卷积定理举例
§3.08 卷积特性(卷积定理)
f C (t ) f (t ) cos C t 1 FC ( ) F ( C ) F ( C ) 2 f t cos t
C
O
t
C
O
C
FC ( )
A 2
A 2
O
t
C
O C m C C m
退出
分析
用频移性质
收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。
带通
g t
cos a t
cos b t
cos c t
g a t
低通
f a t
带通
低通
f b t f c t
带通
低通
G ( )
c b a
0
a
b
c
退出
频分复用解调分析
, 先利用一个带通滤波器（ 带宽 m 2 a m） 滤出2 a 附近的分量 g a t f a t cos 2 a t
退出
3.频分复用
复用：在一个信道上传输多路信号。
频分复用
时分复用 波分复用 实现多路通信的传输体制。 (frequency division multiply)
（FDM）
（TDM） （WDM）
码分复用（码分多址） （CDMA）
频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内
退出
复用发信端
调制，将各信号搬移到不 同的频率范围。
由频移性质
1 e
j 0 t
1 e j 0 t 2 0
2 0
1 cos 0 t 2 0 2 0 0 0 2
卷积定理
2.7 卷积
2.7 卷积
一、卷积的定义
根据前面分析，任意信号可以分解为单位冲激信号的线 性组合。
ft )
0 t 2t
kt (k 1)t
t
f (t ) f ( ) (t )d f (t ) * (t )
2.7 卷积
1
h(t ) 1
x( )
1 3 t 1 , t 2 （3）当 ，即当 1 t 时 2 2
t-2 -1/2
1 t
1 重合区间 ( ,1) 2 3 3 1 1 y (t ) 1 1 (t )d t 4 16 2 2
1 x( )
-1/2 t-2 1
首先，进行变量替换，画出 f1 ( ), f 2 ( ) 的波形
f1( )
f2 ( )
1
0
1
0
f2 ( )
1 0
对 f 2 ( ) 进行反转，画出波形
（1）当 t < 0 时
f1( ) 与 f2 (t ) 图形没有相遇
则 s(t) = 0 （2）当 t > 0 时
f2 (t )
卷积积分计算——图解方法
（1）先将x(t)和h(t)的自变量t 改成 ，即：
f1 (t) f2 ( ), f2 (t) f2 ( )
f 2 ( ) f 2 ( ) （2）将其中的一个信号反褶，即 反褶
（3）时移： 时移 f 2 ( ) f 2 (t ) f2 [( t)] ，t>0时， 图形右移，t<0时，图形左移。 （4）相乘： 相乘 f1 ( ) f2 (t ) （5）对乘积后的图形积分： 积分 f1 (t) f2 (t)
3-4卷积定理和相关定理
0
τ
0 -2+t t
τ
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②相关： 12 (t ) = ∫ 相关： R
+∞
−∞
f 1 (τ ) f 2 (τ − t )dτ
t < −3
0 t +2 ∫−1 (τ − t + 2) dτ f1 (t ) ∗ f 2 ( −t ) = 1 ∫ (τ − t + 2)dτ t 0
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3.4 卷积定理和相关定理
• 卷积定理 • 相关定理（6.6、6.7节）
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一、卷积定理
1．时域卷积定理 f1 (t ) ↔ F1 (ω ), f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ．
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
+∞ +∞
1 2π
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3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 ． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换 例 ： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
卷积的原理与应用实验
卷积的原理与应用实验1. 引言卷积是一种重要的数学运算，在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用。
本文将介绍卷积的原理及其在实验中的应用。
2. 卷积的原理卷积是一种数学运算，将两个函数进行混合操作，产生一个新的函数。
在离散域中，卷积定义为：$$y[n] = (x \\ast h)[n] = \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} x[k] \\cdot h[n-k]$$其中，x[n]和ℎ[n]是输入的两个离散信号，y[n]是卷积结果。
卷积运算可以用来计算两个信号之间的相似性，平滑信号，去噪信号等。
3. 卷积的应用实验卷积在实际应用中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用实验。
3.1 图像模糊图像模糊是卷积的一个主要应用之一。
通过将图像与一个模糊核进行卷积运算，可以实现图像的模糊效果。
模糊核通常由一个二维矩阵表示，其中每个元素表示该位置的像素对于模糊的贡献值。
通过调整模糊核的大小和数值，可以实现不同程度的图像模糊效果。
3.2 信号滤波信号滤波是卷积的另一个常见应用。
通过将信号与一个滤波器进行卷积运算，可以实现信号的滤波效果。
滤波器通常由一个一维数组表示，其中每个元素表示该位置的权重，用于对信号进行加权求和。
不同的滤波器可以实现不同的滤波效果，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
3.3 边缘检测边缘检测是图像处理中的一个重要任务，也是卷积的应用之一。
通过将图像与一个边缘检测器进行卷积运算，可以提取图像中的边缘信息。
边缘检测器通常由一个二维矩阵表示，其中不同的数值表示不同的边缘响应。
常用的边缘检测器包括Sobel算子、Prewitt算子、Laplacian算子等。
3.4 特征提取卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是一种常用的深度学习模型，用于图像识别和计算机视觉任务。
在CNN中，卷积层负责提取图像特征，通过将输入图像与一系列卷积核进行卷积运算，得到不同的特征图。
卷积
• 这样对组成定义级数的每一个函数进行变换，就得到一个
相应的变换式级数。广义变换可以按照和通常变换相同的 规则进行运算。这些规则举例如下：
线性 F[C1g1+C2g2]=C1F[g1]+C2F[g2] 式中C1和C2为任意常数 相移 F[g(x-x0)]=exp{-iux0}F[g(x)] 即物在空域的平移只使衍射谱产生相位的移动。 微分
应用
• 卷积在工程和数学上都有很多应用：
• 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
• 概率论中，两个统计独立变量X与Y和的概率密度函数是X 与Y的概率密度函数的卷积。 • 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的 卷积表示。 • 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过 将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
• 傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏变 换由下式定义
F[ g ( x)] g ( x) exp 2iuxdx
• 由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有 空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的 逆傅氏变换可用F-1[G(u)]表示
F
1
Gu Gu exp2ixudu
• 傅氏变换存在的充分条件可归纳为下述三点：
• （1）g必须对整个无限的x直线绝对可积。 • （2）在任意一个有限域内，g必须只有有限个间断点和有限 个极大值和极小值。 • （3）g必须没有无穷大的间断点。
• 一般来说，这三个条件中的任何一个都可以减弱，但要加强 另外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物 点。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如， g(x)=1和g(x)＝cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些不 严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意 义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变卷积公式和它
卷积公式的例子
卷积公式的例子
卷积公式的应用非常广泛，以下是5个具体的例子：
1. 丢骰子：有两枚骰子，求两枚骰子点数加起来为4的概率。
可以把它写成卷积的形式：(f∗g)(4)=∑m=13f(4−m)g(m)。
2. 做馒头：假设馒头的生产速度是f(t)，腐败函数为g(t)，那么一天后生产出来的馒头总量就是f(t)和g(t)的卷积，即馒头生产出来之后，会随时间不断腐败。
3. 信号处理：如果一个系统对输入信号的响应是g(t)，那么在t=0时刻有一个输入，这个输入将随时间按g(t)的规律衰减，这也是卷积的应用。
4. 图像处理：在图像处理中，卷积常常用来进行滤波操作。
比如，有一个滤波器h，和一幅图像f，那么滤波后的图像g就是f和h的卷积。
5. 物理学：在物理学中，卷积被用来描述两个函数之间的关系。
例如，如果一个力在时间上作用于一个物体，那么该物体在时间上的位移就是该力和单位冲激响应的卷积。
数字信号卷积常用关系
数字信号卷积常用关系数字信号处理中，卷积是一种非常重要的操作，它可以用于信号滤波、信号匹配、信号特征提取等很多方面。
而在实际应用中，有很多常用的卷积关系，下面我们来介绍其中一些。
1. 时域卷积与频域卷积的关系时域卷积和频域卷积是两种不同的卷积方式。
时域卷积是将两个信号在时域上进行卷积，得到一个新的信号，而频域卷积则是将两个信号在频域上进行卷积，得到一个新的频域信号。
它们之间的关系可以用傅里叶变换来表示：时域卷积：y(n) = x(n) * h(n)频域卷积：Y(ω) = X(ω)H(ω)其中，*表示时域卷积，而H(ω)和X(ω)分别表示h(n)和x(n)的傅里叶变换。
2. 卷积定理卷积定理是信号处理中的一条基本定理，它指出：如果两个信号的傅里叶变换相乘，然后进行反变换，得到的结果就是两个信号在时域上进行卷积的结果。
即：反变换{X(ω)H(ω)} = x(n)*h(n)3. 线性卷积与循环卷积的关系线性卷积是指两个信号在时域上进行卷积，得到的结果长度是两个信号长度之和减一。
而循环卷积则是指两个信号在时域上进行卷积，得到的结果长度是两个信号长度中较短的那个。
线性卷积与循环卷积之间的关系可以用循环移位的思想来表示。
具体地，将较短的信号按照循环移位的方式扩展到与较长的信号长度相同，然后再进行线性卷积，得到的结果就是循环卷积的结果。
4. 卷积与相关的关系卷积和相关都是两个信号之间的运算，它们之间的关系非常密切。
具体来说，卷积可以看作是两个信号的乘积在时域上的积分，而相关则是两个信号的乘积在时域上的互相关函数。
卷积和相关都可以用傅里叶变换来表示，它们之间的关系可以表示为：相关：Rxy(τ) = F-1{X(ω)Y*(ω)}(τ)卷积：Cxy(τ) = F-1{X(ω)Y(ω)}(τ)其中，*表示复共轭，F-1表示傅里叶反变换。
以上就是数字信号处理中一些常用的卷积关系。
在实际应用中，根据不同的需求和场景，可以选择合适的卷积方式来对信号进行处理，以得到更好的结果。
卷积定理
jF() ( 0 )
0
1
三、正余弦信号的傅立叶变换 ——用极限方法
• 有限长余弦f0 (t) 看成矩形G(t) 乘 cos1t
• 有限长余弦求极限，得到无限长余弦
f0 (t) G(t) cos1t G(t)(e j1t e j1t ) / 2
T1 n
FT [
f
(t )]
2
1 T1
n
(
n1 )
F () FT[T (t)] 1 ( n1) n
(t)
(1)
F0 ( )
1
0
T (t)
T1
FT
t
FS
t
F () 1
0
1 Fn T1
1 0 1 21
T1
F0 ()
2
T1 2
f0 (t).e jt dt
Fn
1 T1
F0 ( )
n1
F0 ()
ESa
2
由单脉冲联想FS的Fn
Fn
1 T1
F0 ()
n1
E
T1
Sa( n1
2
)
FS
f (t) E Sa n 1 .e jn1
FT[cos1t] [ ( 1) ( 1)]
f0 (t)
1
F0 ( )
2
2
2
1
1
1
F ()
( 0 )
( 0 )
1
1
四、周期单位冲激序列的FS