2019-2020学年高中数学 《直线方程的一般式》学案 新人教A版必修2.doc
高中数学 必修二 3.2.3 直线的一般式方程教案 新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下： 0轴上的截距 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0.（四）知能训练课本本节练习1、２、３.（五）拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.（七）作业习题3.2 A 组11.。
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A 版必修2一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 一般式（general form ）：，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y 轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l 的直线方程是；经过点，且垂直于直线l 的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）与重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.四．自主探究例题精讲：【例1】已知直线：，：，问m 为何值时：（1）； （2）.解：（1）时，，则，解得m ＝0.（2）时，, 解得m ＝1.【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.解：直线l:3x+4y －12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.【例4】直线方程的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交.（3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线.（5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五．目标检测（一）基础达标1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）.A. B. C. D. 以上均不可能2．若，则直线必经过一个定点是（）.A. B. C. D.3．直线与两坐标轴围成的面积是（）.A． B． C． D．4．（xx京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（，12）在此直线上，则＝．（二）能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.9．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.（三）探究创新10．已知直线，，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.2019-2020年高中数学《3.2.4互斥事件》教案新人教版必修3【教学目标】1、用集合的观点理解互斥与对立事件；2、注意一题多解，和方法的灵活性。
高中数学直线方程部分学案新课标人教A版必修2
本章知识结构如下：从几何直观到代数表示（建立直线的方程）从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量）1．“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素－－点和倾斜角。
给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。
2．“直线的方程”一节首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线。
3．“直线的交点坐标与距离公式” 通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合。
通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。
第一节 直线的倾斜角与斜率(一)(倾斜角与斜率的概念)【自学导航】1. 直线的倾斜角定义:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （１）特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定倾斜角α＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （２）倾斜角的范围________2.直线的斜率的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（垂直于x 轴的直线斜率＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿） 3、已知1122(,),(,)A x y B x y 则AB 的斜率为＿＿＿＿＿＿＿＿． 4、对斜率k 的定义及对斜率与倾斜角关系的理解K=0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． k>0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． k<0时＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 垂直于x 轴的直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿＿＿．【问题探究】〖问题一〗求下列直线l 的斜率：（１）经过点)4,2(-A ，)4,3(--B ； （２）直线的倾斜角为0120．〖问题二〗如右图中，菱形ＯＡＢＣ中，060=∠AOC ，求菱形各边与对角线的倾斜角与斜率．〖问题三〗已知两点)1,2(-A ，)2,3(B ，若过点)1,0(-P 的直线l 与线段ＡＢ总有公共点，你能求出直线l 的倾斜角与斜率的取值范围吗？【当堂练习】１．已知直线的倾斜角，指出直线的斜率：(1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）150° ２.直线l 经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是３.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或4 4.若图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则有( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 25．已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .6．已知P(3，m )在过M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是【拓展提升】A 组1．若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为2.已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________. 3．已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21，则x = 4．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值是( )A.a =4,b =0B.a =－4,b =－3C.a =4,b =－3D.a =－4,b =3 5．已知直线l 的倾斜角α为0135，点)1,4(-A ，)3,(-x B ，则x 的值为（ ）Ａ．8-Ｂ．4-Ｃ．０Ｄ．８6．若三点)3,2(A ，)2,3(-B ，),21(m C 共线，求m 的值．７．在同一直角坐标系中，画出经过点)2,0(A 并且斜率分别为2，2-，1-，１，０的五条直线．B 组８．如果直线l 经过A (－1,2m)、B (2，2m )二点，求直线l 的斜率K 的取值范围．９．光线从点)1,2(A 出发，射入y 轴上的点Ｐ，再由y 轴反射经过点)3,4(B ，试求点Ｐ的坐标及入射光线与反射光线所在直线的斜率．第一节 直线的倾斜角与斜率(2)(两条直线的平行与垂直)【自学导航】1.平面内不重合的两条直线的位置关系有______与____________.2.不重合的两条直线1l ,2l 的斜率分别为1k ,2k ,则(1)1l ∥2l ⇔________; (2)21l l ⊥⇔_________________ 3.特例:(1)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率也不存在时,则它们都垂直于_______,互相_____.(2)两条直线中一条斜率不存在另一条斜率为0时,它们互相_____________【问题探究】〖问题一〗四边形ABCD 的顶点为)222,2(+A ,)2,2(-B ,)222,0(-C ,)2,4(D ,试判断四边形ABCD 的形状.〖问题二〗已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.〖问题三〗 已知点)1,1(A ,)2,2(B ,)3,3(-C ,求点D,使得CD ⊥AB,且CB ∥AD.【当堂练习】直线013:1=++y ax l ,0)2(:2=+-+a y a x l ,它们的倾斜角分别为1α,2α,斜率分别为1k ,2k .(1)=a _____时, 1α=1500;(2 ) =a _____时,2l ⊥x 轴;(3) =a _____时, 1l ∥2l ; (4) =a _____时, 1l 与2l 重合;; (5) =a _____时,2l ⊥2l .【拓展提升】A 组１．已知直线1l 经过两点(-1,-2)和(-1,4),直线2l 经过两点)1,2(,)6,(x ,且1l ∥2l ,则x=( )A.2B.-2C.4D.1 2.下列说法正确的是( )A.平行的两条直线的斜率存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角相等C.垂直的两条直线的斜率的乘积为1-D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 3．经过点),2(m P - 和)4,(m Q 平行于斜率等于1的直线,则m 的值为( ) A.4 B.1 C.1或4 D.1或34．已知直线l 与经过两点)2,3(-M ,)3,2(-N 的直线垂直,则直线l 的倾斜角为( ) A.600 B.1200 C.450 D.13505．已知△ABC 的三个顶点)1,5(-A ,)1,1(B ,)3,2(C ,则其形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定6.已知直线1l 与2l 的斜率是方程0142=--x x 的两根, 则1l 与2l 的位置关系为_________. 7.已知直线1l 的斜率为2, 2l 过点)2,1(--A ,)6,(x B ,且1l ∥2l ,则=x 91log ___________.8.已知点)3,1(-M ,)2,1(N ,),5(y P ,且090=∠NMP ,则=y _________________.9.已知点A(1,-1),)2,2(B ,)0,3(C 三点,求点D,使四边形ABCD 为平行四边形.B 组10.已知△ABC 的顶点)1,5(-A ,)1,1(B ,),2(m C ,若三角形ABC 为直角三角形,求m 的值.11．已知过原点的直线与函数x y 8log = 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作y 轴的平行线与x y 2log =的图象交于C 、D 两点。
2019年高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课时作业(含解析)新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程1.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=22.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )(A)0 (B)1(C)0或1 (D)0或-1解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )(A)1 (B)-2(C)1或-2 (D)-1或2解析:由题1×2-a(a+1)=0,所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;故a=-2.5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )(A)A,B,C同号(B)AC>0,BC<0(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.选项B符合要求.7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.类似可知C,D不合适,选B.8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )(A)x+y=0 (B)x-y=0(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是.解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.答案:4x+y-14=010.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为.解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=011.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为.解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.。
《直线的一般式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2(2021
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3．2.3 直线的一般式方程学习目标1。
掌握直线的一般式方程；2.理解关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0）都表示直线；3。
会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0）来表示吗？答案能．思考2 关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．思考3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）表示怎样的直线？B＝0呢？答案当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0得，y＝－错误!x－错误!，所以该方程表示斜率为－错误!,在y轴上截距为－错误!的直线；当B＝0时,A≠0，由Ax＋By＋C＝0得x＝－错误!,所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线一般式的性质例1 设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0.(1）若直线l在x轴上的截距为－3,则m＝________。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 直线的一般式方程
3．2.3 直线的一般式方程1．掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义． 2．掌握一般式与其他形式的互化． 3．了解二元一次方程与直线的对应关系．直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程__________(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b(y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a(x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．当AB>0时，k <0，倾斜角α为钝角；当AB<0时，k >0，倾斜角α为锐角；当A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°；当B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°.【做一做1－1】 若方程A x ＋B y ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( )A ．A ≠0B ．B ≠0C ．A·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0 【做一做1－2】 直线2x ＋y ＋4＝0的斜率k ＝____.答案：(1)Ax ＋By ＋C ＝0 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】 －21．确定直线的一般式方程的条件剖析：对于直线的一般式方程，表面上是A ，B ，C 三个系数，由于A ，B 不同时为零，若A ≠0，则方程化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需确定B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB 的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线的一般式方程．习惯上，将所求的直线方程化为一般式，且使x 的系数为正数．2．直线方程的一般式与其他形式的互化 剖析：一般式化斜截式的步骤： ①移项，B y ＝－A x －C ；②当B ≠0时，得斜截式y ＝－A B x －CB .一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得A x ＋B y ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．注意：在直线方程的几种形式中，任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了；其他形式的方程互化时，限制条件也可能发生变化；一般式方程化为其他形式的方程时，要注意限制条件，它们有如下的转化关系：3．直线方程的五种形式及比较剖析：如下表所示．题型一：选择适当的形式写出直线的方程【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别是－3，－1.反思：已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式；已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；已知直线上两点的坐标时，选用两点式；已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式．题型二：已知一般式方程讨论直线的性质【例2】把直线l的一般式方程2x－3y－6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出直线l的图形．反思：已知一般式方程讨论直线的性质：①令x ＝0，解得y 值，即为直线在y 轴上的截距，令y ＝0，解得x 值，即为直线在x 轴上的截距，这就确定j 直线与两个坐标轴的交点坐标，从而画出图形．当然也可将一般式方程化为截距式来解决；②化为斜截式可讨论斜率与倾斜角，以及在y 轴上的截距．题型三：易错辨析易错点 忽视一般式方程中A 与B 的条件【例3】 直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于( )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3错解：直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.故选A.错因分析：错解忽视了当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0且－(m 2－4)＝0.反思：直线的一般式方程A x ＋B y ＋C ＝0中，A 与B 满足的条件是A 与B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.当A ＝B ＝0时，方程变为C ＝0，不表示任何图形．答案：【例1】 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －3＝3(x －5)，化为一般式方程为3x －y ＋3－53＝0.(2)由斜截式方程可知， 所求直线方程为y ＝4x －2， 化为一般式方程为4x －y －2＝0. (3)由两点式方程可知，所求直线方程为y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，化为一般式方程为2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y－1＝1，化为一般式方程为x ＋3y ＋3＝0.【例2】 解：由2x －3y －6＝0，得3y ＝2x －6， 故y ＝23x －2，即直线l 的一般式方程化成斜截式为y ＝23x －2，斜率为23.在l 的方程2x －3y －6＝0中， 令y ＝0，得x ＝3；令x ＝0，得y ＝－2. 即直线l 在x 轴与y 轴上的截距分别是3，－2.则直线l 与x 轴，y 轴交点分别为A (3,0)，B (0，－2)，过点A ，B 作直线，就得直线l 的图形，如图所示．【例3】 C1．(2011·云南测试)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线x ＋2y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．10 2．经过点A(－4,7)，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为__________． 3．如图所示，直线l 的一般式方程为__________．4．已知直线l 经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线l 的一般式方程和截距式方程，并画出图形．5．直线l 1：2x ＋4y －1＝0，直线l 2过点(1，－2)，试分别求满足下列条件的直线l 2的方程：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.答案：1．D 2.x －y ＋11＝0 3.2x ＋y ＋2＝4．解：直线l 过A (－5,6)，B (－4,8)两点，由两点式，得686y --＝545x +-+，整理，得2x －y ＋16＝0.把2x －y ＝－16两边同除以－16，得816x y+-＝1.故直线l 的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为816x y+-＝1.图形如图所示． 5．解：直线l 1的方程化为斜截式为 y ＝－1124x +， ∴直线l 1的斜率k 1＝－12. 设直线l 2的斜率为k 2，则(1)当l 1∥l 2时，k 2＝k 1＝－12， 则直线l 2的方程为y ＋2＝－12(x －1)，即x ＋2y ＋3＝0.(2)当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，k 2＝11k -＝2， 则直线l 2的方程为y ＋2＝2(x －1)， 即2x －y －4＝0.。
人教版A版(2019)课标高中数学选择性必修一2.2直线的方程 学案
直线的方程【学习目标】1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．【学习重难点】1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．（重点）2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．（重点）3．灵活选用恰当的方式求直线方程．（难点）【学习过程】一、新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0（x0，y0）是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．（1）如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0．（2）直线的点斜式方程：若直线l的斜率存在且为k，P（x，y）为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k（x－x0）．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．（3）直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为（a,0），则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．2．直线的两点式方程与截距式方程（1）直线l上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x2≠x1，y2≠y1时，则y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1称为直线的两点式方程．（2）若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程xa＋yb＝1称为直线的截距式方程．3．直线的一般式方程直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）．二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）直线y－3＝m（x＋1）恒过定点（－1,3）．（）（2）直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3．（）（3）斜率不存在的直线能用两点式方程表示．（）（4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．（）2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（）A．直线经过点（－1,2），斜率为－1B．直线经过点（2，－1），斜率为－1C．直线经过点（－1，－2），斜率为－1D．直线经过点（－2，－1），斜率为13．过点（1,2）和（3,5）的直线方程为________．4．经过点P（－2,1），且斜率为－1的直线方程为________．三、合作探究类型1：求直线的点斜式方程【例1】写出下列直线的点斜式方程．（1）经过点（2,5），倾斜角为45°；（2）直线y＝x＋1绕着其上一点P（3,4）逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；（3）经过点C（－1，－1），且与x轴平行；（4）经过点D（1,1），且与x轴垂直．类型2：求直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程．（1）斜率是3，在y轴上的截距是－3．（2）倾斜角是60°，在y轴上的截距是5．（3）过点A（－1，－2），B（－2,3）．类型3：直线的两点式方程【例3】在△ABC中，A（－3,2），B（5，－4），C（0，－2），（1）求BC所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．类型4：直线的一般式方程【例4】设直线l的方程为（a－1）x＋y－2－a＝0（a∈R）．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．【学习小结】1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法（1）求点斜式方程与斜截式方程的方法．（2）求截距式方程与两点式方程的方法．（3）求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．【精炼反馈】1．过点（－3,2），倾斜角为60°的直线方程为（）A．y＋2＝3（x－3）B．y－2＝33（x＋3）C．y－2＝3（x＋3）D．y＋2＝33（x＋3）2．直线y－2＝3（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（）A．60°，2B．60°，2＋3C．120°，2＋5D．120°，23．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜04．已知直线l过点P（2,1），且斜率为－1，则l的点斜式方程为_________．5．直线l经过点P（3,4），它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．。
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2019-2020学年高中数学 《直线方程的一般式》学案 新人教A 版必修2
1.重点：直线方程的一般式及各种形式的互化。
2.难点：据所给条件选取恰当形式求直线的方程，及对直线与二元一次方程关系的理解。
【学习过程】 （一）自主学习（阅读课本，完成下列问题）
1.任何关于x 、y 的二元一次方程0=++C By Ax （022≠+B A ）都表示
； 反之，任何 的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
2.方程0=++C By Ax （022≠+B A ）叫做直线的 ，当0≠B 时，斜率
B A k -
=，当0=B 时，直线的斜率不存在；当0≠⋅B A 时，它在x 轴上截距为A
C -，在y 轴上截距为B C -. （二）思考
直线方程有哪几种形式，分别代表了怎样的直线？
【例题分析】
例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程。
（1）斜率是3，且经过点)3,5(A ；
（2）过点)0,3(-B ，且垂直于x 轴；
（3）斜率为4，在y 轴上的截距为2-；
（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；
（5）经过)5,1(-A 、)1,2(-B 两点；
（6）在x 、y 轴上的截距分别是3-，1-.
例2.设直线l 的方程为)(02)1(R a a y x a ∈=-+++. （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
（3）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围。
例3.（1）在直线)3(2-=+x k y 中，k 取任意实数，可得无数条直线，这无数条直线的共同特征是 ；
（2）不论m 取何值，直线03=++-m y mx 恒过定点。
【反馈练习】
1.直线l 的方程为0=++C By Ax ，若直线l 过原点和二、四象限，则（ ）
A.⎩⎨⎧>=00B C
B.⎪⎩⎪⎨⎧>>=000A B C
C.⎩⎨⎧<=00AB C
D.⎩
⎨⎧>=00AB C 2.过点)3,2(A ，)3,5(-B 的直线方程的一般式为（ ）
A.3=x
B.03=-x
C.3=y
D.03=-y
3.直线031=-+-k y kx ，当k 变化时，所有直线都恒过点（ ）
A.（0，0）
B.（0，1）
C.（3，1）
D.（2，1）
4.直线方程的一般式0=++C By Ax 可以化成斜截式方程的条件是 ，可以化成截距式方程的条件是 。
5.在下面各情况下，直线0=++C By Ax （A 、B 不同时为零）的系数A 、B 、C 间的关系是：
（1）直线与x 轴平行时， ；
（2）直线与y 轴平行时， ；
（3）直线过原点时， 。
6.ABC ∆中，顶点)3,1(A ，AB 边上中线所在直线方程为012=+-y x ，AC 边上中线所在直线方程为01=-y ，求ABC ∆各边所在直线方程。