类比推理在高中数学教学中的应用

学科论文
浅谈类比思想在文科数学教学中的应用
姓名冯娟
单位阜阳市第二中学
学科数学
2013年5月
浅谈类比思想在文科数学教学中的应用
阜阳二中数学组：冯娟
摘要：类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。

在数学教学中应用类比法，可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等，达到正确认识，确定行之有效的解题策略的目的；这样既可以加强“双基”，又有利于培养学生良好的思维品质。

关键词：类比推理猜想证明数学学习
笔者现阶段所教授的是高三文科普通班，学生基础相对比较薄弱。

学生对数学这一学科几乎到了“谈数色变”的程度。

在平时的教学中，常常有学生抱怨：我怎么想不到这样的方法？笔者认为学生困惑的根源是缺乏知识的迁移能力和未形成系统的知识体系。

作为数学教师，笔者认为应该帮助学生构建系统的知识体系，培养学生的知识迁移运用能力，而类比思想是串联新旧知识的纽带。

类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别，又能从横向找到有关知识的联系和区别，所以，在数学教学中应用类比方法进行教学与复习，就有着不可替代的作用，一下内容是笔者在教学实践中的深刻体会。

一、类比推理思想的重要性
类比是猜想的前提，而猜想又是发现和创造前提，虽然，笔者们发现数学研究活动中充满着猜想和错误。

大科学家牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。

在人类历史上，类比获得的科技发明不胜枚举：鲁班类比带齿的草叶发明了锯，科学家类比蝙蝠规避障碍物的原理发明了雷达，类比金枪鱼的结构发明了金枪潜艇---
二、类比推理思想在教学中的应用”
1、类比推理在概念形成过程中的应用
数学概念是整个数学知识结构的基础。

在引入新概念的教学中，首先就要使学生“感知”新材料，了解概念事物的形成过程。

案例1 、二面角概念学习过程的类比
由于两者的极为相似性，通过类比学生很容易掌握了二面角的概念。

2、类比推理在性质定理公式结论中的应用
案例2、空间中平面性质学习
用学生所熟悉的性质类比，学生很快就会记忆新的性质
3、类比推理在复习课中的应用
案例3、共线向量、共面向量、空间向量知识间的类比
在向量知识的教学中，笔者发现，学生在对共线向量、平面向昔、空问向量的理解上存在困难，特别是学生对共线向量定理、平面向量基本定理、空间向量定理之间的关系在思维上容易产生混乱，为了理顺它们间的关系，笔者在处理新课“共面向量定理”时，就采用类比方法进行教学设计。

让学生经历向量及其运算由共线到平面再到空间的推广过程，体验数学在结构上的和谐性，领悟数学研究的模式化思想，感受理性思维的力量，取得了良好的教学效果。

通过类比的方法对这部分知识进行梳理，理清了他们之间的关系，完善了学生的认知结构。

三 、类比推理在解题教学中的应用 1、 数与形的类比
例1，设函数()x f 满足()()()()()
2121211
x f x f x f x f x x f -=
+，().1,=a f a 使且存在正常数
求证：()x f 是周期函数，并求出周期。

分析：要证()x f 是周期函数，只能从定义出发，但本题中不能直接找到该函数的一个周期，故证明的关键在于直觉感知周期的取值。

但从本质看很难直接
找到函数的一个周期。

观察题设()()()()()2121211
x f x f x f x f x x f -=+的结构特征类比联想
到三角恒等式()14
cot ,cot cot 1cot cot cot =+-=
+π
βαβαβα且有，由于αcot 是周期函数且周期为4=π×4
π
，笔者们就猜想，()x f 是以a 4为周期的周期函数。

在此猜想的
基础上，笔者们再对此题进行证明。

.,,,2222222x zx z z yz y y xy x R z y x +->
+-++-∈+求证：，设例
要求证的式子结构比较复杂，用常规方法推证似难奏效，观察三个根式的结构特征，有 60cos 22222xy y x y xy x -+=+-，运用数与形的类比，联想到三角形的余弦定理，22y xy x +-可以看作以x,y 同理可得另外两个式子。

然后构造一个三棱锥S-ABC 如图(1)所示，
z
SC y SB x SA CSA BSC ASB ====∠=∠=∠︒,,,60
依余弦定理，有222222,,x zx z CA z yz y BC y xy x AB +-=
+-=
+-=.
因为三角形两边之和大于第三边，所以在△ABC 中，有
即,CA BC AB >+.222222x zx z z yz y y xy x +->+-++-
图 （1）
2、 圆锥曲线的类比 例3 ：（上海春招题）
已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与
PN k 之积是与点P 的位置无关的定值；试对双曲线122
22=-b
y a x 写出具有类似特性
的性质，并加以证明.
分析： 类似的性质为：若M 、N 是双曲线122
22=-b
y a x 上关于原点对称的两个
点，点P 是曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值。

证明：设点M 、P 的坐标为（n m ,）、（y x ,），则N （n m --,）。

因为点M （n m ,）在已知双曲线上，所以22222b m a b n -=，同理22222
b x a
b y -=，
则2
2
2222222222a b m x m x a b m x n y m x n y m x n y k k PN PM =--⋅=--=++⋅--=⋅（定值）。

A
C
例4：已知圆C 的方程为222x y r +=，动点P 为其上一点，设其坐标为00(,)x y ， 求证：该圆在点P 处的切线方程为200x x y y r ⋅+⋅=；
类比于此，对于椭圆22
221x y a b
+=，类似的结论是什么？并加以证明。

分析：若动点P 在坐标轴上，显然成立；
若动点P 不在坐标轴上，可得切线的斜率为00
x
K y =-，由点斜式得直线的方
程为0
000
()x y y x x y -=--，化简为: 220000x x y y x y ⋅+⋅=+,又因为点在圆上，所
以所求切线方程为200x x y y r ⋅+⋅=。

类比椭圆与圆，笔者们有以下结论：
已知P 00(,)x y 为椭圆22
221x y a b
+=上一动点，则椭圆在该点处的切线方程为：
00
221x x y y a b ⋅⋅+=，证明从略。

波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力。

为此，特提出以下教学建议：
1.根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理的方法。

2.在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类比，培养学生对相关知识进行类比的习惯。

3.在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。

4.通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。

另外，在解题过程中，笔者们经常会用到数形结合的思想方法，以“形”助“数”，由“数”思“形”，优势互补，利用数式与图形的类比，可以迅速获得创新的解题途径。

总之，在笔者们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。

在数学中，类比是发
现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。

学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力，使他们的思维更具创造力。

参考资料：1．任子朝，高考能力测试与试题设计，北京教育出版社.
2．顾国章，高考对类比推理的考查，中学数学，2005.2.
3. 安徽省2013年普通高校统一招生考试说明，凤凰传媒出版社.
4．曹会洲高中数学教与学 2013.4。