，从而更好地应用于实际工作中。
总之，圆的标准方程是描述圆的重要工具，它可以帮助我们更清晰地了解圆的性质和特征，解决与圆相关的数学问题。
通过学习和掌握圆的标准方程，我们可以更好地理解和运用圆的知识，为我们的学习和工作带来便利和帮助。
高中圆与方程的总结知识点
高中圆与方程的总结知识点一、圆的基本概念1.1. 定义：圆是平面上与一个给定点的距离等于一个常数的点的集合。
1.2. 圆的要素：圆心、半径，圆的圆心记为O，圆的半径记作r。
1.3. 圆的直径：过圆心的两个点之间的线段称为圆的直径，它的长度等于圆的半径的两倍。
1.4. 圆的线段：圆上的一段弧称为圆的线段。
1.5. 圆的弧长：圆的线段的长度。
1.6. 圆的圆周角：圆上的一段的圆弧，其两端点为圆上的两点，则弧所对的圆心角称为圆的圆周角，当圆周角的弧的度数是360度时，这个角也叫圆的周角。
二、圆方程的基本概念2.1. 圆的标准方程：以点(h,k)为圆心,r为半径的圆方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2. 圆的一般方程：圆的一般方程的一般形式为x²+y²+ax+by+c=0。
三、圆与直线的方程3.1. 圆与坐标轴的交点：圆与x轴的交点（a，0）和与y轴的交点（0，b）。
3.2. 圆与直线的位置关系：圆可能与直线相切、相交或者不相交。
3.3. 圆的切线方程：圆的切线方程要求切点在圆上，与圆的切线垂直于和直径的直线相。
四、圆与圆的方程4.1. 圆的位置关系：两个圆可能相离、外切、内切、相交或者包含。
4.2. 圆的位置关系对应的方程：通过分析圆心之间的距离与半径之间的关系，可以确定两个圆的位置关系。
五、圆的参数化方程5.1. 参数化方程的定义：参数是指由一个或几个变化的量组成的多元函数。
5.2. 圆的参数化方程：圆可以用参数方程表示为：x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。
六、解题技巧6.1. 圆方程与圆心、半径的关系：根据圆的标准方程，可以直接读出圆心的坐标和半径的值。
6.2. 圆的切线方程：根据圆的切线要求即切点在圆上，利用斜率的关系求出切线的斜率，然后代入切点的坐标得出切线方程。
6.3. 圆与直线的位置关系：通过解方程组，可以得出圆与直线的交点坐标，从而分析它们的位置关系。
高中数学知识点总结归纳(完整版)
高中数学知识点总结归纳(完整版)高中数学知识点总结归纳（完整版）高中数学是一门重要的学科，涵盖了许多不同的知识点和概念。
在高中数学学习过程中，学生需要掌握并理解这些知识点，并能够灵活运用于解决各种数学问题。
本文将对高中数学的各个知识点进行总结归纳，帮助学生们更好地理解和掌握数学。
1.代数部分1.1.一元一次方程与不等式1.1.1.一元一次方程的解法：通过加减法和乘除法得出变量的值。
1.1.2.一元一次不等式的解法：通过加减法，乘除法和绝对值法得出变量的范围。
1.2.二元一次方程组与不等式组1.2.1.二元一次方程组的解法：通过消元法、代入法或加减法得出未知数的值。
1.2.2.二元一次不等式组的解法：通过画图法或代入法，求出未知数的范围。
1.3.整式与分式1.3.1.整式的加减乘除运算：根据指数法则进行运算，化简表达式。
1.3.2.分式的加减乘除运算：进行通分、约分、再进行运算，化简表达式。
1.4.根式1.4.1.根式的化简：通过提取公因式或有理化分母等方法化简根式。
1.4.2.根式的运算：通过合并同类项或分解因式的方法进行根式的加减乘除运算。
1.5.二次函数1.5.1.二次函数的定义：y=ax²+bx+c (a≠0)，其中a、b、c为常数。
1.5.2.二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向、零点、图像变换等。
1.5.3.二次函数的图像：根据二次函数的性质画出函数图像，分析函数行为。
2.几何部分2.1.平面几何2.1.1.平面几何的基本概念：点、线、面、角、相似等概念的定义。
2.1.2.平面几何的性质：线段中点定理、垂直角定理、平行线性质等。
2.1.3.平面图形的面积与体积：长方形、正方形、三角形、梯形等图形的面积计算方法。
2.2.立体几何2.2.1.立体几何的基本概念：点、线、面、体、棱、顶点等概念的定义。
2.2.2.立体图形的体积与表面积：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等图形的体积和表面积计算方法。
圆的一般式的圆心和半径公式
圆的一般式的圆心和半径公式1. 圆的概念嘿，大家好！今天我们来聊聊圆。
这可不是一个普通的几何图形哦，圆的魅力可是无与伦比的！想象一下，圆就像是那杯热腾腾的奶茶，既温暖又舒心，让人忍不住想要一口接一口。
圆的美在于它的对称性，哪怕你从任何一个角度去看，它都不会让你失望。
我们生活中到处都有圆的身影，从车轮到钟表，再到那诱人的披萨，圆真的是无处不在啊！2. 圆的一般式2.1 圆的一般式方程好啦，接下来我们聊聊圆的方程。
圆的方程一般是这样的：(x^2 + y^2 + Dx + Ey+ F = 0)。
看起来是不是有点复杂？其实没关系，咱们慢慢来拆解。
这里的 (D)、(E) 和(F) 就是一些常数，听上去像是数学老师嘴里的咒语，其实他们的作用可大了！通过这些常数，我们可以得到圆的中心和半径。
2.2 圆心和半径的公式接下来最重要的来了，我们要如何从这个方程中找到圆心和半径呢？首先，圆心的坐标其实就是 ((D/2, E/2))。
是不是很简单？就像剥洋葱一样，外面看起来复杂，里面却很简单。
而半径呢，公式是 (sqrt{(D/2)^2 + (E/2)^2 F)。
听起来有点唬人，但只要我们一刀切开，问题迎刃而解。
3. 圆心和半径的应用3.1 实际应用大家可能会问，知道这些公式有什么用呢？嘿，别急！想象一下，如果你要在公园里划一个完美的圆圈，或者在设计一款新产品时需要一个圆形的零件，这些知识就派上用场了！说不定，你的一条创意点子就从这里出发，变成了一件了不起的作品！这就像是烹饪时，掌握了基本的调味比例，后面你就可以随心所欲，做出美味的菜肴。
3.2 常见问题当然，学习这东西总会有点小波折。
比如，有人可能会在计算半径时搞错符号，这就像买披萨时不小心多加了洋葱，最后吃得心里发苦。
不过没关系，多练习几次，就能熟能生巧，像打篮球一样，越练越准。
4. 总结最后，圆的知识虽然看起来有点高深莫测，但其实就像我们的生活一样，深藏着许多简单的道理。