(完整版)空间向量知识点归纳(期末复习),推荐文档
空间向量期末复习知识要点:1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：ab b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
a b b a//当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是a b a b a b同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使a b b 0 a b＝λ。
ab 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p,a b 数使。
,x y p xa yb =+5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一,,a b c p个唯一的有序实数组，使。
,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空,,a b c{,,}a b c ,,a b c 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实,,,O A B C P 数，使。
,,x y z OP xOA yOB zOC =++6. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作,a bO ，则叫做向量与的夹角，记作；且规定,OA a OB b == AOB ∠a b,a b <> ，显然有；若，则称与互相垂直，记作：0,a b π≤<>≤ ,,a b b a <>=<> ,2a b π<>= a b。
a b ⊥ （2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：OA a = OA a。
||a （3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记,a b ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> ,a b作，即。
a b ⋅ a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> （4）空间向量数量积的性质：①。
②。
③。
||cos ,a e a a e ⋅=<>0a b a b ⊥⇔⋅= 2||a a a =⋅ （5）空间向量数量积运算律：①。
②（交换律）。
()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ a b b a ⋅=⋅③（分配律）。
()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅7.空间向量的坐标运算： (1).向量的直角坐标运算设＝，＝则a123(,,)a a a b 123(,,)b b b (1) ＋＝； (2) －＝；a b 112233(,,)a b a b a b +++a b112233(,,)a b a b a b ---(3)λ＝ (λ∈R)； (4) ·＝；a 123(,,)a a a λλλa b112233a b a b a b ++(2).设A ，B ，则= .111(,,)x y z 222(,,)x y z AB OB OA =-212121(,,)x x y y z z ---(3).设，，则111(,,)a x y z =r 222(,,)b x y z =r=2||a a a =⋅212121z y x ++； .a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r a b ⊥r r⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=(4).夹角公式 设＝，＝，a123(,,)a a a b 123(,,)b b b 则.cos ,a b <>=(5)．异面直线所成角=.cos |cos ,|a b θ=r r ||||||a b a b ⋅=⋅r rr r (6).直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.|n·e||n||e|(7). 二面角的求法(1)如图①，AB ，CD 是二面角α l β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．ABCD (2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α l β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．212121,cos cos n n n n n n =><=θ练习题：1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a ·b ＝2，则x 的值是( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1523．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝，且a 分别与，3AB→ 垂直，则向量a 为( )AC→ A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)4．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________.5．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为1414________．4.258解析 ∵a －2b ＝(8，－5,13)，∴|a －2b |＝＝.82＋ －5 2＋1322585.413解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4，则·＝(＋)·(＋)BF → DE → BC → CF → DA → AE → ＝0＋·＋·＋0BC → AE → CF → DA → ＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝＝，42＋12－2×4×1×cos 60°13所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝＝.4136.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设＝a ，＝b ，＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以1 AA ABAD 下各向量：(1)；AP (2)；1 A N (3)＋.MP 1NC 解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴＝＋＋ AP 1 AA 11 A D 1D P＝a ＋＋AD 1211 D C ＝a ＋c ＋12AB＝a ＋c ＋b .12(2)∵N 是BC 的中点，∴＝＋＋＝－a ＋b ＋1 A N 1 A A ABBN 12 BC ＝－a ＋b ＋＝－a ＋b ＋c .12AD 12(3)∵M 是AA 1的中点，∴＝＋＝＋ MP MA AP 121 A AAP ＝－a ＋＝a ＋b ＋c ，12(a ＋c ＋12b)1212又＝＋＝＋1 NC NC 1 CC 12 BC 1AA ＝＋＝c ＋a ，12 AD 1AA 12∴＋＝＋ MP 1NC (12a ＋12b ＋c )(a ＋12c )＝a ＋b ＋c .3212327.已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：B 1F ⊥平面AEF .证明：以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B 1(4,0,4)，D (2,0,2)，A 1(0,0,4)，(1)＝(－2,4,0)，平面ABC 的法向量为＝(0,0,4)，DE 1 AA ∵·＝0，DE ⊄平面ABC ，DE 1AA ∴DE ∥平面ABC .(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，1 B FEF ·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，1 B FEF ∴⊥，B 1F ⊥EF ，1 B FEF ·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，1 B FAF ∴⊥，∴B 1F ⊥AF .1 B FAF ∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .8.如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面PAD ；(2)平面PAB ⊥平面 PAD .证明：以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°，∵PC ＝2，∴BC ＝2，PB ＝4，3∴D (0,1,0)，B (2，0,0)，A (2，4,0)，P (0,0,2)，M ，33(32，0，32)∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， DPDA 3＝.CM (32，0，32)(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量，由Error!即Error!令y ＝2，得n ＝(－，2,1)．3∵n ·＝－×＋2×0＋1×＝0，CM 33232∴n ⊥.又CM ⊄平面PAD ，CM ∴CM ∥平面PAD .(2)如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (，2,1)，＝(－，2,1)．3BE 3∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA .又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， BEDA 33∴⊥.∴BE ⊥DA . BEDA 又PA ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面PAD .又∵BE ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD .9. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求直线AD 和直线B 1C 所成角的大小；(2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD .解：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz .根据已知得：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)．(1)∵＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，∴cos〈，〉＝＝.DA 1 CB DA 1CB ·||||22∴直线AD 和直线B 1C 所成角为.π4(2)证明：取B 1D 的中点F ，得F (1,1,1)，连接EF .∵E 为AB 的中点，∴E (2,1,0)，∴＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，EF DC ∴·＝0，·＝0， EF DC EF 1CB ∴EF ⊥DC ，EF ⊥CB 1.∵DC ∩CB 1＝C ，∴EF ⊥平面B 1CD .又∵EF ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD .10． 如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出；若不存在，请说明EFEA 理由．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，DO .因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB .因为四边形ABCD 为直角梯形．AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD .因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ⊥ED .(2)因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ，所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥OD .由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ，设OB ＝1，所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，E (0,0,1)．所以＝(1,1，－1)，EC 平面ABE 的一个法向量为＝(0,1,0)．OD 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，ECOD |·|||||33即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为.3311.(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．(1)求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(2)求点B 到平面PCD 的距离．21.(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(0,0，－2)．PD → CD → PA→ 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒Error!⇒Error!所以平面PCD 的一个法向量为.(12，0，1)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为＝(0,2,0)．AB→ ∵n ·＝0，∴n ⊥.AB → AB → ∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)解 由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为＝.n|n|(55，0，255)∴ ＝＝，|4，0，0 ·(55，0，255)|455∴点B 到平面PCD 的距离为.45512． 如图所示，在多面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1；(3)在(2)的条件下，求二面角F CC 1B 的余弦值．解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (2a ，0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵＝(－a ，a ，a )，＝(0,0，a )，1 AB 1DD ∴|cos〈，〉|＝＝，1 AB 1DD |·||·|||33∴异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为.33(2)证明：∵＝(－a ，－a ，a )，＝(－2a,0,0)，＝(0，a ，a )，1 BBBC 1 FB ∴Error!∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.(3)由(2)知，为平面BCC 1B 1的一个法向量．1FB 设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量，∵＝(0，－a ，a )，＝(－a,2a,0)，1 CCFC ∴Error!得Error!令y 1＝1，则n ＝(2,1,1)，∴cos〈，n 〉＝＝，1FB ·n ||·|n |33∵二面角F CC 1B 为锐角，∴二面角F CC 1B 的余弦值为.3313． 如图， 四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中， 侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE;(2)求二面角B 1CE C 1的正弦值．(3)设点M 在线段C 1E 上， 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为，求线段AM 26的长．解：法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，11 B CCE 于是·＝0，所以B 1C 1⊥CE .11 B CCE (2) ＝(1，－2，－1)．1B C设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故＝(1,0，－1)为平11 B C 面CEC 1的一个法向量．于是cos〈m ，〉＝＝＝－，11 B C m ·|m |·||－414×2277从而sin 〈m ，〉＝.11 B C 217所以二面角B 1CE C 1的正弦值为.217(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝AE 1 EC EM 1 EC AM ＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AE EM AB AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos〈，〉AM AB |＝＝＝.于是＝，解得λ＝，所以|·|||·||2λ2×λ2＋ λ＋1 2＋λ2λ3λ2＋2λ＋1λ3λ2＋2λ＋12613AM ＝.2法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝，B 1C 1＝，EC 1＝，从而B 1E 2＝B 1C ＋EC ，所以在△5232121B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1CE C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝，CC 1＝2，可得C 1G ＝.在Rt△B 1C 1G 中，B 1G ＝，所以sin 3263423∠B 1GC 1＝，217即二面角B 1CE C 1的正弦值为.217(3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt△AHM 中，有MH ＝x ，AH ＝x .在Rt△C 1D 1E 中，26346C 1D 1＝1，ED 1＝，得EH ＝MH ＝x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由2213AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得x 2＝1＋x 2＋x ，17181923整理得5x 2－2x －6＝0，解得x ＝.所以线段AM 的长为.222。
(完整word版)空间向量知识点总结
空间向量知识点总结1。
直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。
⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。
⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。
用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。
即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。
⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3。
用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。
空间向量知识点归纳总结（经典）
空间向量知识点归纳总结（经典）空间向量与⽴体⼏何知识点归纳总结⼀．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量。
注：（1）向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三⾓形法则、平⾏四边形法则、平⾏六⾯体法则 3. 共线向量。
（1）如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线平⾏或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平⾏向量，a平⾏于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为±4. 共⾯向量（1）定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量。
说明：空间任意的两向量都是共⾯的。
（2）共⾯向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共⾯的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共⾯：若A 、B 、C 、P 四点共⾯<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共⾯，那么对空间任⼀向量p ，存在⼀个唯⼀的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共⾯，我们把{,,}a b c叫做空间的⼀个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共⾯的向量都可以构成空间的⼀个基底。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点;1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;2空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示;2. 空间向量的运算;定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量;1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a//;当我们说向量a 、b 共线或a b a b a b b 0 a b a b共面向量 1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;说明：空间任意的两向量都是共面的;2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+;5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++;若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;推论：设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++;6. 空间向量的直角坐标系：1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标;2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;3空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ⋅=++,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈,1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=;②若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---;一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标;4模长公式：若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2||(AB AB ==,或,A B d = 7. 空间向量的数量积;1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=,则称a 与b 互相垂直,记作：a b ⊥;2向量的模：设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作：||a ;3向量的数量积：已知向量,a b ,则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作a b ⋅,即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>;4空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>;②0a b a b ⊥⇔⋅=;③2||a a a =⋅;5空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;②a b b a ⋅=⋅交换律;③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅分配律;6：空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b 则1 a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；2 a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；3λa ＝123(,,)a a a λλλ λ∈R ； 4 a ·b ＝112233a b a b a b ++；2.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.3、设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.4.夹角公式 设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b ,则112233222222123123cos ,a b a b a b a b a a ab b b++<>=++++.5．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==121212222222111222||||||||x x y y z z a b a b x y z x y z ++⋅=⋅++⋅++.6．平面外一点p 到平面α的距离已知AB 为平面α的一条斜线,n 为平面α的一个法向量,A 到平面α的距离为：||||AB n d n •=典型例题例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列向量表达式,标出化简结果的向量;⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++;例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ,问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++其中1x y z ++=的四点,,,P A B C 是否共面例 3. 已知空间四边形OABC ,其对角线,OB AC ,,M N 分别是对边,OA BC 的中点,点G 在线段MN 上,且2MG GN =,用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG ;BAαnGMC'B'A'D'DABC例 4. 如图,在空间四边形OABC中,8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,45OAC ∠=,60OAB ∠=,求OA 与BC 的夹角的余弦值;说明：由图形知向量的夹角易出错,如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=,切记例 5. 长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,E 为11AC 与11B D 的交点,F 为1BC 与1B C 的交点,又AF BE ⊥,求长方体的高1BB ;空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中,若,E F 分别是1,BC DD 中点,则EF 的坐标为A.(1,2,1)- B (1,2,1)--C.(1,2,1)--D.(1,2,1)--2．如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 yxzFE C 1D 1C D(O)B 1A 1AB图OAB C3.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,E 为PD 中点,若PA a =,PB b =,PC c =,则BE =A.111222a b c -+ B 111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 二、填空题4.若点(1,2,3)A ,(3,2,7)B -,且0AC BC +=,则点C 的坐标为______.5．在正方体1111ABCD A B C D -中,直线AD 与平面11A BC 夹角的余弦值为_____.三、解答题1、在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AB 1与底面ABCD 所成的角为4π, 1求证11AB C BD ⊥面2求二面角1B AC B --的正切值 2．在三棱锥P ABC -中,3AB AC ==4AP =,PA ABC ⊥面,90BAC ∠=︒, D 是PA 中点,点E 在BC 上,且2BE CE =,1求证：AC BD ⊥；2求直线DE 与PC 夹角θ的余弦值；3求点A 到平面BDE 的距离d 的值.3．在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,且PA ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30°角． 1若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证：BE ⊥PD ；DACBPE图2求异面直线AE与CD所成角的余弦值．4、已知棱长为1的正方体A C1,E、F分别是B1C1、C1D的中点．1求证：E、F、D、B共面；2求点A1到平面的B DEF的距离；3求直线A1D与平面B DEF所成的角．5、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点E 为棱AB 的中点,求： ⅠD 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；Ⅱ二面角D －BC 1－C 的大小；模拟试题1. 已知空间四边形ABCD ,连结,AC BD ,设,M G 分别是,BC CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量：1AB BC CD ++； 21()2AB BD BC ++；31()2AG AB AC -+;2. 已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量;,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====;1求证：四点,,,E F G H 共面；2平面AC //平面EG ;3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中,11111114B E D F A B ==, 求1BE 与1DF 所成角的余弦;4. 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5;⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直,且|a |＝3,求向量a 的坐标;5.已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=,60BAA DAA ''∠=∠=,求AC '的长;参考答案1. 解：如图,1AB BC CD AC CD AD++=+=；2111()222AB BD BC AB BC BD ++=++; AB BM MG AG=++=；31()2AG AB AC AG AM MG -+=-=;2. 解：1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC AB AD=+,∵EG OG OE=-,∴,,,E F G H共面；2解：∵()EF OF OE k OB OA k AB=-=-=⋅,又∵EG k AC=⋅,∴//,//EF AB EG AC;所以,平面//AC平面EG;3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O xyz-,则(1,1,0)B,13 (1,,1)4E,(0,0,0)D,11 (0,,1)4F,∴11(0,,1)4BE =-,11(0,,1)4DF =, ∴11174BE DF ==, 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=;111515cos ,17BE DF ==; 4. 分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠== ∴∠BAC ＝60°,||||sin 6073S AB AC ∴==⑵设a ＝x,y,z,则230,a AB x y z ⊥⇒--+= 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1,∴a ＝1,1,1或a ＝－1,－1,－1;5. 解：22||()AC AB AD AA ''=++所以,||85AC '=。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2) 向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
OB = OA+ AB = a+b .BA = OA-OB = a-b .OP = λa(λGR)运算律：⑴加法交换律：a + b =b + a ⑵加法结合律：(^ + fe) + c = + + c)⑶数乘分配律：+ b) = λa + λb运算法则：三角形法则、平行四边形法则.平行六面体法则 3. 共线向量。
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，N 平行于方，记作N 〃b 。
(2 )共线向量定理：空间任意两个向量万、b (方≠6),ababAB = λAC OC = XOA+ yOB(^^x + y = l) a 土(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2) 共面向量定理：如果两个向量",5不共线，0与向量久5共面的条件是存在实数—♦兀」'使p = xa + yb 9(3) 四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AP = xAB + yAC共面向量©OP = XOA + yOB +zOC(其中兀 + y + z = 1)在一个唯一的有序实数组x,y,Z f使p = xa+ yb +zc 9—♦若三向量GbE不共面，我们把｛a.b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设o,4,5C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y.Z f使OP = XOA + yOB + zOC O6.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0 —厂Z中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(兀”Z), 使OA = xi + yi+忑，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-XK中的坐标, 记作A(X,y,z), X叫横坐标，y叫纵坐标，Z叫竖坐标。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决立体几何问题时具有独特的优势。
以下是对空间向量知识点的详细总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义空间向量是既有大小又有方向的量。
与平面向量类似，但所处的空间维度更高。
2、空间向量的表示可以用有向线段表示，其起点和终点分别表示向量的起点和终点。
也可以用坐标表示，如在空间直角坐标系中，向量＼（＼overrightarrow{AB}＼）的坐标为＼（（x_B x_A, y_B y_A, z_B z_A)＼）。
3、空间向量的模空间向量的模长计算公式为＼（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ z^2}＼），其中＼（＼overrightarrow{a} ＝（x, y, z)＼）。
4、单位向量模长为 1 的向量称为单位向量。
对于向量＼（＼overrightarrow{a}＼），其单位向量为＼（＼frac{＼overrightarrow{a}｝｛＼vert\overrightarrow{a}＼vert}＼）。
5、零向量模长为 0 的向量称为零向量，其方向任意。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法满足三角形法则和平行四边形法则。
＼（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_a ＋ x_b, y_a ＋ y_b, z_a ＋ z_b)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_a x_b, y_a y_b, z_a z_b)＼）。
2、数乘运算实数＼（λ\）与空间向量＼（＼overrightarrow{a}＼）的乘积是一个空间向量，记作＼（λ\overrightarrow{a}＼）。
＼（λ\overrightarrow{a} ＝（λx_a, λy_a, λz_a)＼）。
3、数量积（点积）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＼vert\overrightarrow{b}＼vert ＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b} ＞＼）。
(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
经典空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结空间向量的基本概念及运算知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
((完整版))空间向量知识点归纳总结(经典),推荐文档
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：ba b a λλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
a b b a //（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λa bb 0 a b a 。
b （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x y x 其中（4）与共线的单位向量为a 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,ab p ,a b 数使。
,x y p xa yb =+ （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP+= <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存,,a b cp 在一个唯一的有序实数组，使。
,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,,a b c {,,}a b c ,,a b c 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。