初中数学《相似三角形》教案

相似三角形一、知识概述1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示：①当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“ 见平行，想比例” ，还要想到“ 见平行，想相似”．1、相似三角形的判定：判定定理（1）：两角对应相等，两三角形相似．判定定理（2）：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理（3）：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示：①有平行线时，用上节学习的预备定理；②已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3 ．但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理 3 判定两个直角三角形相似；②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“ 母子相似三角形”，其应用较为广泛．③如图，可简单记为：在Rt△ABC 中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；（2）相似三角形中，一对最长的边（或最短的边）一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型” 相似三角形，基本图形见上节图．“ 见平行，想相似” 是解这类题的基本思路；(2)“相交线型” 相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽ △ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．三、解题方法技巧点拨1、寻找相似三角形的个数例 1 、(吉林)将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：(1) 图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；(2) 图中有相似(不包括全等) 三角形吗？如果有，就把它们一一写出来．分析：(1)在△ABC 内，有五个三角形，加上△ABC 与△AFG，共有七个三角形．(2) 这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题．由于“ 不包括全等” ，图中还剩五个非直角三角形，考虑到题设中两个三角形摆放的随意性，∠1 不一定等于∠2，而∠B=∠C=45°，∠3、∠4都为钝角，又排除△ABD 与△ACE相似，还剩三个三角形，这三个三角形相似．解：(1)共有七个三角形，它们是△ABD、△ABE、△ADE、△ADC、△AEC、△ABC 与△AFG．(2)有相似三角形，它们是△ABE∽△DAE，△DAE∽△DCA，△ABE∽△DCA(或△ABE∽△DAE∽△DCA)．点拨：①解决这类计数问题，一定要依据图形与定理，全面、周密思考，做到不重不漏，这类题有利于发散思维的培养和创新意识的形成；②有兴趣的同学可继续探索一下本题中BD、DE、EC 三条线段有何关系？2、画符合要求的相似三角形例 2 、 (上海 )在大小为 4×4 的正方形方格中，△ ABC 的顶点 A 、 B 、 C 在单位正方形的顶点 上，请在图中画出一个△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1∽△ABC(相似比不为 1)，且点 A 1、B 1、 C 1都在单位正方形的顶点上．1)分析：设单位正方形的边长为 1 ，则△ ABC 的三边为 ，从而根据相似三角形判定定理 2或 3 可画△A 1B 1C 1，易得点拨：在 4×4 的正方形方格中，满足题设的△A 1B 1C 1 只能画出以上三个，若正方形方 格数不加限制，则和△ABC 相似且不全等的三角形可以画无数个．3、相似三角形的判定例 3、(1)如图，O 是△ABC 内任一点，D 、E 、F 分别是 OA 、OB 、OC 的中点，求证：△ DEF ∽△ABC ；(2)如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DF=3CF ，写出图中所有相似三角形，并 证明．2)分析：(1) 根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD 分别是△ AOB、△ BOC 、△ COA 的中位线，利用三角形的中位线性质可证△DEF 与△ABC 的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．点拨：①第(1) 题，若点O 在△ ABC 外，其他条件不变，结论仍成立；②第(2)题也可用判定定理2，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF 相似，显然，以上证法较简便．4、直角三角形相似的判定例 4 、求证：若一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高成比例，那么这两个直角三角形相似．已知：如图，Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD︰C′D′=AC︰A′C′．求证：△ABC∽△A′B′C′．分析：判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外，还可使用“ 斜边和一直角边对应成比例的两直角三角形相似”这一定理．证明△ABC∽△A′B′C′，只要再证一锐角对应相等即可．证明：∵CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，∴△ACD 、△A′C′D′是直角三角形．5、三角形重心问题例5、已知△ABC 的重心G 到BC 边上的距离为5，那么BC 边上的高为( )A ．5B ．12D ．15解析： 因为 G 为△ABC 的重心，所以 DG ︰ DA=1 ︰ 3，因为 GE ⊥ BC ， AF ⊥ BC ，所以 GE ∥ AF ，所以 GE ︰AF=DG ︰DA=1︰3，因为 GE=5，所以 AF=15．6、相似三角形的综合运用例 6 、如图，CD 是 Rt △ ABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 垂直于 AB 的直线交 BC 于 E ，交 AC 延长线于 F ．求证：(1)△ADF ∽△EDB ；(2)CD 2=DE·DF ．分析：(1) △ ADF 与△ EDB 都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2) 注意到 CD 是斜边 AB 的中线， AD=BD=CD ，由结论 (1) 不难得出结论 (2)． 证明：(1)∵DF ⊥AB ，∴∠ADF= ∠BDE=90°，又∵∠F ＋∠A=∠B ＋∠A ，∴∠F=∠B ，∴△ ADF ∽△EDB ．(2)由(1)得 ，∴AD·BD=DE·DF ．又∵CD 是 Rt △ABC 斜边上的中线，∴AD=BD=CD ．故 CD 2=DE·DF ．C ．10点拨：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC．请同学们完成这一证明．例7、如图，AD 是△ABC 的角平分线，BE⊥AD 于E，CF⊥AD 于F．求证：分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，从中不难找到这个中间比．证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°，∴△ABE∽△ACF ，点拨：①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；例8 、如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是AB、BC 上的点，BM=BN ，BP⊥MC 于点P．求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．分析：要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC 与∠DPN 有公共部分∠ CPN，因此只要证明∠4=∠5 即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN 与△PCD中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3 的两边对应成比例．证明：(1)在正方形ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90°．∵BP⊥MC，∴△PBM∽△PCB．点拨：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1= ∠2 及△PBM∽△PCB 等重要结论一、本章的两套定理 第一套(比例的有关性质)：bdac a = c = = m (b +d + +n 0)等比性质: b d n 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金 分割等。