利用Matlab求解机械设计优化问题的分析

利用MATLAB求解机械设计优化问题的分析周婷婷(能源与动力学院,油气0701)摘要：MATLAB是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具, 它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。

本文浅谈MATLAB在机械设计优化问题的几点应用。

关键词：MATLAB 约束条件机械设计优化引言：在线性规划和非线性规划等领域经常遇到求函数极值等最优化问题，当函数或约束条件复杂到一定程度时就无法求解，而只能求助于极值分析算法，如果借助计算器进行手工计算的话，计算量会很大，如果要求遇到求解极值问题的每个人都去用BASIC,C和FORTRAN之类的高级语言编写一套程序的话，那是非一朝一日可以解决的，但如用MATLAB语言实现极值问题的数值解算，就可以避免计算量过大和编程难的两大难题，可以轻松高效地得到极值问题的数值解，而且可以达到足够的精度。

1无约束条件的极值问题的解算方法设有Rosenbrock函数如下：f(X1,X2)=100(X2-X1*X1)2+(1-X1)2求向量X取何值时，F(x)的值最小及最小值是多少？先用MATLAB语言的编辑器编写求解该问题的程序如下：%把函数写成MATLAB语言表达式fun=’100*(X(2)-X(1)*X(1)2+(1-X(1))2%猜自变量的初值X0=[-1 2]; %所有选项取默认值options=[ ]；%调用最优化函数进行计算。

%函数最小值存放在数组元素options(8)中%与极值点对应的自变量值存放在向量X里%计算步数存放在数组元素options(10)中[X,options]=fmins(fun,X0,options)；%显示与极值点对应的自变向量X的值。

%显示函数最小值options(8)%显示函数计算步数options(10)把上面这段程序保存为m文件，然后用“Tools”菜单中的“Run”命令行这段程序，就可以轻松的得到如下结果：X=9.999908938395383e-0019.99982742178110e-001ans=1.706171071794760e-001ans=195显然，计算结果与理论结果的误差小到e-10级,这里调用了MATLAB的最优化函数fmins(),它采用Nelder-Mead的单纯形算法，就是因为这个函数的采用，使最小值问题的解算变得非常简单。

2.带约束条件的极值问题的解法设目标函数和约束条件如下:f(x) =-3X1+X2+X3-X1+2X2-X3>= -114X1-X2-2X3<=-32X1-X3= -1X1>=0,X2>=0，X3>=0;求X向量取何值时函数取极小值？对条件极值问题通常的做法都是将约束条件标准化（即把等式约束条件写成等号为0的形式，把不等式写成<=0的形式）。

然后把条件极值问题转换为非条件极值问题，MATLAB也采用同样的做法。

下面是求解该问题的MATLAB语言程序。

funf =’f=-3*X(1)+X(2)+X(3);’%写出目标函数表达式。

fung=’g=[2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3]；’%把约束条件标准化，写成向量函数。

注意等式约束条件要放在前面。

fun=[funf ,fung] %把目标函数表达式和约束条件表达式合成一个向量函数。

X0=[101] %猜初值options= [ ]options[13]=1 %在options(13)中指定等式约束条件的个数。

vlb =zeros(1,3); %指定向量X的下界为0。

vub =[ ]; %对向量的上界不做要求。

[X,options]=constr(fun,X0,options,Vlb,Vlb); %调constr()函数%显示与极值点对应的X 向量值。

options(8) %显示极小值options(10) %显示计算次数g=[2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3] %显示约束条件表达式的取值。

运行这段MATLAB程序得到如下结果:X=4.000000000000000e+0001.00000000000000le+0009.000000000000005e+000ans=-1.99999999999999le+000ans=17g=-6.21724522790877e-0151.77635683940025le-015-1.421085471520200e-014显然，计算结果是非常精确的，这里调用了MATLAB的最优化函数constr()，它是专门用来解算条件极值问题的。

3．机械优化设计应用实例机械优化设计把数学规划理论与数值方法应用于设计中，用计算机从大量可行方案中找出最优化设计方案，从而大大提高设计质量和设计效率。

MATLAB 具有解决线性规划和非线性规划、约束优化和无约束优化问题的内部函数，因而可以完成这一功能。

现举一例：螺栓组联结的优化设计如图4所示的压力容器螺栓组联接中，已知D 1= 400mm,D 2 =250mm ，缸内工作压力为p=1.5 MPa ，螺栓材料为35号钢，σs =320Mpa,安全系数S=3,取残余预紧力Q ’p =1.6F,采用铜皮石棉密封垫片。

现从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n 和螺栓的直径d 。

3．1 设计问题分析若从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会使降低联结的强度和密封性，不能保证安全可靠的工作；若从安全、可靠度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。

为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结经济成本最小化的同时，还要保证联结工作安全、可靠。

3 ．2 设计变量 目标函数 约束条件3．2 .1 设计变量 选取螺栓的个数n 和直径d(mm)为设计变量:T 21T ]x [x ]d [n X ==3．2 .2 目标函数 追求螺栓组联结经济成本C n 最小为目标。

而当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓的总成本与nd 值成正比，所以本问题优化设计的目标函数为min F(X) = C n = n d = x 1x 2① 强度约束条件 为了保证安全可靠地工作，螺栓组联结必须满足强度条件][32.521σπσ≤=d Qca ； 其中Mpa S s 106.3320][===σσ； n n p n D F F F F Q Q p πππ6093742505.16.246.26.26.1222'=⨯=⨯==+=+= N ；对于粗牙普通螺纹：由文献[3]推荐，小径 d 1=0.85d 所以，强度约束条件为：0106146192106146192106105624)(2212211≤-=-=-=x x nd nd X g ② 密封约束条件 为了保证密封安全，螺栓间距应小于10d ，所以，密封约束条件为：01040010)(2112≤-=-=x x d n D X g ππ ③ 安装扳手空间约束条件 为了保证足够的扳手空间，螺栓间距应大于5d ，所以，安装约束条件为：040055)(1213≤-=-=x x n D d X g ππ ④ 边界约束条件 0)(14≤-=x X g ；0)(25≤-=x X g3．3 ．3 建立数学模型综上所述，本问题的数学模型可表达为：设计变量：T 21]x [x X =目标函数：min F(X) = x 1x 2约束条件： s.t. 0)(≤X g i ( i = 1, 2, 3, 4, 5,)现运用MATLAB 的优化函数进行求解 :先编写M 文件function [c,ceq]=mynas(x)c(1)=146192/(x(1)*x(2)^2)-106; % 非线性不等式约束c(2)=400*pi/x(1)-10*x(2);c(3)=-400*pi/x(1)+5*x(2);ceq=[]; % 非线性等式约束在MATLAB 命令窗口输入:fun='x(1)*x(2)'; % 目标函数x0=[4,6]; % 设计变量初始值A=[-1,0;0,-1]; % 线性不等式约束矩阵b=[0;0];Aeq=[]; % 线性等式约束矩阵beq=[];lb=[]; % 边界约束矩阵ub=[];[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mynlsub) % 调用有约束优化函数运行结果如下:x = 11.4499 10.9751fval = 125.6637所以，该问题优化结果为：n =11.4499 ,d = 10.9751，目标函数最小值：F(X)= 125.6637。

根据实际问题的意义取整、标准化：n =12 ,d = 12。

由此例可以看出，与其它编程语言相比，MATLAB语言可以简化编程。

图5是调用MATLAB绘图函数自动对上例绘制的数学模型要素图（标注数字的曲线为目标函数的等值线），为此在MATLAB命令窗口输入:x1=0.1:20;y1=146192./(106.*x1.^2);y2=400.*pi./(10.*x1);y3=400.*pi./(5.*x1);plot(y1,x1,y2,x1,y3,x1,x(1),x(2),'o')y4=0.1:0.1:20;[y4,x1]=meshgrid(y4,x1);Q=y4.*x1;hold on;[c,h]=contour(y4,x1,Q);hold on;clabel(c,h) ;4．结束语从上述实例可以看出，利用求解最优化问题具有编程简单，精度很高，速度很快，各种工形式的最优化问题都适用等优点，巧妙各种利用MATLAB语言可以取得事半功倍的效果。

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