高考数学总复习 直线的一般式方程学案(1)
高中数学 必修二 3.2.3 直线的一般式方程教案 新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下： 0轴上的截距 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0.（四）知能训练课本本节练习1、２、３.（五）拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.（七）作业习题3.2 A 组11.。
2019-2020学年高二数学《直线的一般式方程》学案.doc
2019-2020学年高二数学《直线的一般式方程》学案教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．了解直线方程的一般式与二元一次方程的对应关系.3．对直线的五种表达式的优缺点有一个全面的了解, 能够将直线方程的其它形式化为一般式教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化教学难点：理解直线方程的一般式的含义教学过程: 课前检测：1． 已知点(0,4)A ，(4,0)B 在直线l ，则l 的方程为___________________2． 过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为___________________3． 若直线20(0)ax my a a ++=≠过点(1,，则此直线的斜率为_______________4． 过点(3,4)M -，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________________一．问题情境通过前面的介绍，我们已经通过直线的两个要素得到了直线方程的几种特殊的形式，但是他们每个形式都有自己的缺陷，比如说斜率不存在时不能用他们来表示. 我们有没有什么方法能用统一的形式表示出所有的直线？探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x 、y 的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程的图形是否都是直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l 的倾斜角，那么当α≠90︒时，l ：y =kx +b 即kx −y +b =0；当α=90︒时，l ：x =x 0即x +0y −x 0 =0；即它们都可变形为Ax +By +C =0的形式，且A ，B 不同时为0，从而直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程．（2）关于x ，y 的二元一次方程的一般形式为Ax +By +C =0，（ A ，B 不同时为0）当B ≠0时，方程可化为A C y x B B =--，表示斜率为A B -，在y 轴上的截距为C B-的直线；特别地，当A =0时，表示垂直于y 轴的直线；当B =0时，由A ≠0，方程C x A=-，表示与x 轴垂直的直线. 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不全为0）都表示一条直线。
直线方程的一般式教案
直线方程的一般式教学目标：1、知识目标：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、能力目标：⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。
⑵学会分类讨论思想解决数学问题。
3、情感目标：(1) 通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。
(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。
教学过程一、创设情境，引入新课练习：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8,2），斜率是-2 Y-2=-2(x-8) ⇒ 2x+y-18=0 （2）经过点B （0,-2），倾角为4π； y=x-2 ⇒x-y-2=0 （3）经过点P 1（3,2），P 2（5,4） 242353--=--y x ⇒x-y-1=0 （4）在x 轴，y 轴上的截距分别为 2， 3.132=+yx ⇒2x+3y-6=0 师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。
复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。
问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
直线的一般式方程教案
直线的一般式方程教案一、引入：在前几节课中，我们学习了直线的斜截式方程和点斜式方程。
今天我们将学习直线的一般式方程。
直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，它的形式为：Ax + By + C = 0。
下面我们一起来学习一下直线的一般式方程的求解方法。
二、概念：直线的一般式方程表达形式为Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是实数，且A和B不同时为0。
三、推导：推导一般式方程的方法有很多，下面我们以已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)为例，来推导一下一般式方程的求解过程。
1.根据已知点A和B，求直线的斜率k。
斜率k的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
将点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标代入公式，求得斜率k的值。
2.代入斜率k和已知点A(x1, y1)的坐标到点斜式方程y - y1 =k(x - x1)中，得到直线的点斜式方程。
3.对点斜式方程进行展开和变形操作，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0。
将点斜式方程中的k乘以x，并将常数项移至左边得到A、B和C的值。
最终得到直线的一般式方程。
四、实例演练：现在我们通过一个实例来练习一下求解直线的一般式方程的过程。
已知直线上两点A(2, 3)和B(-1, 4)，求直线的一般式方程。
1.计算斜率k：k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。
2.代入斜率和已知点A的坐标到点斜式方程y - 3 = -1/3(x - 2)中，得到直线的点斜式方程为y - 3 = -1/3(x - 2)。
3.对点斜式方程进行展开和变形操作，得到一般式方程：3x + y - 9 = -x + 2。
化简得到直线的一般式方程：4x + y - 11 = 0。
五、总结：通过上述推导和实例演练，我们学习了直线的一般式方程的求解方法。
直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，形式为Ax + By + C = 0。
直线的一般式方程教案
教学目的：(1) 知识与技能明确直线的一般式方程的特征；会把直线一般式方程转化为斜截式，进而求直线的斜率与截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
〔2〕过程与方法通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。
〔3〕情感、态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。
同时，让学生认识事物之间的普遍联络与互相转化教学重点与难点重点：直线的一般式方程难点：理解直线的一般式方程教学流程设计一、创设问题情境【师生活动】平面内的直线，它们的直线方程有几种表示形式？学生完成表格和练习生：填表过点 与x 轴垂直的直线可表示成2.根据以下条件，写出适宜的直线的方程(1) 斜率是21-，经过点〔-1，3〕 〔2〕经过点〔1，2〕，平行于x 轴 〔3〕经过点〔2，1〕，斜率不存在 〔4〕经过原点，斜率是21、从上述几种形式的直线方程中，分析这四种直线的局限性，引出问题。
2、平面直角坐标系中的任何一条直线l 能不能用一种自然优美的“万能〞形式的方程来表示？【设计意图】-老师让学生回忆，观察，发表自己的见解。
学生可以积极主动地投入到课堂中，充分调动他们思维的活泼性。
二、探究新知【师生活动】老师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.【设计说明】学生对分类讨论思想还不能纯熟应用，所以老师引导学生考虑问题，给出必须讨论的理由及讨论的分类根据，逐步引导学生进展正确的分类讨论，掌握这种数学思想.问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x 、的二元一次方程表示吗？【设计意图】讨论每条直线是否对应一个二元一次方程.师：我们要求一条直线的方程可以利用直线上的一点和它的斜率来表示，那么需要注意什么问题？生：直线的斜率可能不存在.师：那么我们就需要分情况来讨论，分几种情况？哪几种？生：分成直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.学生讨论完成两种情况的讨论，老师提问学生结果，并板书.生：假设直线l 的斜率存在，设直线l 上在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，那么直线l 的方程为b kx y +=.假设直线l 的斜率不存在，设直线l 上的一点),(x y P ，那么直线l 的方程为0x -x = 师：这两个方程是不是关于y x ,的二元一次方程？）（,y x生：是的.第二种情况可以看作是方程中y 的系数为0.问题2 每一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗？【设计意图】讨论每个二元一次方程是否对应一条直线.师：我们最熟悉的直线方程形式是哪一种？生：斜截式.师：那我们来讨论一个二元一次方程能不能化成直线的斜截式方程?转化过程中需要注意什么问题？学生讨论变化方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 为斜截式方程，老师最后纠错并板书讨论过程.生：方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 可以变形为BC x B A --y =,所以它表示过点)(0,-B C ，斜率为BA -的直线. 师：变形过程中系数B 一定不为0吗？你的结论严谨吗？ 生：不一定.系数B 为0时，A 一定不为0，方程可以变形为AC -x =.，可以表示一条斜率不存在的直线. 三、理解新知1.结论：(1)平面直角坐标系内的所有直线的方程都是一个二元一次方程.我们把关于y x ,的二元一次方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 叫做直线的一般式方程，简称一般式.(2)一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确定的直线.二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成了一条直线.【设计意图】整理思路，得出结论，完善分类讨论思想的应用.2.考虑：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？【设计意图】理解一般式的特征，使学生理解一般式与其他形式的区别.3.探究：在方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 中，C A ，，B 为何值时，方程表示的直线：①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合；⑤经过原点；⑥与两坐标轴都相交【设计意图】熟悉一般式与斜截式的互相转化，加强对二元一次方程的几何意义的理解.四、运用新知1、根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－21，经过点A 〔８，－2〕； (2)经过点B (４，2〕，平行于x 轴； 〔3〕在x 轴和y 轴上的截距分别是23,－3； (4)经过两点1P 〔3，－2〕、2P 〔5，－４〕. 【设计说明】本例题由学生自主完成，让学生对一般式方程有更深入的理解.2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
《直线方程的一般形式》教案(公开课)
《直线方程的一般形式》教案一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、教材分析1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．2．难点：与重点相同．3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。
它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得 y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线．∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C 的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计。
直线的一般式方程（教案）
直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名称几何条件方程局限性点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线斜截式斜率k,y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x、y轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。
2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。
《直线的一般式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。
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河北省二十冶综合学校高考数学总复习 直线的一般式方程学案
学习目标：
（1）明确直线方程一般式的形式特征.
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
学习重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法.
学习难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系.
预习内容：
复习回顾
1.几种方程：①点斜式： . ②斜截式： .
③两点式： . ④截距式： .
2.写出下列直线方程
① 过点A(2,-1)、B(0,3)； .
② 在x 、y 轴上截距分别是－4、3； .
③ 过点(－1, )，倾斜角是135°； .
④ 斜率是 ，y 轴上截距是－2； .
⑤ 过点(3,-5)，平行于x 轴； . 学习探究：直线方程的一般形式：
讨论1：是否所有直线都可写成y ＝kx ＋b 的形式？α＝90°时直线方程是怎样的？两种形式与Ax ＋By ＋C ＝0有何联系？
结论： 。
讨论2：Ax ＋By ＋C ＝0能否都化成y ＝kx ＋b 的形式？B ＝0时表示什么图形？
结论： 。
新知：直线的一般式方程的定义：
把关于x ，y 的二元一次方程 （ ）叫做 ，简称 。
思考：在方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线
①平行于x 轴； 。
②平行于y 轴； 。
③与x 轴重合； 。
④与y 轴重合； 。
⑤过原点的直线； 。
例1、已知直线L 过点A(-6,4)，斜率为3
4
，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。
练习1、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： ⑴ 斜率是12
-，经过点(8,2)A -； . ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； .
⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32
-； . ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --； .
例2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
练习2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程
学后反思。