K1.09-拉普拉斯变换的性质—卷积定理
拉普拉斯变换的基本性质
d
f d
(t t
)
e
st
d
t
0
d
f (t) dt
lsimest
d
t
0
所以
lim
t 0
f (t)
f
(0 )
lim sF(s) s
信号与系统
九．初值定理和终值定理
终值定理证明
根据初值定理证明时得到的公式
sF(s)
f (0 )
d f (t) estd t 0 d t
lim sF(s)
ω02
信号与系统
五．时域微分定理
若 L f (t) F(s)
则
L
d
f (t) d t
sF (s)
f
(0 )
证明： f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
00
f (0) sF(s)
推广：
L
d
f 2 (t)
dt2
ssF (s)
例：求图示信号的拉普拉斯变换
f (t) 1
解：
0
2
4
t
f (t) 1 t u(t) u(t 2) ( 1 t 2)u(t 2) u(t 4)
2
2
求导得
df (t) 1 u(t) u(t 2) 1 u(t 2) u(t 4)
dt 2
2
df (t) dt
F1(s)
1 1 e2s 2s
证明： L f (t) eαt
f (t) eαtestd t F(s α)
0
例：求 eαt cos ω0t 的拉氏变换
解：已知
: L cos(ω0t )u(t )
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
定理 [f1(t)f2(t)]F 1(s)F 2(s).
证明
左边
0 f1 ()[ f2 (t)e std t]d记为
0
f1()
Id
其中 If2(t)estdt 令 xt es 0 f2(x)esxdxesF2(s),
如果函数满足：当 t 0时，f1 (t)f2 (t) 0 , 则有
t f1(t)f2(t)0f1 ()f2 (t)d, (t 0 ).
显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。
28
P224 例9.15
解
f1(t)f2(t)
t
τsint(τ)dτ
16
解 t2co2st 1 t2(1co2st), 2
已知 [ 1 ] 1 , s
[co2st]
s2
s 22
,
P219 例9.9
根据线性性质以及象函数的导数性质有
[t2cos2
t
]
1 2
dds22[1ss2s22
]
2(s624s232) s3(s24)3 .
17
解 已知
方法二
[sint( π)] [cot]s 2
1 s2
(s). 1
sint( π)u(t) 2
两种方法为什么会得到不同的结果？
9
例 设 F(s) 1 e2s, 求 1[F(s)]. P223 例9.13 修改
s1
解 由于 1[ 1 ] et u(t), 根据延迟性质有
s1
其中， f (k)(0) 应理解为 limf(k)(t). t0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。（§9.4 将专门介绍）
拉普拉斯变换公式总结材料..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、 收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分 布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉 斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域(1) 定义 单边拉普拉斯变换：st正变换 [f(t)] F(s) 0 f(t)e dt双边拉普拉斯变换:的收敛域。
0与函数f(t)的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质逆变换[F(s)] f(t)stF(s)e正变换F B(S )f(t)edt1 jst逆变换 f(t)2 jjF B(s)eds(2)定义域若0 时，lim f (t)et0则St 「 ” ”t ”f(t)e 在0的全部范围内收敛，积分0就是f(t)的单边拉普拉斯变换st[f2(t)] F2(S) , 1 , 2 为常数(2 ) 原函数微分若[f (t)] F(s)则[響]sF(s) f(0 ) dt[d df>] s n F(s) n1s nr1f(r)(0 ) dt r 0r式中f⑴(0 )是r阶导数在0时刻的取值。
dt r(3)原函数积分(4)延时性F (s)，则[f(t t°)u(t t。
)] e st0F(s)(5)s域平移at若[f (t)] F (s)，则[f(t)e ] F(s a)(6)尺度变换1 s若[f (t)] F (s)，则[f (at)] F( )( a 0)a a(7)初值定理lim f (t) f(0 ) limsF(s)to s(8)终值定理lim f (t) lim sF(s)t s(9)卷积定理若[f1(t)] F1(s)，[f2(t)] F2(S)，则有[f1(t) f2(t)] F1(S)F2(S) (1) 线性性［仏“⑴］1 1肓[h(s) F2(s)] = ^-j.h(p)F2(s p)dpj[i f l(t) 2f2(t)] 1F1(S) 2F2(S)t若[f (t)] F (s)，则[f(t)dt] F(s)s3 式中f(D(0)s f(t)dt若[f (t)]3.拉普拉斯逆变换(1 ) 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将F (s)展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数 f (t)。
拉普拉斯变换及其性质课件
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
拉普拉斯定理
拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换t t8 卷积定理L[ [f i(t—l)f2&)dE] =L[ [f i(t)f2(t—l)dl] = F i(s)F2(s)用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F(s)是s 的有理真分式A(s)二0有重根设A(s) = 0有r 重根s ，F(s)可写为F s-(s-s ,)r(s-s ri ) (s-s n )B(s)b m 「4 g b0A(s)n ,n 」a n S - a n 」s 山…“y s - a 。
式中系数a 0, a i ,..., a n J ,a n , b °,b i , b m 」,b m 都是实常数; 将F(s)展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
m,n 是正整数。
按代数定理可①A(s) = 0无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
i C 2C jC nF(s) 121— s — s i s — S 2s — ss_s nC i(F-1)式中，q,s 2,…,s n 是特征方程 A(s) = 0的根。
C i 为待定常数，称为 可按下式计算：F(s)在S i 处的留数,式中,C =lim (s _sJF (s)S Tic _ B(s) iA(s)s zs iA (s)为A(s)对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式(4 I l j n C i =L !F (S )】=L 巨一—S — Sj 一 f(t)C in -s it=' Ci e ii =1(F-2)(F-3)F-1 )可求得原函数(F-4)B(s)式中, 其中,& r -(S —S i) (s—s)C if ,s〜) CriS —■S r iG •…©S - s S—S nS i为F(s)的r重根，S r审,…,s n为F(s)的n-r个单根;C r +，…,C n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r，C rj，…, C i则按下式计算:f(t)为厂c r =lim (s — sj r F(s)T id rC ri =lim [(s -sj F(s)] dss :siC i原函数f (t)二L°〔F(s) I冷冗加(DEi d(7C i _____ . C r i ....(F-5)(s -S i)r 1(s—s i) S —S r*G *…+C nS — S j S —S nt r^ +…+c2t +G e Sit(r-2)! 2 5S i t°e iF-6)欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
拉普拉斯变换
⎡ f ( n ) (t ) ⎦ ⎤ = s n F ( s) L ⎣
（2） F
(n)
n ( s) = (−1) n L ⎡ ⎣ t f (t ) ⎤ ⎦
m 例 设整数 m ≥ 0 ， f (t ) = t ，则
f ( k ) (0) = 0 ， (k = 0,1," , m − 1) ， f ( m ) (t ) = m !
设 f (t ) 为 [0, + ∞ ) 内以 T > 0 为周期的函数，且在一个周期 内分段连续，则
F ( s ) = L [ f (t ) ] = 1 − e − sT
1
∫
T
0
f (t ) e − st dt
周期函数拉普拉斯变换的证明：
L [ f (t )] =
而
+∞
∫
0
f (t ) e − s t dt = f (t ) e − st dt + ∫ ∫
β 为常数 其中 α 、
[ f (t )] +β
+∞
L
[ g (t ) ]
−s t
证： L [α f (t ) + β g (t ) ] =
+∞
∫ (α f (t ) + β g (t ) ) e
0 −s t
dt
=α
∫
0
+∞
f (t ) e
−s t
dt + β
∫ g (t ) e
0
dt
=α L
[ f (t )] + β
e a t = e t Re ( a ) ， 0 ≤ t < +∞
+∞