广东省中山市高考数学一模试卷(理科)
广东省中山市高考数学模拟试卷(一)(理科)
广东省中山市高考数学模拟试卷（一）（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2},则A∩B=（）A . {0,2}B . {1,2}C . {0}D . {-2,-1,0,1,2}2. （2分） (2017高二下·河北期中) 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则• 的值为（）A . ﹣B .C .D .3. （2分）已知O是锐角△ABC的外心，若(x，y∈R)，则（）A . x+y≤-2B . -2≤x+y<-1C . x+y<-1D . -1<x+y<04. （2分） (2016高二下·曲靖期末) 已知向量 =（sinθ，﹣2）与 =（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈，则sinθ+cosθ等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·北区期中) 设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x ﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值为（）A . ﹣1B .C . 1D .6. （2分）若某空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C . 2D . 67. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知函数的最小正周期为，且，则（）A . 在单调递增B . 在单调递增C . 在单调递减D . 在单调递减8. （2分）(2017·衡阳模拟) 如图，是一个算法流程图，当输入的x=5时，那么运行算法流程图输出的结果是（）A . 10B . 20C . 25D . 359. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 5名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（）种．A . 25B . 50C . 150D . 30010. （2分）(2017·枣庄模拟) 若函数y=f（x）的图象上存在不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）．已知函数f（x）=则此函数的“和谐点对”有（）A . 0对B . 1对C . 2对D . 4对11. （2分） (2020高二上·榆树期末) 若抛物线的焦点坐标为，则（）A . 12B . 6C . 3D .12. （2分）设函数，则函数的各极小值之和为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·凉山模拟) 是虚数单位，复数 ________．14. （1分）力=(-1,-2)作用于质点P，使P产生的位移为=（3，4），则力质点P做的功为________15. （1分） (2016高二上·湖北期中) 记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令t=Min{4x+y，}，则t的最大值为________．16. （1分）(2016·上海理) 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高三上·西湖期中) 已知数列的前项和为，，（1）证明：数列为等差数列；（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前项和Tn.18. （10分） (2017高一下·荔湾期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．19. （10分）贵阳市某中学高三（2）班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162，170，171，182，163，158，179，168，183，168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170，159，162，173，181，165，176，168，178，179．（1）请把两队身高数据记录在图中所示的茎叶图中，并求出两个队的身高的平均数；（2）现从两队所在身高超过178cm的同学中随机抽取三明同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？20. （10分）（理科）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB= ，（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角P﹣AC﹣B的余弦值．21. （5分）(2017·长春模拟) 已知函数f（x）=x2eax ．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）在（1）条件下，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；（Ⅲ）设函数g（x）=2ex﹣，求证：当a=1，对∀x∈（0，1），g（x）﹣xf（x）＞2恒成立．22. （10分） (2018高二下·佛山期中) 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程；（2）极坐标方程为的直线与交，两点，求线段的长．23. （10分）定义：若在[k，+∞）上为增函数，则称f（x）为“k次比增函数”，其中（k∈N*）．已知f（x）=eax其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；（2）当a= 时，求函数g（x）= 在[m，m+1]（m＞0）上的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020广东省中山一中高三理数第一次统测试卷(带解析)
2020广东省中山一中高三理数第一次统测试卷（带解析）一、单选题1.，，则（）A. B. C. D.2.设复数z满足=i，则|z|=（）A. 1B.C.D. 23.执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A. 4B. 5C. 6D. 74.小球在右图所示的通道由上到下随机地滑动,最后在下面某个出口落出,则投放一个小球,从“出口3”落出的概率为( )A. B. C. D.5.已知，且，下列不等式中，一定成立的是( )① ；② ；③ ；④A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④6.设函数，下列结论中正确的是( )A. 是函数的极小值点，是极大值点B. 及均是的极大值点C. 是函数的极小值点，函数无极大值D. 函数无极值7.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A. 85B. 49C. 56D. 288.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. B. C. D.10.点D为内一点，且，则=( )A. B. C. D.11.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A. 2B.C.D. 112.设是实数集的非空子集，如果有，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是（）A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集” ，若，则二、填空题13.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与与的卡片不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．14.若,则的值为________.15.已知椭圆方程为，、为椭圆上的两个焦点，点在上且。
2023年广东省中山纪念中学高考数学一模试卷【答案版】
2023年广东省中山纪念中学高考数学一模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A＝{x|x3≤1}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[﹣1，1]D．[0，1]2．复数z＝（a+2）﹣（a+3）i在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）3．设x，y∈R，则“x＜1且y＜1”是“x+y＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若圆锥的母线长为2√3，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是（）A．√3πB．3πC．3√3πD．9π5．函数f（x）=sinx+x在[﹣π，π]的图象大致为（）cosx+x2A．B．C．D．6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a7．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（）A．42种B．63种C．96种D．126种8．已知等比数列{a n}各项均为正数，且满足：0＜a1＜1，a17a18+1＜a17+a18＜2，记T n＝a1a2⋯a n，则使得T n＞1的最小正数n为（）A．36B．35C．34D．33二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√15310．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．4511．已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√3412．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x ﹣2y ）5的展开式中x 2y 3的系数是 ．（用数字作答）14．已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2＝4，S 3＝14，则a 3＝ ．15．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →•AE →= ．16．已知函数f （x ）＝e ﹣x ﹣e x ，若函数h （x ）＝f （x ﹣4）+x ，数列{a n }为等差数列，a 1+a 2+a 3+⋯+a 11＝44，则h （a 1）+h （a 2）+⋯+h （a 11）＝ ． 四、解答题（共5小题，满分64分）17．（10分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，a ∈R ，讨论f （x ）的单调区间．18．（12分）如图，在四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，E 为CD 的中点，且△VBC 为等边三角形．（1）若VB ⊥AE ，求证：AE ⊥VE ；（2）若二面角A ﹣BC ﹣V 的大小为30°，求直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值．19．（12分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共n（n∈N*）份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有k（k∈N*，k≥2）份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为k+1．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为p（0＜p＜1）．（Ⅰ）若n＝5，p＝0.2，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（Ⅱ）记ξ为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．①当k＝5，p＝0.2时，求E（ξ）；②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：0.84＝0.41，0.85＝0.33，0.86＝0.26）20．（15分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y24=1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的取值范围．21．（15分）已知函数f（x）=√x−lnx．（Ⅰ）若f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y＝kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．2023年广东省中山纪念中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A ＝{x |x 3≤1}，B ＝{x |x +1＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．[0，1]解：A ＝{x |x 3≤1}＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x +1＞0}＝{x |x ＞﹣1}，则A ∩B ＝（﹣1，1]． 故选：A ．2．复数z ＝（a +2）﹣（a +3）i 在复平面上对应的点Z 在第二象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣2，﹣3）C ．（﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）解：由复数z ＝（a +2）﹣（a +3）i 在复平面上对应的点Z 在第二象限， 可得{a +2＜0−(a +3)＞0，解得a ＜﹣3，故实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣3）．故选：D ．3．设x ，y ∈R ，则“x ＜1且y ＜1”是“x +y ＜2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：①当x ＜1且y ＜1时，则x +y ＜2成立，∴充分性成立，②当x ＝0，y ＝1.5时，满足x +y ＜2，但不满足x ＜1且y ＜1，∴必要性不成立， ∴x ＜1且y ＜1是x +y ＜2的充分不必要条件， 故选：A ．4．若圆锥的母线长为2√3，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是（ ） A ．√3πB ．3πC ．3√3πD ．9π解：设圆锥的底面圆半径为r ，因为母线长为2√3， 所以侧面展开图的面积为πr ×2√3=6π，解得r =√3， 所以圆锥的高为h =√(2√3)2−(√3)2=3， 所以圆锥的体积是V =13π×(√3)2×3＝3π． 故选：B ． 5．函数f （x ）=sinx+xcosx+x 2在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A．B．C．D．解：∵f（x）=sinx+xcosx+x2，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2＞0，因此排除B，C；故选：D．6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a解：∵a=log20.2＜log21=0，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：B．7．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（）A．42种B．63种C．96种D．126种解：先对3名志愿者分成两个组有C32=3种方法，每个组安排到两个项目中去有A72=42∴共有C32×A72=3×42＝126种安排方法．故选：D．8．已知等比数列{a n}各项均为正数，且满足：0＜a1＜1，a17a18+1＜a17+a18＜2，记T n＝a1a2⋯a n，则使得T n＞1的最小正数n为（）A．36B．35C．34D．33解：由a17a18+1＜a17+a18得：（a17﹣1）（a18﹣1）＜0，∴{a 17＜1a 18＞1或{a 17＞1a 18＜1， ∵等比数列{a n }各项均为正数，∴q ＞0， ∴数列{a n }具有单调性，又∵0＜a 1＜1， ∴0＜a 17＜1＜a 18，又∵a 17a 18+1＜2，∴a 17a 18＜1， ∴T 33=(a 1a 33)332=(a 17)2×332=a 1733＜ 1，T 34=(a 1a 34)17=(a 17a 18)17＜ 1，T 35=(a 1a 35)352=(a 182)352=a 1835＞1，则使得T n ＞1的最小正数n 为35， 故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，即2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈（0，π2），∴cos α≠0，则2sin α（2﹣sin α）＝1﹣2sin 2α，解得sin α=14， 则cos α=√1−sin 2α=√154，∴tan α=sinαcosα=14154=√1515．故选：A ．10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．45解：6个空位选2两个放0，剩余4个放1，故总的排放方法有C 62=15种，利用插空法，4个1有5个位置可以放0，故排放方法有C 52=10种，所以所求概率为1015=23．故选：C ．11．已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√34解：因为AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1， 所以底面ABC 为等腰直角三角形，所以△ABC 所在的截面圆的圆心O 1为斜边AB 的中点， 所以OO 1⊥平面ABC ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√2，则AO 1=√22，在Rt △AOO 1中，OO 1=√OA 2−AO 12=√22，故三棱锥O ﹣ABC 的体积为V =13•S △ABC •OO 1=13×12×1×1×√22=√212． 故选：A ．12．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52解：∵f （x +1）为奇函数，∴f （1）＝0，且f （x +1）＝﹣f （﹣x +1）， ∵f （x +2）偶函数， ∴f （x +2）＝f （﹣x +2），∴f [（x +1）+1]＝﹣f [﹣（x +1）+1]＝﹣f （﹣x ）， 即f （x +2）＝﹣f （﹣x ），∴f （﹣x +2）＝f （x +2）＝﹣f （﹣x ）， 令t ＝﹣x ，则f （t +2）＝﹣f （t ）， ∴f （t +4）＝﹣f （t +2）＝f （t ），∴f （x +4）＝f （x ），∵当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ，∴f （0）＝f （﹣1+1）＝﹣f （2）＝﹣4a ﹣b ，f （3）＝f （1+2）＝f （﹣1+2）＝f （1）＝a +b ， 又f （0）+f （3）＝6，∴﹣3a ＝6，解得a ＝﹣2， ∵f （1）＝a +b ＝0，∴b ＝﹣a ＝2， ∴当x ∈[1，2]时，f （x ）＝﹣2x 2+2，∴f （92）＝f （12）＝﹣f （32）＝﹣（﹣2×94+2）=52，故选：D ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x ﹣2y ）5的展开式中x 2y 3的系数是 ﹣80 ．（用数字作答）解：根据二项式定理可得展开式中含x 2y 3的项为C 53x 2(−2y)3=−80x 2y 3，所以x 2y 3的系数为﹣80， 故答案为：﹣80．14．已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2＝4，S 3＝14，则a 3＝ 8或2 ． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝4，S 3＝a 1+a 2+a 3＝14，得4q +4+4q ＝14，整理得2q 2﹣5q +2＝0，解得q ＝2或q =12，当q ＝2时，a 3＝a 2q ＝4×2＝8；当q =12时，a 3＝a 2q ＝4×12=2． 故答案为：8或2．15．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →•AE →= ﹣1 ．解：∵AE ＝BE ，AD ∥BC ，∠A ＝30°， ∴在等腰三角形ABE 中，∠BEA ＝120°， 又AB ＝2√3，∴AE ＝2，∴BE →=−25AD →，∵AE →=AB →+BE →，∴AE →=AB →−25AD →又BD →=BA →+AD →=−AB →+AD →，∴BD →•AE →=(−AB →+AD →)⋅(AB →−25AD →)=−AB →2+75AB →⋅AD →−25AD →2=−AB →2+75|AB|→⋅|AD|→cosA −25AD →2＝﹣12+75×5×2√3×√32−25×25＝﹣1故答案为：﹣1．16．已知函数f （x ）＝e ﹣x ﹣e x ，若函数h （x ）＝f （x ﹣4）+x ，数列{a n }为等差数列，a 1+a 2+a 3+⋯+a 11＝44，则h （a 1）+h （a 2）+⋯+h （a 11）＝ 44 ． 解：由题意，可得h （x ）＝f （x ﹣4）+x ＝e﹣（x ﹣4）﹣e x ﹣4+x ，设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ， 则S 11＝11a 1+11×102d ＝11（a 1+5d ）＝11a 6＝44， 解得a 6＝4，则h （a 6）＝h （4）＝e﹣（4﹣4）﹣e 4﹣4+a 6＝a 6＝4，根据等差中项的性质，可得a 1+a 11＝2a 6＝8，则h （a 1）+h （a 11）=e −(a 1−4)−e a 1−4+a 1+e −(a 11−4)−e a 11−4+a 11 =1e a 1−4+1e a 11−4−（e a 1−4+e a 11−4）+a 1+a 11=e a 1−4+e a 11−4ea 1+a 11−8−（e a 1−4+e a 11−4）+a 1+a 11 ＝a 1+a 11 ＝8，同理可得，h （a 2）+h （a 10）＝8， h （a 3）+h （a 9）＝8， h （a 4）+h （a 8）＝8， h （a 5）+h （a 7）＝8，∴h （a 1）+h （a 2）+⋯+h （a 11）＝5×8+4＝44． 故答案为：44．四、解答题（共5小题，满分64分）17．（10分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，a ∈R ，讨论f （x ）的单调区间． 解：f ′（x ）＝e x ﹣a ，当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增， 当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x ＝lna ，所以在（﹣∞，lna ）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（lna ，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 综上所述，当a ≤0时，f （x ）在R 上单调递增，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增．18．（12分）如图，在四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，E 为CD 的中点，且△VBC 为等边三角形．（1）若VB ⊥AE ，求证：AE ⊥VE ；（2）若二面角A ﹣BC ﹣V 的大小为30°，求直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值．（1）证明：因为E 为CD 的中点，所以AD ＝DE ＝2， 所以△ADE 为等腰直角三角形，所以∠AED ＝45°， 同理∠BEC ＝45°，所以AE ⊥BE ，又因为VB ⊥AE ，且VB ∩BE ＝B ，VB ⊂平面VBE ，BE ⊂平面BVE ， 所以AE ⊥平面VBE ，又VE ⊂平面VBE ，所以AE ⊥VE ；（2）解：取BC 的中点O ，AD 的中点G ，连接OG 、VO ，则OG ⊥BC ， 又△VBC 为等边三角形，所以VO ⊥BC ，所以∠GOV 为二面角A ﹣BC ﹣V 的平面角，所以∠GOV ＝30°，以OB →、GO →方向分别作为x 、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示：所以A （1，﹣4，0），C （﹣1，0，0），D （﹣1，﹣4，0），V （0，−32，√32）， DC →=（0，4，0），CV →=（1，−32，√32），AV →=（﹣1，52，√32），设n →=（x ，y ，z ）为平面VCD 的一个法向量，则{n →⋅DC →=0n →⋅CV →=0，即{4y =0x −3y +√3z =0，令z ＝2，得x =−√3，所以n →=（−√3，0，2）， 设直线AV 与平面VCD 所成的角为α， 则sin α＝|cos ＜AV →，n →＞|=|AV →⋅n →||AV →|×|n →|=3+0+31+254+34×=√4214，所以直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值为√4214． 19．（12分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n 人，每人一份血样，共n （n ∈N *）份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n 次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有k （k ∈N *，k ≥2）份，分别从k 份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k 个人全部为阴性，因而这k 个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k 个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k 个人的血样再逐份检验，因此这k 个人的总检验次数就为k +1．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为p （0＜p ＜1）．（Ⅰ）若n ＝5，p ＝0.2，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率； （Ⅱ）记ξ为用方案乙对k 个人的血样总共需要检验的次数． ①当k ＝5，p ＝0.2时，求E （ξ）；②从统计学的角度分析，p 在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？ （参考数据：0.84＝0.41，0.85＝0.33，0.86＝0.26）解：（Ⅰ）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A 为“5个人的血样中恰有 2 个人的检验结果为阳性”，则P(A)=C 52×0．22×0．83=0.2048；（Ⅱ）①当k ＝5，p ＝0.2时，5 个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为0.85，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为1﹣0.85，总共需要检验的次数为6次； 所以ξ的分布列为：所以E （ξ）＝1×0.85+6×（1﹣0.85）＝4.35．②当采用混合检验的方案时E （ξ）＝1×（1﹣p ）k +（k +1）[1﹣（1﹣p ）k ]＝k +1﹣k （1﹣p ）k ， 根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足E （ξ）＜k ， 即k +1﹣k （1﹣p ）k ＜k ， 化简得0＜p ＜1−√1kk，所以当P 满足0＜p ＜1−√1kk，用混合检验的方案能减少检验次数．20．（15分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解：（Ⅰ）证明：可设P （m ，n ），A （y 124，y 1），B （y 224，y 2），AB 中点为M 的坐标为（y 12+y 228，y 1+y 22），抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上，可得（n+y 12）2＝4•m+y 1242，（n+y 22）2＝4•m+14y 222，化简可得y 1，y 2为关于y 的方程y 2﹣2ny +8m ﹣n 2＝0的两根， 可得y 1+y 2＝2n ，y 1y 2＝8m ﹣n 2， 可得n =y 1+y 22， 则PM 垂直于y 轴；（另解：设P A ，PB 的中点分别为E ，F ， EF 交PM 于G ，EF 为△P AB 的中位线，EF ∥AB ，又M 为AB 的中点， G 为EF 的中点，设AB ：y ＝kx +b 1，EF ：y ＝kx +b 2， 由y 2＝4x ，y ＝kx +b 1，y ＝kx +b 2， 解得y M ＝y P =2k ，所以PM 垂直于y 轴）（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点， 可得m 2+n 24=1，﹣1≤m ＜0，﹣2＜n ＜2， 由（Ⅰ）可得y 1+y 2＝2n ，y 1y 2＝8m ﹣n 2，由PM 垂直于y 轴，可得△P AB 面积为S =12|PM |•|y 1﹣y 2|=12（y 12+y 228−m ）•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝[116•（4n 2﹣16m +2n 2）−12m ]•√4n 2−32m +4n 2 =3√24（n 2﹣4m ）√n 2−4m ，可令t =√n 2−4m =√4−4m 2−4m =√−4(m +12)2+5， 可得m =−12时，t 取得最大值√5； m ＝﹣1时，t 取得最小值2， 即2≤t ≤√5，则S =3√24t 3在2≤t ≤√5递增，可得S ∈[6√2，154√10]，△P AB 面积的取值范围为[6√2，154√10]．21．（15分）已知函数f （x ）=√x −lnx ．（Ⅰ）若f （x ）在x ＝x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，证明：f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln 2；（Ⅱ）若a ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意k ＞0，直线y ＝kx +a 与曲线y ＝f （x ）有唯一公共点． 解法一：证明：（Ⅰ）∵函数f （x ）=√x −lnx ， ∴x ＞0，f ′（x ）=12√x 1x ，∵f （x ）在x ＝x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等， ∴12√x 1−1x 1=12√x 2−1x 2，∵x 1≠x 2，∴1√x 1+1√x 2=12，由基本不等式得：12√x 1x 2=√x 1+√x 2≥2√x 1x 24，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256，由题意得f （x 1）+f （x 2）=√x 1−lnx 1+√x 2−lnx 2=12√x 1x 2−ln （x 1x 2），设g （x ）=12√x −lnx ，则g ′(x)=14x (√x −4)，∴列表讨论：∴g （x ）在[256，+∞）上单调递增， ∴g （x 1x 2）＞g （256）＝8﹣8ln 2， ∴f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln 2． （Ⅱ）令m ＝e﹣（|a |+k ），n ＝（|a|+1k）2+1，则f （m ）﹣km ﹣a ＞|a |+k ﹣k ﹣a ≥0， f （n ）﹣kn ﹣a ＜n （√n−a n−k ）≤n （√n−k ）＜0，∴存在x 0∈（m ，n ），使f （x 0）＝kx 0+a ，∴对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y ＝kx +a 与曲线y ＝f （x ）有公共点， 由f （x ）＝kx +a ，得k =√x−lnx−ax，设h （x ）=√x−lnx−ax，则h ′（x ）=lnx−√x2−1+a x 2=−g(x)−1+a x 2，其中g （x ）=√x2−lnx ， 由（1）知g （x ）≥g （16），又a ≤3﹣4ln 2，∴﹣g （x ）﹣1+a ≤﹣g （16）﹣1+a ＝﹣3+4ln 2+a ≤0， ∴h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴方程f （x ）﹣kx ﹣a ＝0至多有一个实根，综上，a ≤3﹣4ln 2时，对于任意k ＞0，直线y ＝kx +a 与曲线y ＝f （x ）有唯一公共点． 解法二：证明：（Ⅰ）f ′(x)=2√x −1x =√x （12−√x ）＝﹣（√x −14）2+116，x ＞0，令f '（x 1）＝f '（x 2）＝m （x 1≠x 2＞0）， 则√x 和√x 是关于t 的一元二次方程﹣t 2+12t −m =0的两个不相等的正数根，∴{ 0＜m ＜116√x +√x =121√x ⋅1√x =m ，∴{√x 1+√x 2=12√x 1x 2x 1x 2＞256，f(x 1)+f(x 2)=√x 1+√x 2−lnx 1x 2=√x 1x 22−lnx 1x 2，令g （t ）=√t2−lnt ，则g ′（t ）=14√t −1t=√t−44t ，g （t ）在（0，16）上单调递减，在（16，+∞）上单调递增， ∴当x 1x 2＞256时，g （x 1x 2）＞g （256）＝8﹣8ln 2， ∴f （x 1）+f （x 2）＞8﹣8ln 2；（Ⅱ）直线y ＝kx +b 与曲线f （x ）有唯一的公共点等价于函数h （x ）=√x −lnx −kx −a 有唯一零点． （i ）零点的存在性证明： 当x ∈(0，1k2)时，√x−kx ＞0，当x ∈（0，e ﹣a ）时，﹣lnx ﹣a ＞0，∴当x ∈(0，min(1k2，e−a))时，ℎ(x)=√x −kx −lnx −a ＞0，当x ∈（max （1k2，e ﹣a），+∞）时，ℎ(x)=√x −kx −lnx −a ＜0， 根据零点存在性定理可知函数h （x ）在区间（min （1k2，e −a ），max （1k 2，e ﹣a ））至少存在一个零点，从而h （x ）在（0，+∞）至少存在一个零点． （ii ）零点的唯一性证明：ℎ′(x)=12√x 1x −k =−（√x −14）2+116−k ， 若k ≥116，则h ′（x ）≤0恒成立，h （x ）单调递减，此时，h（x）在（0，+∞）最多只有一个零点，若0＜k＜116，h′（x）＝0有两个不相等正根x3，x4（设x3＜x4），由题意知01√x141√x12，∴h（x）在（0，x3）上单调递减，在（x3，x4）上单调递增，在（x4，+∞）上单调递减，由h′（x3）＝0，得k=12x 1x3，x3＞16，从而h（x3）=√x3−lnx3−kx3−a=√x3−lnx3−(12x 1x3)x3−a=√x32−lnx3﹣a+1，结合（Ⅰ）中，函数g（t）的单调性可知：√x32−lnx3＞2﹣4ln2，即h（x3）＞3﹣4ln2﹣a≥0，∴当x∈（0，x4）时，函数h（x）≥h（x3）＞0，结合h（x）的单调性可知h（x）在（0，x4）内无零点，在（x4，+∞）内最多有一个零点，此时h（x）在（0，+∞）内也最多只有一个零点，综上，当k＞0且a≤3﹣4ln2时，函数h（x）=√x−lnx−kx−a有唯一零点，∴直线y＝kx+b与曲线f（x）有唯一公共点，∴对于任意k＞0，直线y＝kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．。
2020-2021学年广东省中山一中高三(上)第一次统测数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学（理科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．32．（5分）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）3．（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+ g（x）=B．f（x）= g（x）=（）3C．f（x）=• g（x）=D．f（x）= g（x）=x04．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．127．（5分）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题11．（5分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]12．（5分）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）= ．15．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2020-2021学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学（理科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3【分析】本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；①当B=∅时，a=0，②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，综上，a的值是0，3，，故选：A．【点评】本题容易忽略B=∅的情况．2．（5分）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+ g（x）=B．f（x）= g（x）=（）3C．f（x）=• g（x）=D．f（x）= g（x）=x0【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系．6．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．（5分）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程 log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．8．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．11．（5分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．12．（5分）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】由题目给出的新定义可知满足关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，分别取i=1，j=1，2，3；i=2，j=1，2，3；i=3，j=1，2，3验证后即可得到答案．【解答】解：有定义可知满足（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i 后除以3等于0，i=1，j=1，（1+1）除以3的余数是2，（2+1）除以3的余数是0；i=1，j=2，（1+2）除以3的余数是0，（0+1）除以3的余数是1；i=1，j=3，（1+3）除以3的余数是1，（1+1）除以3的余数是2；i=2，j=1，（2+1）除以3的余数是0，（0+2）除以3的余数是2；i=2，j=2，（2+2）除以3的余数是1，（1+2）除以3的余数是0；i=2，j=3，（2+3）除以3的余数是2，（2+2）除以3的余数是1；i=3，j=1，（3+1）除以3的余数是1，（1+3）除以3的余数是1；i=3，j=2，（3+2）除以3的余数是2，（2+3）除以3的余数是2；i=3，j=3，（3+3）除以3的余数是3，（3+3）除以3的余数是0．所以满足条件的数对有（1，1），（2，2），（3，3）共3对．故选C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是基础题型．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）= ﹣2 ．【分析】推导出f（x+2）=f（x），f（1）=0，由此利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，能求出f（﹣）+f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∵当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（﹣）+f（1）=﹣f（）+0=﹣f（）=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得 x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．16．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax2﹣2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域为R，∴对任意x∈R都有ax2﹣2x+a＞0恒成立，则，解得：a＞1．∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，∴ax2﹣2x+a能取到大于0的所有实数，则，解得：0＜a≤1．∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1，2]，∴a≤1；∵命题q：“”，∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）解：对称轴，定义域x∈[2，5]①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m ＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①（1分）又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2（3分）∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（5分）（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，（7分）当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|（13分）∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）消去参数t，可得曲线C1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），消去参数可得：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．化为ρcosθ﹣2ρsinθ=7，它的普通方程为：x﹣2y﹣7=0．（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，Q的直角坐标为：（﹣4，4），设P（8cost，3sint），故M（﹣2+4cost，2+），PQ中点M到曲线C2上的点的距离d==（其中tanβ=），当sint=，cost=时，PQ中点M到曲线C2上的点的距离最小值为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
广东省中山市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
广东省中山市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018高二下·陆川期末) 一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（）A . 10B . 9C . 8D . 113. （2分）(2017·齐河模拟) 若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数的模等于（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2016高二上·青海期中) 如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为（）A . 24πcm2 ，12πcm3B . 15πcm2 ，12πcm3C . 24πcm2 ，36πcm3D . 以上都不正确5. （2分）已知双曲线：，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，则双曲线离心率的最小值为（）A .B .C . 2D .6. （2分）某公司安排6位员工在“五一劳动节（5月1日至5月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中甲不在1日值班，乙不在3日值班，则不同的安排方法种数为（）A . 30B . 36C . 42D . 487. （2分）定义运算为执行如图所示的程序框图输出的s值，则的值为（）A . 4B . 3C . 2D . ―18. （2分） (2019高一上·大庆月考) 设，且，则的范围是（）A .B .C .D .9. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A . a＞bB . a＜bC . a=bD . a与b的大小关系不能确定10. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°11. （2分）(2017·番禺模拟) 过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若=4 ，则直线l的斜率为（）A . ±B . ±C . ±D . ±12. （2分）△ABC中，若，，则=（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2020·许昌模拟) 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．14. （1分）(2017·邯郸模拟) 1000名考生的某次成绩近似服从正态分布N（530，502），则成绩在630分以上的考生人数约为________．（注：正态总体N（μ，σ2）在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）15. （1分） (2018高二上·泰安月考) 已知是数列的前项和，若，， .则 ________．16. （1分） (2018高二下·巨鹿期末) 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．三、解答题： (共7题；共60分)17. （10分）(2017·白山模拟) 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinA•sinC，且c＜2a．（1）求证：△ABC为等腰三角形（2）若△ABC的面积为8 ．且sinB= ，求BC边上的中线长．18. （5分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值．19. （5分） (2017·临翔模拟) 如图，在直角梯形ABCP中，，D 是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E在CP上且二面角E﹣BD﹣C所成的角的余弦值为，求CE的长．20. （5分） (2018高三上·河北月考) 如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆过点，若直线与直线平行且与椭圆相交于点 ,B(x2,y2)．(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 求三角形面积的最大值.21. （15分） (2018高二下·邱县期末) 已知函数 .（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的零点和极值；（3）若对任意，都有成立，求实数的最小值.22. （10分）已知平面直角坐标系xOy，曲线C的方程为（φ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2 ，），直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ+1=0．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l距离的最小值．23. （10分）(2017·江西模拟) 已知函数f（x）=x2+|x|﹣|x﹣5|+2．（1）求不等式f（x）＜0的解集；（2）若关于x的不等式|f（x）|≤m的整数解仅有11个，求m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
广东省中山一中高考模拟考试数学(理)试卷
中山一中高三数学（理科）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合=<-=≤=B A x x x B x x A 则},02|{},1|||{2 （ ）A ．（0，2）B ．[－1，1]C ．（0，1]D ．[－1，2)2．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目， 若选到男教师的概率为209，则参加联欢会的教师共有 （ ）A ．120人.B ．144人C ．240人D ．360人3．下列各选项中，与cos 2008最接近的数是 （ ）A ．2 B．2 C．2- D ．2- 4． 已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且,6021︒=∠MF F 则椭圆的离心率为 （ ）A ．21 B ．33C ．23 D ．22 5．73)12(xx -的展开式中常数项是 （ ）A ．－14B ．14C ．－42D ．426．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若100101OB a OA a OC =+，且 A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 （ ）A ．100B ．101C ．200D ．2017．下列正方体或正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）0.030.01频率组距A B C D8．已知函数2()21f x x x =++，若存在实数t ，当[1,]x m ∈时()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第912题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．复数z=12i+,则|z|= ． 10. 已知αββαtan ,41tan ,31)tan(则==+的值为 。
2016年广东省中山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年广东省中山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数等于（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S 的值为（）A．45B．49C．52D．544．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣805．（5分）在等比数列{a n}中，，则a3＝（）A．±9B．9C．±3D．36．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sin A＝（）A．B．C．D．﹣7．（5分）直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，点D在斜边AB上，且，λ∈R，若，则λ＝（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）＝f（3﹣x），若f（1）＝﹣2，则2012f（2012）﹣2013f（2013）＝（）A．﹣4026B．4026C．﹣4024D．4024二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取人．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）已知集合A＝{x∈R||x﹣1|＞2}，集合B＝{x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若A∩B＝（3，5）则实数a＝．12．（5分）若直线x﹣y+t＝0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为．13．（5分）如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB＝8，CE•CB＝7，则AD＝．14．（5分）设函数若f（﹣3）＝f（﹣1），f（﹣2）＝﹣3，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为个．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+a cos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．（I）求两球颜色不同且标号之和为3的概率；（Ⅱ）记所摸出的两球标号之积为ξ，求ξ的分布列与数学期望．17．（13分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝，E，F分别为AB、SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值；（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．18．（13分）已知数列{a n}中a1＝2，，数列{b n}中，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{}的前n项和，求；（Ⅲ）设T n是数列的前n项和，求证：．19．（14分）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．20．（14分）已知函数f（x）＝ax3+bx2在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y ﹣10＝0，且对任意的x∈[0，+∞）f′（x）≤kln（x+1）恒成立．（I）求a，b的值；（Ⅱ）求实数k的最小值；（Ⅲ）证明：．2016年广东省中山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数等于（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：复数＝＝＝2﹣i．故选：B．2．（5分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵设x∈R，“”∴，∴，∴x＞0，∴“”⇒“x＞0”又当x＞0时，成立．则“x＞0“是““的充分必要条件；故选：C．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S 的值为（）A．45B．49C．52D．54【解答】解：当输入的值为10时，循环前，S＝0，n＝10，第1次判断后循环，s＝10，n＝9，第2次判断并循环，s＝10+9，n＝8，第3次判断并循环，s＝10+9+8，n＝7，第4次判断并循环，s＝10+9+8+7，n＝6，第5次判断并循环，s＝10+9+8+7+6，n＝5，第6次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5，n＝4，第7次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5+4，n＝3，第8次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5+4+3，n＝2，第9次判断并循环，s＝10+9+8+7+6+5+4+3+2，n＝1，退出循环，输出S＝10+9+8+7+6+5+4+3+2＝54．故选：D．4．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【解答】解：的展开式的通项为T r+1＝（x）5﹣r（﹣）r＝（﹣2）r，r C5令5﹣＝2得r＝2，故展开式中x2项的系数是T3＝（﹣2）2C52＝40，故选：A．5．（5分）在等比数列{a n}中，，则a3＝（）A．±9B．9C．±3D．3【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵，∴＝27，＝3两式相除，可得∴a3＝±3当a3＝﹣3时，++1+q+q2＝﹣9，q无解．故选：D．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sin A＝（）A．B．C．D．﹣【解答】解：∵C为三角形的内角，，∴sin C＝＝，又a＝2，b＝3，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C得：c2＝4+9﹣3＝10，解得：c＝，又sin C＝，c＝，a＝2，∴由正弦定理得：sin A＝＝．故选：C．7．（5分）直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，点D在斜边AB 上，且，λ∈R，若，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，∴BC＝，再由cos A＝＝，∴A＝，B＝．由＝（）•＝（）•＝+λ•＝0+λ•2××cos＝2，解得λ＝，故选：D．8．（5分）定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）＝f（3﹣x），若f（1）＝﹣2，则2012f（2012）﹣2013f（2013）＝（）A．﹣4026B．4026C．﹣4024D．4024【解答】解：由于函数f（x）对任意x∈R都有f（x+1）＝f（3﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x），∴f（﹣x）＝f（4+x）．再由函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝f（x+4），∴f （x）＝f（x+8），故函数f（x）的周期为8．∴f（2012）＝f（8×251+4）＝f（4）＝f（4﹣4）＝f（0）＝0，f（2013）＝f（251×8+5）＝f（5）＝f（4﹣5）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，2012f（2012）﹣2013f（2013）＝0﹣2013×2＝﹣4026，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取12人．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于＝，故应抽取的女运动员人数为84×＝12，故答案为12．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为36π．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半径为6的球的8分之一由球的半径R＝6可得故V＝•π•63＝36π故答案为：36π11．（5分）已知集合A＝{x∈R||x﹣1|＞2}，集合B＝{x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若A∩B＝（3，5）则实数a＝5．【解答】解：∵集合A＝{x∈R||x﹣1|＞2}＝{x|x＞3，或x＜﹣1}，集合B＝{x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，当a＝1时，B＝∅，不满足条件．当a＞1时，B＝（1，a），由A∩B＝（3，5）可得a＝5．当a＜1时，B＝（a，1 ），不满足A∩B＝（3，5）．综上可得，只有a＝5，故答案为5．12．（5分）若直线x﹣y+t＝0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为﹣2或6．【解答】解：由，得，①2+②2得，（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16．所以曲线表示以（1，3）为圆心，以4为半径的圆．因为直线x﹣y+t＝0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则半弦长为．所以圆心（1，3）到直线x﹣y+t＝0的距离d＝．解得t＝﹣2或t＝6．故答案为﹣2或6．13．（5分）如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB＝8，CE•CB＝7，则AD＝1．【解答】解：根据射影定理得：CD2＝CE•CB，且CD2＝AD•DB，又CE•CB＝7，∴AD•DB＝7，即AD•（AB﹣AD）＝7，又AB＝8，∴AD•（8﹣AD）＝7，解之得AD＝1．故答案为：114．（5分）设函数若f（﹣3）＝f（﹣1），f（﹣2）＝﹣3，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为3个．【解答】解：因为当x＜0时，f（x）＝x2+bx﹣c，又f（﹣3）＝f（﹣1），f（﹣2）＝﹣3，所以，解得．所以．作函数y＝f（x），y＝x的图象如图，由图象可知，关于x的方程f（x）＝x的解的个数为3．故答案为3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+a cos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得即，所以a＝﹣2所以f（x）＝sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝所以函数f（x）的最小正周期为π（Ⅱ）由，得则所以所以函数y＝f（x）的最大值为；最小值为16．（13分）一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．（I）求两球颜色不同且标号之和为3的概率；（Ⅱ）记所摸出的两球标号之积为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有种，颜色不同且标号之和为3的情况有6种∴（Ⅱ）依题意ξ的可取值为0，1，2，3，4，6；；；；；∴ξ的分布列为∴17．（13分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝，E，F分别为AB、SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值；（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．【解答】解：（Ⅰ）取AC中点O，根据题意可得OA、OB、OS两两互相垂直，因此以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，，，，C（﹣1，0，0）∴，∵∴，即得AC⊥SB．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设为平面CEF的一个法向量，则，取z＝1，得．∴平面CEF的一个法向量为．又∵为平面ABC的一个法向量，∴，结合题意二面角F﹣CE﹣B是一个锐二面角，所以二面角F﹣CE﹣B的余弦值为．（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ），可得，∵为平面CEF的一个法向量∴由点到平面的距离公式，可得点B到平面CEF的距离为．18．（13分）已知数列{a n}中a1＝2，，数列{b n}中，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{}的前n项和，求；（Ⅲ）设T n是数列的前n项和，求证：．【解答】解：（Ⅰ），而，∴．n∈N*∴{b n}是首项为，公差为1的等差数列．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n＝n，，于是＝，故有＝＝6．（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知＝，则．∴．则+…+＝，∴T n＝．（14分）19．（14分）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由|FB|＝2，得，即，故．又∵b＝2，∴a2＝＝12，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y＝kx﹣3（k≠0），由，知点A在线段MN的垂直平分线上，由得x2+3（kx﹣3）2＝12即（1+3k2）x2﹣18kx+15＝0①△＝（﹣18k）2﹣4（1+3k2）×15＝144k2﹣60＞0即时方程①有两个不相等的实数根设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0）则x1，x2是方程①的两个不等的实根，故有从而有，于是，可得线段MN的中点P的坐标为又由于k≠0，因此直线AP的斜率为由AP⊥MN，得即5+6k2＝9，解得，∴，∴所求直线l的方程为：．20．（14分）已知函数f（x）＝ax3+bx2在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y ﹣10＝0，且对任意的x∈[0，+∞）f′（x）≤kln（x+1）恒成立．（I）求a，b的值；（Ⅱ）求实数k的最小值；（Ⅲ）证明：．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝3ax2+2bx，f'（2）＝﹣2，∴12a+4b＝﹣2①将x＝2代入切线方程得，∴②①②联立，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f'（x）＝﹣x2+x，∴﹣x2+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；即x2﹣x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；设g（x）＝x2﹣x+kln（x+1），g（0）＝0，∴只需证对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），，设h（x）＝2x2+x+k﹣1，（1）当△＝1﹣8（k﹣1）≤0，即时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）；（2）当△＝1﹣8（k﹣1）＞0，即时，设是方程2x2+x+k﹣1＝0的两根且x1＜x2由，可知x1＜0，分析题意可知当时对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）；∴k﹣1≥0，k≥1，∴综上分析，实数k的最小值为1．（Ⅲ）令k＝1，有﹣x2+x≤ln（x+1），即x≤x2+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立令，得∴＝＝＜ln（n+1）+2∴原不等式得证．。
广东省中山市高考数学一模试卷(理科)
广东省中山市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·西宁月考) 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；② ｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④ ；⑤ ，正确的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分） (2016高三上·宝安模拟) 若复数（1+ai）2﹣2i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A . 0B . ±1C . 1D . ﹣13. （2分）一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，则所得到的一组数据的方差是（）A . 1B . 27C . 9D . 34. （2分） (2016高一下·老河口期中) 已知，那么下列判断中正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或6. （2分） (2017高一下·芜湖期末) 已知实数x，y满足时，z= + （a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A . 2B . 7C . 8D . 97. （2分）(2017·武威模拟) 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A . + πB . + πC . + πD . 1+ π8. （2分）已知x∈R，则“”是“x-4>0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）(2018·石家庄模拟) 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A . 11B . 12C . 13D . 1410. （2分）双曲线M：的左、右焦点是Fl ， F2 ，抛物线N：y2=2px（p＞0）的焦点为F2 ，点P是双曲线M与抛物线N的一个交点，若PF1的中点在y轴上，则该双曲线的离心率为（）A . +1B . +1C .D .11. （2分） (2017高二上·廊坊期末) 有一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，已知样本数据落在区间[10，12）内的频数比样本数据落在区间[8，10）内的频数少12，则实数m的值等于（）A . 0.10B . 0.11C . 0.12D . 0.1312. （2分）(2017·晋中模拟) 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A . 4πB . πC . πD . 20π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·韶关模拟) 已知平面非零向量，满足•（）=1，且| |=1，则与的夹角为________．14. （1分） (2018高三上·盐城期中) 若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m，)，则tan ＝________．15. （1分） (2017高三下·淄博开学考) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a7=7a4 ，则 =________．16. （1分）(2017·资阳模拟) 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（0≤X≤2）=0.3，则P（X ＞4）=________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2017·襄阳模拟) 已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN= π，在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c= ，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18. （5分） (2017高二上·莆田月考) 设为中的对边.求证：成等差数列的充要条件是： .19. （10分） (2016高一上·广东期末) 如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．20. （5分）某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人．（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”？≥170cm＜170cm总计男生身高女生身高总计（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．参考公式：K2=参考数据：P（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001k0 5.0246.6357.87910.82821. （15分） (2016高二下·吉林期中) 设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．22. （10分） (2018高二下·重庆期中) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积.23. （10分）(2019·随州模拟) 已知函数．（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省中山市高考数学一模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）设|，|，则（）
A . |或
B . |
C . |
D . |
2. （2分）复数（）
A . i
B . -i
C .
D .
3. （2分）(2018高一下·龙岩期末) 已知一组数据的平均数，则数据
的平均数为（）
A . 3
B . 5
C . 9
D . 11
4. （2分）若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）设a，，则“a-b>1”是“”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
7. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 若（9x﹣）n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（）
A . 252
B . ﹣252
C . 84
D . ﹣84
9. （2分） (2017高二下·故城期末) 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的半径为（）
A . 6
B . 8
C . 12
D . 16
10. （2分） (2016高二上·鹤岗期中) 焦点是（0，±2），且与双曲线 =1有相同渐近线的双曲线的方程是（）
A . x2﹣ =1
B . y2﹣ =1
C . x2﹣y2=2
D . y2﹣x2=2
11. （2分）(2019·达州模拟) 函数图象经过，它的一条对称轴是，则
A .
B . 1
C . 2
D . 8
12. （2分） (2017高三上·同心期中) 已知实数a ， b满足，，则
的最小值为
A .
B .
C .
D .
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分）已知函数f（x）=x3+x，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是________
14. （1分） (2019高二上·营口月考) 数列满足，．则数列的通项公式
=________．
15. （1分）(2020·鄂尔多斯模拟) 某种牛肉干每袋的质量服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为， .某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于
的袋数大约是________袋.
16. （1分） (2018高一下·平原期末) 已知向量 .若，则实数的值为________．
三、解答题： (共7题；共55分)
17. （10分） (2017高一下·资阳期末) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求角C；
（2）若，△ABC的面积为，求a+b的值．
18. （5分） (2019高三上·雷州期末) 甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪元，每销售一件产品提成元；乙公司规定底薪元，日销售量不超过件没有提成，超过件的部分每件提成元．
（I）请将两家公司各一名推销员的日工资（单位：元）分别表示为日销售件数的函数关系式；
（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为，乙公司该推销员的日工资为（单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
19. （5分）(2017·江苏) 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器
Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
20. （15分） (2017高三上·廊坊期末) 已知函数f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）当x∈（0，+∞）时，求证：e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx．
21. （5分）(2017·朝阳模拟) 已知椭圆W：（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1 ， F2分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F1BF2=120°．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．
22. （10分） (2019高二下·江门月考) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos ＝a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
23. （5分）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N* ，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：+≥．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共7题；共55分)
17-1、
17-2、
18-1、
20-1、20-2、20-3、
21-1、22-1、
22-2、23-1、。