时域离散信号和系统的频域分析Z变换与DTFT
第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
[例2-3]求序列 x(n) b u(n 1) 变换及收敛域。
n
x ( n)
n
b nu (n 1) z n
b 1 z (b 1 z ) 2 (b 1 z ) n
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z
n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
ze ze
jT ST
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解：
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
当 a −1 z < 1时
j Im[ z ] a 0
−n n
− a −1 z 1 = = −1 1 − a z 1 − az −1
Roc :
z<a
Re[ z ]
零点：z = 0
极点：z = a
例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域
解：X(z)= ∑ x(n)z = ∑ a z = ∑ a z + ∑a z
0
Re[z]
Roc : 0 < z ≤ ∞
例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域
解：X(z)= ∑ x ( n ) z = ∑ a u( n ) z =∑ a z
−n n −n n =−∞ n =−∞
−1
∞
∞
∞
n −n
n =0
1 = 1 − az −1
当 az
< 1时
j Im[ z ]
Roc :
• 实质：求X(z)幂级数展开式 • z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
n = −∞
∑
∞
x(n ) z − n
1、围数积分法求解（留数 法）
若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K 个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：
j Im[ z ]
C
1 n −1 x( n) = ∫c X ( z ) z dz 2πj
阶次高于分子多项式阶次两次以上
x ( n ) = − Re s[ F ( z )]z =4
⎡ ⎤ z n +1 = − ⎢( z − 4 ) ⎥ ( 4 − z )( z − 1/ 4 ) ⎦ z =4 ⎣ 4n+ 2 = 15
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
dtftdft和z变换的关系公式
dtftdft和z变换的关系公式离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和Z变换都是信号处理领域中常用的数学工具，用于描述和分析离散时间信号和系统。
它们之间存在密切的关系，可以通过一系列数学公式进行转换和相关性描述。
1.离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是用于离散时间信号的频域分析的工具。
对于一个离散时间序列x[n]，其DTFT定义为：X(e^jω)=Σx[n]e^(-jωn)，其中-π≤ω≤π这个公式表示了信号x[n]在频率ω上的分量，ω是一个连续变量，表示角频率。
DTFT将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(e^jω)。
2.离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是对离散时间序列进行有限点数的傅里叶变换，可以看作是DTFT的一种离散形式。
对于一个N点的离散时间序列x[n]，其DFT定义为：X[k] = Σx[n]e^(-j(2π/N)kn)，其中0 ≤ k ≤ N-1这个公式表示了信号x[n]对应于离散频域上的k点的分量，k是一个离散的变量，表示频域中的点数。
DFT可以看作是DTFT在频域上采样得到的结果。
不同于DTFT的连续频域函数，DFT得到的频域函数X[k]是离散的、有限个点的函数。
在时域上，DFT可以通过插值的方法从N点的离散时间序列x[n]还原得到。
3.Z变换Z变换是离散时间信号和系统理论中的重要工具，用于处理离散时间系统的频域表示。
对于一个离散时间序列x[n]，其Z变换定义为：X(z)=Σx[n]z^(-n)，其中z是一个复数变量这个公式表示了信号x[n]在复平面上的分布。
Z变换将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(z)。
Z变换与DTFT的关系可以通过将公式中的z替换为e^jω得到：X(z)，z=e^jω=X(e^jω)这个关系表明，在单位圆上的Z变换与DTFT是相等的。
这也意味着，通过Z变换可以直接计算DTFT，或者通过反过来计算DTFT可以得到Z变换。
dtft与z变换的关系
dtft与z变换的关系
DTFT与Z变换是两种经常使用的频域分析方法，它们在数字信号处理领域中有广泛的应用。
DTFT是一种连续的频域分析方法，Z变换则是一种离散的频域分析方法。
虽然它们的应用场景不同，但它们之间却有着密切的联系。
事实上，Z变换可以看作是DTFT的离散形式。
在进行离散信号的频域分析时，我们通常使用Z变换。
Z变换可以将离散信号转换为Z域中的复数函数，并且可以用于求解离散信号的频域特性。
在Z域中，离散信号中的每一个采样值都对应了一个复数值，从而形成了一个Z变换序列。
而DTFT则是将离散信号转换为连续的频域函数，可以用于分析离散信号的频域特性。
在DTFT中，离散信号中的每一个采样值都对应了一个复数值，从而形成了一个连续的频谱。
尽管DTFT和Z变换有着不同的数学定义，但它们之间有着非常紧密的联系。
实际上，我们可以通过取Z变换在单位圆上的点值，来得到DTFT的数值解。
也就是说，我们可以通过在Z变换的极坐标图中画出单位圆，并在单位圆上取等间距的点来逼近DTFT，从而得到DTFT的数值解。
这种方法通常被称为“Z变换采样”。
总之，DTFT和Z变换是数字信号处理领域中两种常用的频域分析方法。
虽然它们在应用场景上有所不同，但它们之间具有非常紧密的联系。
我们可以通过Z变换采样的方法来逼近DTFT，从而得到离散信号的频域特性。
数字信号处理课件第3章 时域离散信号和系统的频域分析2-DTFT的定义
例3、已知 f (n) anu(n) a 1 ,计算其DTFT。 解：
由此可以得到DTFT的幅频特性和相频特性
F (e j )
1
(1 a cos)2 (a sin )2
【随堂练习】
1.设X (e j )是 x(n)的DTFT，试求下面序列的DTFT。
(1) x(n - n0)
(2) x(n) (3) x(n)
X_abs=abs(X)
X_angle=angle(X)
subplot(211)
plot(w/pi,X_abs,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换幅度')
subplot(212)
plot(w/pi,X_angle,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换相位')
0, n q
解:
q
X(e j ) x(n)e jn a ne jn
q
(ae j )n
n
n0
n0
1
(ae j ) 1 ae j
q1
等比数列求和公式：
an a1 qn1
Sn
a1
(1 qn ) , 1 q
n 1,2,3,
q 1
X(e j ) x(n)e jn
n
1
(ae j )q 1 ae j
可引入冲激函数，一些绝对不可和的 序列的傅里叶变换可用冲激函数的形式表 示出来。在后面的章节予以介绍。
例1、计算矩形序列 x(n) R N (n) 的DTFT。
解：
X(e j ) RN (n)e jnnFra bibliotekN 1
dtft,dft和z变换的关系
dtft,dft和z变换的关系
DTFT、DFT和Z变换都是信号处理领域中常见的变换方法。
它们可以将时域信号转换为频域信号，或将离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。
虽然它们之间有些区别，但它们的本质都是通过数学方法来描述信号的频域特性。
DTFT是离散时间傅里叶变换的一种形式，可以将一个离散时间域信号转化为连续频域信号。
通过DTFT可以得到一个信号的频谱，从而分析信号的频域特性。
DTFT的公式是一个无限长的求和式，需要对信号进行无限次的积分，因此需要消耗大量的计算资源。
DFT是离散傅里叶变换的一种形式，它可以将一个N点离散时间域信号转化为N点频域信号。
相比于DTFT，DFT的计算量更小，因为它只需要对N个采样点进行有限次的计算。
因此，DFT常常用于实际信号处理中，比如在数字音频中进行频谱分析。
Z变换是一种复变函数的变换，可以将一个离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。
Z变换的主要应用是在数字控制系统和数字滤波器中。
通过Z变换，可以将差分方程转换为代数方程，从而进行系统分析和设计。
Z变换的公式类似于DTFT的无限长求和式，需要进行无限次的积分或求和。
综上所述，DTFT、DFT和Z变换都是信号处理中常用的变换方法，它们可以将时域信号转换为频域信号或复平面上的Z域信号。
虽然它们的应用场景和计算方法略有不同，但它们的本质都是描述信号的频域特性。
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一、序列x(n)的Z变换定义及收敛域
X (z)
n -
x ( n )z - n
其中，Z是复变量。 也可将x(n)的Z变换表示为 Z[x(n)]=X(z)
对于任意给定的序列，使Z变换收敛的z值集合称作收敛 区域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件即：
n -
| x ( n )z - n |
若x(n)为实序列，则 X (e j ) X * (e - j )
Re[X (e j )] Re[X (e - j )] Im[ X (e j )] - Im[ X (e - j )]
X (e j ) X (e - j ) arg[ X (e j )] - arg[ X (e - j )]
说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当序列x(n)绝对可和式中的级数才是绝对收敛的， 或x(n)的傅里叶变换存在。
| x( n)e - jn |
n -
n -
| x ( n) |
二、常用序列的傅里叶变换
1.单位脉冲序列 其傅里叶变换为
X ( e j )
n
n2 0
0 z
例2-4 x ( n) ( n) ，求此序列的Z变换及收敛域。
Z [ ( n)]
n -
( n) z - n 1
jIm[z]
0 | z |
0
Re[z]
收敛域是整个z的闭平面。
2.右边序列 这类序列是有始无终的序列。即 当n≥n1时，x(n)有值，当n<n1时， x(n)=0。 x(n) 其Z变换为 X ( z ) x ( n )z - n 其收敛域为
j n 0
(a e
n 0
- j n
1 ) 1 - ae - j
0
(a) arg[X(e j)]
2
设a=0.6，幅度与相位随ω 变化曲线如图。
0
(b)
2
离散时间傅里叶变换的两个特点： （1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 （2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π 区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。
一般来说，Z变换将在z平面上的一个环形区域中收敛， 收敛域为
Rx - z Rx
式中，Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-和Rx+的大小和序列有密切
的关系。
n n 例2-3 求序列 x1 (n) a u(n) x2 (n) -a u(- n - 1) 的Z 和 变换。 1 n -n za 解： X 1 ( z ) a z -1 1 - az n 0
W (e j ) FT [ x(n) y(n)] X (e j )Y (e j )
6.频域卷积定理（复卷积定理） 若 FT [ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j )
则
1 FT [ x( n) y( n)] X (e j ) * Y (e j ) 2
n -
( n)e - jn 1
含义是什么？
单位脉冲信 号包含了所有频 率分量，而且这 些分量的幅度和 相位都相同。
这就是用单 位脉冲响应能够 表征线性时不变 系统的原因。
T [ ( n)] h( n)
2.矩形序列
1 RN ( n ) 0
其傅里叶变换为
X ( e j )
n - n - n2
0 z Rx
注意：如果n2≤0，则收敛域包括z=0， 0 z Rx
左边序列及其收敛域（n2>0， |z|=0除外）
4.双边序列 双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。 其Z变换为：
X (z)
n -
x ( n) z - n x ( n) z - n
其Z变换为
X (z)
n n1
x ( n) z - n
n2
因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有 界，则级数就收敛，即要求 x(n) |x(n)z-n|<∞ 由于x(n)有界，故要求 |z-n|<∞ n1 n2 0 显然，在 0<|z|<∞上都满足此条件。 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大： 0 z n1 0
n n1
......
n1 0 Rx - z n 注意：如果n1≥0，即序列是因果序列，Z变换在z=∞处
收敛。
R x - z ——最重要的一种右边序列
图2-7 右边序列及其收敛域（n1<0， |z|=∞除外）
3.左边序列 这类序列是有终无始的序列。即 当n≤n2时，x(n)有值，当n>n2时，x(n)=0。 其z变换为 n2 X ( z ) x ( n )z - n x ( - n )z n 其收敛域为
X 2 (z)
n -1
a
-
n -n
ห้องสมุดไป่ตู้
z
1 1 - az -1
za
结论
收敛域不同对应于不同的序列。当给出Z变换函数表达 式的同时，必须说明它的收敛域后，才能单值的确定它所对 应的序列。
二、序列的形式与其Z变换收敛域的关系
序列x(n)的形式决定了X(z)的不同的收敛区域 1．有限长序列 这类序列只在有限的区间（n1≤n≤n2）具有非零的有 限值。
时移特性
FT [ x ( n - n0 )] e - jn0 X (e j )
频移特性 FT [e j0 n x( n)] X (e j ( -0 ) )
3.周期性
j ( 2M )
X (e
)
n -
x(n)e
- j ( 2M ) n
n -
x( n)e - jn e - j 2Mn X (e j )
序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
4.对称性质
* xe ( n) xe ( - n) 设一复序列，如果满足
则称序列为共轭对称序列。
* xo ( n) - xo ( - n) ，则称序列为共轭反对称序列。 如果满足
比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。
x e ( n ) x e ( - n)
n -
0 n N -1 n为其它
N -1 n0
RN ( n)e - jn e - jn
1 - e - j N 1 - e - j
e - j N / 2 ( e j N / 2 - e - j N / 2 ) e - j / 2 ( e j / 2 - e - j / 2 )
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 FT [ x1 (n)] X 1 (e j )， FT [ x2 (n)] X 2 (e j )
j j 则 FT [ax1 (n) bx 2 (n)] aX1 (e ) bX 2 (e )
式中a，b为常数。
2.时移与频移
j 设 FT [ x(n)] X (e ) ，则
7.帕斯瓦尔（Parseval）定理
1 x(n) 2 n 2
-
X (e
j
) d
2
信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。
三、MATLAB实现
0 例2-1 x(n) (0.9)n e jn / 3 ， n 10 ，求离散时间傅里叶 变换并探讨其周期性。 解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定 义在一个2 周期上。以下程序是在[-2，2]之间的两个周期 中的401个频点上作计算以观察周期性。
X1 ( z ) a z
第2章 时域离散信号和系统的 频域分析
x(n) 1 012 3 4 |X(e j)| n
-2
-
0
2
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应
X (e j ) 对 是周期的，但不是共轭对称的。
例2-2 x(n) (-0.9)n - 5 n 5 X j 解： (e ) 不仅对 对称，而且是共轭对称的。因此， 对实序列，我们只需画出它们从（0）间的傅里叶变换的 模和相角响应。
2.2 序列的Z变换
序列的傅里叶变换——频域分析； 推广：序列的Z变换——复频域分析。
n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); %用矩阵-向量乘法求DTFT magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);
类似地，序列的傅里叶变换 X (e j ) 可以被分解成共轭对 称与共轭反对称两部分之和。
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）
DTFT[Re[x( n)]] X e (e j ) DTFT[ j Im[ x( n)]] X o (e j ) DTFT[ xe ( n)] Re[X (e j )] DTFT[ xo ( n)] j Im[ X (e j )]