2.1.2第2课时直线方程的两点式和一般式 学案(高中数学必修2北师版)
第2课时直线方程的两点式和一般式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a＝1，∴a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得 ⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ① 2m －6m 2－2m －3＝－3， ②由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．(2)如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3，∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键．2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 { m －1＜0， 1－2m ＜0，∴12＜m ＜1.【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等． 【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －(a ＋1)＞0， a －2≤0，或{ －(a ＋1)＝0， a －2≤0.10分 ∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1].12分 【思维启迪】 对直线方程的一般式可以转化其他多种形式，注意含参数的方程要对参数进行讨论并进行转化．1．在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．2．对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程．3．一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制．当B ≠0时，可化为斜截式，在ABC ≠0时，可化为截距式．1．过两点(2 013,2 014)，(2 013,2 015)的直线方程是( ) A ．x ＝2 013 B ．x ＝2 014 C ．y ＝2 013 D ．x ＋y ＝2 013【解析】 过这两点的直线与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝2 013. 【答案】 A 2．(2013·厦门高一检测)直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．135°【解析】 直线方程可写为：y ＝x ＋5， 所以斜率k ＝1，∴倾斜角为45°. 【答案】 A3直线ax ＋by －ab ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上截距之和是________．【解析】 由ax ＋by －ab ＝0，得x b ＋ya＝1.故截距之和是a ＋b .【答案】 a ＋b4．已知△ABC 的顶点为A (1，－1)，线段BC 的中点为D (3，32)，求BC 边上的中线所在直线的方程．【解】 ∵线段BC 的中点为D (3，32)，A (1，－1)．由两点式得直线AD 的方程为y ＋132＋1＝x －13－1，整理得5x －4y －9＝0.即BC 边上的中线所在直线的方程为5x －4y －9＝0.一、选择题1．直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b (b ≠0)，则( ) A ．kb <0 B ．kb ≤0 C ．kb >0 D ．kb ≥0 【解析】 由题意知k ≤0，b >0，∴kb ≤0. 【答案】 B 2．直线l 过点A (－1，－1)和B (2,5)，且点C (1 005，m )也在直线l 上，则m 的值为( ) A ．2 008 B ．2 009 C ．2 010 D ．2 011【解析】y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即2x －y ＋1＝0，又C (1 005，m )在l 上，∴2×1 005－m ＋1＝0， ∴m ＝2 011. 【答案】 D 3．(2013·济南高一检测)直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( )A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7【解析】 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72.【答案】 D 4．(2013·中山高一检测)两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是下图中的( )【解析】 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A ，B ，D 错误．【答案】 C5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( ) A ．m ≠1B ．m ≠＝－32C ．m ≠0D ．m ≠1且m ≠＝－32且m ≠0【解析】 由{ 2m 2＋m －3＝0， m 2－m ＝0， 得m ＝1，依题意只要x 、y 的系数不同时为0， 即m ≠1该方程就表示一条直线． 【答案】 A 二、填空题6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32.【答案】 －327．直线kx －y －3k ＋2＝0(k ∈R )必过定点________． 【解析】 直线方程可变为y －2＝k (x －3)即过点(3,2)． 【答案】 (3,2) 8．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________．【解析】 因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－AB＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73B .此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.。
2.1.2【教学设计】《直线的方程》(北师大版)
《直线的方程》本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，是高中解析几何内容的开始。
确定直线在平面直角坐标系中的表示，建立直线的方程，然后通过方程，用代数方法研究有关的几何问题解决简单的线性规划问题等。
解析几何研究问题的主要方法是坐标法，直线与方程的学习为后面学习直线与圆，直线与圆锥曲线奠定基础。
【知识与能力目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系；（4）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； （5）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
【过程与方法目标】在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
【情感态度价值观目标】通过让学生体会直线的方程，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
【教学重点】直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和一般式方程。
【教学难点】直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和一般式方程的应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分有一根长长的线，线的一端绑着一个美丽的风筝．如果把风筝看作一个点，随着风向的变化，风筝带着线在空中画出了一条条的直线。
在平面直角坐标系中，若风筝看作一点，则过此点是否可以确定无数条直线？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
答案是肯定的。
那么在平面直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？解：(1)已知直线上一点P(x0，y0)和直线的倾斜角。
(2)已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
北师大版数学高一(北师大)必修2学案 2.1.2.3《直线的一般式方程》
2.1.2.3《直线的一般式方程》导学案【学习目标】（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
【导入新课】问题导入：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？ 新授课阶段1.直线的一般式方程：用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。
对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。
为此要对B 分类讨论，即当0≠B 时和当B =0时两种情形进行变形。
然后由学生去变形判断，得出结论：关于y x ,的二元一次方程，它都表示 。
由于任何一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示，同时，任何一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线，于是把关于y x ,的二元一次方程 （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 。
例1 已知两直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都通过点(2,3)P ，求经过两点111222(,),(,)Q a b Q a b 的直线方程．解：依题意得：112310a b ++=，这说明111(,)Q a b 在直线2310x y ++=上，同理，122(,)Q a b 也在直线2310x y ++=上．因为两点确定一直线，所以经过两点111(,)Q a b 、122(,)Q a b 的直线方程为2310x y ++=．2.直线的一般式方程的优点：在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x 轴？（2）平行于y 轴？（3）与x 轴重合？（4）与y 轴重合？ 答案：（1） （2） （3） （4）例2 △ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．解：课堂小结1. 直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其他形式转化的条件）；2.直线的一般式方程的推导与应用。
【全程复习方略】高中数学 2.1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式多媒体教学优质课件 北师大版必修2
3 解：直线 l 的斜率 k ， 3 设直线 l 的倾斜角为 ，则
3 tan (0 180) 3
由于 k 0 ，所以 0 90 ， 故直线 l 的倾斜角为 30 ．
1．直线 x +6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是（
）
1 (A) 2, 3
过点 P ( x0 , y0 ) 且垂直于 x 轴的直线方程为
x x0 ,
它可化为 x 0 y x0 0 .
均为 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式．
1 ( 2) 3 ，过点 C (0,1) ， 直线 BC 的斜率是 k 02 2
3 由点斜式方程得 y a 1 ( x 0) ． 2
整理得 3 x 2 y 2 0 ，这就是直线 BC 的方程．
例４．已知直线 l 的方程为 x 3 y 4 0 ． 求直线 l 的倾斜角．
两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢？
直线方程的两点式
已知直线 l 上两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ) （其中 x1 x2 , y1 y 2 ） ， 如何求直线 l 的方程呢？
由 A,B 两点的坐标算出直线的斜率
y2 y1 k ， x2 x1
2 解 :由已知及点斜式方程得 y 3 ( x 4) 3
化为一般式方程为
2x 3y 1 0 .
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A ( 3, 0） ,B (2, 2), C (0,1) , 求这个三角形三边各自所在直线的方程.
推荐-高中数学北师大版必修2课件2.1.2.2 直线方程的两点式和一般式
������2-2m-3 ≠ 0, ①
解:(1)由题意可得
2������-6 ������2-2m-3
=
-3,
②
由①得 m≠-1,且 m≠3,由②得 m=3 或 m=-53.
∴m=-53.
2������2 + m-1 ≠ 0, ③
(2)由题意得
-
������2-2m-3 2������2+m-1
=
-1,
综上,直线的方程为 x+y-8=0 或 y=3x.
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迁移与应用
1.求满足下列条件的直线方程: (1)过点 A(-2,-3),B(-5,-6); (2)过点 A(-3,-4),B(-3,10); (3)在 x 轴上的截距为-2,在 y 轴上的截距为 2; (4)在 x 轴、y 轴上的截距都是 4.
程的一般式是
.
解析:由 3x+2y-1=0 得 y=-32x+12,该直线斜率为-32,从而所求直线斜
率为 2×
-
3 2
=-3,于是由点斜式可得所求直线方程为 y+3=-3(x-1),整理
得 3x+y=0.
答案:3x+y=0
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把直线方程的一般式 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)化成其他形式 时,要注意式子成立的条件,特别是当 B=0 时,直线的斜率不存在,这时方 程不能化成点斜式或斜截式的形式.
高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程212第2课时直线方程的两点式和一般式课件北师大版必
【解析】直线AB的方程可由两点式得
y－0 －3－0
3x－ －即((－ －355x))， +8y+15=0.
直线BC的方程由斜截式得y=-5 x+2，即5x+3y-
3
6=0.
x y －5 2
AC的方程由截距式方程得 =1，即2x-5y+10=0.
【补偿训练】直线3x-2y+6=0的斜率为_________， 在y轴上的截距为_________.
答案：[3，+∞)
【补偿训练】1.求证，不论m取何值，直线(2m-1)x(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求此点的坐标.
【解析】原方程可化为：(2m-1)x-(m+3)y+(3m+9)(4m-2)=0，
即(m+3)y-(3m+9)=(2m-1)x-(4m-2). 即(m+3)(y-3)=(2m-1)(x-2). 当m≠-3时，y-3=2 m 1(x-2)，
又是什么呢？
提示：当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为
y 0 = x a ,化简得 x + y = 1 .
b0 0a
ab
结论：直线方程的两点式和截距式
名称
已知 条件
两点式
截距式
P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，其中x1≠x2， y1≠y2
在x，y轴上的截距 分别为a，b且ab≠0
示意图
【方法总结】求直线恒过定点的三种方法 方法一：直接法：将已知的方程转化为点斜式方程， 进而得定点. 方法二：特例法：取出直线系中两条特殊直线，它们 的交点就是所有直线都过的定点.
方法三：方程法：将方程变形，把x，y作为参数的系 数，此式子对任意参数值都成立，故需系数为0，解 方程组可得x，y值即定点(x，y).
北师大版高中数学必修2学案第二章第二课时直线方程的两点式和一般式
第二课时直线方程的两点式和一般式[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式了解其适用范围． 2.了解直线方程截距式的形式、特征及适用范围．3．掌握直线的一般方程． 4.会进行直线方程不同形式的转化.【主干自填】直线方程的两点式、截距式和一般式【即时小测】1．思考下列问题(1)方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)能表示过点(x1，y1)和(x2，y2)所有的直线吗？提示：在方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．(2)直线的一般式方程中，A，B不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表示？提示：A、B不同时为零的含义有三点：①A≠0且B≠0；②若A＝0且B≠0；③若B＝0且A≠0.以上三种情况可用统一的代数式A2＋B2≠0表示．2．直线2x－y＝8的截距式方程为()A．y＝2x－8 B.x4＋x8＝1C.x4＋y－8＝0 D.x4＋y－8＝1提示：D方程2x－y＝8中，令x＝0，得y＝－8；令y＝0，得x＝4；即直线2x－y＝8的纵截距为－8，横截距为4，由截距式得方程为x4＋y－8＝1.3．如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限提示：C因为AC<0，BC<0，所以AB>0，显然B≠0.将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式y＝－AB x－CB，所以k＝－AB<0，b＝－CB>0.所以直线不通过第三象限．4．已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________．提示：2x＋3y－6＝0由截距式得x3＋y2＝1，整理可得，直线方程为2x＋3y－6＝0.例1求满足下列条件的直线方程．(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．[解](1)由两点式得y－3－1－3＝x＋24＋2，化简得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式得x4＋y－5＝1，化简为5x－4y－20＝0.(3)①若截距为零，则直线l过原点，此时l的方程为2x＋3y＝0；②若截距不为零，则l的方程可设为xa＋ya＝1.∵l过点(3，－2)，知3a＋－2a＝1，即a＝1，∴直线l的方程为x＋y＝1，即为x＋y－1＝0.综合①②可知直线l的方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.类题通法求直线方程的注意事项(1)直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．(2)要根据不同的要求选择适当的方程形式．(3)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．[变式训练1]已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．解(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得y－(－4)(－2)－(－4)＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0.故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝5＋02＝52，y0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.例2 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解] (1)因为直线l 的斜率存在， 所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2， 由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. (2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.类题通法直线方程的一般式与其他形式的转化(1)直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求，A ，B 不同时为0； (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．[变式训练2] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.解(1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3，②由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2. ∴m ＝－2.例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[解] (1)证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎨⎧5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同证法一．(2)要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零， 即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0， ∴a ≥3.类题通法解方程法求解含参数的直线方程的有关问题含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标．在变形后特点如果不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．[变式训练3] 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等，此时a ＝2，方程为3x ＋y ＝0.若a ≠2，由l 在两坐标轴上的截距相等，有 a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可知，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎨⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0，或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．易错点⊳忽略截距为零的情况[典例] 已知直线l经过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．[错解] 设直线l的方程为xm＋ym＝1，因为直线l过点P(2,3)，所以2m＋3m＝1，解得m＝5.所以直线l的方程为x＋y－5＝0.[错因分析] “截距相等”还包含截距均为零的情况，此时直线方程不能用截距式表示，错解中忽略了这种情况．[正解]若两截距不为0，解答过程同错解，此时直线l的方程为x＋y－5＝0；若两截距为0，直线过原点，此时斜率为k＝3－02－0＝32，故此时直线l的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.综上可知，直线l的方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0.课堂小结1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；②直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1也可写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2；③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．其中正确说法的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线．③显然正确．2．过两点A(1,1)，B(0，－1)的直线方程是()A.y＋1x－0＝1＋11－0B.y－10－1＝x－10－1C.y－10－1＝x－1－1－1D.y＋11＋1＝x－01－0答案D解析由直线的两点式方程，易得y－(－1)1－(－1)＝x－01－0，即y＋11＋1＝x－01－0.3．下列说法中正确的是()A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线B.x2－y3＝1与x2＋y3＝－1是直线的截距式方程C．直线方程的斜截式都可以化为截距式D．在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x2＋y－3＝1答案D解析因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A错误．因为方程x2－y3＝1与x2＋y3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B错误．因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况，而此类直线不可以化为截距式，如直线y＝2x，所以C错误．直线在x轴、y轴上的截距分别是2，－3，根据直线方程的截距式，可得直线的方程为x2＋y－3＝1，所以D正确．4．若k∈R，直线kx－y－2k－1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为() A．(1，－2) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(2，－1)答案D解析y＋1＝k(x－2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．。
北师大版高中数学必修二第2章解析几何初步2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件
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第2课时 直线方程的两点式和一般式
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【做一做】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式. (1)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (2)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
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1.直线方程的两点式和截距式
名称 已知 条件 示意图 方程 适用 范围 y-y1 x-x1 = y2 -y1 x 2 -x1 x1≠x2,y1≠y 2
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第2课时 直线方程的两点式和一般式
题型一 题型二 题型三 题型四
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解:(1)由两点式方程, 得Βιβλιοθήκη ������-5 -1-5
=
������-(-1) , 2-(-1)
整理, 得 2x+y-3=0. ������ ������ (2)由截距式方程, 得 + =1,
-3 -1
整理, 得 x+3y+3=0.
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2019-2020年高中数学 2.1.2 直线的方程2教案 北师大版必修2
2019-2020年高中数学 2.1.2 直线的方程2教案 北师大版必修2 教学目标：1．掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况2．能够根据条件熟练地求出直线的方程教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导及适用范围教学难点：根据条件熟练地求出直线的方程教学过程：1．问题情境问题：在几何中我们知道不同的两点确定一条直线，那如果知道直线上不同的两点坐标，如何求这条直线的方程呢？2．两点式方程已知直线经过两点，，求直线的方程．解：直线经过两点，，斜率，代入点斜式得：，当时，方程可写成．说明：(1)以上方程是由直线上的两点确定，叫做直线的两点式方程；(2)两点式方程适用范围是，，即当直线与轴或轴垂直时，直线不能用两点式方程表示． 思考：由得()()()()121121y y x x x x y y --=--，此方程表示什么？它能表示所有的直线吗？3．截距式方程例1．已知直线与轴的交点，与轴的交点，其中，求直线的方程．解：经过两点，，代入两点式得：，即．说明：(1)以上方程是由直线在轴与轴上的截距确定，叫做直线的截距式方程；(2)截距式方程适用范围是．即当直线与轴，轴垂直或过原点时，直线不能用截距式方程表示．4．例题讲解例2．三角形的顶点是、、，求这个三角形三边所在直线方程。
解： 由两点式得：：， 整理得：，由点斜式得：：，整理得：：，由截距式得：：，整理得：：．例3．已知直线在轴上的截距比在轴上的截距大，且过定点，求直线的方程．分析：可用四种形式的直线方程假设，比较繁简．简解：(点斜式)设，即()16262x y k k k+=+-+， 则，解得，或，或；(两点式)设交轴于，则，令得，，则，解得，或，或；(斜截式)设，令得，，又过定点， 则11112162k k b b b k b ⎧⎧=---=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩或22232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，或； (截距式)设，又过定点，则，解得，或，或．例4．求经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解：设直线在轴与轴上的截距分别为，○1当时，设直线方程为，直线经过点，，，，直线方程为 ；○2当时，则直线经过原点及，直线方程为 ， 综上，所求直线方程为 或或．变式：若改为“截距绝对值相等”，结果又如何？直线方程为 或或．5．课堂小结(1)直线的两点式、截距式方程及适用范围．(2)如何根据条件选用恰当的形式熟练地求出直线的方程．2019-2020年高中数学 2.1.2 直线的方程3教案 北师大版必修2 教学目标：1．掌握直线方程的一般式(不同时为)2．理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：○1直线的方程是都是关于的二元一次方程；○2关于的二元一次方程的图形是直线 3．掌握直线方程的各种形式之间的互相转化教学重点：各种形式之间的互相转化教学难点：理解直线方程的一般式的含义教学过程：1．问题情境(1)复习：直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程．(2)问题：○1点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于的什么方程(二元一次方程)？ ○2平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于的二元一次方程表示吗？ ○3关于的二元一次方程是否一定表示一条直线？ 2．一般式方程(1)直线的方程是都是关于的二元一次方程：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在和两种情况下，直线方程可分别写成及这两种形式，它们又都可变形为的形式，且不同时为，即直线的方程都是关于的二元一次方程．(2)关于的二元一次方程的图形是直线：因为关于的二元一次方程的一般形式为，其中不同时为．在和两种情况下，一次方程可分别化成和，它们分别是直线的斜截式方程和与轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线．这样我们就建立了直线与关于二元一次方程之间的对应关系． 我们把(其中不同时为)叫做直线的一般式方程．说明：○1一般地，需将所求的直线方程化为一般式． ○2直线的一般式方程可表示任意位置的直线． 3．例题讲解例1．求直线的斜率及轴， 轴上的截距，并作图．解：直线的方程可写成，∴直线的斜率；轴上的截距为；当时，，∴ 轴上的截距为．例2．设直线22:(23)(21)260(1)l m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定的值：(1)直线在轴上的截距为；(2)直线的斜率为．解：(1)令得，，由题知，，解得．(2)∵直线的斜率为，∴，解得．例3．若直线不经过第二象限，求的取值范围．解：当即时，符合题意；当即时，不经过第二象限，则2333 20222ttttt-⎧->⎧⎪<⎪⎪⇒⇒≤<⎨⎨⎪⎪≥-≤⎩⎪⎩；综上：．4．课堂小结到目前为止，我们研究了直线的所有表达形式．(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)五种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用，(3)要注意四种形式方程的不适用范围。
高中数学第二章解析几何初步1.2第2课时直线方程的两点式和一般式学案北师大版必修
第2直线方程的两点式和一般式学习目标1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x ，y 的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．知识点一直线方程的两点式思考1已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．思考2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？梳理两点式方程 名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．梳理截距式方程名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0xa＋yb＝1斜率存在且不为0，直线不过原点知识点三直线的一般式方程思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？梳理(1)一般式方程形式条件A，B________________(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线的两点式和截距式方程命题角度1直线的两点式方程例1已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x 轴交于点F，求直线EF的方程．反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 命题角度2直线的截距式方程例2(1)过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是() A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0(2)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有() A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．无数条反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋y b＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值． 跟踪训练2过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有() A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 类型二直线的一般式方程例3设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 反思与感悟直线方程的几种形式的转化跟踪训练3根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)．类型三直线方程的综合应用例4已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．反思与感悟含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键． 跟踪训练4设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的直线方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．1．在x 轴、y 轴上截距分别是2，－3的直线的方程为() A ．3x ＋2y ＋6＝0 B ．3x ＋2y ＋1＝0 C ．3x －2y －6＝0 D ．3x －2y ＋1＝02．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过() A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限3．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是() A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°4．直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是()5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ； (2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B.3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线．答案精析问题导学 知识点一 思考1y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 知识点二思考1能．由直线方程的两点式，得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，得x a ＋y b＝1. 知识点三 思考1能． 思考2一定．梳理(1)Ax ＋By ＋C ＝0不同时为0 题型探究例1解直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由两点式得y －0－3－0＝x －－53－－5，整理得3x ＋8y ＋15＝0. 令x ＝0，得y ＝－158，∴E (0，－158)．直线BC 过B (3，－3)，C (0,2)两点，由两点式得y －－32－－3＝x －30－3，整理得5x ＋3y －6＝0. 令y ＝0，得x ＝65，∴F (65，0)．由截距式方程得x 65＋y－158＝1，整理得25x －16y －30＝0.∴直线EF 的方程为25x －16y －30＝0. 跟踪训练1－2例2(1)A[设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6， 因此有⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.] (2)B[设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入，得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0； ②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1， 即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入，得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.综上，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.] 跟踪训练2B 例3(1)－53(2)－2解析(1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程，得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.跟踪训练3解(1)由点斜式方程， 得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式方程，得y ＝2，即y －2＝0. (3)由截距式方程，得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式方程，得y －－2－4－－2＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.例4(1)证明方法一将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a >0时，直线一定经过第一象限； 当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限． 方法二直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限，∴直线l 必经过第一象限．(2)解如图，直线OA 的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3， 即a 的取值范围为{a |a ≥3}．跟踪训练4解(1)直线l 的方程(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0， 可化为y ＝(－a －1)x ＋a －2.当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为 3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0， ∴直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使直线l 不经过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0，解得a ≤－1.故所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 当堂训练 1．C2.C3.C 4．C5．解设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a ＝2或a ＝3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限； 当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.。
北师大版数学高一- (北师大)必修2学案 2.1.2直线的方程第2课时
第2课时直线方程的两点式和一般式问题导学1．直线的两点式和截距式方程活动与探究1求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A(－1，－5)和B(2,1)；(2)经过点A(0，－3)和B(4,0)；(3)经过点M(2,6)，且在两坐标轴上的截距相等．迁移与应用1．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2，－3)，B(－5，－6)；(2)过点A(－3，－4)，B(－3,10)；(3)在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2；(4)在x轴，y轴上的截距都是4.2．求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．1．已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x轴、y轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．2．由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时，要注意这一局限性，避免造成丢解．一般地，当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标轴上的截距互为相反数、在x轴上的截距是在y轴上截距的k(k≠0)倍时，经过原点的直线均符合这些要求，求其方程时应分类讨论．2．直线方程的一般式活动与探究2设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.迁移与应用1．经过点(1，－3)，且斜率是直线3x＋2y－1＝0的斜率的2倍的直线方程的一般式是__________．2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．3．直线方程的综合应用活动与探究3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．迁移与应用1．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()．A．b＞0，d＜0，a＜cB．b＞0，d＜0，a＞cC．b＜0，d＞0，a＞cD．b＜0，d＞0，a＜c2．若直线(3a＋2)x＋y＋8＝0不过第二象限，求a的取值范围．1．含有一个参数的直线方程一般是过定点的，解决这类问题时对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后特殊点还不明显的情况下可采用方法二的解法．2．直线在坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y轴上的截距确定，若直线斜率为k，在y轴上的截距为b，那么当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限．当堂检测1．过A(1,1)，B(0，－1)两点的直线方程是()．A ．y ＋11＋1＝xB ．y －1－1＝x －1－1C ．y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x2．在x 轴，y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )． A ．x 2＋y 3＝1 B ．x 2－y 3＝1C ．y 3－x 2＝1D ．x 2＋y 3＝03．若直线mx ＋(m －2)y ＋3＝0的斜率存在，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ≠0 B ．m ≠2 C ．m ≠0且m ≠2 D ．m ≠34．若直线3x ＋4y ＋m ＝0经过第二、三、四象限，则m 的取值范围是__________． 5．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． 求：(1)边AC 所在直线方程； (2)AC 边上的中线BD 所在直线方程．答案：课前预习导学 预习导引1．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 预习交流1 提示：不能．当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，x 2－x 1＝0或y 2－y 1＝0，此时方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1无意义，因此不能用两点式表示．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.预习交流2 提示：若A ＝B ＝0，则方程变为C ＝0，此时该式不能表示任何直线．故直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0必须加上A ，B 不同时为0这个条件，才能表示一条直线．预习交流3 提示：当B ≠0时，直线的斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB ；当B ＝0时，直线的斜率不存在，在y 轴上的截距不存在． 课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：(1)直接根据直线方程的两点式写出方程；(2)可利用直线方程的两点式，也可利用截距式直接写出方程；(3)需要对直线在两坐标轴上的截距等于0和不等于0进行分类求解．解：(1)由两点式得：y －(－5)1－(－5)＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x －y －3＝0，此即为所求直线的方程．(2)(方法1)由两点式得：y －(－3)0－(－3)＝x －04－0，整理得3x －4y －12＝0，即直线方程为3x －4y －12＝0.(方法2)由于直线经过点(0，－3)和(4,0)，所以直线在x 轴、y 轴上的截距分别是4和－3，由截距式得x 4＋y－3＝1，整理得3x －4y －12＝0.(3)①当直线在两坐标轴上的截距相等且不等于0时，设其方程为x a ＋ya ＝1，又直线经过点M (2,6)，所以2a ＋6a ＝1，解得a ＝8.因此直线方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y －8＝0.②当直线在两坐标轴上的截距相等且均等于0时，设其方程为y ＝kx ，又直线经过点M (2,6)，所以6＝2k ，解得k ＝3.直线方程为y ＝3x .综上，直线的方程为x ＋y －8＝0或y ＝3x .迁移与应用 1．解：(1)y －(－3)－6－(－3)＝x －(－2)－5－(－2)，整理得x －y －1＝0.(2)∵直线与x 轴垂直，∴方程为x ＝－3.(3)x －2＋y2＝1，整理得x －y ＋2＝0. (4)x 4＋y4＝1，整理得x ＋y －4＝0. 2．解：(1)当直线l 在坐标轴上截距互为相反数且不为0时， 设直线l 的方程为x a ＋y－a＝1.又l 过点A (3,4)，∴3a ＋4－a ＝1，解得 a ＝－1.∴直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0. (2)当直线l 在坐标轴上截距均为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，将(3,4)代入得k ＝43，∴直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.活动与探究2 思路分析：(1)要使直线在x 轴上的截距为－3，可令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但需m 2－2m －3≠0；(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但需注意2m 2＋m －1≠0.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ②由①得m ≠－1且m ≠3， 由②得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1， ④由③得m ≠－1且m ≠12，由④得m ＝－1或m ＝－2. ∴m ＝－2.迁移与应用 1．3x ＋y ＝0解析：由3x ＋2y －1＝0得y ＝－32x ＋12，该直线斜率为－32，从而所求直线斜率为2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，于是由点斜式可得所求直线方程为y ＋3＝－3(x －1)，整理得3x ＋y ＝0.2．C 解析：因为AC ＜0，BC ＜0，所以AB ＞0，显然B ≠0.将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－A B x －C B ，所以k ＝－A B ＜0，b ＝－CB ＞0.所以直线不经过第三象限．活动与探究3 思路分析：先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．(1)证明：方法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35.而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限． 方法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0.∵上式对任意的a 总成立，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35.以下同方法一．(2)解：直线OA 的斜率为k =305105--=3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x =0时，y =35a --≤0，∴a ≥3.迁移与应用 1．C 解析：由题图形可知，直线l 1的斜率－1a ＞0，在y 轴上的截距－ba ＜0，因此a ＜0，b ＜0；直线l 2的斜率－1c ＞0，在y 轴上的截距－dc ＞0，因此c ＜0，d ＞0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a ＞－1c，因此a ＞c ，故选C.2．解：直线方程化为y ＝－(3a ＋2)x －8，由于该直线不过第二象限，∴－(3a ＋2)≥0，∴a ≤－23.当堂检测1．A 2．B 3．B 4．m ＞0 5．解：(1)∵A (0,4)，C (－8,0)， ∴由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0. ∴边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)设中点D (x 0，y 0)，由中点坐标公式，得x 0＝0－82＝－4，y 0＝4＋02＝2.由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.∴AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.。