差分法(点差法)在圆锥曲线中的应用
圆锥曲线点差法应用个性化教案
圆锥曲线点差法应用个性化教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆锥曲线的定义及其性质；（2）掌握点差法的概念及其在圆锥曲线中的应用。
2. 过程与方法：通过小组合作、讨论，培养学生探究问题的能力；利用数形结合，提高学生解决问题的策略。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作精神。
二、教学重难点1. 教学重点：圆锥曲线的定义及其性质；点差法的概念及其在圆锥曲线中的应用。
2. 教学难点：点差法的灵活运用，以及数形结合的转化能力。
三、教学准备1. 教师准备：（1）熟练掌握圆锥曲线的性质；（2）熟练运用点差法解题；（3）准备相关例题和练习题。
2. 学生准备：（1）掌握基本函数的性质；（2）了解圆锥曲线的基本概念；（3）具备一定的解题技巧。
四、教学过程1. 导入新课：通过复习圆锥曲线的定义及其性质，引出点差法的概念。
2. 知识讲解：（1）讲解圆锥曲线的性质，如焦点、准线、渐近线等；（2）介绍点差法的定义和原理；（3）示范性讲解点差法在圆锥曲线中的应用。
3. 例题解析：选取典型例题，引导学生运用点差法解决问题，并及时给予指导和点拨。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
五、课后作业1. 复习圆锥曲线的性质和点差法的应用；2. 完成课后练习题，提高解题能力；3. 总结本节课的学习收获，准备下一节课的内容。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评价学生对知识的掌握程度。
七、教学拓展1. 对比分析：引导学生探讨圆锥曲线与其他几何图形的异同，提高学生的图形识别能力。
2. 实际应用：介绍圆锥曲线在现实生活中的应用，如建筑、工程等领域，激发学生的学习兴趣。
八、教学反思1. 教师方面：（1）检查教学目标的设定是否合理；（2）反思教学方法是否适合学生的需求；（3）总结教学过程中的成功经验和不足之处，为后续教学提供借鉴。
“点差法”在圆锥曲线中的应用与推广
a2 b2
.接下来
我们看看高考真题中的“点差法”及其应用. 例 1 ． （ 2015 全 国 卷 II ， 理 科 20 ） 已 知 椭 圆
C : 9x2 y2 m2 (m 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐 标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ．
证明：根据椭圆的对称性可知A、B关于原点对称，设
A(x1, y1), B(x2 , y2 ), P(x, y)
x12 a2
y12 b2
x2 1① a2
y2 b2
1②，
①-②可得如下表达式
( x1
x)( x1 a2
x)
( y1
y)( y1 b2
y)
0
，
两
边
同
除
(x1 x)(x1 x)
,
则
k
y2 x2
y1 x1
,
x2
x1
2x0
,
y2
y1
2 y0 .
将点A、B的坐标带入椭圆方程可得,
x12 a2
y12 b2
1
①,
x22 a2
y22 b2
1②
将
②
-
①
可
得: (x2 x1)(x2 x1) ( y2 y1)( y2 y1) 0
a2
b2
2x0 (x2 a2
1 k( )
1
b2
a2
，由点F及A、B中点可求出 k
1 2
(完整版)圆锥曲线中点差法的应用(归纳)
圆锥曲线中点差法的应用一、知识点归纳：1、若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22221(0)x y a b a b+=>>x l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO b k k a=-A 若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22221(0)y x a b a b+=>>y l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO a k k b=-A 2、若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22221(0,0)x y a b a b-=>>x l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO b k k a=A 若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22221(0,0)y x a b a b-=>>y l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO a k k b=A 二、练习题1、已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F 的直线与相交于A ，B 两E (3,0)P E l E 点，且AB 的中点为,则的方程式为(12,15)N --E (A) (B) (C) (D) 22136x y -=22145x y -=22163x y -=22154x y -=2、已知椭圆：的右焦点为（3,0），过点的直线交于，E )0(12222>>=+b a by a x F F E A两点.若的中点坐标为（1，-1），则的方程为B A B E （A ） （B ） （C ） （D ）1364522=+y x 1273622=+y x 1182722=+y x 191822=+y x 3、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
浅析“点差法”在圆锥曲线中的应用
教学篇•方法展示一、点差法在椭圆中的应用例1.已知点P （4，2）是直线l ：x +2y -8=0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，求该椭圆的离心率。
解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），直线x +2y -8=0与椭圆交于A ，B 两点，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐。
两式相减，得（x 1-x 2）（x 1+x 2）a 2+（y 1-y 2）（y 1+y 2）b 2=0，即y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2x 1+x 2y 1+y 2。
因为k AB =-12，AB 中点为（x 0，y 0），x 0=4，y 0=2，所以-12=-2b 2a2，即a 2=4b 2。
所以该椭圆的离心率为e =1-b 2a 2√=3√2。
点评：本题在利用“点差法”解决中点弦问题时，运用“设而不求”的方式，降低解题的运算量，优化解题过程，此为本题的亮点一。
亮点二：通过“点差法”建立直线的斜率与弦中点的联系，消去未知量，从而求解。
二、点差法在双曲线中的应用例2.已知双曲线C :2x 2-y 2=2与点P （1，2）。
（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？解：（1）直线l 的方程为y -2=k （x -1），即y =kx +2-k 。
由y =kx +2-k2x 2-y 2=2{，得（k 2-2）x 2-2（k 2-2k ）x +k 2-4k +6=0。
因为直线l 与C 有两个公共点，所以得k 2-2≠0Δ=4（k 2-2k ）2-4（k 2-2）（k 2-4k +6）>0{解之得：k <32且k ≠±2√，∴k 的取值范围是（-∞，-2√）∪（-2√，2√）∪（2√，32）。
点差法在圆锥曲线的应用
中点弦与点差法在圆锥曲线的应用【考情分析】1、高考要求（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；（3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；（4）了解曲线与方程的对应关系；（5）理解数形结合的思想；（6）了解圆锥曲线的简单应用。
从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。
【复习本专题的意义】解析几何是高考的重点，也是难点。
一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。
“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。
当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。
与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。
本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2019年高考取胜作充分准备。
例谈圆锥曲线中的“点差法”之妙用
ｃ：
ｎ
一
０
一 １（ ａ ＞ｏ ， ｂ ＞ｏ ） 相交 于 Ｂ 、 Ｄ两点 ， 且 Ｂ Ｄ 的 中 点 为
Ｍ（ １， ３ ） 。
十ｚ 和 。 ＋Ｙ 。， 再结合已知条件求解 ， 以 下 从 两 个 方 面 谈 谈 其
基本应用 。 圆 锥 曲线 中弦 的 中点 问题 （ 即中点弦问题 ）
新思维 ， 收 到 了一定 的 效 果 。
解， 所 挑 选 的那 几 个 普 通 学 生 由 于 得 到 了 外 国 专 家 说 自 己 是 神 童的心理暗示 ， 学习劲头倍增 ， 一 年 后 学 习成 绩 果 真 位 居 班 级 前 列 。这 一 方 法 很 值 得 我 们 学 习 效 仿 。 因 此 ， 只 有 教 师 用 自己 的 情感态度感化学生 ， 用积极的心理暗示 去影响学 生 ， 在 与 学 生 的 直 接 接 触 中展 现 自我 ， 敢于创新 ， 不 因循守 旧， 敢 于怀疑 ， 勇 于 挑 战， 必 能 以 自 己 的人 格 对 学 生 创 造 人 格 的 形 成 ， 产生示 范作 用 ， 以 自己 的 人 格 感 染 和 熏 陶学 生 ， 从 而 塑 造 学 生 的创 新 人 格 ， 挖 掘
＼ ／ ＼ ／ ‘；
ｄ＼
Ｎ … … 、 － ，
解 析 ： ＋ 等一 ， 薯＋ 营一 ， 两 式 相 减 Ｘ ２ － Ｘ ２ 一 一 则 一 ｂ ２ ＝ 一
一
・ 糍 ＝
・ 卿
则 等＋ 等一 ， 等＋ 譬一 ， 相 减 得 生 ＋ ２
学生的创新潜能 。 三、 教 师 要 善 于 在 教 学 过 程 中培 养 学 生 的 创 新 思 维
例２ ： （ ２ Ｏ １ Ｏ全 国 Ⅱ理 ２ １ ） 已 知 斜 率 为 １的 直 线 ｚ 与 双 曲 线
浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用
浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用作者：张伟建来源：《中学教学参考·理科版》2012年第11期圆锥曲线问题是高中数学的难点之一，圆锥曲线的弦的中点有关问题是常考查的内容.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，过程繁琐，计算量大.“点差法”是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式相减，可得一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解.当题目涉及弦的中点、斜率，或借助曲线方程中变量的取值范围求其他变量的范围时，一般都可以用“点差法”来求解.这种方法对有关点的坐标设而不求，充分发挥整体思想在解题中的应用，起到简化和优化解题过程的作用.【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个顶点A的坐标为（0，-1），且右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.（1）求a、b的值；（2）若存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同两点M、N，且满足|AM|=|AN|，求k的取值范围.解析：由于篇幅有限，常规解法不再赘述.下面使用点差法求解.设M（，），N（，），P（，）.当k≠0时，由|AM|=|AN|知：；①；②；③；④---；⑤由①-②得（）（-）+3（）（-）=0.⑦将③④代入⑦，得-k；⑧将⑧和⑤联立得，-32k，将它们代入⑥得94k2+34解得k∈（-1，1）且k≠0.当k=0时显然成立.故k∈（-1，1）.【例2】如图2所示，某椭圆的焦点是（-4，0）、（4，0），过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A（，）、C（，）满足条件：、、成等差数列.（1）求该椭圆方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.解析：（1）由椭圆定义及条件得，∴a=5.又c=4，∴b2=a2-c2=9.故椭圆方程为x25+y29=1.（2）由a=5，c=4知离心率e=ca=45，-，-依焦半径公式：由、、成等差数列，得5--，解得，∴故弦AC中点的横坐标为4.（3）由第（2）问可知弦AC中点的横坐标，再由弦AC的垂直平分线方程，可表示出AC的方程，然后与椭圆方程联立可将k用AC中点坐标表示，再由中点在y=kx+m上，可将m用弦AC中点的纵坐标表示，然后结合弦AC中点在线段BB′上这一条件，求出m的取值范围.故设弦AC中点为P（4，），所以直线AC的方程为：y--1k（x-4）（x≠0）.将上式代入椭圆方程得（9k2+25）x2-50（）x+25（）2-25×9k2=0，∴（）9k2+25=8，解得（当k=0时也成立），∵点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，∴，∴---∵点P（4，）在线段BB′的内部，于是有-95这道题表面上看与“点差法”没多大联系，第（2）问中既然出现了线段的垂直平分线，当然也就有了弦的中点，“点差法”也就有了用武之地.下面使用点差法求解.设弦AC中点为P（4，），由A（，）、C（，）知；①；②；③；④--；⑤；⑥-95由①-②得（）（-）25-（）（-）9=0，将③④代入上式得：---2=-1k，解得（）.又由-95且得-165（注：当k=0时，AC中点为（4，0），此时）综上，m∈（-165，165）.圆锥曲线求参数取值范围问题，常有两种解题思路：1.先求出直线的斜率的变化范围，进而求参数的取值范围.2.借助曲线中变量的取值范围求参数的取值范围在椭圆中，直线与椭圆如果有两个交点，则等价于弦的中点在椭圆内部，换句话说，某点在圆锥曲线的内部，则被该点平分的弦一般存在.本题即根据AC的中点P在椭圆内部，求出的取值范围，进一步求出m的范围.由此可见，中点弦问题中判断“中点”的位置非常重要，而“点差法”是解决此类问题当之无愧的“利剑”.参考文献邵丽云.高中数学疑难全解放入书架[M].南京：南京师范大学出版社，2006.[2]曹兵.高中数学难题新题精讲精练300例[M].上海：上海交通大学出版社，2008.。
高考专题——点差法在圆锥曲线中的应用
角的比较与运算教案第一章：角的定义与分类1.1 角的概念引入角的定义：由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角。
强调角的顶点和两条边。
1.2 角的分类锐角：大于0°且小于90°的角直角：等于90°的角钝角：大于90°且小于180°的角平角：等于180°的角周角：等于360°的角第二章：角的测量2.1 量角器的使用介绍量角器的结构：中心点和两个可转动的刻度盘演示如何测量角的度数：将量角器的中心点对准角的顶点，将刻度盘对准角的一条边，读取另一条边的刻度。
2.2 角的度量单位度、分、秒：角度的度量单位，1度等于60分，1分等于60秒。
第三章：角的比较3.1 角的比较方法比较角的大小：通过观察角的度数或使用量角器进行测量。
强调锐角、直角、钝角的比较。
3.2 角的排序练习将给定的角按照大小进行排序。
第四章：角的运算4.1 角的加法介绍角的两边可以进行加法运算，强调结果仍为角的度数。
示例：30°+ 45°= 75°4.2 角的减法介绍角的两边可以进行减法运算，强调结果仍为角的度数。
示例：135°45°= 90°第五章：综合练习5.1 角的大小比较给出不同大小的角，练习比较它们的大小。
5.2 角的运算练习给出角度的加减运算题目，练习计算结果。
第六章：角的应用6.1 角的实际意义解释角在日常生活中的应用，如钟表、自行车把手、房屋设计等。
引导学生理解角的概念与实际生活的联系。
6.2 角的问题解决提供实际问题，要求学生运用角的知识解决问题。
示例：一个自行车的车把形成的角度是多少？第七章：邻补角的定义与运算7.1 邻补角的定义介绍邻补角的概念：两个角互为邻补角，当它们的度数之和为180°时。
强调邻补角的互补性质。
7.2 邻补角的运算演示如何计算邻补角的度数之和。
示例：若一个角的度数为50°，求其邻补角的度数。
巧用“点差法”破解圆锥曲线中点弦和切线问题
巧用 点差法 破解圆锥曲线中点弦和切线问题唐金波(深圳科学高中ꎬ广东深圳５１８１２９)摘㊀要: 点差法 是圆锥曲线中一类非常重要的方法ꎬ代点作差ꎬ模式化强ꎬ计算量少ꎬ能很好地优化解题过程.高中阶段用 点差法 来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解ꎬ且能更好地理解数学的本质ꎬ欣赏到数学之美.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００６０－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:唐金波ꎬ男ꎬ湖南省衡阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀在处理直线与圆锥曲线相交所得弦的中点和切线的相关问题时ꎬ我们经常会用到 点差法 :设弦的两个端点坐标ｘ１ꎬｙ１()和ｘ２ꎬｙ２()ꎬ代入圆锥曲线的方程后ꎬ把所得的两个方程相减ꎬ得到弦的中点坐标与弦所在直线斜率的关系ꎬ使问题得到解决.此方法巧妙地将中点坐标公式和斜率公式 珠联璧合 ꎬ设而不求ꎬ代点作差ꎬ减少了计算量ꎬ模式化强ꎬ优化了解题过程ꎬ对解决此类问题有很好的效果[１].１ 点差法 的介绍１.１中点弦问题结论１㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为椭圆的离心率).分析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＭｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.所以ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.说明㊀本篇后续例题等直接引用该表达式ꎬ没有给出推导ꎬ正式解题作答时需要给出推导过程.对于双曲线和抛物线可类似推导如下结论ꎬ有兴趣的读者可以自行推导.结论２㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为双曲线的离心率).结论３㊀设点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ʂｘ２)是抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上两点ꎬ则直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２.１.２切线问题结论４㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０６ｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.分析㊀设Ｑ(ｘ１ꎬｙ１)为椭圆上不同于点Ｐ的任意一点ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ０ｙ１＋ｙ０.过点Ｐ的切线ｌ可以看作割线ＰＱ当ＱңＰ时的极限位置.①若ｙ０ʂ０ꎬ当ｘ１ңｘ０ꎬｙ１ңｙ０时ꎬｋＰＱң－ｂ２ａ２ｘ０＋ｘ０ｙ０＋ｙ０＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.此时切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).化简得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ并且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.②若ｙ０＝０ꎬ容易验证切线ｌ的方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上①②ꎬ可知结论成立.通过利用极限的思想结合 点差法 推导椭圆的切线方程ꎬ有助于更好地理解点差法ꎬ挖掘其本质ꎬ进一步说明点差法为什么能解决与中点弦相关的问题ꎬ对提升数学思维和数学核心素养有很大的帮助.本结论也可以通过点差法推广到双曲线和抛物线ꎬ有兴趣的读者可以自行证明.结论５㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.结论６㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ０＋ｘ)且ｋｌ＝ｐｙ０.２ 点差法 的应用２.１应用 点差法 解中点弦问题例１㊀(２０２２年新高考Ⅱ卷 １６)如图１ꎬ已知椭圆ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬ直线ｌ与椭圆在第一象限交于ＡꎬＢ两点ꎬ与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ＭＡ＝ＮＢꎬＭＮ＝２３ꎬ则直线ｌ的方程为.解析㊀设ＡＢ的中点为Ｅꎬ因为ＭＡ＝ＮＢꎬ所以ＭＥ＝ＮＥ.图１㊀２０２２年新高考Ⅱ卷１６题图由结论１ꎬ有ｋＯＥ ｋＡＢ＝－１２.设直线ＡＢ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｋ<０ꎬｍ>０ꎬ令ｘ＝０得ｙ＝ｍꎬ令ｙ＝０得ｘ＝－ｍｋ.即Ｍ－ｍｋꎬ０æèçöø÷ꎬＮ０ꎬｍ().所以Ｅ－ｍ２ｋꎬｍ２æèçöø÷.即ｋˑｍ/２－ｍ/２ｋ＝－１２.解得ｋ＝－２２或ｋ＝２２(舍去).又ＭＮ＝２３ꎬ即ＭＮ＝ｍ２＋２ｍ()２＝２３ꎬ解得ｍ＝２或ｍ＝－２(舍去).所以直线ＡＢ:ｙ＝－２２ｘ＋２ꎬ即ｘ＋２ｙ－２２＝０.评注㊀由问题中的条件ＭＡ＝ＮＢꎬ借助几何图形的特点ꎬ可自然联想到取线段ＡＢ的中点Ｅꎬ从而利用椭圆中 点差法 的结论ꎬ得到直线斜率和截距的关系式ꎬ进而解决问题.２.２应用点差法 解切线问题例２㊀(２０２２年淮北中学第一次联考 ２１)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为Ｆ(１ꎬ１６０)ꎬ离心率为１２.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ分别过ＡꎬＢ作Ｃ的切线ｌ１ꎬｌ２ꎬ且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ.证明:ＯꎬＭꎬＰ三点共线.解析㊀(１)ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎻ(２)当直线ｌ的斜率不存在时ꎬＯꎬＭꎬＰ三点共线显然成立.当直线ｌ的斜率存在设为ｋ(易知ｋʂ０)ꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ由结论１知ꎬｋ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝－３４ꎬ即ｋＯＭ＝－３４ｋ.由结论２知ꎬｌ１:ｘ１ｘ４＋ｙ１ｙ３＝１ꎬ①ｌ２:ｘ２ｘ４＋ｙ２ｙ３＝１.②由①②ꎬ得ｘ(ｘ１－ｘ２)４＝－ｙ(ｙ１－ｙ２)３.即ｋｏｐ＝ｙｘ＝－３(ｘ１－ｘ２)４(ｙ１－ｙ２)＝－３４ｋ.于是ｋＯＭ＝ｋｏｐꎬ因此ＯꎬＭꎬＰ三点共线.评注㊀上述有关中点弦和曲线上一点的切线问题若借助 点差法 得到直线的斜率与中点到原点的斜率的关系式ꎬ能有效减少计算量.用点差法得到的切线方程也简单易懂ꎬ给我们推导圆锥曲线上一点的切线提供了更为初等的方法ꎬ充分说明了 点差法 的威力ꎬ更能让我们欣赏到数学之美.２.３对 点差法 深入理解例３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ是否存在过点Ｍ(１ꎬ１)的直线ｌꎬ使ｌ与双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ且Ｍ是线段ＡＢ的中点?若存在求出ｌ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀当直线ｌ的斜率不存在时ꎬ显然不合题意.当直线ｌ的斜率存在设为ｋꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则由结论２ꎬ知ｋ ｋＯＭ＝２ꎬ即ｋ＝２.于是ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－１.但若将ｙ＝２ｘ－１代入双曲线ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ消去ｙꎬ整理ꎬ得２ｘ２－４ｘ＋３＝０ꎬ此方程没有实数解.所以满足题意的直线ｌ不存在.评注㊀解答例３的问题时ꎬ在用点差法求出直线方程后ꎬ认为已经 大功告成 ꎬ这就反应出解题过程中理性思维的缺失.此例体现了 点差法 在应用中的特殊性和局限性ꎬ有助于我们对数学更深入地理解.事实上ꎬ(１)当曲线是椭圆或者抛物线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则满足条件的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足条件的直线不存在.(２)当曲线是双曲线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则所求的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足的条件可能存在ꎬ也可能不存在ꎬ此时需要验证判别式.３总结反思点差法 是一种非常典型且简单易学的方法ꎬ但它仍然不是圆锥曲线中的通解通法.从上述例题的解答过程可以看出ꎬ当遇到中点弦㊁切线等条件时ꎬ我们可以尝试该法.对于联立直线与圆锥曲线方程的通法ꎬ该法过程简洁㊁计算量小ꎬ能进一步提高解题效率.对于圆锥曲线上一点的切线问题也能很好地解决ꎬ是高中阶段非常好用㊁易用㊁实用的好方法.但是该法仍然具有其局限性ꎬ我们在平时的学习过程中ꎬ要结合自身掌握知识的程度和对知识本质理解的程度ꎬ选择最优的解题方法.要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想ꎬ加深对数学本质的理解ꎬ从而提高自身的数学核心素养.参考文献:[１]苏立标.圆锥曲线的秘密[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]２６。
圆锥曲线中“点差法”的应用
圆锥曲线中“点差法”的应用丹江口市一中数学组 严高翔在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率,设而不求，优化运算。
本文列举数例，以供参考。
一．以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则 1642121=+y x ，1642222=+y x 两式相减得 0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
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差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用
圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下：
（一）在椭圆中的应用：
（二）在双曲线中的应用：
在处理有关弦的问题时,也可以应用”点差法”。
但特别需要注意的是椭圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。
分析：与椭圆的焦半径相同，双曲线一支上的三点与一个焦点形成的焦半径成等差数列的充要条件是这三个点的横坐标（或纵坐标）成AP。
另外，题目中涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来求解。
（三）在抛物线中的应用：
和椭圆，双曲线一样，涉及到有关弦的中点和斜率问题时，也可以应用“点差法”。
点评：本题的难点在于通过点p在抛物线内部建立关于k的不等式，这个显然的几何条件往往被忽视。
（四）练习：
1：抛物线 y2 = 4x经过焦点的弦的中点轨迹方程是（）。