傅里叶级数
傅里叶级数
1. 级数展开和完备性内积（Inner product ）：给定区间[,]a b ，对实函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰；如果是复函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰。
由内积，可定义范数（距离），||||f g -≡正交：(,)0f g =。
算子的特征值和特征函数：Af f λ=，0f ≠。
结论：自共轭算子的不同特征值对应的特征函数一定是正交的。
正交系：{,1}n X n ≥，(,)n m mn X X δ=。
给定正交系下函数()f x 的级数展开：1()~n nn f x c X∞=∑，其中(,)n n c f X = 完备：对任意的平方可积函数，是否成立1()n nn f x c X∞==∑？Bessel ’s inequality: 221||||nn f c∞=≥∑。
由此：级数在2L 意义下是收敛的。
证明：易知，222221111||||||||2(,)||||0NNNNN n n n n nn n n n n E f c X f c f X c f c =====-=-+=-≥∑∑∑∑，令N →∞即得。
Parseval equality: 221||||n n f c ∞==∑。
由此：如果Parseval equality 成立，则21NL n nn c Xf =−−→∑。
可以认为正交系完备。
判断一个正交系的完备性不是很容易的。
2. 特征值和特征函数序列：分离变量方法归结为微分方程的非零解问题。
0X X λ''+=，(0,)x l ∈；边界条件（1） Dirichlet. (0)()0X X l ==; （2） Neumann.(0)()0X X l ''==；（3） Robin.0(0)()X a X l '=，()()l X l a X l '=-。
一般 boundary conditions111122220()()()()0()()()()0X X X a X b X a X b X a X b X a X b λαβγδαβγδ''+=⎧⎪''+++=⎨⎪''+++=⎩，(,)x a b ∈； 如果满足该方程组的两个解成立0x bx a X Y XY ==''-=，则称symmetric boundary conditions 。
傅里叶级数
k
2 (k 0)
1
k 0
1、傅里叶正弦级数
若周期函数f(x)为奇函数， f ( )cos
k l
为奇函数
l
l
f ( )cos
k d 0 l
a0、ak系数为0
函数可以展开为
k x f ( x) bk sin l k 1
2 l k bk f ( )sin d l 0 l
傅里叶级数
任何周期函数 都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示
若函数以2l为周期
可取三角函数族
f ( x 2l ) f ( x)
2 x k x ,,cos , l l l x 2 x k x sin ,sin ,,sin , l l l ,cos
1,cos
x
作为基本函数族，将f(x)展开为级数
傅里叶正弦级数
其展开系数为
2、傅里叶余弦级数
若周期函数f(x)为偶函数， 同理可得bk=0 函数可以展开为 f ( x) a0 ak cos k x l k 1
傅里叶余弦级数
其展开系数为
2 l k ak 0 f ( )cos l d kl
k x k x f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
周期函数的傅里叶展开式
利用三角函数族Βιβλιοθήκη 正交性，可以求出上式中的展开系数ak
k l l
1
l
k f ( ) cos d , l
傅里叶展开系数
1 l k bk f ( )sin d l l l
傅里叶级数
上展为余弦级数.
实际计算也不必构造上述F(x)，只要直接使用上
述得出的
计算即可.
例3 将f(x)=x 解 由于
展开为正弦级数.
因此可得正弦级数
由于f(x)=x为
内的连续函数，
因此在
内有
在
处，上述正弦级数分别收敛于
例4 将f(x)=x 解 由于
展开为余弦级数.
因此f(x)的余弦级数为
由于在 因此在
推得欧拉–——傅里叶级数的系数
(因为F(x)sin nx为偶函数).
此时相应的傅里叶级数为
.此级数也
满足前述收敛定理.通常称上述工作为将f(x)在 上
展开成正弦级数.
如果将F(x)构造为
上的偶函数，使其在
上等于f(x)，则可称之将f(x)在
上偶延拓，由此
可推得
此时相应的傅里叶级数为
此级
数也满足前述收敛定理.通常称上述工作为将f(x)在
上述的
的表达式称为欧拉——傅里叶公式.
由欧拉——傅里叶公式确定
得到的三角级数
称为f(x)的傅里叶级数. 对傅里叶级数有以下结论：
定理10.10 (狄利克雷定理) 设f(x)为周期等于2π的函
数，f(x)在[–π,π]上有定义且有界.假定[–π,π]可以分
成有限个子区间，在每个子区间上f(x)是连续且单调
其中
此级数收敛，它的和满足： (1) 当x为f(x)的连续点时，和等于f(x)； (2) 当x为f(x)的间断点时，和等于 (3) 当x= –l或l时，和等于
例5 将f(x)=x(–2≤x＜2)展开为傅里叶级数. 解 由于f(x)=x在–2≤x＜2上展开，因此l=2.
(对称区间上奇函数的积分等于0)
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统中的傅里叶级数表示是一种将周期信号表示为
无穷级数的方法。
傅里叶级数是由法国数学家和物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的，该方法通过将一个周期信号分解为多个正弦波和余弦波的组合，来描述信号的频率成分。
一个周期信号可以表示为无穷级数的形式，每个项都是一个正弦波或余弦波，并且所有项的总和形成原始的周期信号。
在傅里叶级数中，每个项都是复数，表示该项的幅度和相位。
傅里叶级数的数学表达式如下：
\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\cos(n\omega t+\varphi_n)\)
其中，\(f(t)\)是周期信号，\(\omega\)是信号的角频率，\(n\)是项的序号，\(a_n\)和\(\varphi_n\)分别是第\(n\)项的幅度和相位。
傅里叶级数在实际应用中非常重要，因为它揭示了周期信号的频率成分，并可用于分析、设计和控制各种信号处理系统。
通过分析傅里叶级数的系数，可以了解信号的频率成分，以及这些成分的幅度和相位信息。
这使得傅里叶级数成为信号处理、通信和控制系统等领域的重要工具。
傅里叶级数
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
傅里叶级数和傅里叶系数的关系
傅里叶级数和傅里叶系数的关系傅里叶级数是一种将任意周期函数分解为无限多个正弦和余弦函数的和的数学工具。
它的应用十分广泛，包括信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
傅里叶级数的计算需要用到傅里叶系数，傅里叶系数是傅里叶级数中每个正弦和余弦函数的系数，它们之间有着密切的关系。
傅里叶级数的计算公式是：f(x)=a0/2+∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))其中，a0、an和bn是傅里叶系数，ω是角频率，n是正整数。
a0是函数f(x)在一个周期内的平均值，an和bn是函数f(x)中每个正弦和余弦函数的振幅系数。
傅里叶系数的计算公式是：an=2/T*∫[T/2,-T/2]f(x)*cos(nωx)dxbn=2/T*∫[T/2,-T/2]f(x)*sin(nωx)dx其中，T是函数f(x)的周期，ω=2π/T是角频率。
傅里叶系数的计算需要用到函数f(x)在一个周期内的积分，这就要求函数f(x)必须是周期函数。
傅里叶级数和傅里叶系数之间的关系可以用欧拉公式来表示：e^(inωx)=cos(nωx)+i*sin(nωx)将欧拉公式代入傅里叶级数的计算公式中，可以得到：f(x)=a0/2+∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞][∫[T/2,-T/2]f(x)*cos(nωx)dx*cos(nωx)+∫[T/2,-T/2]f(x)*sin(nωx)dx*sin(nωx)]]=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))]=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞](an*cos(nωx)-bn*cos(nωx+π/2))]其中，i是虚数单位。
由此可见，傅里叶级数中的正弦和余弦函数可以用复指数函数来表示，而傅里叶系数就是复指数函数的系数。
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的。
傅里叶级数的基本概念包括：
1. 周期函数：傅里叶级数适用于周期函数，即具有重复性的函数。
周期函数可以用一个周期T来描述，即f(t+T) = f(t)。
2. 基函数：傅里叶级数中的基函数是正弦和余弦函数。
正弦函数的频率是函数在一个周期内重复的次数，余弦函数则是正弦函数相位向右移动90度得到的。
基函数的频率可以用角频率ω表示。
3. 傅里叶级数公式：傅里叶级数表示一个周期函数f(t)可以表示为一个无穷级数的形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) +
bn*sin(nωt))，其中a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的系数。
4. 傅里叶系数：傅里叶级数中的系数an和bn可以通过积分计算得到。
an表示在周期T内函数f(t)与cos(nωt)的乘积的平均值，bn则是与sin(nωt)的乘积的平均值。
这些系数代表了基函数的贡献程度。
5. 频谱：傅里叶级数可以将一个周期函数表示成一系列频率成分的和。
这些频率成分称为频谱，由基函数的频率ω和对应的系数确定。
傅里叶级数的基本概念可以帮助我们理解和分析周期函数的特性，以及应用于信号处理、图像处理和物理学等领域。
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O 1 31
相位频谱图 n
~ n
n
1
O 1 31
13
傅立叶级数的意义：周期信号经过傅立叶级
数展开，将时域信号f(t)转换到了频域表示
t→ω 。
时域周期信号f(t)
FS
函数表示：c0 cn cosn1t n n1
波形表示：频谱图（幅度谱、相位谱）
14
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集
n1
又
jn1t
F (n )e
F (n )e jn1t
1
1
n 1
n1
令F (0) a
16
0
结果：
f (t) F (n1)e jn1t Fne jn1t
n
n
其中：Fn
an
2
jbn
1
Fn T1
t 0T1 t0
f
(t)(cos n1t
j sin n1t)dt
1
Fn T1
t0T1 f (t)e jn1t dt
理解：
n1
f (t) c0 cn cosn1t n n1
1、信号分解为直流分量，及各正、余弦分量之和，各
分量的频率是信号频率ω1的整数倍。
频率为ω1 、2 ω1 、 n ω1分量：基波、二次谐波、n次 谐波
2、 c0：直流分量
cn： n次谐波分量的幅度大小
φn： n次谐波分量的相位大小
11
第九章
数字信号处理的实现
1
第三章 傅里叶变换
教学目的：
1、掌握傅里叶级数的定义及性质。
2、掌握傅里叶变换的定义及性质。
3、建立信号频谱的概念。
4、掌握频谱密度函数的概念及其意义。
5、掌握抽样定理及抽样信号频谱的特征
教学重点：
1、傅里叶变换及其性质。
2、抽样定理。
2
§3.1 引言
时域分析
频域分析
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示 了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频 率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、 带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
f (t) a
a (n
jb en jn1t
a n
jb e ) n jn1t
0 n1
2
2
令
(a jb ) F (n ) n n (n 1,2, )
1
2
又 a 是n的偶函数，b 是n的奇函数
n
n
所以
F (n
)
a n
jb n
1
2
f
(t)
a 0
[
F
(
n 1
)e
jn1t
F (n )e jn1t )] 1
2
an T1
t0 T1 f (t) cos
t0
n1t
dt
正弦分量的幅度
bn
2 T1
t0 T1 f (t) sin
t0
n1t
dt
7
3、狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。
2
2
an T1
T1
2 T1
2
A T1
t
cos
n1t
dt 0
2
bn T1
T1
2 T1
2
A T1
t
sin
n 1t
dt
A (1)n1 nπ
n 1,2,3
傅里叶级数展开式为
f
t
0
A π
sin1t
A 2π
sin
21t
9
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t
构成完备的正交函数集
6
2．傅里叶级数形式
周期信号 f t ,周期为T1 , 基波角频率为1
在满足狄氏条件时，可展成
2
T1
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t
1
n1
称为三角形式的傅里叶级数。其系数
直流分量
a0
1 T1
t0 T1 f (t) d t
t0
余弦分量的幅度
条件3:在一周期内，信号绝对可积。
t0 T1 f (t ) d t t0
一般的周期信号都满足狄氏条件.
8
例3-2-1
f (t) A t T1 t T1
T1 2
2
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
f t
1
a0 T1
T1
2 T1
2
A T1
t
d
t
0
A/2 T1
2
T1
t
t0
17
f (t)
Fn e jn1t
(1)
n
1
Fn T
t0T1 f (t) e jn1t d t
t0
(2)
理解：
•周期信号可分解为 ,区间上的
指数信号 e jn1t的线性组合。
4
§3.2 周期信号傅里叶级数
主要内容：
Fourier Series
•三角函数形式的傅氏级数
（FS)
• 指数函数形式的傅氏级数
• 频谱图
• 两种傅氏级数的关系
• 函数的对称性与傅里叶级数的关系
•周期信号的功率
•傅里叶有限级数与最小方均误差
5
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
cosn1t,sinn1t n=0,1,...
3
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传 导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 •FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
4、幅度频谱图和相位频谱图
f (t) c0 cn cosn1t n
2
n1
幅度频谱（图）：把cn对nω1的关系绘成图形
相位频谱（图）：把φn对nω1的关系绘成图形
c ~ n ~ n
n
1
n
1
12
5、 频谱图
cn
幅度频谱图
c1
c ~ n c0
n
1
c3
谱线，包络
频谱特点： 离散性 谐波性 收敛性 单边谱
ejn1t n 0,1,2
2．指数形式的傅里叶级数(推导）
f
(t)
a 0
Hale Waihona Puke a ncosn t 1
b n
sinn t 1
n1
cos(n t) 1 (e jn1t e ) jn1t
1
2
sin(n t)
1
(e e ) j (e e ) jn1t
jn1t
jn1t
jn1t
1 2j
2
15
1
n1
余弦形式 f (t) c0 cn cosn1t n
2
n1
c0 a0
an cn cosn
cn
a
2 n
bn2
bn cn sinn
n
arctan
bn an
正弦形式 f (t) d0 dn sin n1t n (3)
n1
10
周期信号傅立叶级数 f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t