2.1.2第2课时直线方程的两点式和一般式 学案(高中数学必修2北师版)

第2课时直线方程的两点式和一般式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a＝1，∴a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得 ⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ① 2m －6m 2－2m －3＝－3， ②由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．(2)如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3，∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键．2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 { m －1＜0， 1－2m ＜0，∴12＜m ＜1.【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等． 【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －(a ＋1)＞0， a －2≤0，或{ －(a ＋1)＝0， a －2≤0.10分 ∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1].12分 【思维启迪】 对直线方程的一般式可以转化其他多种形式，注意含参数的方程要对参数进行讨论并进行转化．1．在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．2．对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程．3．一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制．当B ≠0时，可化为斜截式，在ABC ≠0时，可化为截距式．1．过两点(2 013,2 014)，(2 013,2 015)的直线方程是( ) A ．x ＝2 013 B ．x ＝2 014 C ．y ＝2 013 D ．x ＋y ＝2 013【解析】 过这两点的直线与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝2 013. 【答案】 A 2．(2013·厦门高一检测)直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．135°【解析】 直线方程可写为：y ＝x ＋5， 所以斜率k ＝1，∴倾斜角为45°. 【答案】 A3直线ax ＋by －ab ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上截距之和是________．【解析】 由ax ＋by －ab ＝0，得x b ＋ya＝1.故截距之和是a ＋b .【答案】 a ＋b4．已知△ABC 的顶点为A (1，－1)，线段BC 的中点为D (3，32)，求BC 边上的中线所在直线的方程．【解】 ∵线段BC 的中点为D (3，32)，A (1，－1)．由两点式得直线AD 的方程为y ＋132＋1＝x －13－1，整理得5x －4y －9＝0.即BC 边上的中线所在直线的方程为5x －4y －9＝0.一、选择题1．直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b (b ≠0)，则( ) A ．kb <0 B ．kb ≤0 C ．kb >0 D ．kb ≥0 【解析】 由题意知k ≤0，b >0，∴kb ≤0. 【答案】 B 2．直线l 过点A (－1，－1)和B (2,5)，且点C (1 005，m )也在直线l 上，则m 的值为( ) A ．2 008 B ．2 009 C ．2 010 D ．2 011【解析】y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即2x －y ＋1＝0，又C (1 005，m )在l 上，∴2×1 005－m ＋1＝0， ∴m ＝2 011. 【答案】 D 3．(2013·济南高一检测)直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( )A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7【解析】 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72.【答案】 D 4．(2013·中山高一检测)两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是下图中的( )【解析】 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A ，B ，D 错误．【答案】 C5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( ) A ．m ≠1B ．m ≠＝－32C ．m ≠0D ．m ≠1且m ≠＝－32且m ≠0【解析】 由{ 2m 2＋m －3＝0， m 2－m ＝0， 得m ＝1，依题意只要x 、y 的系数不同时为0， 即m ≠1该方程就表示一条直线． 【答案】 A 二、填空题6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32.【答案】 －327．直线kx －y －3k ＋2＝0(k ∈R )必过定点________． 【解析】 直线方程可变为y －2＝k (x －3)即过点(3,2)． 【答案】 (3,2) 8．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________．【解析】 因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－AB＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73B .此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.。