平行线及角平分线类相似

平行线及角平分线类相似

中考要求

重难点

1．相似定义，性质，判定，应用和位似

2．相似的判定和证明

3．相似比的转化

课前预习

上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？

不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345

∶∶．

数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．

例题精讲

模块一 平行线类相似问题

平行线类相似的基本模型有

☞模型一、二类综合题

【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1

4

AE AB =

，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则

BC

CD

=____ ___． M

E

C

B

A

【难度】3星

【解析】先介绍常规的解法：

B

C

F

E D

M

A B

C

F

E

D M A

如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =

∴2BF EF

= ∵//CF DE ∴

2BC BF

CD EF

== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．

以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看ABC ∆为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA

⋅⋅= 又14AE AB =

，AM CM =，故32BD BC DC CD

=⇒= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．

【答案】2

【巩固】如图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点．

（1）如果E 是AD 的中点，求证：

1

2

AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，

12AF AE

FC ED

=⋅

成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．

A

B C

D

E

F

【难度】3星

【解析】1（）

过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用 这些基本图形的性质来解题.以下给出6种辅助线（还有几种没给 出），解题过程不再给出．

H

A

B C D

E

F A

B

C

D E

F H

H

A

B C

D

E

F

H

A

B C

D E

F

H

A

B C

D

E

F

H

A

B

C

D E

F

当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果． 看ADC ∆被直线BEF 所截，由梅氏定理可得1AF CB DE

FC BD EA

⋅⋅= 又AE DE =，BD CD =，故

1

2

AF FC =． 2（）

结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出． 【答案】1（）见解析；2（）结论依然成立

【拓展】如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．

（1）当1A 2AE C =时，求

AO

AD 的值； （2）当

11A 34AE C =、时，求

AO

AD

的值； （3）试猜想

1A 1AE C n =

+时AO

AD

的值，并证明你的猜想． E D

B

A

C

O

【难度】4星 【题型】解答 【解析】1（）当11211AE EC ==+时，22

321AO AD ==

+； 2（）当

11A 312AE C ==+时，21

222AO AD ==+；

当

1A 4AE C =时，22

532

AO AD ==

+．

3（）当

1A 1AE C n =+时，2

2AO AD n

=

+，

证明方法比较多，选择两种介绍：

如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵

11AE AC n =

+ ∴CE nAE =，122

n

EF CE AE == ∵//DF BE ∴

22

2AO AE AO OD EF n AD n

==⇒=

+ O

F

C

A

B

D

E

另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知

1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故2

2AO AD n

=

+． 【答案】1（）23AO AD =；2（）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =3（）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+

【例2】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD

及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PM PN PR PS ⋅=⋅

l

S

R P

N

M

O

D

C B

A

【难度】5星 【解析】略

【答案】∵BO OC OD

BD MS PR CP PN

⇒

==

∥ ∴

PN OD

PR BO

=

∵BO AO OD

BD MS PM AP PS

⇒

==

∥