因式分解作业2
因式分解与分式周末作业
2015级2013年秋国庆数学作业（二）班级： 姓名：一、选择：1、若a x=3，b y =3，则y -3x 等于（）A 、b a B 、ab C 、2ab D 、ab 2、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1(32+-x x ）（，则b,c 的值为（ ）A 、b=3,c=-1B 、b=-2,c=2C 、b=-6,c=-4D 、b=-4,c=-6 3、已知被除式是1223-+x x ，商式是x ，余式是－1，则除式是（）A 、132-+x xB 、x x 22+C 、12-xD 、13-2+x x4、若把分式xyyx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 、扩大3倍B 、不变C 、缩小3倍D 、缩小6倍 5、下列多项式中，没有公因式的是（ ）A 、()y x a +和(x ＋y )B 、()b a +32和()b a +-C 、()y x b -3和 ()y x -2D 、()b a 33-和()a b -6 6、若22169y mxy x ++是完全平方式 ，则m =（ ）A 、12B 、24C 、±12D 、±24 7、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A 、122+x x B 、12+x x C 、133+x x D 、25-xx 8、若分式2312+-+x x x 的值为0，则x 等于（ ）A 、－1B 、1C 、－1或1D 、1或29、分式21x ax +-中，当x=－a 时，下列结论正确的是（ ） A 、分式值为零 B 、分式无意义 C 、若a ≠12，则分式的值为零 D 、若a ≠－12，则分式的值为零 10、任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）2m m m →→-→÷→+→平方结果A 、mB 、2mC 、1+mD 、1-m11、计算()a b a bb a a +-÷的结果为（ ）A 、a b b -B 、a b b +C 、a b a -D 、a ba+12、))(())(())((b c a c ca b c b b c a b a a --+--+--的结果等于（ ）A 、aB 、bC 、1D 、0二、填空：13、若分式231-x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
初三6-2-因式分解知识点、经典例题及练习题带答案
环球雅思教育学科教师讲义讲义编号：GE—ZBM 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】1、掌握因式分解的几种常用方法。
2、本部分在中考中占3分左右。
【趣味链接】托尔斯泰割草问题割草队要割两块草地，其中一块比另一块大一倍．全队在大块草地上割了半天后，分为两半，一半继续留在大块草地上，另一半转移到小块草地上．留下的人到晚上就把大块草地全割完了，而小块草地上还剩一小块未割．第二天，这剩下的一小块，一个人花了一整天时间才割完．问割草队共有多少人？【知识梳理】一、基本概念1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注：(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.2、公因式：一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式. 3、提公因式法：把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法. 二、因式分解方法总结 1. 方法规律：一个多项式各项的公因式必须由三部分组成： (1)、各项整数系数的最大公约数； (2)、各项相同的字母；(3)、相同因式的指数取最小次数. 2. 解题方法：(1)、用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；(2)、公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式. 3. 方法技巧：(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤： ○1 确定公因式○2 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式. (2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验. 三、公式法1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算.2．提公因式法；（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. （2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3．公式法：（1）常用公式 平 方 差： )b a )(b a (b a 22-+=-完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+±（2）常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()nn a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2xpx q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22（2）二次项系数不为1的二次三项式2axbx c ++中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数12,c c 的积，并且1221a c a c +等于一次项系数b 的值，那么它就可以把二次三项式2ax bx c ++分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++.五、分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-，既没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 用因式分解法求解一元二次方程作业设计 北师大版
2.4用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（本题包括8个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A. 6B. 9C. 6或9D. 以上都不正确2. 已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A. 7B. 10C. 11D. 10或113. 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A. 开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法4. 若分式的值为0，则x的值为（）A. 3或﹣2B. 3C. ﹣2D. ﹣3或25. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A. 1B. ﹣3C. ﹣3或1D. ﹣1或36. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A. 14B. 12C. 12或14D. 以上都不对7. 一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A. x=B. x=3C. x1=3，x2=﹣D. x1=3，x2=8. 已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A. 方程一定有两个不相等的实数根B. 方程一定有两个实数根C. 当k取某些值时，方程没有实数根D. 方程一定有实数根二．填空题（本题包括5个小题）9. 方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．10. 若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=_____．11. 如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是_____．12. 关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为_____．13. 对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=_____．三．解答题（本题包括5个小题）14. 解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．15. 解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0；（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）；（4）x2=6x+16；（5）2x2﹣7x﹣18=0；（6）（2x﹣1）（x+3）=4．16. 用适当的方法解下列方程：（1） x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）（y+）（y-）=20．17. 阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得 y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．18. 现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．答案一．选择题1. 【答案】B【解析】解方程得：，（1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立；（2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9；故选B.2.【答案】D【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选D．3. 【答案】D【解析】方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即5（2x-1）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D．考点：解一元二次方程-因式分解法．4. 【答案】A【解析】由题意可得：，解得：.∵当时，，当时，，∴的值为3或-2.故选A.5. 【答案】A【解析】设x2+x+1=y，则原式可化为y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1.∵22131024x x x⎛⎫++=++>⎪⎝⎭，∴x2+x+1=1.故选A.6.【答案】B【解析】解，得(x-5)(x-7)=0，∴x1=5,x2=7.又∵3,4,7不能组成三角形；∴x=5.则周长为3+4+5=12，故选B考点：一元二次方程的解7. 【答案】D【解析】2x（x－3）＝5（x－3），2x（x－3）-5（x－3）=0，,（x－3）（2x－5）=0，所以x－3=0，或2x－5=0，所以x1＝3，x2＝，故选：D．考点：解一元二次方程．8. 【答案】D【解析】原方程可化为：，（1）当时，原方程可化为：，此时原方程是一元一次方程，有实数根；（2）当时，原方程是一元二次方程，此时：△=，∴此时，原方程有两个实数根；综上所述，无论k 为何值，原方程都有实数根.故选D.二．填空题9.【答案】1或【解析】原方程可化为为：，∴或，∴或.10. 【答案】6【解析】设a=x2+y2，则原方程可化为a2-5a-6=0，解得a1=6，a2=-1（舍去），所以x2+y2=6.11.【答案】3【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴.12. 【答案】x1=4，x2=﹣1【解析】∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得：，∴原方程为：，化简得：，解得：.∴原方程的解为：.13. 【答案】4【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴. 点睛：在解出“x”的值之后，不要忽略了“”这一隐含条件.三．解答题14. 【答案】①x1=1+，x2=1﹣②x1=1，x2=﹣③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1【解析】①②按题中指定方法解答即可；③先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可；④根据方程特点用“因式分解法”解方程即可.解：①移项得：x2﹣2x=配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，∴x﹣1=±∴ x1=1+，x2=1﹣．② ∵在方程4x2﹣3x﹣1=0中，a=4，b=﹣3，c=﹣1，∴ △ =9+16=25x=，∴x1=1，x2=﹣．③原方程整理得：x2+2x﹣8=0，(x+4)(x﹣2)=0，∴ x1=﹣4，x2=2．④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0，(5y﹣5)(y+1)=0，∴ y1=1，y2=﹣1．15. 【答案】（1）y1=﹣，y2=﹣；（2）x1=3，x2=；（3）x1=2.5，x2=1；（4）x1=﹣2，x2=8（5）x=；（6）x1=﹣3.5，x2=1．【解析】（1）用“直接开平方法”解此方程即可；（2）、（3）按指定方法解方程即可；（4）先将方程化为一般形式，再用“因式分解法”解此方程：（5）用“公式法”解此方程即可；（6）先整理为一般形式，再用“因式分解法”解此方程.解：（1）方程可化为：（y+4）2=，开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=3，x2=；（3）∵在方程2x2﹣7x+5=0中，a=2，b=﹣7，c=5，∴△=49﹣40=9，∴x=，解得：x1=2.5，x2=1；（4）原方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即(x+2)(x﹣8)=0，解得：x1=﹣2，x2=8；（5）∵在方程2x2﹣7x﹣18=0中，a=2，b=﹣7，c=﹣18，∵△=49+144=193，∴ x=；∴，.（6）原方程整理得：2x2+5x﹣7=0，即(2x+7)(x﹣1)=0，解得：x1=﹣3.5，x2=1．16. 【答案】（1）x1=6，x2=﹣1（2）x1=﹣，x2=（3）x1=﹣2，x2=（4）y1=5，y2=﹣5【解析】（1）用“因式分解法”解方程即可；（2）用“直接开平方法”解方程即可；（3）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（4）先化简，再用“直接开平方法”解方程即可；解：（1）x2﹣5x﹣6=0，原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0，∴x-6=0或x+1=0，∴ x1=6，x2=﹣1．（2）原方程可化为：（1﹣x）2=+1，即：（1﹣x）2=，∴1﹣x=，∴x1=﹣，x2=．（3）原方程可化为：8x（x+2）﹣3（x+2）=0，∴(x+2)(8x﹣3)=0，∴x+2=0或8x-3=0解得x1=﹣2，x2=．（4）原方程可化为：y2﹣5=20，∴y2=25，∴y=±5，即 y1=5，y2=﹣5．17. 【答案】（1）x1=0，x2=﹣2，x3=2（2）x1=﹣1，x2=3【解析】（1）把原方程化为：|x|2﹣2|x|=0，再按照“范例”中的方法解答即可；（2）把原方程化为：|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0，再按照“范例”中的方法解答即可.解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，设|x|=y，则y2﹣2y=0．解得 y1=0，y2=2．当y=0时，|x|=0，∴x=0；当y=2时，∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得 y1=y2=2．即|x﹣1|=2，∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．20. 【答案】（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a=【解析】（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可；（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；（3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可.解：（1）4※7=4×4×7=112；（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，解得x1=2，x2=﹣4；（3）∵由新运算的定义得4ax=x，∴（4a﹣1）x=0，∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，即．点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可.。
10二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)-教师版
1、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例1】 若方程24210y y --=的两个根是1y =2y ，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例2】 将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【答案】4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1x =，2x =， 二次三项式的因式分解 及一元二次方程的应用所以2441x x --=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例3】 将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ） A ．2(1)()3x x ++ B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．【例4】 若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122-=x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．【例5】 在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【答案】（1）(28x x x -=-+； （2）(35x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法． 【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解． 【例6】 在实数范围内分解因式：（1）426x x --； （2）42341x x -+．【答案】（1）()(42262x x x x x --=++；（2）()()42341311x x x x x x ⎛-+=+--+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解． 【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．【例7】 在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【答案】（1）(24122x x x x ++=++；（2）(24222x x x x --=--．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例8】 在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-；（2）2423x x +-；（3）2361x x -+；（4）263x -．【答案】（1）22312x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（2）24234x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（3）23613x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭；（4）2636x x x ⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例9】 在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+； （2）24411x x -++．【答案】（1）26216x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（2）244114x x x x ⎛-++=- ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例10】在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【答案】（1）()()222x ax a x a x a --=--+；（2）22312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）22414x y xy xy xy ⎛+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）222852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例11】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫⎝⎛-x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）； 本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【例12】某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【例13】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%1.038）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：()44.107795110002=+x ％，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．【例14】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：()[]()53090150011000=+-+x x ％．【解析】注意年利率的变化．【例15】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ， 则可列方程为()[]()1308143511500=+-+x x ，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：()()0910095=-+x x ，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．课堂练习【习题1】 一元二次方程20x px q ++=的两根为34，，那么二次三项式2x px q ++可分解为（ ）A 、(3)(4)x x +-B 、(3)(4)x x -+C 、(3)(4)x x --D 、(3)(4)x x ++【答案】C ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题2】 若二次三项式21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为（ ）A 、1-B 、1C 、2-D 、2【答案】A【解析】∵()()()2222x x b x b x b -+=+--，又21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，∴⎩⎨⎧-=-=-122b a b ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=2123b a ， ∴1a b +=-． 【总结】本题一方面考查多项式的乘法，另一方面考查待定系数法的应用．【习题3】 关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则2x mx n -+可分解为（ ）A 、12()()x a x a --B 、12()()x a x a ++C 、12()()x a x a -+D 、12()()x a x a +-【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的两根为12a a -，-．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题4】 已知方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，那么二次三项式225x x k -++分解因式得（ ）A 、1(3)()2x x -+B 、12(3)()2x x -+- C 、(3)(1)x x --+ D 、(3)(21)x x --+【答案】D【解析】∵方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，∴方程2250x x k -++=的两个根是12132x x ==-，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题5】 在实数范围内分解因式22285x xy y -+等于（ ）A、2x x -（ B、)()x y x y -（ C、2)()x y x y （ D、(24)(24)x y x y --+【答案】C【解析】∵方程222850x xy y -+=的解为：y x 2641+=，y x 2642-=，∴22285x xy y -+可分解为2)()x y x y （．【总结】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【习题6】 二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，那么a 的取值范围是______．【答案】31-≥a 且0≠a ．【解析】要使二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程2230ax x +-=有实数根，则01222≥+=∆a 且0≠a ，解得：31-≥a 且0≠a ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题7】 多项式4243x x -+在有理数范围内能分解因式得___________， 在实数范围内能分解因式得_______________．【答案】()()()3112--+x x x ；()()()()3311+--+x x x x ． 【解析】注意分解范围．【习题8】 当m ______________时，二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式．【答案】41≤m ．【解析】要使二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程220x m +=有实数根，则()0822≥-=∆m ，解得：41≤m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题9】 在实数范围内分解因式： （1）276x x --； （2）2297x x ++；（3）2241y y -+；（4）2112x x --．【答案】（1）276x x x x ⎛--= ⎝⎭⎝⎭；（2）()()2297271x x x x ++=++； （3）22412y y y y ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭； （4）(21111122x x x x --=--． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题10】 在实数范围内分解因式：（1）22285x xy y -+； （2）227236x xy y -+-；（3）2253a x ax -+； （4）24)x x +-【答案】（1）222852x xy y x x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()2227236737x xy y x y x y ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭； （3）2253a x ax ax ax ⎛-+=- ⎝⎭⎝⎭； （4）()(24)4x x x x +-=-． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，注意方法的选择，如（4）可以用十字相乘法进行分解．课后作业【作业1】 已知方程23410x x +-=的两个根为12x x =，则二次三项式2341x x +-分解因式的结果为_______________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3723723x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业2】 在实数范围内分解因式2236x x --+=_____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-457345732x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业3】 如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，那么k 的值为___________．【答案】10．【解析】如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，则一元二次方程25(5)0x kx k ++-=有两个相等的实数解，即()05202=--=∆k k ，解得：10=k ．【总结】本题主要考查对完成平方与多项式之间的关系的理解．【作业4】 把222(1)(1)2x x -+--分解因式的结果是（ ）A 、22(1)(2)x x -+B 、22(1)(2)x x +-C 、2(1)(1(2)x x x +-+） D、2(1)(x x x +-【答案】D【解析】注意将代数式中的12-x 看做一个整体进行分解．【总结】本题注意在分解的时候要分解彻底，要在实数范围内分解．【作业5】 下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）A 、2615x x +-B 、2373y y ++C 、2224x xy y -- D 、22245x xy y -+【答案】D 【解析】判定二次三项式对应的一元二次方程的判别式，如果判别式小于0，则不能分解．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有在实数范围内无解．【作业6】 若0ac <，则二次三项式2ax bx c ++一定（ ）A 、能分解成两个不同的一次二项式的积B 、不能分解成两个一次二项式的积C 、能分解成两个相同的一次二项式的积D 、不能确定能否分解成两个一次二项式的积【答案】A【解析】二次三项式2ax bx c ++对应的一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式042>-=∆ac b ，则方程一定有两个不相等的实数根，则二次三项式2ax bx c ++一定能分解成两个不同的一次二项式的积．【总结】本题主要考查二次三项式的分解结果与所对应的方程的根的关系．【作业7】 若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，求m 的取值范围． 【答案】81<m ． 【解析】若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，则一元二次方程22310x x m -++=有实数根， 即()()01832>+--=∆m ，解得：81<m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【作业8】 在实数范围内分解因式：（1）264x x -+；（2）2371x x --+；（3）2525x x -++．【答案】（1）(26433x x x x -+=--；（2）23713x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（3）2525x x x x ⎛-++=-+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．。
专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)
专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。
人教版 八年级数学 因式分解讲义 (含解析)
第9讲因式分解知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。
在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。
中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式×单项式（2）单项式×多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式×多项式（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd乘法公式回顾:1、平方差公式：（a+b）·（a-b）=a²-b²2、完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²幂的计算回顾：(m,n都是整数)(m,n都是整数)()n n nab a b=⋅(n是整数)m n m na a a-÷=（m、n都是整数且a≠0）nmnm aaa+=⋅mnnm aa=)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x²+x-6x -2x 3 (-2x)+3x=x对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题1】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）= ．【答案】（2﹣m）（n﹣2）【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）=（2﹣m）（n﹣2）．故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】因式分解：3x2﹣18x= ．【答案】3x（x﹣6）【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．故答案为：3x（x﹣6）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】分解因式8x2y﹣2y= ．【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】因式分解：m²-n²= .9x2﹣4= ．【答案】(m+n)(m-n) (3x﹣2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．解：m²-n²=(m+n)(m-n).9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】分解因式：x2﹣9y2【答案】（x+3y）（x﹣3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】因式分解：9﹣p2= ．【答案】（3﹣p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．故答案为：（3﹣p）（3+p）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】分解因式：x2﹣x+1= ．【答案】（x﹣1）2【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】因式分解：﹣x2﹣y2+2xy= ．【答案】﹣（x﹣y）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）=﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】分解因式：m2+2mn+n2= ．【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：m2+2mn+n2=（m+n）2．故答案为：（m+n）2．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】因式分解：x2﹣4x+3= ．【答案】（x﹣1）（x﹣3）【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．教学建议：学会画十字相乘法图示.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）（2）﹣2a（a﹣3）2 （3）（x﹣2）2；（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）讲解用时：3分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．【解析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【答案】﹣6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．解：∵xy=﹣3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.【答案】﹣18【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，故答案为：﹣18.讲解用时：3分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】分解因式：2m2﹣m= ．【答案】m（2m﹣1）【解析】直接把公因式m提出来即可．解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．讲解用时：1分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）（2）=x2（x4﹣y4）=x2（x2﹣y2）（x2+y2）=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．【答案】4【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵a+b=2，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
八年级数学 暑假同步讲义 第7讲 因式分解法及配方法求解元二次方程(解析版)
利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．1、因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2、因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A B⋅=时，必有0A=或0B=；当0A=或0B=时，必有0A B⋅=）．因式分解法及配方法解一元二次方程知识结构模块一：因式分解法解一元二次方程知识精讲内容分析班假暑级年八2/16②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 3、因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】 已知x 、y 是实数，若0xy =，则下列说法正确的是（ ）．A 、x 一定是0B 、y 一定是0C 、0x =或0y =D 、0x =且0y =【答案】C【解析】xy =0 只需要xy 其中一个为零整个乘式就为零，故选C ． 【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例2】 口答下列方程的根： （1）(8)0x x +=； （2）(4)(3)0x x --=； （3）(7)(6)0x x ++=； （4）(51)(2)0x x +-=； （5）()()0x a x b -+=．【答案】（1） 0x =或8x =-；（2）3x =或4x =；（3） 6x =-或7x =-；（4）15x =-或2x =；（5） x a =或x b =-．【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解． 【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例3】 解下列方程：（1）25+60x x =；（2）2340x x -=．例题解析【答案】（1）15x =，265x =-； （2）10x =，243x =．【解析】（1）由2560x x +=，得(56)0x x +=，解得：15x =，265x =-，所以原方程的解为：15x =，265x =-；（2）由2340x x -=，得340x x -=（），解得：10x =，243x =，所以原方程的解为：10x =，243x =． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例4】 解下列方程：（1）5(32)(1)(32)0x x x x --+-=；（2）()()3254520x x x ---=．【答案】（1）123x =，214x =； （2）152x =，243x =-． 【解析】（1）由5(32)(1)(32)0x x x x --+-=，得()32510x x x ---=（），即 ()324 10x x --=（），所以原方程的解为：123x =，214x =； （2）由()()3254520x x x ---=，得()()25340x x -+=，所以原方程的解为：152x =，243x =-． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例5】 解下列方程：（1）()()22231x x +=-； （2）229(21)16(2)0x x +--=； （3）24410x x -+=；（4）21236x x =--．【答案】（1）1 32x =，214x =-； （2）1112x =-，212x =； （3）1212x x ==； （4）126x x ==-．【解析】（1）由()()22231x x +=-，得231x x +=-或者2(31)x x +=--，所以原方程的解为：1 32x =，214x =-； （2）由229(21)16(2)0x x +--=，得229(21)16(2)x x +=-，(21)4(23)x x +=±-，解得：112x =-或12x =，所以原方程的解为：1112x =-，212x =； （3）由24410x x -+=，得2(21)0x -=，解得：12x =．所以原方程的解为：1212x x ==； （4）由21236x x =--，得212360x x ++=，即2(6)0x +=，所以原方程的解为：126x x ==-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例6】 解下列方程：（1）27120x x -+=；（2）2421x x +=．【答案】（1）13x =，24x =； （2）17x =-，23x =．【解析】（1）由27120x x -+=，得(3)(4)0x x --=，解得：3x =或者4x =， 所以原方程的解为：13x =，24x =；（2）由2421x x +=，得24210x x +-=，即(7)(3)0x x +-=，解得：7x =-或者3x =，所以原方程的解为：17x =-，23x =．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程． 【例7】 解下列方程：（1）23180x x -++=；（2）20.1 1.20.4x x -=．【答案】（1）16x =，23x =-； （2）16x =，22x =-．【解析】（1）由23180x x -++=，得23180x x --=，即(6)(3)0x x -+=，解得：6x =或者3x =-，所以原方程的解为：16x =，23x =-；（2）由20.1 1.20.4x x -=，得24120x x --=，即(6)(2)0x x -+=，解得：6x =或者2x =-，所以原方程的解为：16x =，22x =-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，注意符号的变化．【例8】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【答案】（1）15x =，21x =-； （2）14x =-，22x =．【解析】（1）由()2225x x x -=+，得22245x x x -=+，即2450x x --=，解得：5x =或 者1x =-，所以原方程的解为：15x =，21x =-；（2）由()()315x x +-=，得2280x x +-=，即(4)(2)0x x +-=，解得：4x =-或者2x =，所以原方程的解为：14x =-，22x =．【总结】本题要先化成一般形式后再用十字相乘法进行求解，注意计算过程中的符号．【例9】 解方程：()()25258x x +-+=． 【答案】11x =-，27x =-．【解析】由()()25258x x +-+=，得()()252580x x +-+-=，即(54)(52)0x x +-++=， 解得：1x =-或者7x =-，所以原方程的解为：11x =-，27x =-． 【总结】本题必须把x +5看成一个整体，利用整体思想进行因式分解．【例10】解方程：20x x -+=．【答案】1x =2x【解析】由20x x -+=，得(0x x =，解得：x 或者x所以原方程的解为：1x =2x =【总结】本题主要考查将一个无理数化成两个无理数的乘积的形式．【例11】解方程：2(1(30x x -++=．【答案】1x =21x =．【解析】由2(1(30x x +-+=，得[(11](0x x -=，解得：x或者x =，所以原方程的解为：1x =21x =．【总结】本题需要仔细观察之后利用十字相乘法进行因式分解．【例12】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程．【答案】260x x +-=．【解析】由(2)(3)0x x -+=，得260x x +-=． 【总结】本题考查一元二次方程根的运用．【例13】 学生A 在解一元二次方程(1)x x x -=时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11x -=解得2x =所以原方程的根为：2x = 【答案】不正确．【解析】不正确，因为等式两边同除的数不能为零，所以当0x =时，此算法是错误的．因此学生A 的做法完全错误的．【总结】本题主要考查等式的性质，注意两边同乘和同除的数不能为零．1、配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2、配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±． 3、配方法解一元二次方程一般步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n +=的形式； ④当0n ≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例14】构造完全平方式，完成下列填空：（1）2226()()x x x ++=+；例题解析知识精讲师生总结1、含有字母系数的一元二次方程如何求解？2、若二次项系数含有字母，求解时应注意哪些问题？模块二：配方法解一元二次方程（2）2228()()x x x ++=+； （3）22210()()x x x -+=-；（4）2221()()2x x x -+=-．【答案】（1）9 、3； （2）16、4； （3）25、5； （4）116、14． 【解析】当二次项系数为1时，配方时，方程两边同加一次项系数一半的平方． 【总结】本题考查对配方法的理解及运用．【例15】用配方法解方程：2210x x +-=．【答案】11x =-21x =--．【解析】由2210x x +-=，得2212x x ++=，即2(1)2x +=，所以原方程的解为：11x =-+，21x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例16】用配方法解方程：2220x mx m +-=．【答案】1x m =-+，2x m =-．【解析】由2220x mx m +-=，得22222x mx m m ++=，即22()2x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-+，2x m =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例17】用配方法解方程：21099750x x --=．【答案】195x =-，2105x =．【解析】由21099750x x --=，得2102510000x x -+=，即2(5)10000x -=， 所以5100x -=±，所以95x =-或者105x =，所以原方程的解为：195x =-，2105x =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例18】用配方法解方程：220130y --=．【答案】145y =，245y =-．【解析】由220130y --=，得2122025y -+=，即2(2025y -=，所以45y -±， 所以原方程的解为：145y =，245y =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例19】用配方法解方程：225200x x --+=．【答案】154x =-，254x =-．【解析】由225200x x --+=，得225200x x +-=，即251002x x +-=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =-所以原方程的解为：154x =-，254x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例20】用配方法解方程：210.30.2030x x -+=． 【答案】1213x x ==．【解析】由210.30.2030x x -+=，得213203x x -+=，即221039x x -+=，所以21()03x -=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例21】用配方法解方程：2(1)2(1)10x x -+--=（要求用整体法的思想求解）．【答案】12x x == 【解析】由2(1)2(1)10x x -+--=，得2(1)2(1)12x x -+-+=，即2(11)2x -+=，所以原方程的解为：12x x == 【总结】本题考查整体思想的运用，把1x -看成一个整体进行配方．【例22】用配方法解关于x 的方程：222240x ax b a --+=．【答案】1222x a b x a b =+=-，．【解析】由222240x ax b a --+=，得22224x ax a b -+=，即22()4x a b -=，解得：2x a b =±，所以原方程的解为：1222x a b x a b =+=-，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例23】 若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=． 【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．【例24】已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，则262x x q -+=可以配方成下列的（）．A 、2()5x p -=B 、2()9x p -=C 、2(2)9x p -+=D 、2(2)5x p -+=【答案】B【解析】因为260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，所以262x x q -+=可写成2()72x p -=+的形式，即2()9x p -=．故选B ．【习题1】 完成下列填空： （1）方程22x x =的根为； （2）方程(1)(2)0y y -+=的根为； （3）方程(2)4(2)x x x -=-的根为．【答案】（1）12x =，20x =； （2）11y =，22y =-； （3）12x =，24x =． 【解析】（1）由22x x =，得(2)0x x -=，解得：2x =或者0x =， 所以原方程的解为：12x =，20x =； （2）由(1)(2)0y y -+=，得1y =或者2y =-， 所以原方程的解为：11y =，22y =-；（3）由(2)4(2)x x x -=-，得(2)(4)0x x --=，解得2x =或者4x =，所以原方程的解为：12x =，24x =．【总结】本题考查特殊的一元二次方程的解法．随堂检测师生总结1、一元二次方程各项系数满足什么关系时，配方法能求出实数根？2、用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？【习题2】 完成下列填空： （1）224()()x x x ++=+；（2）2225()()4y y y ++=-．【答案】（1）42、； （2） 552-、 ．【解析】利用完全平方公式的概念完成填空． 【总结】本题考查配方法的基本概念．【习题3】 用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法： （1）2540x x -=；（2）224(32)0x x -+=；（3）2690x x ++=； （4）260x x --=．【答案】（1）12405x x ==，； （2）12225x x =-=-，； （3）123x x ==-； （4）1223x x =-=，． 【解析】（1）由2540x x -=，得(54)0x x -=，解得：12405x x ==，； （2）由224(32)0x x -+=，得(52)(2)0x x ++=，解得：12225x x =-=-，；（3）由2690x x ++=，得2(3)0x +=，解得：123x x ==-；（4）由260x x --=，得(3)(2)0x x -+=，解得1223x x =-=，．【总结】本题考查利用因式分解求解特殊的一元二次方程的根．【习题4】 已知一个一元二次方程的两个根分别为3和6-，那么这个方程可以是（ ）．A 、23180x x --=B 、23180x x +-=C 、23180x x -+=D 、23180x x ++=【答案】B【解析】直接将两个根分别为3和6-代入原方程，即可验证，结果为B ． 【总结】考查一元二次方程的根的概念，直接代入即可．【习题5】 用适当的方法解下列方程：（1）2421x x -=-； （2）(2)(2)2(2)x x x -+=-； （3）2230x x +-=； （4）23180x x --=；（5）22570x x --=；（6）224(3)25(2)0x x +--=．【答案】（1）1273x x =-=，； （2）1202x x ==，； （3）1213x x ==-，； （4）1263x x ==-，； （5）12712x x =-=，； （6）126437x x ==，．【解析】（1）由2421x x -=-，得(7)(3)0x x +-=，解得：1273x x =-=，； （2）由(2)(2)2(2)x x x -+=-，得(2)0x x -=，解得：1202x x ==，； （3）由2230x x +-=，得(3)(1)0x x +-=，解得：1213x x ==-，； （4）由23180x x --=，得(6)(3)0x x -+=，解得：1263x x ==-，； （5）由22570x x --=，得(27)(1)0x x -+=，解得：12712x x =-=，； （6）由224(3)25(2)0x x +--=，得2(3)5(2)2(3)5(2)x x x x +=-+=--或，即31674x x ==或，解得：126437x x ==，．【总结】本题主要考查用适当的方法求解一元二次方程的解，注意方法的选择．【习题6】 解方程：2228x --=+．【答案】12218x x =-=--，【解析】由2228x --+，得22)80x +++=，分解因式，得：2)42)0x x +++=，解得：12218x x =-=--，【总结】本题主要考查利用因式分解求一元二次方程的根，注意准确计算．【习题7】 如果222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，求m 的值． 【答案】2m =．班假暑级年八14/16【解析】因为222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，所以225(1)m m +=+，解得：2m =．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解及运用．【作业1】 已知方程2222(3)(2)0a b a b ++--=，则22a b +的值为（）．A 、2B 、3-C 、2或3-D 、以上都不对【答案】C【解析】将22a b +看作一个整体，解得22a b +的值为2或3-，因为22a b +是一个非负数，所以22a b +的值为2，故选A ．【总结】本题一方面考查整体代入思想的运用，另一方面考查非负数的概念．【作业2】 用因式分解法及配方法解下列方程：（1）2(4)5(4)x x +=+； （2）25240x x --=； （3）21042000x x --=； （4）2240x x --=； （5）23410x x -+=；（6）2650x x ++=．【答案】（1）1214x x ==-，； （2）1283x x ==-，； （3）127060x x ==-，；（4）1242x x ==-，； （5）12113x x ==，； （6）1215x x =-=-，．【解析】（1）由2(4)5(4)x x +=+，得(4)(45)0x x ++-=，解得：1214x x ==-，； （2）由25240x x --=，得(8)(3)0x x -+=，解得：1283x x ==-，； （3）由21042000x x --=，得(70)(60)0x x -+=，解得：127060x x ==-，；（4）由2240x x --=，得：(4)(2)0x x -+=，解得：1242x x ==-，；课后作业（5）由23410x x -+=，得：(1)(31)0x x --=，解得：12113x x ==，；（6）由2650x x ++=，得：(1)(5)0x x ++=，解得：1215x x =-=-，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程的解．【作业3】 用适当的方法解下列方程：（1）3(1)33x x x +=+；（2）2723200x x --=； （3）22(2)5x x x -=+；（4）(3)(4)8x x -+=；（5）(32)(21)(32)0x x x x -+--=；（6）222(1)5(1)40x x ---+=；（7）220y y -=． 【答案】（1）1211x x ==-，； （2）12547x x ==-，； （3）1251x x ==-，；（4）1254x x =-=，； （5）12213x x ==-，； （6）1234x x x x ====（7）12y y = 【解析】（1）由3(1)33x x x +=+，得21x =，解得：1211x x ==-，； （2）由2723200x x --=，得(75)(4)0x x +-=，解得：12547x x ==-，；（3）由22(2)5x x x -=+，得(5)(1)0x x -+=，解得：1251x x ==-，；（4）由(3)(4)8x x -+=，得2200x x +-=，即(5)(4)0x x +-=，解得：1254x x =-=，； （5）由(32)(21)(32)0x x x x -+--=，得(32)(21)0x x x -+-=，解得：12213x x ==-，；（6）由222(1)5(1)40x x ---+=，得22(11)(14)0x x ----=，解得：1234x x x x ===（7）由220y y -=，得：(20y y -=，解得：12y y =． 【总结】本题主要考考查用适当的方法求解一元二次方程的根，注意在用十字相乘法分解时，先将方程化为一般形式再分解．【作业4】 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是2760x x -+=的解，求△ABC 的周长． 【答案】3或18或13．【解析】由2760x x -+=，得(6)(1)0x x --=，解得16x x ==或． 当1a b c ===时，成立；当6a b c ===时，成立；当61a b c ===，时，成立； 当16a b c ===，时，不成立．所以周长为3或18或13．【总结】本题一方面考查因式分解解一元二次方程的根，另一方面考查三角形的三边关系．【作业5】 求证：无论x 为何值，代数式245x x -+的值总是大于零． 【答案】略．【解析】因为245x x -+2(2)1x =-+，所以无论x 取何值，代数式245x x -+的值总是大于零．【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围．。
八年级因式分解的四种方法
一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：年月日(星期 )3.因式分解(公式法):(1) 4x2-9；解：原式二(2) 16x2 + 24x + 9 ； 解：原式二(3) -4x2 + 4xy -y2 ；解：原式二 (4) 9(m + n)2 - (m - n)2 ； 解：原式二1.下列由左到右的变形，是因式分解的是 ________________ .①-3x2y2 --3-X2 - y2 ； (2)((2 + 3)(〃 - 3) = "2 一9 ； ④ 2mR + 2mr = 2m(R + r)；③ “2 — Z?2 +1 = (〃 + b)(a -Z?) + l ； (S)x2 -xy + x = x(x - y);⑦尸4y + 4 = (y-2)2.2.因式分解(提公因式法)：(1) 12a2b - 24ab2 + 6ab ；解：原式二- 4 = (m + 2)(m - 2)； (2)一“3 — a2 + Cl ； 解：原式二 (3) (a-Z?)(m + l)-(Z?-a)(M-l);解：原式二⑷ x(x-y)2-y(y-x)2 ；解：原式二(5 ) Xm + Xm-1 . 解：原式二(5)(x + 3y)2 -2(x + 3y)(4x-3y) + (4x-3y)2 ；解：原式二(6) x2(2x-5) + 4(5 -2x)；解：原式二(7) -8ax2 +16axy - 8ay2 ；(8) x4 - y4 ；解：原式二解：原式二(9) a4 -2a2 +1 ；(10) (a2 + b2)2 -4a2b2.解：原式二解：原式二4.因式分解（分组分解法）：(1) 2ax -10ay + 5by - bx；(2) m2 —5m一mn +5n；解：原式二解：原式二(3) 1 -4a2 -4ab-b2 ；(4) a2 + 6a + 9-9b2 ；解：原式二解：原式二♦【典型例题】因式分解(十字相乘法)：(1) x 2 + 4 x + 3 ；解：原式二(2) x2 + x一6 ；解：原式二(3) -x2 + 2x + 3 ；解：原式二(4) 2x2 + x-1 ；解：原式二(5) 3x2 + xy -2y2 ；解：原式二(6) 2x2 +13xy +15y2 ；解：原式二【巩固练习】1.因式分解(分组分解法)：(1)9 ax 2 + 9 bx 2 - a一b；解：原式二(2) a2 -2a + 4b-4b2. 解：原式二2.因式分解(十字相乘法):(1)x 3 - 2 x 2 - 8 x；解：原式二33) x4 -6x2 -27 . 解：原式二(2) x4 一7x2 +12 ；解：原式二三、随堂检测用适当的方法因式分解:(1) (2a一b)2 + 8ab；解：原式二(2) x2 - 2xy + y2 - 2x + 2y +1.解：原式二四、课堂小结五、课后作业用适当的方法因式分解：(1) a 2 - 8 ab +16b 2一c2 ；解：原式二(2) 4xy2 -4x2y- y3 ；解：原式二(3) 2(a -1)2 -12(a-1) +16 ；(4) (x +1)(x + 2) -12 ；解：原式二解：原式二因式分解拓展提高板块一：因式分解知识回顾1、列式子从左边到右边的变形中是分解因式的是( )A. x2 - x + 2 = x(x -1)+ 2 C. x2 -1 =(x + 1)Q -1)B. (a +b)aD. x -1 = x-b)=(.(1 \1 -72-b 2提公因式法一形如ma+mb+mc=m(a+b+c)分解因式：(1) 2a2bc2 + 8ac2 -4abc(2) m(m + n)3 + m(m + n)2 一m(m + n)(m 一n)运用公式法一平方差：a2 - b2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a2 土2ab+b2 = (a土b)2(1) a8 -1 (2) 4a2 +12ab + 9b2(3) 16(2m + n)2 一8n(2m + n) + n2 (4)(x2 + 4y2)2-16x2y2十字相乘法：x 2 + (p + q) x + pq = (x + p)(x + q)(1) x2 + 3x + 2 (2) 6a4 + 11a2b2 + 3b2 (3) x2 -(2m + 1)x + m2 + m - 2分组分解法：分组后能提取公因式，分组后能直接运用公式分解因式(1)3ax+4by+4ay+3bx (2)4x2 -4x- y2 + 4y-3板块二：综合应用例 1 ① x (x -1) + y (y +1) - 2 xy②(xy -1)2 + (x + y - 2)( x + y - 2 xy)③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1) (xy-1)例 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x 3+6 x 2 +11 x + 6板块三：实际应用例3求证：一个三位数的百位数字与个位数字交换后，得到的数与原数之差能被99整除。
因式分解(分组分解法)
（一）分组后能直接提公因式
复习提问
1.什么叫做因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式。 2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？ 提供因式法，公式法——平方差公式， 完全平方公式
引例
(a+b)(m+n)
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
想一想
例１，例２种还有没有其他分组的方法；如果 有，因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
=(a2+ac)-(ab+bc)
整 am+an+bm+bn 因
因式分解-运用公式法
因式分解-运用公式法精选题34道一．选择题（共14小题）1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+92．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种3．下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x＝x（x2+2y）；②x2+4x+4＝（x+2）2；③﹣x2+y2＝（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个4．把多项式分解因式，正确的结果是（）A．4a2+4a+1＝（2a+1）2B．a2﹣4b2＝（a﹣4b）（a+b）C．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b25．已知x2+kx+4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（）A．﹣4B．2C．4D．±46．把（a2+1）2﹣4a2分解因式得（）A．（a2+1﹣4a）2B．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）C．（a+1）2（a﹣1）2D．（a2﹣1）27．下列因式分解正确的是（）A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n）B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2C．a2﹣a＝a（a﹣1）D．a2+2a+1＝a（a+2）+18．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是（）A．﹣m2﹣n2B．﹣16x2+y2C．b2﹣a2D．4a2﹣49n29．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+14C．x2+xy+y2D．9+x2﹣3x10．分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）11．为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（）A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b]B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c]C．[（b+c）﹣a][（b﹣c）+a]D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]12．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．a2﹣1B．a2+4C．a2+2a+1D．a2﹣4a﹣4 13．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2B．﹣1+25a2C．116−9a2D．1﹣a4 14．下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1B．x2+xy+y2C．x2﹣2x+1D．x2+2x﹣1二．填空题（共10小题）15．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．16．分解因式：x2﹣4＝．17．分解因式：a2﹣4b2＝．18．分解因式：x2﹣2x+1＝．19．分解因式：a2﹣2a+1＝．20．分解因式：4a2﹣4a+1＝．21．因式分解：x2﹣1＝．22．因式分解：x2﹣9＝．23．因式分解：9x2﹣4＝．24．因式分解：m2﹣4n2＝．三．解答题（共10小题）25．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．26．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．27．分解因式（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（a2+4b2）2﹣16a2b2．28．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请问：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式法B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x +2）+1进行因式分解． 29．分解因式 （1）12m 2−mn +12n 2；（2）9y 2﹣（2x +y ）2． 30．（1）2x 2+2y 2﹣6xy （2）x 2﹣y 231．9（a ﹣b ）2+36（b 2﹣ab ）+36b 232．借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果．下面尝试利用表格试一试．例题：（a +b ）（a ﹣b ） 解填表a ba a 2 ab ﹣b﹣ab﹣b 2 则（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2． 根据所学完成下列问题．（1）如表，填表计算（x +2）（x 2﹣2x +4），（m +3）（m 2﹣3m +9），直接写出结果．x 2 ﹣2x 4 x x 3 ﹣2x 2 4x +2 2x 2﹣4x8m 2 ﹣3m 9 m m 3 ﹣3m 2 9m +33m 2﹣9m27结果为 ；结果为 ． （2）根据以上获得的经验填表：△△3〇〇3结果为△3+〇3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为．（3）用公式计算：（2x+3y）（4x2﹣6xy+9y2）＝；因式分解：27m3﹣8n3＝．33．（﹣2x﹣1）2（2x﹣1）2﹣（4x2﹣2x﹣1）234．（2a+3b）2﹣2（2a+3b）（5b﹣4a）+（4a﹣5b）2．。