时域卷积定理的证明
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个〔或多个〕函数之积进展变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的根底上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了"冲击函数〞这一符号，而卷积的诞生正是为了研究"冲击函数〞效劳的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质 2.1卷积的定义〔根本内涵〕设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着*的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f *(或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果. 〔2〕如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.〔3〕由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数. 2.2卷积的性质性质〔交换律〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质〔分配律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-性质〔结合律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)( =()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *性质()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质〔微分性〕设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果一样. 性质〔积分性〕设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果一样. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质〔微积分等效性〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰1330)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e e tt3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它说明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 =()()τττωd dt e t f f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它说明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 于是例3.1 求积分方程的解，其中()()t f t h ,为函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F = 由卷积定义知现对积分方程两端取Fourier 变换可得解得所以原方程的解为例3.2 求常系数非齐次线性微分方程 的解，其中()t f 为函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 解得所以原方程的解 由卷积定理得=()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212. 例3.3求微分积分方程的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数. 解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解4.卷积公式及其应用与推广 4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
卷积 cauchy schwartz不等式
卷积 cauchy schwartz不等式1. 概述在数学中，卷积运算是一种重要的运算方式，而柯西-施瓦茨不等式是一种经典的不等式。
本文将探讨卷积和柯西-施瓦茨不等式之间的关系。
2. 卷积运算的定义卷积运算是信号处理和图像处理领域中常见的一种运算方式。
它通常用于描述两个信号之间的互相关性，以及在时域和频域之间的转换关系。
设有两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积记作f*g。
在时域上，f*g的定义如下：f*g(x) = ∫f(t)g(x-t)dt其中，t是积分变量。
在离散情况下，卷积可以表示为：f*g[n] = Σf[k]g[n-k]其中，k为求和变量，n为离散变量。
3. 卷积运算的性质卷积运算具有以下一些基本性质：（1）交换律：f*g = g*f（2）结合律：f*(g*h) = (f*g)*h（3）分配律：f*(g+h) = f*g + f*h4. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的一个重要不等式，它描述了内积空间中向量的内积与模的关系。
设有两个向量a和b，它们的内积记作〈a, b〉。
柯西-施瓦茨不等式可以表述为：|〈a, b〉| ≤ ||a|| ||b||其中，||a||和||b||分别表示向量a和b的模。
5. 卷积与柯西-施瓦茨不等式的关系在信号处理和图像处理中，卷积运算可以看作是两个信号之间的相关性度量。
类似地，柯西-施瓦茨不等式可以用来衡量向量空间中两个向量之间的相关性。
卷积运算与柯西-施瓦茨不等式之间存在一定的通联。
在离散情况下，假设有两个离散信号f[n]和g[n]，它们的卷积记作f*g。
根据柯西-施瓦茨不等式的定义，我们有：|f*g[n]| ≤ ||f|| ||g||其中，||f||和||g||分别表示离散信号f和g的范数。
这表明离散信号之间的卷积运算其实是在满足柯西-施瓦茨不等式的约束条件下进行的。
6. 结论卷积运算和柯西-施瓦茨不等式都是数学领域中重要的概念，它们在信号处理、图像处理和线性代数等领域都有着广泛的应用。
5离散傅立叶变换(DFT)的性质_数字信号处理
N−1 = ∑x1(m)x2 ((n − m))N RN (n) = x1(n)N x2(n) m=0
N−1 = ∑x2 (m)x1 ((n − m))N RN (n) = x2 (n)N x1(n) m=0
ɶ ɶ ɶ 证：由周期卷积和，若Y (k) = X1(k) ⋅ X2 (k)， ɶ ɶ 则 y(n) = IDFS[Y (k)]
共轭对称
共轭反对称
共轭对称与共轭反对称序列示意图
x(n) = xep (n) + xop (n)
1 * xep (n) = [ x(n) + x ( N − n)] 2 1 xop (n) = [ x( n) − x* ( N − n)] 2
N −1
循环卷积过程： 循环卷积过程：
m=0
补零(当两序列不等长时) 1）补零(当两序列不等长时) 2）周期延拓 3）翻褶 4）取主值序列 5）循环移位 6）相乘相加
以N=8 x2 (m) x2 ((m))N → 延拓
x2 ((− m)) N →
取主值 → x2 ((−m)) N i RN (n)
结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移 圆周移位导致频谱线性相移， 结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而 对频谱幅度无影响。 对频谱幅度无影响。
4. 频域循环移位定理
如果X (k) = DFT[x(n)],0 ≤ k ≤ N −1
Y(k) = X ((k + l))N iRN (k)
x1 ( n) = R5 ( n)
x1(n)
x 2 ( n ) = n + 1 ( 0 ≤ n ≤ 2)
1 0 1 2 3 4 5 x2(n) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n n
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
二维卷积定理证明
二维卷积定理证明二维卷积定理是信号处理中一个重要的定理，它表明在时域进行卷积运算等价于在频域进行逐点相乘。
本文将从定义二维卷积和频谱的角度出发，详细推导二维卷积定理，并对其进行证明。
一、概述1.1 二维卷积在信号处理中，卷积运算是一种常用的操作，可以用来描述信号在时间或空间上的加权和。
在二维卷积中，我们通常处理二维离散信号，如图像。
定义二维卷积运算如下：设有两个二维离散信号f(x,y)和h(x,y)，其中f(x,y)的定义域为Df，h(x,y)的定义域为Dh，则二维离散卷积定义为：g(x,y) = f(x,y) * h(x,y) = ΣΣ f(m,n) * h(x-m,y-n)其中，x和y为卷积结果的坐标，m和n为求和变量，取值范围由定义域所限。
1.2 频谱在信号处理中，频谱表示信号在频域的分布情况。
在二维情况下，信号的频谱可以通过二维傅里叶变换得到。
设二维离散信号f(x,y)的频谱表示为F(u,v)，其中u和v为频谱的坐标，定义如下：F(u,v) = ΣΣ f(x,y) * exp(-j2π(ux+vy))其中，exp是欧拉公式的指数形式，j为虚数单位。
二、二维卷积定理的推导为了推导二维卷积定理，我们首先将卷积过程转化为频域运算。
根据频谱的定义，我们可以将二维卷积定义进行改写：g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)= ΣΣ f(m,n) * h(x-m,y-n)= ΣΣ [1/N^2 ΣΣ F(u,v) * exp(j2π(um+vn))] * h(x-m,y-n)= 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ h(x-m,y-n) * exp(j2π(um+vn))]其中，N为信号的长度（宽度），F(u,v)为f(x,y)的频谱。
进一步化简，使用了卷积的定义公式，并进行变量替换：= 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ h(u,v) * exp(j2π[(u(x-m)+v(y-n))]/N)] = 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ H(u,v) * exp(j2π[(u(x-m)+v(y-n))]/N)]其中，H(u,v)为h(x,y)的频谱。
Z变换基本性质.
e j
H
r
e
j
d
思考题
• 1. z变换有哪些基本性质及其公式？ • 2. 应用初值定理和终值定理的条件？
z z1
z z1
z z 0.5
ROC z 2 z 1 z 1 z 0.5
终值存在的条件
(1)X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;
例：anu(n), ，a 终 值1 为0
(2)若极点位于单位圆上，只能位于 z ，1并且是一阶极
点. 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有 第一条。
则： ZT[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z)
max( Rx1, Ry1) z min( Rx2, Ry2 ) 其中, a、b为任意常数。
例：求序列 anu(n)-anu(n-1) 的z变换。
ZT[anu(n) anu(n 1)] ZT[anu(n)] ZT[anu(n 1)]
z
anzn ( z a )
z a n1
z a 1 ( z 0) za za
二、位移性
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质
1．双边z变换的位移性质
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
x(n 2) 4
x(n 2) 4
1O 1 2
n 1O 1 2
七、时域卷积定理
已知 则
X (z) Zx(n)
Rx1 z Rx2
H(z) Zh(n)
Rh1 z Rh2
Zx(n)* h(n) X (z)H (z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max( Rx1 , Rh1 ) z min( Rx2 , Rh2 )
Z变换的基本性质
x ( k 2 ) ( k ) x ( k 2 ) ( k 2 ) ( k [ 2 ) ( k 1 ) z 2 X ( z ) ] x ( 0 ) x ( 1 ) z 1
所 x ( 1 ) 以 li z X m ( z ) x ( 0 )
z
x ( 2 ) lz i 2 X m ( z ) x ( 0 ) x ( 1 ) z 1 z
15
第
例题 页
1.求f (k) (k 1) (k 1)的单边 z变换
2.已知ak(k) z
za
z a
分别求 ak1, ak1(k),ak1(k 1)单边z变换
3.ak的双边 z变换存在吗？
4.求以下信 z变号 换单边
f(k)2k(k1)
f(k) 1 0
k1,3,5, k2,4,6
5.已F 知 (z) 1 求 f(k) z9(z1)
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
X
6
二．移序(移位)性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
X
7
1．双边z变换的移序性质
第 页
原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。
x(k)
4
x(k2)
4
x(k2)
4
1O12 k 1O12
k
21O1 k
若x 序 k的 列 z 双 变 :边 换
页
1.k (1)(k) (k)(k) (z)2 z1 z 1
2.ak(k1)(k) a k(k ) a k(k ) (z)2 z a
3.k(k1) z1(z z1)2(z z1)2 z1
(k 11)(k 1)
圆周卷积
五. 圆周卷积定理 （ Circular convolution ）
1. 圆周卷积和的定义：
两个长度为 N 的序列 的如下计算称为圆周卷积和，用 符号 N 表示： （N表示圆周卷积的点数）
x1(n)
N
x2
(n)
N 1 m0
将 Y (k) 周期延拓： Y~(k) X~1(k)X~2(k)
则有： ~y (n) IDFS Y~(k)
N 1
~x1 (m)
~x2
(n
m)
m0
N 1
x1((m))N x2 n mN m0
在主值区间 0 m N 1, x1((m)) N x1(m) ，所以：
y(n) ~y(n)RN (n)
其中
k e j
k
z
z e j
1 zN
N (1WNk z 1) ze j
1 N
1 e jN
j k 2
1 e N
k e j
1 N
1 e jN e j 2k
j k 2
1 e N
1 1 e j (N 2k ) j k 2
N 1e N
j N 2k
N
1
W (mn N
)
k
k 0
x(n rN ) r
利用性质
N 1 j 2 pk N ，p rN
eN
k 0
0
，其他
p
由 ~xN (n) x(n rN ) 可知： r ~xN (n) 是 x(n) 以 N 为周期的周期延拓； 也就是说： 频域抽样造成时域周期延拓。
3. 频域抽样定理：
x1