高考数学总复习直线的一般式方程学案
直线的一般式方程 学案 导学案 课件
直线的一般式方程一、【学习目标】：1.理解关于x,y 的二元一次方程与直线之间的关系.2.明确直线的一般式方程的特征,并能将一般式与其他形式的方程进行互化.3.能根据直线的一般式方程进行简单的应用(求斜率、截距等).直线的一般式方程： 1）B=0时，方程变形为 ,即表示斜率 的直线2）B ≠0时，方程变形为 ，即表示斜率 的直线 四、【典例分析】题型一：选择适当的形式写出直线方程 例1、已知直线经过点A （6，-4），斜率为-2，求直线的点斜式和一般式方程。
题型二：一般式方程转化为其他形式的方程例2、已知直线L 的方程x –2y +6= 0，1）求出直线L 的斜率2）它在x 轴与y 轴上的截距3）画出图像题型三：利用一般式解决平行于垂直问题 例3、已知点A(2,2)与直线l ：3x+4y-20=0,(1)过点A 且与直线l 平行的直线的方程为 . (2)过点A 且与直线l 垂直的直线的方程为 .【巩固训练】1、经过点A(-4,7),且倾斜角为45°的直线的一般式方程为（ ） A.x-y-11=0 B.x+y-11=0 C.x-y+11=0 D.x+y+11=02、直线x 3＋y4＝1，化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0 D ．4x ＋3y ＝123、如图，直线l 的一般式方程4、已知：直线:35150l x y +-=，1）它的斜率为 2）在x 轴上的截距为 3）y 轴上的截距为 4）与两坐标轴围成的三角形的面积为5、若直线-2x+ay+m=0的斜率为1,则a=___________.【课堂小结】例3．设直线22:(23)(21)260(1)l m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在x轴上的截距为3-；（2）直线l的斜率为1．4、求斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的一般式方程．（2）直线l过点(6,3)P-，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距相等，求直线l的方程．。
2019-2020学年高二数学《直线的一般式方程》学案.doc
2019-2020学年高二数学《直线的一般式方程》学案教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．了解直线方程的一般式与二元一次方程的对应关系.3．对直线的五种表达式的优缺点有一个全面的了解, 能够将直线方程的其它形式化为一般式教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化教学难点：理解直线方程的一般式的含义教学过程: 课前检测：1． 已知点(0,4)A ，(4,0)B 在直线l ，则l 的方程为___________________2． 过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为___________________3． 若直线20(0)ax my a a ++=≠过点(1,，则此直线的斜率为_______________4． 过点(3,4)M -，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________________一．问题情境通过前面的介绍，我们已经通过直线的两个要素得到了直线方程的几种特殊的形式，但是他们每个形式都有自己的缺陷，比如说斜率不存在时不能用他们来表示. 我们有没有什么方法能用统一的形式表示出所有的直线？探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x 、y 的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程的图形是否都是直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l 的倾斜角，那么当α≠90︒时，l ：y =kx +b 即kx −y +b =0；当α=90︒时，l ：x =x 0即x +0y −x 0 =0；即它们都可变形为Ax +By +C =0的形式，且A ，B 不同时为0，从而直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程．（2）关于x ，y 的二元一次方程的一般形式为Ax +By +C =0，（ A ，B 不同时为0）当B ≠0时，方程可化为A C y x B B =--，表示斜率为A B -，在y 轴上的截距为C B-的直线；特别地，当A =0时，表示垂直于y 轴的直线；当B =0时，由A ≠0，方程C x A=-，表示与x 轴垂直的直线. 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不全为0）都表示一条直线。
直线的一般式方程导学案
2018级人教版数学必修2 编号：5 编制时间： 2018/10/9/ 编制人：3.2.3直线的一般式方程【学习目标】1.记住直线的一般式方程.2.知道关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．【重点难点】重点:会用直线的一般式方程解题难点:直线方程的五种形式之间的转化【预习案】【导学提示】一直线的一般式方程交流思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？思考3当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？梳理直线的一般式方程二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理【探究案】一 直线的一般式方程活动与探究例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点A (5,3)；(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点；(4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1.跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________； (2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________； (4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________．例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________；(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练2 若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______．二 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直活动与探究例3 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？跟踪训练3已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.例4已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．反思与感悟一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练4已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．【训练案】1．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是()A．30°B．60°C．150°D．120°2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠03．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限4．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，(1)若l1∥l2，则m＝________；(2)若l1⊥l2，则m＝________.5．求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程．【自主区】【使用说明】教师书写二次备课，学生书写收获与总结.。
直线的一般式方程优秀教案
直线的一般式方程优秀教案一、教学目标•理解什么是直线的一般式方程。
•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。
•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。
•学会通过直线的一般式方程求直线的斜率和截距。
二、教学重点•理解直线的一般式方程的概念和意义。
•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。
•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。
三、教学内容1. 直线的一般式方程的概念•直线的一般式方程是指形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
这样的方程描述着平面上的一条直线。
2. 给定两点确定直线的一般式方程•设直线上有两个不同的点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的一般式方程可以通过以下步骤确定：–计算直线的斜率k：k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)；–计算直线方程的截距b：b = y₁ - kx₁；–根据斜率k和截距b得到直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A = -k, B = 1, C = -b。
3. 将一般式方程转化为斜截式或截距式方程•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤将其转化为斜截式或截距式方程：–斜截式方程：y = kx + b，其中斜率k = - A/B，截距b = - C/B；–截距式方程：x/a + y/b = 1，其中截距a = - C/A，截距b = - C/B。
4. 求直线的斜率和截距•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤求直线的斜率和截距：–斜率k = - A/B；–截距b = - C/B。
四、教学步骤1.引入直线的一般式方程的概念，讲解其定义和意义。
2.通过例题演示如何通过给定两点确定直线的一般式方程，并让学生进行跟随计算。
3.引导学生讨论如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程，并通过例题进行演示。
直线的一般式方程教案
直线的一般式方程教案一、引入：在前几节课中，我们学习了直线的斜截式方程和点斜式方程。
今天我们将学习直线的一般式方程。
直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，它的形式为：Ax + By + C = 0。
下面我们一起来学习一下直线的一般式方程的求解方法。
二、概念：直线的一般式方程表达形式为Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是实数，且A和B不同时为0。
三、推导：推导一般式方程的方法有很多，下面我们以已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)为例，来推导一下一般式方程的求解过程。
1.根据已知点A和B，求直线的斜率k。
斜率k的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
将点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标代入公式，求得斜率k的值。
2.代入斜率k和已知点A(x1, y1)的坐标到点斜式方程y - y1 =k(x - x1)中，得到直线的点斜式方程。
3.对点斜式方程进行展开和变形操作，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0。
将点斜式方程中的k乘以x，并将常数项移至左边得到A、B和C的值。
最终得到直线的一般式方程。
四、实例演练：现在我们通过一个实例来练习一下求解直线的一般式方程的过程。
已知直线上两点A(2, 3)和B(-1, 4)，求直线的一般式方程。
1.计算斜率k：k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。
2.代入斜率和已知点A的坐标到点斜式方程y - 3 = -1/3(x - 2)中，得到直线的点斜式方程为y - 3 = -1/3(x - 2)。
3.对点斜式方程进行展开和变形操作，得到一般式方程：3x + y - 9 = -x + 2。
化简得到直线的一般式方程：4x + y - 11 = 0。
五、总结：通过上述推导和实例演练，我们学习了直线的一般式方程的求解方法。
直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，形式为Ax + By + C = 0。
直线的一般式方程教案
教学目的：(1) 知识与技能明确直线的一般式方程的特征；会把直线一般式方程转化为斜截式，进而求直线的斜率与截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
〔2〕过程与方法通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。
〔3〕情感、态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。
同时，让学生认识事物之间的普遍联络与互相转化教学重点与难点重点：直线的一般式方程难点：理解直线的一般式方程教学流程设计一、创设问题情境【师生活动】平面内的直线，它们的直线方程有几种表示形式？学生完成表格和练习生：填表过点 与x 轴垂直的直线可表示成2.根据以下条件，写出适宜的直线的方程(1) 斜率是21-，经过点〔-1，3〕 〔2〕经过点〔1，2〕，平行于x 轴 〔3〕经过点〔2，1〕，斜率不存在 〔4〕经过原点，斜率是21、从上述几种形式的直线方程中，分析这四种直线的局限性，引出问题。
2、平面直角坐标系中的任何一条直线l 能不能用一种自然优美的“万能〞形式的方程来表示？【设计意图】-老师让学生回忆，观察，发表自己的见解。
学生可以积极主动地投入到课堂中，充分调动他们思维的活泼性。
二、探究新知【师生活动】老师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.【设计说明】学生对分类讨论思想还不能纯熟应用，所以老师引导学生考虑问题，给出必须讨论的理由及讨论的分类根据，逐步引导学生进展正确的分类讨论，掌握这种数学思想.问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x 、的二元一次方程表示吗？【设计意图】讨论每条直线是否对应一个二元一次方程.师：我们要求一条直线的方程可以利用直线上的一点和它的斜率来表示，那么需要注意什么问题？生：直线的斜率可能不存在.师：那么我们就需要分情况来讨论，分几种情况？哪几种？生：分成直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.学生讨论完成两种情况的讨论，老师提问学生结果，并板书.生：假设直线l 的斜率存在，设直线l 上在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，那么直线l 的方程为b kx y +=.假设直线l 的斜率不存在，设直线l 上的一点),(x y P ，那么直线l 的方程为0x -x = 师：这两个方程是不是关于y x ,的二元一次方程？）（,y x生：是的.第二种情况可以看作是方程中y 的系数为0.问题2 每一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗？【设计意图】讨论每个二元一次方程是否对应一条直线.师：我们最熟悉的直线方程形式是哪一种？生：斜截式.师：那我们来讨论一个二元一次方程能不能化成直线的斜截式方程?转化过程中需要注意什么问题？学生讨论变化方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 为斜截式方程，老师最后纠错并板书讨论过程.生：方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 可以变形为BC x B A --y =,所以它表示过点)(0,-B C ，斜率为BA -的直线. 师：变形过程中系数B 一定不为0吗？你的结论严谨吗？ 生：不一定.系数B 为0时，A 一定不为0，方程可以变形为AC -x =.，可以表示一条斜率不存在的直线. 三、理解新知1.结论：(1)平面直角坐标系内的所有直线的方程都是一个二元一次方程.我们把关于y x ,的二元一次方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 叫做直线的一般式方程，简称一般式.(2)一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确定的直线.二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成了一条直线.【设计意图】整理思路，得出结论，完善分类讨论思想的应用.2.考虑：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？【设计意图】理解一般式的特征，使学生理解一般式与其他形式的区别.3.探究：在方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 中，C A ，，B 为何值时，方程表示的直线：①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合；⑤经过原点；⑥与两坐标轴都相交【设计意图】熟悉一般式与斜截式的互相转化，加强对二元一次方程的几何意义的理解.四、运用新知1、根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－21，经过点A 〔８，－2〕； (2)经过点B (４，2〕，平行于x 轴； 〔3〕在x 轴和y 轴上的截距分别是23,－3； (4)经过两点1P 〔3，－2〕、2P 〔5，－４〕. 【设计说明】本例题由学生自主完成，让学生对一般式方程有更深入的理解.2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
直线的一般式方程（教案）
直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名称几何条件方程局限性点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线斜截式斜率k,y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x、y轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。
2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。
直线的一般方程教学设计
直线的一般方程教学设计
一、教学目标
1. 掌握直线的一般方程的形式及其特点。
2. 学会根据已知条件求解直线方程。
3. 培养学生的数学思维能力和分析解决问题的能力。
二、教学内容
1. 直线的一般方程形式：Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)。
2. 直线一般方程的特点：常数项C为0时，表示的是平行于y轴的直线；B 为0时，表示的是平行于x轴的直线。
3. 根据已知条件求解直线方程的方法：代入法、消元法等。
三、教学难点与重点
难点：理解直线的一般方程的形式及其特点，掌握根据已知条件求解直线方程的方法。
重点：直线的一般方程及其应用。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板和粉笔。
2. 投影仪和PPT。
3. 教学软件：几何画板。
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾直线方程的几种形式，引出一般方程的概念。
2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和案例分析相结合的方法，引导学生理解直线的一般方程及其应用。
3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，探究直线一般方程的应用，并安排适当的练习题进行巩固。
六、教学过程
1. 导入：通过展示实际生活中的一些直线图片，引导学生思考直线的表示方法，从而引出直线的一般方程。
2. 讲授新课：详细讲解直线的一般方程形式，特点以及求解方法，结合实例进行说明。
3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用所学知识求解直线的方程，加深对直线一般方程的理解。
4. 归纳小结：总结本节课的主要内容，强调直线一般方程的重要性以及应用价值。
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高考数学总复习 直线的一般式方程学案
学习目标：
（1）明确直线方程一般式的形式特征.
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
学习重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法.
学习难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系.
预习内容：
复习回顾
1.几种方程：①点斜式： . ②斜截式： .
③两点式： . ④截距式： .
2.写出下列直线方程
① 过点A(2,-1)、B(0,3)； .
② 在x 、y 轴上截距分别是－4、3； .
③ 过点(－1, )，倾斜角是135°； .
④ 斜率是 ，y 轴上截距是－2； .
⑤ 过点(3,-5)，平行于x 轴； . 学习探究：直线方程的一般形式：
讨论1：是否所有直线都可写成y ＝kx ＋b 的形式？α＝90°时直线方程是怎样的？两种形式与Ax ＋By ＋C ＝0有何联系？
结论： 。
讨论2：Ax ＋By ＋C ＝0能否都化成y ＝kx ＋b 的形式？B ＝0时表示什么图形？
结论： 。
新知：直线的一般式方程的定义：
把关于x ，y 的二元一次方程 （ ）叫做 ，简称 。
思考：在方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线
①平行于x 轴； 。
②平行于y 轴； 。
③与x 轴重合； 。
④与y 轴重合； 。
⑤过原点的直线； 。
例1、已知直线L 过点A(-6,4)，斜率为3
4 ，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。
练习1、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： ⑴ 斜率是12
-，经过点(8,2)A -； . ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； .
⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32
-； . ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --； .
例2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
练习2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程
学后反思。