角平分线与平行线相遇问题
当角平分线遇到平行线……
当角平分线遇到平行线……教学过程：在几何学习中，我们经常会遇到含有角平分线和平行线的问题，那么当角平分线遇到平行线会产生怎样的火花呢？接下来让我们一起来探索吧！试一试：1.如图，已知BD平分∠ABC ，且DE//BC ，则BE=DE吗？说明理由。
如果我们把其中一个条件和结论调换一下，还能成立吗？变式一：如图，已知DE//BC，且BE=DE，则BD平分∠ABC吗？说明理由。
变式二：如图，已知BD平分∠ABC ，且BE=DE，则DE//BC吗？说明理由。
总结：我们得到了这样一个基本图形：它的特征是：过角的平分线上一点作一条边的平行线与角的另一条边及角平分线围成的三角形是等腰三角形。
我们简单地表示为：当角平分线遇到平行线时，一这会产生等腰三角形。
角平分线+平行线等腰三角形角平分线+等腰三角形平行线平行线+等腰三角形角平分线热身训练看下列四个图，相等的角和平行线都已用记号标出，你能迅速地找出每个图中的等腰三角形吗？（1）（2）（3）（4）例1：如图，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。
问：（1）图中有几个等腰三角形？（2）若过D作EF∥ BC，则图中有几个等腰三角形？（3）线段EF与线段BE，CF有何数量关系？你能说明理由吗？(4) 若AB=4, 求△AEF的周长.变式1：如图，△ ABC中，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，过点D作EF∥ BC分别交AB,AC于点E,F.当AB=12,AC=8,你能求△AEF的周长吗？变式2：如图，△ABC中，∠ABC的平分线和一个外角的平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E,交AC于点F. 写出EF与BE，CF的数量关系，并说明理由.变式3：如图，△ABC的两个外角∠CBE与∠BCF的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F ，则EF与BE，CF三者有何数量关系？我们在折叠问题里也会遇到这类基本图形。
如图:把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折,点C落在点C’处，BC’交AD于点O，若BC=9,CD=3,求OD的长。
(完整版)平行线及其判定(证明应用题)
授课教案学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日（～）；共_____课时（以上信息请老师用正楷字手写）平行线及其判定（证明应用题）一．解答题（共11小题）1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．2．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．3．如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．4．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．5．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．6．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．7．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．8．已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G．求证：GE∥AD．9．如图，CA⊥AD，垂足为A，∠C=50°，∠BAD=40°，求证：AB∥CD．10．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．11．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a与c平行吗？为什么？2015年03月05日752444625的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2014•槐荫区二模）已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C=∠FEC，又由∠C=∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．解答：证明：∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE．点评：此题考查了平行线的判定与性质．注意内错角相等，两直线平行与同位角相等，两直线平行．2．（2013•邵阳）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．考点：平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．解答：（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．点评：此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．3．（2010•江宁区一模）如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．要证明AM∥BC，只要转化为证明∠C=∠DAM即可．解答：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=∠DAM，∴∠C=∠DAM，∴AM∥BC．点评：本题主要考查了平行线的判定，注意等量代换的应用．4．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．考点：平行线的判定．专题：探究型．分析：因为DF∥AC，由内错角相等证明∠C=∠FEC，又因为∠C=∠D，则∠D=∠FEC，故CE∥BD．解答：解：CE∥BD．理由：∵DF∥AC（已知），∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等），又∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠FEC（等量代换），∴CE∥BD（同位角相等，两直线平行）．点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．5．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．考点：平行线的判定．专题：探究型．分析：设AB与DE相交于H，若判断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3=∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5=∠BAF；已知∠5=∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2=∠EHA，由此可得到∠1=∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．解答：解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，又∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∴AB∥CD，∴∠2=∠EHA，又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，∴BF∥DE．另解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∵△BFA、△DEC的内角和都是180°∴△BFA=∠1+∠BFA+BAF；△DEC=∠2+∠4+∠6∵∠1=∠2；∠BAF=∠6∴∠BFA=∠4，∴BF∥DE．点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．6．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：先由已知证明AD∥EF，再证明1∠1=∠4，∠2=∠4，等量代换得出∠1=∠2．解答：证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），又∵∠3=∠C（已知），∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠2（等量代换）．点评：此题的关键是理解平行线的性质及判定．①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．7．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．考点：平行线的判定．专题：推理填空题．分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，得两条直线平行，即AC∥DF；根据平行线的性质，得∠C=∠CEF，借助等量代换可以证明∠D=∠CEF，从而根据同位角相等，证明BD∥CE．解答：解：∵∠A=∠F（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠CEF（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．点评：此题综合运用了平行线的判定及性质，比较简单．8．已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G．求证：GE∥AD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：首先根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠DAC，再根据三角形外角与内角的关系可得∠G+∠GFA=∠BAC，又∠AFG=∠G．进而得到∠BAC=2∠G，从而得到∠DAC=∠G，即可判定出GE∥AD．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠G+∠GFA=∠BAC，∠AFG=∠G．∴∠BAC=2∠G，∴∠DAC=∠G，∴AD∥GE．点评：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握三角形内角与外角的关系，以及平行线的判定定理．9．如图，CA⊥AD，垂足为A，∠C=50°，∠BAD=40°，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：利用直角三角形中两锐角互余得出∠D=40°，再利用内错角相等，两直线平行的判定证明即可．解答：证明：∵CA⊥AD，∴∠C+∠D=90°，∴∠C=50°，∴∠D=40°，∵∠BAD=40°，∴∠D=∠BAD，∴AB∥CD．点评：本题主要考查了平行线的判定和直角三角形中两锐角互余，比较简单．10．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．考点：平行线的判定；角平分线的定义．专题：证明题．分析：运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．解答：证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义）．∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°．∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．点评：灵活运用角平分线的定义和角的和差的关系是解决本题的关键，注意正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．11．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a与c平行吗？为什么？考点：平行线的判定；平行公理及推论．专题：探究型．分析：根据内错角相等，两直线平行可知a∥b，由同旁内角互补，两直线平行可知b∥c，根据如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行得出结论．解答：解：平行．理由如下：∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），∵∠3+∠4=180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），∴a∥c（平行于同一直线的两直线平行）．点评：本题很简单，考查的是平行线的判定定理和平行公理的推论．内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行．。
新初中数学相交线与平行线难题汇编附答案解析(2)
新初中数学相交线与平行线难题汇编附答案解析(2)一、选择题1．如图，AB ∥CD ，EG 、EM 、FM 分别平分∠AEF ，∠BEF ，∠EFD ，则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】 解：∵FM 平分∠EFD ，∴∠EFM =∠DFM =12∠CFE ．∵EG 平分∠AEF ，∴∠AEG =∠GEF =12∠AEF ．∵EM 平分∠BEF ，∴∠BEM =∠FEM =12∠BEF ，∴∠GEF +∠FEM =12（∠AEF +∠BEF ）=90°，即∠GEM =90°，∠FEM +∠EFM =12（∠BEF +∠CFE ）．∵AB ∥CD ，∴∠EGF =∠AEG ，∠CFE =∠AEF ，∴∠FEM +∠EFM =12（∠BEF +∠CFE ）=12（BEF +∠AEF ）=90°，∴在△EMF 中，∠EMF =90°，∴∠GEM =∠EMF ，∴EG ∥FM ，∴与∠DFM 相等的角有：∠EFM 、∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 以及∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 三个角的对顶角．故选C ． 点睛：重点考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，推导较复杂．2．如图，不能判断12//l l 的条件是（ ）A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．23∠∠=【答案】D【解析】【分析】 根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．【详解】A 、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行；B 、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行；C 、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行；D 、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行． 故选：D ．【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义．3．如图，点,D E 分别在BAC ∠的边,AB AC 上，点F 在BAC ∠的内部，若1,250F ︒∠=∠∠=，则A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．40︒C ．45︒D ．130︒【答案】A【解析】【分析】 利用平行线定理即可解答.【详解】解：根据∠1=∠F ，可得AB//EF ，故∠2=∠A=50°.故选A.【点睛】本题考查平行线定理：内错角相等，两直线平行.4．一把直尺和一块三角板ABC （含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 、点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 、点A ，且∠CED ＝50°，那么∠BAF ＝（ ）A．10°B．50°C．45°D．40°【答案】A【解析】【分析】先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】∵DE∥AF，∠CED＝50°，∴∠CAF＝∠CED＝50°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，故选：A．【点睛】此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键. 5．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．考点：平行线的性质．6．如图，将一张含有30o角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠的大小为（）∠=o，则1244α-A．14o B．16o C．90α-o D．44o【答案】A【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7．如图所示，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2=（）．A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】【分析】证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【详解】如图，反向延长射线a交c于点M，∵b∥c，a⊥b，∴a⊥c，∴∠3=90°，∵∠1=90°+∠4，∴130°=90°+∠4，∴∠4=40°，∴∠2=∠4=40°，故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识8．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是()A．20°B．22°C．28°D．38°【答案】B【解析】【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：过C作CD∥直线m，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵直线m∥n，∴CD∥直线m∥直线n，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∵∠1＝38°，∴∠ACD＝38°，∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键．9．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()A．50°B．55°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l2，交∠1的边于一点，∵11∥l2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．10．A、B、C是直线L上三点，P为直线外一点，若PA＝2cm，PB＝3cm，PC＝5cm，则P 到直线L的距离是（）A．等于2cm B．大于2cm C．不小于2cm D．不大于2cm【答案】D【解析】【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．【详解】∵PA=2cm，PB=3cm，PC=5cm，∴PA＜PB＜PC．∴①当PA⊥L时，点P到直线L的距离等于2cm；②当PA与直线L不垂直时，点P到直线L的距离小于2cm；综上所述，则P到直线L的距离是不大于2cm．故选：D．【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．11．如图，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，100BED ∠=︒，则BFD ∠的度数为（ ）A ．100°B ．130°C ．140°D ．160°【答案】B【解析】【分析】 连接BD ，因为AB ∥CD ，所以∠ABD ＋∠CDB ＝180°；又由三角形内角和为180°，所以∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，所以∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°；又因为BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，所以∠FBE ＋∠FDE ＝130°，又因为四边形的内角和为360°，进而可得答案．【详解】连接BD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＋∠CDB ＝180°，∴∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°，又∵BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，∴∠FBE ＋∠FDE ＝130°，∴∠BFD ＝360°−100°−130°＝130°，故选B ．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．还考查了三角形内角和定理与四边形的内角和定理．解题的关键是作出BD 这条辅助线．12．如图，OB ⊥CD 于点O ，∠1＝∠2，则∠2与∠3的关系是( )A ．∠2＝∠3B ．∠2与∠3互补C ．∠2与∠3互余D ．不能确定【答案】C【解析】【分析】 根据垂线定义可得∠1+∠3=90°，再根据等量代换可得∠2+∠3=90°．【详解】∵OB ⊥CD ，∴∠1+∠3=90°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠3=90°，∴∠2与∠3互余，故选：C ．【点睛】本题考查了垂线和余角，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．13．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．14．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【分析】先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.15．如图//,AB CD EG EH FH ，、、分别平分,,,CEF DEF EFB ∠∠∠则图中与BFH ∠相等的角（不含它本身）的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】 先根据平行线的性质得到CEF EFB ∠=∠，CEG EGB ∠=∠，再利用把角平分线的性质得到CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠，最后对顶角相等和等量替换得到答案.【详解】解：如图，做如下标记，∵//AB CD ，∴,CEF EFB ∠=∠CEG EGB ∠=∠（两直线平行，内错角相等），又∵EG 、FH 分别平分,,CEF EFB ∠∠∴CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠,又∵CEG NEG ∠=∠，FEG MEN ∠=∠，EGB AGP ∠=∠（对顶角相等），∴BFH ∠=CEG FEG EFH MEN NED EGF AGP ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠（等量替换）故与BFH ∠相等的角有7个，故C 为答案.【点睛】本题主要考查直线平行的性质、对顶角的性质（对顶角相等）、角平分线的性质（角平分线把角分为两个大小相等的角）还有等量替换，把所学知识灵活运用是解题的关键.16．如图，直线,a b 被直线c 所截，则图中的1∠与2∠是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角【答案】B【解析】【分析】 根据1∠与2∠的位置关系，由内错角的定义即可得到答案.【详解】解：∵1∠与2∠在截线,a b 之内，并且在直线c 的两侧，∴由内错角的定义得到1∠与2∠是内错角，故B 为答案.【点睛】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、邻补角的定义，理解内错角、同位角、同旁内角、邻补角是解题的关键.17．如图，直线,AB CD 相交于点,50,O AOC OE AB ︒∠=⊥，则DOE ∠的大小是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．90︒【答案】A【解析】【分析】 根据对顶角的性质，把BOD ∠的度数计算出来，再结合OE AB ⊥，即可得到答案.【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴50BOD ∠=︒（对顶角相等），又∵OE AB ⊥，∴90EOB ∠=︒，∴905040DOE BOE DOB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故A 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等），判断,BOD AOC ∠∠是对顶角是解题的关键.18．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．145°D ．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt △ABC 中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．19．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是()A．平行B．垂直C．相交D．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b∥d时；②当b和d相交但不垂直时；③当b和d垂直时；即可得出a与c的关系．【详解】当b∥d时a∥c；当b和d相交但不垂直时，a与c相交；当b和d垂直时，a与c垂直；a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．20．如图，下列说法一定正确的是（）A．∠1和∠4是内错角B．∠1和∠3是同位角C．∠3和∠4是同旁内角D．∠1和∠C是同位角【答案】D【解析】【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：A、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；B、∠1和∠C是同位角，故本选项错误；C、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；D、∠1和∠C是同位角，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．。
平行线问题
初中奥数三：平行线问题1、如图，直线a∥b，直线AB交a与b于A，B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°2、如图所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2．考点：平行线的性质．分析：过B1点做B1E平行于AA1和BA2，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解答：证明：分析本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1．①猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1（从而也是BA2）的平行线，它将∠B1一分为二．过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2（如图所示）．因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2（内错角相等），所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠B1+∠A2=0．说明（1）从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．（即哪些向右凸出的角的和=向左凸的角的和）即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+-∠B n-1+∠A n=0．这时，连接A1，A n之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，，B n-1A n（当然，仍要保持AA1∥BA n）．推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．（2）这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．问题1如图所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？问题2如图所示．若∠A1+∠A2++∠A n=∠B1+∠B2++∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？这两个问题请同学加以思考．点评：本题主要考查了平行线的性质，此题难度较大，要学会运用数形结合的解题思路．答题：yingzi老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题3、如图所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，则有∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．解答：解：过F到FG∥CB，交AB于G∴∠C=∠AFG（同位角相等）∴∠2=∠BFG（内错角相等）∵AE∥BD∴∠1=∠BFA（内错角相等）∴∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．故答案为50°．点评：本题考查平行线的性质．运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的常用技巧．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．答题：py168老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题4、求证：三角形内角之和等于180°．考点：三角形内角和定理．专题：证明题．分析：因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决．解答：证明：如图所示，在△ABC中，过A引l∥BC，∵l∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）．∵∠1+∠BAC+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．即三角形的内角和为180°．点评：此题主要考查平行线的性质的运用及三角形内角和定理的掌握．答题：ln_86老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题5、求证：四边形的内角和等于360度．考点：多边形内角与外角．专题：证明题．分析：要证明四边形的内角和问题，三角形的内角和已知是180度，这样就可以把四边形的问题转化为三角形的问题．转化的方法是作出四边形一条对角线，就转化为两个三角形．解答：证明：分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．如图所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长AB，CB到H，G．则有∠A=∠2（同位角相等），∠D=∠1（内错角相等），∠1=∠3（同位角相等）．∠C=∠4（同位角相等），又∠ABC（即∠B）=∠GBH（对顶角相等）．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．说明（1）同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．（2）总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=（3-2）×180°，四边形内角和=360°=2×180°=（4-2）×180°．人们不禁会猜想：五边形内角和=（5-2）×180°=540°，n边形内角和=（n-2）×180°．这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．（3）在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．点评：化未知为已知是解决问题的基本思路．答题：zhjh老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题6、如图所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证：A，B，C三点在同一条直线上．考点：平行线的性质．专题：证明题．分析：A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．解答：证明：∵AB∥l，CB∥l∴∠1=∠ABD，∠2=∠CBD（内错角相等）又∵∠1+∠2=180°∴∠ABD+∠CBD=180°∴∠ABC=180°=平角A，B，C三点共线．点评：本题利用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．答题：py168老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题7、如图：∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD，试说明∠3=∠B．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：因为∠1=∠2，由内错角相等证明AD∥BC，又因为∠D=90°，EF⊥CD，则有AD∥EF，所以EF ∥BC，故可求证∠3=∠B．解答：解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，；∵∠D=90°，∴AD⊥CD，∵EF⊥CD，∴AD∥EF，∴EF∥BC，∴∠3=∠B．点评：本题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．答题：py168老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题8、如图所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEC，∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数．解答：解：由题意得：∠BEC=80°，∠BED=100°，∠BEF=12∠BEC=40°，∴∠BEG=90°-∠BEF=50°，∠DEG=∠BED-50°=50°．∴∠BEG和∠DEG都为50°．点评：本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补．答题：caicl老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题9、如图所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC 和∠BDC的度数．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．分析：由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠BDC的大小．解答：解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∴∠DCB=∠ACD=20°，又DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB=20°，在△BCD中，∵∠B=70°，∴∠BDC=90°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为20°、90°．点评：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题10、如图所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？考点：平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：连接AC，易证∠AEC=90°，则∠AEF=30°，所以∠AEF=∠A，可得EF∥AB．解答：解：有与AB平行的直线．理由：连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠BAE=30°，∠DCE=60°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∴∠AEC=90°，∵EF，EG三等分∠AEC，∴∠AEF=30°，∴∠AEF=∠A，∴EF∥AB．点评：本题考察平行线的判定，作辅助线是关键，难度中等．答题：lf2-9老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题11、证明：五边形内角和等于540°．考点：多边形内角与外角．专题：证明题．分析：因为过五边形的一个顶点可做2条对角线，即可以把五边形分成3个三角形．已知三角形的内角和是180°，那么3×180°=540°．所以五边形的内角和得以证明．解答：证明：如图，五边形ABCDE，连接AC，连接AD．形成三个三角形：△ABC，△ACD，△ADE．由于三角形内角和是180°，所以五边形ABCDE 的内角和等于180°×3=540°对于任意一个五边形都是如此．点评：本题考查了五边形内角和的证明．从具体的简单的问题入手常能找到解决问题的思路，本题通过将五边形分割为三角形的方法简单易行．答题：HJJ老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题12、已知，如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．考点：平行线的性质；角平分线的定义．专题：证明题．分析：根据平行线的性质，以及等量代换就可以证出．解答：证明：∵CD平分∠ACB，即∠ACD=∠DCE，又∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠DCE=∠CDE；∵CD∥EF，∴∠CDE=∠DEF，∠DCE=∠FEB；∴∠DEF=∠FEB．即EF平分∠DEB．点评：本题主要运用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．答题：zhjh老师。
当角平分线与平行线相遇时......初中最典型的几何类型
第一次相遇我们第一次接触到平行线和角平分线是在我们初一的时候，我们了解到角平分线定义就是角平分线会平分该角，得到角度的等量关系，而我们在平行线的性质里面也会学到，两直线平行，我们会得到角度的数量关系，那么通过等量代换，我们能获得许多角度的等量关系。
如图，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3.对于角平分线+平行线的模型，它的基本题目形态就是题目中会给出平行或一眼看出平行线的判定条件，以及给出角平分线。
它的基本解题思路就是将相等的角度都找出来之后进行等量代换，并且在进行角度的等量代换的过程中，就会为解题提供更多的“隐藏条件”。
例一已知AB∥CD，直线EF分别交于直线AB，CD于点E，F，FG平分∠CFE且交AB于点G，若∠BEF=70°，则∠AGF=___________。
【考点】平行线的性质【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠EGF=∠CFG，∠EFC=∠BEF=70°，∵FG平分∠CEF，∴∠EFG=∠CFG=35°，∴∠EFG=∠EGF，∴∠EGF=∠EFG=35°，∴∠AGF=145°．第二次相遇我们在初二，就会开始学习到平行线进阶的知识点——平行四边形，平行四边形本身就自带许多的性质，涉及到边、角、对角线。
这时，在我们已经学习了三角形的基础上，我们就开始能够通过角度对边的长度进行数量关系的分析，而在我们角平分线+平行线的模型概念中，也开始引入了等腰三角形去对边长进行推理与分析。
如图，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3，则△ABD是等腰三角形，AB=AD.此时，我们除了需要进行角度数量关系的讨论，对于线段的数量关系也会进行讨论，进一步地我们可以对三角形周长或者面积去进行计算。
并且对于角平分线、平行线、等腰三角形这三个条件，我们不难发现是可以知二推一，题目中给出其中任意两个条件，都能够通过角度等量代换推得第三个。
部编数学七年级下册专题02《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类(解析版)含答案
专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行线的判定及性质证明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造平行线”解答题、证明题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：利用平行线的性质求角方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，要注意分析图形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补。
平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补等性质求解！1．如图，已知：DE //BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B =80°，∠A =50°，求：∠EDC 与∠BDC 的度数．【答案】∠BDC =75°，∠EDC =25°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB =50°，再由角平分线的定义求出1===252BCD ACD ACB ÐÐÐo ，则由三角形内角和定理可求出∠BDC =180°-∠B -∠BCD =75°，再由平行线的性质即可得到∠EDC =∠BCD =25°．【详解】解：∵∠A =50°，∠B =80°，∴∠ACB =180°-∠A -∠B =50°，∵CD 平分∠ACB ，∴1===252BCD ACD ACB ÐÐÐo ，∴∠BDC =180°-∠B -∠BCD =75°，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠BCD =25°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠E ＝45°，∠C ＝30°，AB 与DF 交于点M ，BC ∥EF ，求∠BMD 的度数．【答案】75°【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F 和∠B 的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB 的度数，在△BMD 中，利用三角形内角和可求出∠BMD 的度数．【详解】解：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠E ＝45°，∠C ＝30°，∴∠B ＝90°−∠C ＝60°，∠F ＝90°−∠E ＝45°，∵BC ∥EF ，∴∠MDB ＝∠F ＝45°，在△BMD 中，∠BMD ＝180°−∠B −∠MDB ＝75°．【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．3．如图所示，AB //CD ，G 为AB 上方一点，E 、F 分别为AB 、CD 上两点，∠AEG =4∠GEB ，∠CFG =2∠GFD ，∠GEB 和∠GFD 的角平分线交于点H ，求∠G +∠H 的值．【答案】∠G +∠H =36°．【分析】先设2GEB x Ð=，2GFD y Ð=，由题意可得8AEG x Ð=，4CFG y Ð=，由28180x x +=°，24180y y +=°，从而求出x y ，；根据题意得AEG G CFG Ð=Ð+Ð， AEH H CFH Ð=Ð+Ð， 从而得到G H Ð+Ð的值．【详解】解：设2GEB x Ð=，2GFD y Ð=，由题意可得，8AEG x Ð=，4CFG y Ð=，由28180x x +=°，24180y y +=°，解得18x =°，30y =°；由靴子图AEGFC 知，AEG G CFG Ð=Ð+Ð，即84x G y=Ð+由靴子图AEHFC 知，AEH H CFH Ð=Ð+Ð，即即84x G y =Ð+，95x H y =Ð+，179171893036G H x y Ð+Ð=-=´°-´°=°【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是设2GEB x Ð=，2GFD y Ð=，由题意得到x y ，的关系式，正确将G H Ð+Ð表示成x y ，的形式．4．如图所示，AB //CD ，点E 为两条平行线外部一点，F 为两条平行线内部一点，G 、H 分别为AB 、CD 上两点，GB 平分∠EGF ，HF 平分∠EHD ，且2∠F 与∠E 互补，求∠EGF 的大小．【答案】∠EGF =120°．【分析】过点F 作FM ∥AB ，设AB 于EH 的交点为N ，先设,EGB x EHF y Ð=Ð=，则,BGF x FHD y Ð=Ð=，由题意及平行线的性质得F BGF DHF Ð=Ð+Ð，EGB E EHD Ð=Ð+Ð，得到F x y Ð=+，2x E y =Ð+，由于2F Ð与E Ð互补，得到222180x y x y ++-=°，最终问题可求解【详解】解：过点F 作FM ∥AB ，设AB 于EH 的交点为N ，如图所示：设,EGB x EHF y Ð=Ð=，∵GB 平分∠EGF ，HF 平分∠EHD ，∴,EGB BGF x EHF FHD y Ð=Ð=Ð=Ð=，∵AB //CD ，∴FM ∥AB ∥CD ，∴,,FGB GFM MFH FHD ENB EHD Ð=ÐÐ=ÐÐ=Ð，∴GFH GFM MFH BGF DHF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，EGB E ENB E EHD Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，即F x y Ð=+，2x E y =Ð+，∵2F Ð与E Ð互补，∴222180x y x y ++-=°，∴3180x =°，∴60x =°，∴120EGF x x Ð=+=°．【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是设,EGB x EHF y Ð=Ð=，且由题意得到x ，y 的关系．5．如图，CD ∥AB ，点O 在直线AB 上，OE 平分∠BOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝110°，求∠DOF 的度数．【答案】35°【分析】根据平行线的性质求得DOB Ð，根据角平分线和垂直求解即可．【详解】解：∵CD AB∥∴110DOB D Ð=Ð=°∵OE 平分∠BOD ∴1552DOE DOB Ð=Ð=°又∵OF ⊥OE∴90EOF Ð=°∴905535DOF EOF DOE Ð=Ð-Ð=°-°=°故答案为：35°【点睛】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的性质进行求解．6．小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB ∥CD ，E 为AB 、CD 之间一点，连接BE ，ED ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E 作EF ∥AB则有∠BEF ＝∠B∵AB ∥CD∴EF ∥CD∴∠FED ＝∠D∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：（1）直线l 1∥l 2，直线EF 和直线l 1、l 2分别交于C 、D 两点，点A 、B 分别在直线l 1、l 2上，猜想：如图②，若点P 在线段CD 上，∠PAC ＝15°，∠PBD ＝40°，求∠APB 的度数．（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【答案】（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；【分析】（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC=15°，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．考点2：利用平行线的判定及性质证明平行方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
平行线常考经典较难题、压轴题例题和巩固练习
平行线例1 翻折1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°,则∠1的度数是．2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ．例2 旋转1、将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置,其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC,则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为 度．1A EDBC例3 平行线的性质1、已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC ．（2)如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系,并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外,∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系?并说明理由．2、如图，两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．3、已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；(2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论;（3）如图3,∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．例4 平移1、如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°（1）说明OB∥AC成立的理由．（2）如图2所示，若点E,F在BC上，且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．(3）在（2)的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化?若变化,请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4)在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．2、如图,已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C,D．(1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是．例5 作图—应用1、（1）如图1,一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水,则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A,B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥,桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．图2图1BA2、如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；（2)过B作BH⊥直线m,并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离;（3）若直线a、m表示一条河的两岸,现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．【巩固练习】1、如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于( ）A．24° B．34° C．26° D．22°第1题图第2题图2、如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K ﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76° B．78° C．80° D．82°3、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2,l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（)A．平行 B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定4、如图,AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE,∠1+∠2=90°，M，N分别是BA,CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值,其中结论正确的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个第4题图第5题图5、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于( ）A．180° B．360° C．540° D．720°6、如图所示,AB∥EF,∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为．第7题图第8题图第9题图7、如图所示，AB∥CD，∠E=35°,∠C=20°，则∠EAB的度数为．8、如图，AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF= ．9、已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F,DE ∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是．10、如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上,过点B作BG⊥AD,垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合）,连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3)若直线AD的位置如图3所示，(2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG 与∠AHB的数量关系．11、已知AM∥CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证:∠ABD=∠C;（3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数．12、如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角,求∠BAE的大小．13、已知:如图,BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题:（1）如图①所示,求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据)（2）如图②,若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ)求∠EOC的度数; (ⅱ)求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）14、已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧,BF,DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．。
（完整版）七年级数学平行线的有关证明及答案
（完整版）七年级数学平⾏线的有关证明及答案平⾏线的性质与判定的证明练习题温故⽽知新：1.平⾏线的性质（1）两直线平⾏，同位⾓相等；（2）两直线平⾏，内错⾓相等；（3）两直线平⾏，同旁内⾓互补.2.平⾏线的判定（1）同位⾓相等，两直线平⾏；（2）内错⾓相等，两直线平⾏；（3）同旁内⾓互补，两直线平⾏互补.例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：在我们完成涉及平⾏线性质的相关问题时，注意实现同位⾓、内错⾓、同旁内⾓之间的⾓度转换，即同位⾓相等，内错⾓相等，同旁内⾓互补.例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：在完成证明的问题时，我们可以由⾓的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到⾓的关系.例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所⽰时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运⽤平⾏线性质时，有时需要作平⾏线，取到桥梁的作⽤，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，⼀条公路修到湖边时，需绕道，如果第⼀次拐的⾓∠A是120°，第⼆次拐的⾓∠B是150°，第三次拐的⾓是∠C，这时的道路恰好和第⼀次拐弯之前的道路平⾏，那么∠C应为多少度？解析：把关于⾓度的问题转化为平⾏线问题，利⽤平⾏线的性质与判定予以解答.举⼀反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B. 72°C. 90°D. 100°2. 已知如图所⽰，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．例4如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上⼀个条件，使∠1=∠2成⽴，并说明理由．解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成⽴所需要的条件，由果溯因.5.如图1-7，已知直线1l 2l P ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。
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角平分线与平行线相遇问题姓名：
1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF的长？
2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.
（1）求证：AF=GB；
（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形,并说明理由．
3、如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG平分线于点F．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．。