极限经典例题集
求极限练习题
求极限练习题### 求极限练习题1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
2. 求下列极限 \(\lim_{x \to 1} (3x^2 - 2x + 1)\)。
3. 判断极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x}\) 是否存在，并求出其值。
4. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
5. 求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 7x + 5}{x - 2}\)。
6. 判断极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}\) 是否存在，并给出理由。
7. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)。
8. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}\) 的值。
9. 判断极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1}\) 是否存在，并求出其值。
10. 计算 \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\)。
11. 求 \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) 的值。
12. 判断极限 \(\lim_{x \to 0} x \ln(1 + x)\) 是否存在，并求出其值。
13. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)。
14. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值。
15. 判断极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\) 是否存在，并给出理由。
16. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\)。
高数求极限的例题及详解
高数求极限的例题及详解
求极限的例题及详解
高数的极限是指在函数中求取某一极限值的方法，也是高数中分离变量的基本概念，在学习求取极限过程中，例题的了解也非常重要。
下面就来讨论一道求极限的例题。
例题题目：求极限
lim\left(x\right) = \frac{\sqrt{x+8}-\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}
解析：该题要求求出极限，首先将分数中的分母变为0，则有：2-3x=0，解得x=2/3。
由于在求取函数极值时，该函数至少需要二阶可导，所以要先求出其二阶导。
导函数结果：y''= \frac{12}{\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+7}\right)^3}
故其二阶导数为正，由于函数y= \frac{\sqrt{x+8}-
\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}在x=2/3时，分子和分母同时趋向于无穷大，所以此时函数极限值为正无穷，因此，解得该题极限为：lim\left(x\right) = +\infty。
结论：最终我们解出该题极限值为+∞，由此可见，求极限的基本方法是：求出函数的导数并判断其开口方向；在求取极限的例题中，要先求出表示极限的分子和分母的表达式，然后求出函数的二阶导数，最后由分母或分子在极限点趋向于无穷大或无穷小，两者成比例来确定函数的极限值。
高数极限真题及答案解析
高数极限真题及答案解析引言：高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，其中极限是数学中的重要概念之一。
作为基础与应用数学的桥梁，掌握高数极限的理论和解题方法对学生的学习和发展至关重要。
本文将介绍几道经典的高数极限真题，并对它们的答案进行详细解析，帮助读者深入理解高数极限的概念和运用。
第一道题目：求极限：lim(x→2) (3x² - 7x + 2)解析：对于这道题目，我们可以使用极限的性质，将其分解为更简单的形式。
首先，我们将3x² - 7x + 2因式分解为(x - 2)(3x - 1)。
然后，我们可以得到：lim(x→2) (x - 2)(3x - 1) = lim(x→2) (x - 2) ×lim(x→2) (3x - 1)将极限运算分解为两个单独的极限，便于计算。
此时，我们可以得到：lim(x→2) (x - 2) = 2 - 2 = 0lim(x→2) (3x - 1) = 3(2) - 1 = 5因此，原极限的结果为0 × 5 = 0。
第二道题目：求极限：lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4)解析：对于这道题目，我们需要考虑的是当自变量趋向于无穷大时的极限情况。
首先，我们可以使用同除法的原则，将分子和分母同时除以x²，得到：lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4) = lim(x→∞) (2 -5/x) / (3 + 4/x²)随着x趋向于无穷大，5/x和4/x²的值都趋近于0，因此我们可以得到：lim(x→∞) (2 - 5/x) / (3 + 4/x²) = 2/3所以，原极限的结果为2/3。
第三道题目：求极限：lim(x→0) (sin²x) / x解析：对于这道题目，我们可以使用极限的定义，即lim(x→a) f(x) = L。
大学高数极限考试题及答案
大学高数极限考试题及答案# 大学高数极限考试题及答案一、选择题1. 下列函数中，极限不存在的是（）A. \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 当 \( x \to 1 \)B. \( g(x) = \sin(x) \) 当 \( x \to \pi \)C. \( h(x) = x^2 \) 当 \( x \to 2 \)D. \( k(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 当 \( x \to 0 \)答案：A2. 计算极限 \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1} \) 的结果是（）A. \( \infty \)B. \( 1 \)C. \( 0 \)D. \( \frac{1}{2} \)答案：A二、填空题1. \( \lim_{x \to 0} x \cdot \sin(\frac{1}{x}) = \) ______答案：02. \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = \) ______答案：0三、计算题1. 计算极限 \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)。
解答：\( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \)2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)。
解答：使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 \)四、证明题1. 证明 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)。
高数极限60题及解题思路
高数极限60题1.求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+∞→。
2.设∑==n k kn b k S 1，其中)!1(+=k b k ，求n n S ∞→lim 。
3.求数列极限)321(lim 12-∞→+⋯+++n n nq qq ，其中1<q 。
4.求数列极限)]1(54[lim 2--++∞→n n n n 。
5.求数列极限)11)...(311)(211(lim 222nn ---∞→。
6.求极限)111)(110()110(...)13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x 。
7.求极限)12584(lim 2+++--∞→x x x x 。
8.讨论极限xx xx x e e e e 2323432lim --∞→+-。
9.求极限)4tan(2tan lim 4x x x -⋅→ππ。
10.求极限2223lim 32--+→x x x 。
11.求极限xx x x 350)41()21(lim +-+→。
12.求极限301sin tan 1lim x x x x +-+→。
13.讨论极限x x x cos 22lim 0-→。
14.求数列极限12sin 2lim -∞→n n n π。
15.设01>>a x ，且n n ax x =+1，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。
16.设21=x ，且n n x x +=+21，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。
17.设2221...31211nx n ++++=（n 为正整数），求证：n n x ∞→lim 存在。
18.求数列极限!2lim n nn ∞→。
19.求极限)23ln()32ln(lim 32x xx e e +++∞→。
20.求极限x xx x x x ++++∞→lim 。
21.无限循环小数•9.0的值(A)不确定 (B)小于1 (C)等于1 (D)无限接近122.求数列极限2)(sec lim n n n π∞→。
极限计算练习题
极限计算练习题首先，让我们研究一些关于极限计算的练习题。
通过解答这些问题，我们将深入理解极限的概念，并熟悉常见的计算方法。
问题一：计算 $\lim_{x\to 2} (3x+1)$解答：对于这个问题，我们可以直接将 $x$ 替换为 2 来计算极限。
因此，我们有：$$\lim_{x\to 2} (3x+1) = 3(2) + 1 = 7$$因此，上述极限的结果为 7。
问题二：计算 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$解答：这是一个经典的极限计算问题，也被称为正弦极限。
我们可以利用泰勒级数展开式来解决该问题。
根据泰勒级数展开式，我们有：$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\ldots$$如果我们将上式代入所给的极限，则会发现 $x$ 的系数逐渐消失，得到以下结果：$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots\right) = 1$$因此，上述极限的结果为 1。
问题三：计算 $\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$解答：这个问题涉及到一个重要的极限，也就是自然对数的底，通常用 $e$ 来表示。
我们可以重写问题三的极限表达式：$$\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x\to \infty} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right)$$我们知道，上述极限的结果是 $e$。
因此，问题三的答案为 $e$。
通过以上的练习题，我们巩固了极限计算的基本方法。
极限与连续练习题及解析
极限与连续练习题及解析在数学课上，我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。
这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解，还能提高我们解决问题的能力。
在本文中，我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。
题目一：计算极限求解以下极限：1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析：将被除数进行因式分解得：$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到：$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义，得到结果为：$$4$$题目二：证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续：1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。
首先，我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。
由于$x \geq 0$，所以$\sqrt{x}$是有定义的。
接下来，我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| <\delta$时，$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。
根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$，可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0，所以存在一个正数$M$，使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。
极限习题及答案
极限习题及答案极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在解决极限问题时，我们通常需要掌握一些基本的极限性质和技巧。
以下是一些极限习题及相应的答案。
习题1：求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)答案：首先，我们可以尝试化简表达式：\[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\]当 \(x \neq 2\) 时，分子和分母中的 \(x - 2\) 可以相互抵消，得到：\[\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\]习题2：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)答案：这个极限是著名的正弦极限，其值是 1。
我们可以通过洛必达法则或者直接利用正弦函数的图形来理解这个极限。
当 \(x\) 接近 0 时，\(\frac{\sin x}{x}\) 接近 1。
求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1}\)答案：当 \(x\) 趋向于无穷大时，分子和分母中 \(x^2\) 的项占主导地位，因此：\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{3 +\frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 3\]习题4：求极限 \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}\)答案：这个极限是 e 的定义，即自然对数的底数。
我们可以通过取对数来解决这个问题：\[\ln(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}) = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x}\]当 \(x\) 接近 0 时，\(\ln(1 + x)\) 接近 \(x\)，因此：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1\]所以原极限的值为 \(e\)。
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例题1．在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n，S n，成等比数列。
（1）求a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想a n的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求a n。
1..解析：∵a n，S n，成等比数列，∴（n≥2）（*）（1）把a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：把a1=1，，代入（*）得：。
同理可得：由此可以推出：（2）（i）当n=1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。
（ii）假设n=k（k≥2）时，成立。
故∴或（舍去）由得即n=k+1时，命题也成立。
由（i）（ii）可知，对一切n∈N成立。
（3）由（2）得数列前n项的和，所有项和（4）对于{a n}的通项还可以这样来求：∵，∴，故是以为首项，为公差的等差数列故，注：对于含有a n，S n的关系式中，常将a n用S n－S n－1（n≥2）代（或S n+1－S n用a n+1代），化成S n，S n+1（或a n，a n+1）的递归关系式。
例1.数列{a n}满足下列条件，求其通项公式a n。
(1)a1=1，(2)a1=2，(3)a1=2，{a n}的前n项和S n满足解：(1)……将以上各式叠加，得∴又n=1时，(2)……将以上各式叠乘，得∴a n=n(n+1)(n≥2)当n=1时，1×(1+1)=2 = a1∴a n=n(n+1)(n∈N*)(3)∴2S n-1S n=S n-1-S n(n≥2)在上式两边同除以S n S n-1，得∴数列为首项，公差为2的等差数列。
例2、在等差数列{a n}中(1)若a p=q，a q=p(p、q∈N*且q≠p)，求a p+q；(2){a n}共有n项，其前四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求项数n；(3)若{a n}前n项和记为S n，且有，求S m+n的范围解：(1)∵a q=a p+(q-p)d∴a p+q=a p+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0(2)∵a1+a2+a3+a4=124a n+a n-1+a n-2+a n-3=156∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=280∴4(a1+a n)=280∴a1+a n=70∴n=6(3)设前n项和将以上两式相减得：两边同除以m-n，得例3、在数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=1，S n+1=4a n+2(n∈N*) (1)设b n=a n+1-2a n，求证数列{b n}为等比数列并求其通项公式；(2)设，求证数列{C n}是等差数列并求其通项解：(1)∵S n+1=4a n+2∴S n+2=4a n+1+2将以上两式相减，得a n+2=4a n+1-4a n∴a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)又s2=4a1+2=a1 +a2∴a2 =5∴数列{b n}是以b1=a2-2a1=5-2=3为首项，q=2为公比的等比数列。
∴b n=3×2n-1(2)∴数列{C n}是以为首项，为公差的等差数列。
例4、在等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列成等比数列，求数列{k n}的通项k n解：∵a2是a1与a4的等比中项∵d≠0∴a1=d∵是等差数列中的第k n项，是等比数列中的第n+2项且=a1+(k n-1)d=d+(k n-1)d=k n d∴∴2.数列的极限应用恒等变换和极限的四项运算法则，将数列的极限转化为三个基本极限来求解。
3.数学归纳法数学归纳法有两个基本步骤：第一步，验证n=n0时，命题成立；第二步，假设n=k时，命题成立，然后利用归纳假设证明n=k+1时成立。
用数学归纳法证明命题时特别要求证明的逻辑严密性。
数学归纳法通常用来证明有关等式，不等式，整除，几何命题等。
例5.数列{a n}满足，a1=2(1)求数列{a n}的通项；(2)令，求出n∈(1，10000)内使b1b2b3…b n为整数的n的所有值的和。
解：(1)由a1=2得：由a2=3得：由a3=4得：猜测：a n=n+1(n∈N*)下用数学归纳法证明该猜测1°当n=1时，a1=1+1=2，命题成立2°假设n=k(k∈N*)时，命题成立，即有a k=k+1，则=(k+1)+1即n=k+1时，命题也成立。
综合1°，2°知，a n=n+1(n∈N*)(2)∵将a n=n+1代入得=log2(n+2)欲使b1b2b3…b n为整数，须使n+2为2的整数幂∵n∈(1,10000)∴n+2可是以22，23，24，213∴所求和为(22-2)+(23-2)+(24-2)++(213-2)=22+23+24+…+213-24=214-28=16356例6.无穷数列{a n}的前n项和为b n，无穷数列{b n}的前n项和C n，对n∈N*，恒有b n+c n=n，(1)证明：数列{1-b n}是等比数列；(2)求(3)比较的大小关系解：(1)首先b1+C1=1而C1=b1，得由已知：b n+C n=n，有b n+1+C n+1=n+1将两式相减，有b n+1-b n+b n+1=1∴数列{1-b n}是以的等比数列。
(2)由(1)知：(3)n=1时，n≥2时，综上，当n=1或2时，显然有当n≥3时，这时例7.设，不论α、β为何实数，恒有f(cosα)≤0，f(2-sinβ)≥0，正数数列{a n}的前n项和S n=f(a n)，n∈N*(1)求b值；(2)求{a n}的通项公式；(3)令，{c n}的前n项和为T n，比较T n与的大小。
解：(1)当cosα=1时，有f(1)≤0当sinβ=1时，有f(2-sinβ)=f(1)≥0∴f(1)=0(2)令n=1，有解得a1=3或a1=-1(舍)将以上两式相减，∵{a n}为正数数列，∴a n，a n-1>0，∴a n+a n-1>0∴a n-a n-1=2(n≥2)∴{a n}是以a1=3为首项，公差为2的等差数列∴a n=3+(n-1)×2=2n+1(3)∴T n=C1+C2+…+C n[课后练习]1.数列{a n}的通项公式是a n=n2-kn，若数列{a n}是递增的，则实数k的取值范围是()(A)k<3(B)k≤3(C)k<2(D)k≤22.数列{a n}的通项公式是，当a n取最大值时，n等于()(A)4(B)5(C)6(D)73.数列{a n}满足a1=0，，则a20等于()(A)0(B)(C)(D)4.等比数列{a n}中，a n>0，a5a6=16，则log4a1+log4a2+…+log4a10=_____5.在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，则6.数列{a n}的前n项和S n满足a n+2S n S n-1=0(n≥2)，(1)求证：是等差数列；(2)求a n；(3)若b n=2(1-n)a n(n≥2)，求证：7.已知数列{a n}的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5(n∈N*)(1)证明数列{a n+1}是等比数列；(2)令f(x)=a1x+a2x2++a n x n，求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)[参考答案]1.选A∵a n+1-a n=(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0(n∈N*)∴k<2n+1对任意n∈N*成立而2n+1最小值为3，∴k<32.选A∴a n图象可看作是函数个单位，再上移个单位而得到(a n图象是一些孤立点)画草图可知，a4最大3.选B∴可知{a n}的各项数值以3为周期重复出现4.5.又a5，a7，a9符号相同，∴a7=16.(1)由a n+2S n S n-1=0 (n≥2)∴S n-S n-1+2S n S n-1=0 (n≥2)为首项，公差为2的等差数列。
(2)(3)7.(1)∵S n+1=2S n+n+5∴S n=2S n-1+(n-1)+5(n≥2)∴S n+1-S n=2(S n-S n-1)+1(n≥2)即a n+1=2a n+1(n≥2)∴a n+1+1=2(a n+1)(n≥2)∴{a n+1}从第2项起，是公比为2的等比数列又a1=5，由S n+1=2S n+n+5令n=1有S2=2S1+6∴a1+a2=2a1+6∴a2=11∴{a n+1}是以a1+1=6为首项，公比为2的等比数列(2)∵f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+na n x n-1∴f′(1)=a1+2a2+3a3+…+na n由(1)知a n+1=6×2n-1∴a n=6×2n-1-1令T n=6×20+2×6×21+3×6×22+…+n×6×2n-1∴2T n=6×21+2×6×22+3×6×23+…+n×6×2n∴-T n=6×20+6×21+6×22+…+6×2n-1-n×6×2n∴T n=(n-1)×6×2n+6。