高等数学第十一章第五讲、函数展开为麦克劳林级数
常见麦克劳林公式大全
常见麦克劳林公式大全麦克劳林公式（Maclaurin series）是泰勒级数（Taylor series）的一种特殊形式。
它是一种将一个函数展开成无穷级数的表达方式，通过将函数在其中一点处的导数插入泰勒级数中，可以得到一个关于这个点附近的近似函数的级数表示。
在数学和物理学中，麦克劳林公式经常被用来求解复杂函数的近似值。
下面是一些常见的麦克劳林公式的展开形式。
1.指数函数的麦克劳林展开：e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+(x^4)/4!+...=Σ(x^n)/n!2.正弦函数的麦克劳林展开：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ... = Σ(-1)^n * (x^(2n+1))/(2n+1)!3.余弦函数的麦克劳林展开：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ... = Σ(-1)^n * (x^(2n))/(2n)!4.自然对数函数的麦克劳林展开：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... = Σ(-1)^(n-1) * (x^n)/n5.正切函数的麦克劳林展开：tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ... = ΣB2n * (x^(2n-1))/(2n)!6.反正切函数的麦克劳林展开：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ... = Σ(-1)^(n-1) * (x^(2n-1))/(2n-1)7.开方函数的麦克劳林展开：sqrt(1+x) = 1 + (x^2)/2 - (x^4)/8 + (x^6)/16 - ... = Σ(-1)^(n+1) * (x^(2n))/(2n)!8.指数函数的麦克劳林展开：(1+x)^p = 1 + px + (p(p-1)x^2)/2! + (p(p-1)(p-2)x^3)/3! + ... = Σ(p(p-1)...(p-k+1)x^k)/k!以上是一些常见的麦克劳林公式的展开形式。
高等数学第11章 无穷级数
un
=
lim
n→∞
1 n
=
0.
∞
推论3 若 un →/ 0, 则级数 ∑ un必发散 .
n=1
小结:
un → 0
un →/ 0
∞
∑ u n 收敛
n=1 ∞
∑ u n 发散
n=1
二、典型例题
例1
判别级数
∞
∑
ln
n
+
1
的敛散性.
n=1 n
解 部分和
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
第十一章 无穷级数
本章基本要求
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了 解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
2．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 p—级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
3．了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错 级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概 念及二者的关系。
设收敛级数
S=
∞
∑ un,σ =
∞
∑ vn，则
n=1
n=1
∞
∑(un ±vn) 也收敛, 其和为 S ± σ .
n=1
注 1º 收敛级数可逐项相加（减） .
2o
∞
∑ ( un ± vn ) 的敛散性规律：
n=1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 而 un + vn = 0
+
L
+
ln
n
+ n
1
拆项相消
高数下册第11章解析
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
函数
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
麦克劳林级数展开式
麦克劳林级数展开式麦克劳林级数展开式，也叫泰勒级数展开式，是一种把一个函数表示为无限级数的方法。
这种方法在数学计算中，特别是在物理学和工程学领域中非常重要。
下面我们将逐步阐述麦克劳林级数展开式的原理和用途。
首先，我们需要知道什么是麦克劳林级数展开式。
麦克劳林级数展开式是一种用泰勒级数来表示一个函数的方法，其思路是将一个函数f(x)在某个点a处展开成一系列无限多项式:$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ 其中，$f^{(n)}(a)$表示函数f(x)在a点的n阶导数。
这里展开式中的无限多项式是指在幂级数中一直计算到无穷大。
第二步，我们需要知道麦克劳林级数展开式的公式。
这个公式实际上就是上面的展开式。
如果我们已经知道一个函数在某个点处的前n 阶导数，那么我们就可以写出它在这个点的麦克劳林级数展开式: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$其中，$R_{n}(x)$是余项，也叫拉格朗日余项，它由剩余的高阶项构成，通常写作：$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$其中c在a和x之间,即$\min(a,x)<c<\max(a,x)$。
第三步，我们需要知道麦克劳林级数展开式的应用。
麦克劳林级数展开式可以帮助我们求解一些复杂的函数，比如三角函数。
三角函数不是一条直线，很难计算。
但是，如果我们将它展开成无限级数，那么每一项都是一条简单的直线，并且可以方便地计算。
除此之外，还可以用麦克劳林级数展开式来近似计算一些常数，比如圆周率π，可以用函数$f(x) =\frac{1}{1+x^{2}}$展开成泰勒级数来逼近。
一麦克劳林Maclaurin公式
(0 θ 1) .
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
③
我们称之为麦克劳林级数 . 那么它是否以函数 f(x) 为和函数呢 ?
若令麦克劳林级数 ③ 的前n + 1 项和为 Sn1n 时， x n1 0 , (n 1)!
所以，当
n 时,
ex
x n1 0,
(n 1)!
由此可知
lim
n
rn
(
x)
0
.
这表明级数 ⑥ 确实收敛于 f ( x) ex ,
因此有
e x 1 x 1 x2 1 xn ( x ) .
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
rn (
x)
.
①
其中
rn ( x)
f (n1) (ξ ) (n 1)!
(
x
x0
)n1
(ξ 在 x0 与 x 之间) .
称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 .
于是可以得到幂级数
x 1 x 3 1 x5 (1)n x 2n1 ,
3! 5!
(2n 1)!
且它的收敛区间为 ( , ) .
因为所给函数的麦克劳林公式的余项为
sin[ x (n 1)
rn ( x)
2 (n 1)!
函数麦克劳林公式展开
函数麦克劳林公式展开函数的麦克劳林公式展开，这可是数学里一个挺有趣但也有点让人头疼的知识点呢。
咱先来说说啥是麦克劳林公式展开。
简单来讲，它就是把一个复杂的函数用一系列简单的幂级数来表示。
比如说，一个函数 f(x) ，通过麦克劳林公式展开，就可以变成类似 f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! +f'''(0)x³/3! +... 这样的形式。
给大家举个例子吧，就说sin(x) 这个函数。
按照麦克劳林公式展开，它就是 sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! +... 。
这是不是还挺神奇的？我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，说：“老师，这也太复杂了，感觉像在变魔术。
”我笑着告诉他：“这可不是魔术，这是数学的魅力！”然后我就一步一步带着他们推导，看着他们从一开始的迷茫，到逐渐露出恍然大悟的表情，那种感觉真的太棒了。
那麦克劳林公式展开有啥用呢？它的用处可大啦！在计算函数的近似值、求极限、研究函数的性质等方面都能发挥大作用。
比如说，在工程计算中，如果需要快速得到一个函数的近似值，用麦克劳林公式展开就能轻松搞定。
再比如说，在研究函数的单调性、凹凸性的时候，通过麦克劳林公式展开，可以更清楚地看到函数的各项特征，从而做出准确的判断。
不过呢，要熟练掌握麦克劳林公式展开，可不能光靠死记硬背。
得理解每一项的含义，多做练习，才能真正把它运用自如。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但多骑几次，掌握了平衡的技巧，就能自由自在地驰骋啦。
总之，函数的麦克劳林公式展开虽然有点难度，但只要用心去学，你会发现其中的乐趣和奇妙之处。
相信大家都能攻克这个小难关，在数学的海洋里畅游！。
麦克劳林公式展开式
麦克劳林公式展开式
麦克劳林展开式如图所示：
函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若f（x）在x=0处n阶连续可导。
copy 泰勒公式应用于数学、物理领域，一个百用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
扩展资料：
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函度数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
指数函数与对数函数的级数展开
指数函数与对数函数的级数展开指数函数与对数函数是高等数学中常用的两类函数。
它们在数学、工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍指数函数和对数函数的级数展开，探讨它们的性质和应用。
一、指数函数的级数展开指数函数可以表示为级数的形式，即：e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots这个级数称为自然指数函数的麦克劳林级数展开。
其中，e 是自然对数的底数，约等于2.71828。
通过级数展开，我们可以将指数函数近似地表示为多项式的形式。
为了理解级数展开的意义，我们可以考虑一个简单的例子。
假设我们要计算 e^0.5 的值，可以利用级数展开来近似计算：e^0.5 ≈ 1 + 0.5 + \frac{0.5^2}{2!} + \frac{0.5^3}{3!} + \frac{0.5^4}{4!} + \cdots通过将级数中的项相加，我们可以得到越来越接近e^0.5 的近似值。
当我们计算到一定的项数时，可以得到较为准确的结果。
这种级数展开的方法在科学计算中经常使用。
二、对数函数的级数展开对数函数可以表示为级数的形式，即：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots这个级数称为自然对数函数的麦克劳林级数展开。
通过级数展开，我们可以将对数函数近似地表示为多项式的形式。
考虑一个例子，假设我们要计算 \ln(1.5) 的值，可以利用级数展开来近似计算：\ln(1.5) ≈ 1.5 - \frac{1.5^2}{2} + \frac{1.5^3}{3} - \frac{1.5^4}{4} +\cdots通过将级数中的项相加，我们可以得到越来越接近 \ln(1.5) 的近似值。
同样地，当我们计算到一定的项数时，可以得到较为准确的结果。
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n n1 f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 )
n 2 f ( x) 2a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an ( x x0 )
x n
x (, )，
第十一章
5、函数展开为幂级数
例4 将f ( x) ln(1 x)展开成麦克劳林级数.
解
1 2 3 n 1 x x x ...... x ....., x (1,1) 1 x x 1 1 2 1 3 1 n1 0 1 xdx x 2 x 3 x ...... n 1 x ......, x (1,1) 1 2 1 n ln(1 x) x x ...... x ......, x [1,1) 2 n
5、函数( x0 ) n!
( n 0,1,2,)
. 泰勒系数是唯一的, f ( x )的展开式是唯一的
第十一章
于是，幂级数的形式为：
5、函数展开为幂级数
( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 0 f ( x0 ) 2 + ( x x0 ) 2! 称f(x)在Xo处的 f ( x0 ) 3 + ( x x0 ) ...... 3! 泰勒级数 (n) f ( x0 ) n + ( x x0 ) ...... n!
第十一章
5、函数展开为幂级数
例1 将f ( x) ex展开成麦克劳林级数.
x x x (n) e | 1, ( e ) | 1,......,( e ) | x 0 1. 解 x 0 x 0 x
所以e 的麦克劳林级数： f ( n ) (0) n f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n x 1 x x ... x ... n! 1! 2! n! n 0 1 2 1 n 1 x x ... x ...... 2! n! 1 2 1 n x 即 e 1 x x ... x ......, x (, ). 2! n!
第十一章
5、函数展开为幂级数
课堂总结：
一、泰勒级数
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
麦克劳林级数
f ( x)
n 0
f
(n)
(0) n x n!
二、 函数展开为麦克劳林级数； 三、 常见的几种函数展开为麦克劳林级数。
第十一章
5、函数展开为幂级数
课后思考
第十一章 教学过程：
5、函数展开为幂级数
本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样一个幂级数， 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 f(x)． 如果能找到这样的幂 级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数．
一、泰勒级数
f ( x ) an ( x x0 ) n 存在幂级数在其收敛
第十一章
例5 将f ( x) arctan x展开成麦克劳林级数.
5、函数展开为幂级数
1 2 3 n 1 x x x ...... ( x) ....., x (1,1) 解 1 x 1 2 4 6 n 2n 1 x x x ...... (1) x ....., x (1,1) 2 1 x x 1 1 3 1 5 0 1 x2 dx arctan x x 3 x 5 x n 1 2n+1 ......(1) x ......, x [1,1] 2n 1
1 3 1 5 (1) 2 n1 sin x x x x ...... x ....., x (, ) 3! 5! (2n 1)!
n
1 2 1 4 (1) 2 n cos x 1 x x ...... x ....., x (, ) 2! 4! (2n)! a(a 1) 2 a(a 1)(a 2)...(a n 1) n a (1 x) 1 ax x ... x ......, 2! n! x (1,1)
第十一章
5、函数展开为幂级数
第十一章
第五讲
无穷级数
§5. 函数展开为麦克劳林级数
李丽 2012年4月
第十一章
教学目标：掌握把函数展成泰勒级数，掌握如何把函数展
成麦克劳林级数
5、函数展开为幂级数
教学重点：掌握掌握把函数展成泰勒级数，掌握如何把函
数展 成麦克劳林级数
教学难点：理解把函数展成泰勒级数与麦克劳林级数 课时分配：2课时 教学手段：借助多媒体教授式，例举法、课堂训练法
n 0
域内以f(x)为和函数
问题: 1.如果能展开, a n 是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
第十一章
设 知
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
5、函数展开为幂级数
，由第四节中幂级数运算性质五，
f ( x) 具有任意阶导数，且幂级数可以逐项微分，即
f
(n)
第十一章
本节主要讨论函数展成麦克劳林级数
f ( x)
n 0
5、函数展开为幂级数
f ( n ) (0) n x n!
常见几种函数麦克劳林展开式：
1 2 3 n n 1 x x x ...... (1) x ....., x ( 1,1) 1 x 1 1 x x 2 x 3 ...... x n ....., x ( 1,1) 1 x n 1 2 (1) n+1 ln(1 x) x x ... x ......, x ( 1,1] 2 n 1
f
(n)
第十一章
5、函数展开为幂级数
当 x0 =0 时，级数 (0) n f (0) 2 x f (0) f (0)x + x n! 2! n 0 f (0) 3 + x ...... 3! f ( n ) (0) n + x ...... n! 称为麦克劳林级数
第十一章
例2 将f ( x) sin x展开成麦克劳林级数.
5、函数展开为幂级数
解
f
( n)
n n ( n) ( x ) sin( x ), f (0) sin , 2 2
f ( 2 n ) (0) 0, f ( 2 n1) (0) ( 1) n , ( n 0,1,2,)
x arcsin x 利用幂级数展开式, 求极限 lim . 3 x 0 sin x
课后作业
第117页：第54、55、56、57、58题
第十一章
5、函数展开为幂级数
课后反思：
通过对本节课的讲解，发现学生对概念的理 解还行，但对性质的掌握不是太理想； 本节课共有四条性质，每条性质都有证明， 对于每个证明我没有讲解，只是详细说明了每条 性质的应用并给出例子让学生更好的理解掌握 而且，本节课留有十分钟的时间，让学生练 习，总体上来看，还算可以，只是个别学生不听 话。
n 且 f ( x ) sin( x ) 1 x ( , ) 2 2 n 1 1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!
( n)
x ( , )
第十一章
5、函数展开为幂级数
常见几种函数麦克劳林展开式：
n
第十一章
二、函数展成麦克劳林级数
解
1 2 1 n 已知 e 1 x x ... x ......, 2! n! 将-x代替x，得
x
5、函数展开为幂级数
例3 将f ( x) e- x展开成麦克劳林级数.
x (, )，
1 2 (1) n e 1 x x ... x ......, 2! n!
..........................
f ( n ) ( x ) n! a n ( n 1)n 3 2a n1 ( x x0 )
第十一章
令 x x0 , 即得
a0 f ( x0 ), a1 f ( x0 ), 1 a2 f ( x0 ), 2! ..............