数字信号处理总复习

课程主要内容及基本要求

一、离散傅里叶变换及应用（DFT & FFT）

1.DFT的定义、性质、计算及应用——第3章

2.DFT的快速算法（FFT）——第4章

?傅里叶变换的4种形式，傅里叶变换形式与时域信号的对应关系。

?DFS的定义性质计算，理解周期卷积过程。

?DFT的定义、计算、性质，掌握圆周移位、共轭对称性、圆周卷积与线性卷积的关系。

?理解掌握频谱分析过程，频谱分析参数（DFT点数、频谱分辨力F、记录长度Tp等）的计算，存在的误差及减少措施。

?理解掌握DIT和DIF的基2-FFT算法原理、运算流图、计算量

?理解IFFT算法原理

?了解CZT算法及分段卷积方法（重叠相加法、重叠保留法）

二、数字滤波器设计与实现（IIR Filter & FIR Filter）

1.IIR Filter 设计与实现——第6、5章

2.线性相位FIR Filter 设计与实现——第7、5章

?掌握IIR滤波器结构、FIR滤波器结构，结构形式的主要特点、与H(z)表达式的关系

?冲激响应不变及双线性变换法原理、变换方法、特点、适用场合

?巴特沃思和切比雪夫Ⅰ型低通滤波器设计方法、频响特点、极点分布特点

?掌握利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程

?了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法

?掌握线性相位FIR滤波器的特点

?理解掌握窗函数设计方法，窗函数主要指标和特点，影响过渡带宽度与阻带衰减的因素

?了解频率采样设计法

第3章 离散傅里叶变换——复习

1. 基本概念

? 信号：信息的物理表现形式。

? 序列（离散时间信号）：时间离散，幅值连续（无限精度）。 ? 数字信号：时间离散，幅值量化（有限精度）。 ? 信号处理：从信号中提取有用信息。

? 数字信号处理：用数字方法去处理。或者说：用数字或符号表示的序列来描

述信号，再用计算机或专用处理设备以数值计算的方法来处理这些序列，得到所需序列，提取信息。

2. Z 变换

? Z 变换的定义：对离散时间信号（序列）的变换。∑∞

-∞

=-=

=n n

z

n x n x Z z X )()]([)(

? Z 变换的收敛域：满足绝对可和的z 值的范围。要使Z 变换存在，则幂级数

∑∞

-∞

=-n n

z

n x )(要收敛。收敛的充要条件为

∞<=∑

∞

-∞

=-M z n x n n )(绝对可和。

? Z 变换的计算： 要求掌握。

3. DTFT 离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform ）

? DTFT 的定义： ∑∞

-∞

=-=

=n n

j j e

n x n x e X ωω

)()]([DTFT )( 是频率ω的连续周期函

数

? DTFT 的计算：要求掌握。

4. DFS 离散傅立叶级数

? DFS 的定义： ???

????====--=-=-=--=∑∑∑∑nk N N k nk N j N k nk N N n nk N

j N n W K X N e K X N n x W n x e n x K X 10~210~~10~210~~

)(1)(1)()()()(ππ ? DFS 的计算：要求掌握。

5. DFT 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform ）

)()(k X n x DFT

?

???

????-≤≤==-≤≤==--=-=∑∑10,)(1)]([IDFT )(1

0,)()]([DFT )(1

01

N n W k X N k X n x N k W n x n x k X nk N N k nk

N N n N

j

N e

W π

2-=

??

???

==)

()()()

()()(~

~

k R k X k X n R n x n x N N 均为主值序列。、)()(k X n x

∑-=-==1

2)()]([DFT )(N n nk N

j e

n x n x k X π

是频率

k N

π

2的离散函数 ? DFT 的计算：要求熟练掌握。 ? DFT 的性质：要求熟练掌握。

(1) )()())((k X W n R m n x mk

N

N N -??+ (2) 若)(n x 是实序列，0)(=k X op ，)())(()(k R k N X k X N -=* 若)(n x 是纯虚序列，0)(=k X ep ，)())(()(k R k N X k X N --=*

在)(n x 是实序列或纯虚序列情况时，计算一半)(k X 值，另一半按对称性质得到。 (3) DFT 形式下的帕塞瓦定理（能量定理）Parseval

∑∑

-=-===

ε10

2

1

2

2

)

(N 1)(N k N n k X n x

(4) 周期卷积（圆周卷积，循环卷积）

)())

(()()]()([IDFT )]([IDFT )(2

1

1

21n R m n x m x k X k X k Y n y N N

N m -=

==∑-=

)(1n

x )()()(212k X k X n x N

DFT

??→← 频域相乘对应时域圆周卷积和

(5) 有限长序列的线性卷积与圆周卷积

若)(1n x 是N 1点序列，)(2n x 是N 2点序列，则线性卷积)()()(21n x n x n y l *= ，是

121-+N N 点序列。

L 点圆周卷积)()(1n x n y =)(2n x ，L 点圆周卷积是线性卷积以L 为周期的周期

延拓序列的主值区间。

当)1(21-+≥N N L 时，L 点圆周卷积代表线性卷积。

当)1(21-+

6. 用DFT 计算连续时间信号可能出现的几个问题 i. 混叠失真

原因：当抽样频率s f 不够高时，出现混叠。 减少措施：提高抽样率，即h s f f 2≥。 ii. 频谱泄漏——截断效应

原因：加窗截断长信号，故在不该产生频谱分量的地方产生频谱分量。 减小措施：采用合适的窗函数。 iii. 栅栏效应

原因：)(k X 是)(ωj e X 的抽样，会使一些谱线看不到。 减小措施：增加频域抽样点数（对原序列补零）。

? 频谱分辨力0F

p

11T NT N f F s ===

——抽样间隔、分辨力

F

T 1p =

——记录长度

↑N ，↑p T ，↓F ，分辨力越好。

注意：增加N 是增加记录时间内抽样点数（时域上的有效数据）。

对原序列补零是增加频域抽样点数，要区分开来。补零的作用：不是增加频谱分辨力，而是减小栅栏效应或者使m N 2=，便于FFT 计算。

第4章 快速傅里叶变换（FFT ） 复习

1. 基本概念

? FFT 的定义：FFT 是离散傅里叶变换（DFT ）的一种快速算法。

? 提高运算速度的途径： 利用 nk

N W 的特性，可简化运算。 nk

N W 有如下特性：

周期性 共轭对称性 可约性

利用以上性质，可将N 点的DFT 化成短序列进行运算，即采用小的N 值，由于DFT 的运算量与N 2成正比，减小N 可降低运算量，提高运算速度。 ? FFT 分类:

（1）按时间抽选算法（DIT ）

按输入序列)(n x 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。

（2）按频率抽选算法（DIF ）

按输出序列)(k X 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。

? 基的概念：最小运算单元的点数。（基－2算法：最小运算单元为2点。） ? 倒位序：将输入序列)(n x 的序号n 写成二进制数，将该二进制数的位序翻转即为倒位序号n

。倒位序的目的是实现原位运算。

? 原位运算：蝶形结两个输入节点只参与本蝶形运算单元的运算，输出也是两个节点，并且计算完后两个输入节点就不再起作用。由于这一特点，我们在计算机编程时可以将蝶形单元的输出仍放在输入数组中。利用这一特点编程可节省存储空间，只用N 个复数存储单元。

2. 按时间抽选（DIT ）的基－2 FFT 算法（Radix-2 DIT FFT ）

? 算法原理：

序列长度N ＝2L ，即N 为2的整数次幂。按输入序列)(n x 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。 ? Radix-2 DIT FFT 蝶形运算流图表示

3. 按频率时间抽选（DIF ）的基－2 FFT 算法（Radix-2 DIF FFT ） ? 算法原理：

序列长度N ＝2L ，即N 为2的整数次幂。按输出序列)(k X 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。（输入序列)(n x 按n 顺序分成前后两半，如此分解为越来越短的序列）

? Radix-2 DIT FFT 蝶形运算流图表示

第5章 数字滤波器的基本结构 复习

1. 基本概念

? 结构：指运算结构而非电路结构。不同结构，影响复杂性（成本）及速度。有限字长时，不同结构影响误差、稳定性。

? 结构的基本运算单元：加法器、比例放大器（常数乘法器）和延时器。

2. 滤波器的基本结构 ? IIR 滤波器的基本结构

直接II 型（典范型）

1

11111

1

1z 1z

140s a a az 1)

z 1(b )z (H 10b 1010a z 10101)

z 1(10z )10()(10)

z 1(4z 1z 1404)s (H )z (H 4s 4)s (H 1

1

--------+-=-+=

π

+π=

π

+π-=π

+π--+π

+π

=π--π++π=π++-π=

=π+π=

--则令

举例：

? FIR 滤波器的基本结构

线性相位FIR 滤波器的结构

4

321n

4

n n

1

N 0

n z 21z 22z 43z 2221)z (H z )n (h z

)n (h )z (H }21,22,43,22,21{)n (h -----=--=π

-π-+π-π-

===π

-π-π-π-

=∑∑举例：x(n) z -1 z -1 h(0)

h(1)

h(2)

z -1

z -1 y(n)

b

x(n)

b

a

z -1

y(n)

第六章 IIR 数字滤波器的设计方法 复习

1. 特殊系统：要掌握系统零极点的分布特点 ? 最小相位延时系统 ? 全通系统

2. 模拟滤波器到数字滤波器的数字化方法：要求掌握原理及特点 ? 冲激响应不变法

1

51

T

)(c s c 1

T )(c

c c a N

1k 1

T s k

N

1k k k a z e

15

z

e

1T )z (H 20

1f 1T 4z e 1T )z (H )(s )s (H z e

1A T )z (H s s A )s (H c c k -??

? ??π--Ω--Ω-=-=-π

=-Ω=

==

π

=Ω-Ω=

→Ω--Ω=

-=→-=∑∑一阶时

举例：

? 双线性变换法

111

1

z 1z 140

s a a s s z 1z 1c

s a z )10()(10)

z 1(4z

1z 1404)

s (H )z (H 4s 4)s (H 40

f 2c 20Hz T

1

f T

2c )

s (H )z (H 1

11

1----+-=+-=π--π++π=π++-π==π

+π

=

=?=∴==

=

=----则举例：

3. 常用模拟低通滤波器的特性 ? 巴特沃思低通

N

c

a j H 22

11)(???

? ??ΩΩ+=

Ω

要求会手算一、二阶巴特沃思低通滤波器

?切比雪夫I型滤波器（定性了解）

4.低通转高通、带通、带阻的方法（了解）

模拟域频带变换法、数字域频带变换法

第七章 FIR 数字滤波器设计 复习

1. 基本概念

? 这里只讨论线性相位FIR 数字滤波器设计。

? 线性相位条件：)1()(n N h n h --±=，无论是奇对称还是偶对称，对称中心在n=(N-1)/2处。 ? 相位)(ωθ的特点：

偶对称

奇对称

? 四种情况下幅度)(ωH 的特点 表7-1

不要求推导，但要知道结论，以便应用。

? 零点分布特点

? 时窗的主要性能指标及其对滤波器性能的影响 2. 窗函数设计法(时窗设计频域逼近)

要求熟悉掌握窗函数设计法设计原理与过程

窗函数设计法（时窗设计法）的过程如下： 1) 对已知滤波器)(ωj d e H

2) 求)(n h d ，?-=π

πωωωπd e e H n h n

j j d

d

)(21

)( 3) 求)()()(n h n w n h d =

4) 求)]n (h [DTFT )(=ωj e H ，看频域逼近效果

高通＝全通－低通

带通＝低通1－低通2

带阻＝低通＋高通

3.频率抽样设计法：要求定性掌握特点及对滤波器性能影响的因素，和窗函数设

计法对比学习。

4.IIR与FIR滤波器的比较