信号与系统 时域卷积定理的证明
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时域卷积和频域卷积转换公式
时域卷积和频域卷积转换公式时域卷积和频域卷积是数字信号处理中常用的两种卷积方法。
它们可以互相转换，以便在不同的领域中进行信号处理。
时域卷积是指在时域中对两个信号进行卷积运算。
假设有两个信号x(t)和h(t)，它们在时域中的卷积运算可以表示为y(t) = x(t) * h(t)。
其中，*表示卷积运算。
卷积运算的计算公式如下：y(t) = ∫[x(τ) * h(t-τ)] dτ这个公式表示了在时域中的卷积运算，其中τ是一个积分变量，用来表示h(t)信号在时间轴上与x(t)信号相互叠加的位置。
频域卷积是指将时域信号转换为频域信号后进行卷积运算。
假设有两个信号X(f)和H(f)，它们在频域中的卷积运算可以表示为Y(f) = X(f) × H(f)。
其中，×表示点乘运算。
频域卷积的计算公式如下：Y(f) = X(f) × H(f)这个公式表示了在频域中的卷积运算。
在频域中进行卷积运算的好处是可以通过快速傅里叶变换（FFT）等算法，提高卷积运算的效率。
将时域卷积转换为频域卷积可以通过傅里叶变换实现。
具体步骤如下：1. 对信号x(t)和h(t)分别进行快速傅里叶变换，得到它们在频域中的表示X(f)和H(f)。
2. 将X(f)和H(f)相乘，得到频域中的卷积结果Y(f)。
3. 对Y(f)进行逆傅里叶变换，得到在时域中的卷积结果y(t)。
将频域卷积转换为时域卷积可以通过逆傅里叶变换实现。
具体步骤如下：1. 对信号X(f)和H(f)分别进行逆傅里叶变换，得到它们在时域中的表示x(t)和h(t)。
2. 将x(t)和h(t)进行卷积运算，得到时域中的卷积结果y(t)。
通过时域卷积和频域卷积的转换，我们可以在不同的领域中选择合适的方法进行信号处理，以满足不同的需求和要求。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的卷积方法可以提高计算效率和信号处理的质量。
§3.8 卷积特性(卷积定理)
返回
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积 定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积 定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞
北京邮电大学信号与系统-3.08 卷积特性(卷积定理)
t
f d
f ut d f t ut
ht
gt f t ht
G F H gt F 1 G
将时域求响应，转化为频域求响应
退出
，求 f t f1 t f1 t 的 例3-8-1 已知 f1 (t ) E Sa 2 频谱密度函数F . 2 2 2 解： F f t F1 F1 E Sa 2
退出
频谱结构
m时， F ( ) 0， C m
f C (t ) f (t ) cos C t
F ( )
f t
A
O
t
mO m
F cos C t
cos C t
( )
O
( )
t
C
O
C
FC ( )
1 FC ( ) F ( C ) F ( C ) 2 f t cos t
卷积 定义
f 1 f 2 t d
因此
e j t dt F f 1 t f 2 t f f t d 2 1 交换积分
f 1 f 2 t e jt dt d
证明
时域卷积对应频域频谱密度函数乘积
频域卷积定理
若
f 1 t F1 , f 2 t F2
1 则 f 1 t f 2 t F1 F2 2 时间函数的乘积 各频谱函数卷积的 1
应用
退出
f d
f ut d f t ut
ht
gt f t ht
G F H gt F 1 G
将时域求响应，转化为频域求响应
退出
，求 f t f1 t f1 t 的 例3-8-1 已知 f1 (t ) E Sa 2 频谱密度函数F . 2 2 2 解： F f t F1 F1 E Sa 2
退出
频谱结构
m时， F ( ) 0， C m
f C (t ) f (t ) cos C t
F ( )
f t
A
O
t
mO m
F cos C t
cos C t
( )
O
( )
t
C
O
C
FC ( )
1 FC ( ) F ( C ) F ( C ) 2 f t cos t
卷积 定义
f 1 f 2 t d
因此
e j t dt F f 1 t f 2 t f f t d 2 1 交换积分
f 1 f 2 t e jt dt d
证明
时域卷积对应频域频谱密度函数乘积
频域卷积定理
若
f 1 t F1 , f 2 t F2
1 则 f 1 t f 2 t F1 F2 2 时间函数的乘积 各频谱函数卷积的 1
应用
退出
信号与系统卷积分析法
2
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1 冲激函数与冲激响应
2.1.1 冲激函数 2.1.2 冲激函数的性质 2.1.3 冲激响应
3
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1.1 冲激函数(1)
工程定义
0 t 0 (t ) t 0
(1)
且
x(t ) lim x(n) g(t n)y(t ) lim
0
n
0
n
x(n)h
(t n)
y(t ) x()h(t )d y(t ) x(t ) * h(t ) 卷积积分
2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.3.1 卷积的图解 2.3.2 卷积积分限的确定
24
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.3.1 卷积的图解(1)
按如下步骤进行：
y(t ) x(t ) * h(t ) x()h(t )d
（1）改换变量：x(t)x()， h(t)h()
(t )(t ) (0)(t ) (0)(t )
(t )(t t0 ) (t0 )(t t0 ) (t0 )(t t0 )
(t )(t )dt (0) (t )(t t )dt (t ) ()(t )d(t )(t t ) (t )U (t t )
0
0 h(t )dt 1 4[h(0) h(0)] 1 h(t)为有限值 h(0) 0 4h(t ) |
0 0
0
h(0) 1 / 4 1e t / 4 h(t ) t 0 4 1e t / 4 h(t ) U (t ) 4
信号与系统7-2卷积定理课件
一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos
信号与系统 卷积积分的性质
P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号与系统第4讲卷积与LTI系统的时域分析
x
ht
d
x(t) * h(t) x( )h(t )d
卷积积分
单位冲激响应可以唯一地确定LTI系统的特性
单位脉冲函数的筛选性质
xn n x0 n
x[n]
xn n k xk n k
xn n k xk n k
k
k
xn xk n k k
单位脉冲响应与卷积和
[n] h[n]
y[n] 4 nk n4 7 , 6 n 10
k n6
1
y[n] 0, n 10
内容提要
➢ 从筛选性质到LTI系统的时域分析 ➢ 卷积的运算性质 ➢ LTI系统的基本性质
交换律
➢ 数学描述
yt xt*ht ht* xt yn xn*hn hn* xn
➢ 物理意义
xt
ht
➢ 例2. 求以下两个信号的卷积：
1, 0 n 4 x[n] 0, else
n , 0 n 6
h[n] 0, else
y[n] 0, n 0
y[n] n nk 1 n1 , 0 n 4
k 0
1
y[n] 4 nk n4 n1 , 4 n 6
k 0
1
卷积和
单位脉冲响应可以唯一地确定LTI系统的特性
筛选性质
x(t) x( ) (t )d x(t)* (t)
xn xk n k x[n]*[n] k
任何信号与单位冲激/单位脉冲信号的卷积仍 等于该信号本身
恒等系统满足：hn [n] h(t) (t)
几种重要系统的冲激/脉冲响应
yn xn*hn yn yn 1 xn xn 1*hn
➢ 积分/求和性质
xn*hn hn 1
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1