频域卷积定理证明过程
卷积定理证明
卷积定理证明卷积定理是数字信号处理中的重要定理，它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。
具体的定理表述如下：设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号，它们的长度为N，Z为离散时间复频率单位周期，那么它们的离散卷积为：x(n)*y(n)=∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k) (1)其离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)(2)其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。
证明：为了证明卷积定理，我们需要用到离散傅里叶变换（DFT）的性质：DFT[∑（n=0~N-1）x(n)y(n)]=X(k)Y(k)也就是说，如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积，那么对于一个周期N 的离散序列，在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。
这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一，在这里不再做深入的讨论。
我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积，它的离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）DFT[x(k)y(n-k)]根据DFT的性质，我们可以将上面的式子改写为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)进行下面的变换：∑（k=0~n）X(k)Y(n-k)+∑（k=n+1~N-1）X(k)Y(n-k)根据卷积的定义，式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积，因此可以将它改写为：∑（k=0~n）x(k)y(n-k)同样，式子左侧的第二项可以改写为：∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k)-∑（k=0~n）x(k)y(n-k)因此，前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)]，后一项可以继续变换为：∑（k=n+1~N-1）x(k)y(n-k)这样就得出了卷积定理的证明：∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。
信号与系统卷积定理
j
e
j
4 Sa 2 2 Sa
解：（ 2）法
利用傅里叶变换线性性
质求
f (t ) g 2 (t ) g 4 (t )
Eg ( t ) E Sa 2 即 g 2 ( t ) 2 Sa ， g 4 ( t ) 4 Sa 2
(t (t
2
f (t )
) )
E
0
2
2
2
t
利用卷积定理求其的频谱。
解法一 ：利用频域卷积定理
f ( t ) G ( t ) cos(
t
)
解法二：利用频移性质
解法三：用时域微分性质
（本题不是分段线性信号）
解法一 ：
2
时域
1
t cos
2
F ( j )
f (t ) e
j t
j t
dt
j t
e
2
1
dt
j t
2e
1
1
dt
j t 1
e
1
2
j t
dt
j t 2 1
e j
1
1
1 2
e j
e
2
1
1 j
e
e j
j 2
e
j 2
第八节 卷积定理
一、卷积定理
给定两个时间函数
f1 ( t ) 和 f 2 ( t )
f 1( t ) 揪 畐 F1( ) , f 2( t ) 揪 畐 F2( )
§3.8 卷积特性(卷积定理)
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积 定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞
卷积傅里叶变换推导
卷积傅里叶变换推导答：卷积傅里叶变换推导一、卷积的定义与性质卷积是信号处理中的一种基本运算，用于描述两个函数在一定范围内相互作用的强度。
卷积的定义为：两个函数f和g的卷积定义为f*g(t)=∫(-∞∞)f(τ)g(t−τ)dτ，其中f和g都是可积函数。
卷积具有平移不变性、交换律、结合律等性质。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是信号处理中的一种重要工具，它可以将时间域的函数转换为频率域的函数。
傅里叶变换的定义为：对于实数t，函数f(t)的傅里叶变换F(ω)定义为∫(-∞∞)f(t)e−iωtdt，其中i是虚数单位，ω是角频率。
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等性质。
三、卷积定理的应用卷积定理指出，两个函数的卷积在时间域和频率域内的表示形式相同，即f*g(t)=∫(-∞∞)f(τ)g(t−τ)dτ=∫(-∞∞)F(ω)G(ω)e^{iωt}dω，其中F(ω)和G(ω)分别是f(t)和g(t)的傅里叶变换。
卷积定理的应用包括信号处理、图像处理、控制系统等领域。
四、傅里叶变换的逆变换傅里叶变换的逆变换是将频率域的函数转换回时间域的函数。
逆变换的公式为：f(t)=∫(-∞∞)F(ω)e^{iωt}dω。
逆变换的存在性和唯一性取决于傅里叶变换的定义和性质。
逆变换的应用包括信号重建、图像还原等领域。
五、卷积的傅里叶变换表示根据卷积定理，两个函数的卷积可以表示为它们的傅里叶变换的乘积。
具体地，如果f和g是可积函数，那么它们的卷积f*g(t)可以表示为它们的傅里叶变换F(ω)和G(ω)的乘积在频域内的积分：f*g(t)=∫(-∞∞)F(ω)G(ω)e^{iωt}dω。
这种表示方法对于理解和应用卷积非常有帮助。
六、卷积运算的简化在实际应用中，为了简化计算和提高计算效率，常常采用一些方法来简化卷积运算。
例如，在数字信号处理中，可以采用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算傅里叶变换和逆变换，从而快速计算卷积。
信号与系统7-2卷积定理课件
一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos
3.7 卷积特性
共分二个定理： 共分二个定理： 时域卷积定理 频域卷积定理
一、时域卷积定理
给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t) 已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
则：
f1(t)∗f2(t) →F1(w)⋅ F2(w)
FT
时域卷积 频域相乘。 频域相乘。
即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。 两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
证明： 证明：
根据卷积定义 f1(t) * f2 (t) = ∫−∞ f1(τ )* f2 (t −τ )dτ 则：f (t) * f (t) → 1 2
FT
∞
f (τ ) * f (t −τ )dτ e− jwt dt ∫−∞ ∫−∞ 1 2 ∞ ∞ f (t −τ )e− jwt dtdτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞ = ∫ f1(τ )F2 (w)e
§ 3.7 卷积特性
• 主要内容
•时域卷积定理 时域卷积定理 •频域卷积定理 频域卷积定理 •卷积定理的应用 卷积定理的应用
• 重点：时域卷积定理和频域卷积定理 重点： • 难点：卷积定理的应用 难点：
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它 卷积特性是傅里叶变换性质之一， 在通信系统和信号处理中的重要地位－－ －－应 在通信系统和信号处理中的重要地位－－应 用最广。所以单独以一节来讲。 用最广。所以单独以一节来讲。
(t ≤ (t >
τ τ
f (t)
) 2 ) 2
−
E
τ 0
2
τ
2
t
解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ(t) 与周期余弦 把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ 信号相乘。 信号相乘。
《数字信号处理》(门爱东)课后习题答案(上册)
证明：
∞
设 g(t) = ∑ f (nT )δ (t − nT ) n = −∞
则：
∑ ∑ F
g
( t )
=
F
∞ n =−∞
f
(nT
)δ
(t
−
nT
)
=
∞ n =−∞
f
(nT
) e−
jnT Ω
∞
0
+∞
∑ ∑ ∑ =
e−a nT e− jnTΩ =
eanT e− jnTΩ + e e −anT − jnTΩ
(2) 用 （a） 的结果，证明频域卷积定理
证明：
f1(t)
f2 (t )
↔
1 2π
F1(Ω) ∗ F2 (Ω)
（1）
（2）
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) F Ω ∗ e− jΩt =
∞
F
y e− j(Ω− y)tdy =
∞
FБайду номын сангаас
y e− jΩte jytdy
−∞
−∞
∫ ( ) ( ) = e− jΩt
n =−∞
n = −∞
n=1
+∞
+∞
∑ ∑ = e−anT e jnTΩ + e e −anT − jnTΩ
n =0
n =1
+∞
+∞
∑ ∑ = e−nT (a− jΩ) + e−nT (a+ jΩ)
n =0
n =1
=
1−
1 e−T (a− jΩ)
+
1
e −
−T (a+ jΩ)
e−T (a+ jΩ
采样定理的证明与推导
采样定理的证明与推导
采样定理，⼜称⾹农采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率⼤于或等于有效信号最⾼频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。
设输⼊连续信号：
采样输出信号：
采样的过程如下图所⽰，可看作⼀段周期为T、宽度为τ的矩形脉冲载波信号S（t）
显然，τ越窄，采样越精确，当τ<<T时，采样的矩形脉冲信号接近于冲击信号，具有冲击信号的性质。
所以
那么理想采样为：
对上述⼏个信号作傅⾥叶变换：
对于，由频域卷积定理（时域乘积等于频域卷积，下⾯公式Xc与S是卷积）：
由于S（t）是⼀个周期函数，可以表⽰成傅⾥叶级数
,其中
那么：
根据冲激函数的性质得到：
从上可知理想采样信号是连续时间信号频谱的周期延拓函数，其频域周期等于采样周期，⽽频谱幅度则为1/T，所以除去⼀个常数因⼦外，每⼀个延拓的的谱分量都和原频谱分量相同。
从图像上来理解会更直观⼀些
图a是输⼊信号Xc(t)在频域上的图像
图b是采样信号S(t)在频域上的图像
图c是成功采样后得到的信号Xs(t)在频域上的图像
图d是⼀次失败的采样，由此结果⽆法还原回原信号
从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发⽣重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该⼤于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最⾼频率。
采样定理由此证毕。
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频域卷积定理证明过程
卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。
卷积定理指出，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。
具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。
函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。
具体分为z时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。
扩展资料：
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里
叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。