立体几何的计算
立体几何的计算
立体几何的计算立体几何是几何学的一个重要分支，它研究的是三维空间中的各种形状和体积计算。
在立体几何的计算中，我们主要关注的是常见的几何体，如圆柱体、圆锥体、球体等。
本文将介绍一些常见几何体的计算方法。
一、圆柱体的计算圆柱体是由一个底面和一个与底面平行的顶面组成，且底面和顶面上的任意点与直线段的距离相等。
圆柱体的体积计算公式为：V = πr²h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高度。
其表面积计算公式为：S = 2πr² + 2πrh，其中S表示表面积。
通过这两个公式，我们可以计算出给定圆柱体的体积和表面积。
例如，如果给定一个半径为3 cm，高度为8 cm的圆柱体，我们可以先计算出体积：V = π × 3² × 8 ≈ 226.195 cm³然后，计算表面积：S = 2π × 3² + 2π × 3 × 8 ≈ 150.796 cm²二、圆锥体的计算圆锥体是由一个圆形底面和一个与底面共顶点的侧面组成的几何体。
圆锥体的体积计算公式为：V = (1/3)πr²h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高度。
其表面积计算公式为：S = πr² + πrl，其中S表示表面积，l表示斜高（即锥的母线，连接顶点和底面圆心的直线）。
举个例子，假设有一个半径为4 cm，高度为6 cm的圆锥体，我们可以计算出体积：V = (1/3)π × 4² × 6 ≈ 100.530 cm³接着，我们可以计算表面积：S = π × 4² + π × 4 × 勾股定理（4² + 6²）的平方根≈ 131.946 cm²三、球体的计算球体是由一个中心点和与其距离相等的点组成的几何体。
球体的体积计算公式为：V = (4/3)πr³，其中V表示体积，r表示半径。
立体几何线到线的距离公式
立体几何线到线的距离公式
立体几何中，线到线的距离可以通过以下公式计算：
1. 解析法：首先求出一个法向量，该向量垂直于两条直线的方向向量。
然后取两条直线上各一个点连接成线段AB，将向量AB投影至法向量上，即为线到线的距离。
2. 几何法：线到线的距离就是其公垂线的长度。
在特殊情况下，可以直接找出一条公垂线或是构造一个公垂线。
更复杂的情况下，可以运用特殊的四面体公式。
连接两条异面直线的四个点构成四面体ABCD，求出体积V，再求出AB，CD的长度与其夹角θ，有1/6ABCDsinθ=V，通过此公式可以间接的解出θ。
希望这些信息能帮助你解决问题。
如果需要更多信息，建议查阅数学教材或咨询数学专业人士。
立体几何中的体积与面积计算方法总结
立体几何中的体积与面积计算方法总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的物体的形状、大小以及相互关系。
在立体几何中，体积和面积是两个常见且重要的概念。
本文将总结一些常见的体积和面积计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、体积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等，可以直接通过公式计算其体积。
例如，长方体的体积公式为V = l × w × h，其中l、w、h分别表示长方体的长度、宽度和高度。
2. 分割求和法：对于一些复杂的几何体，可以通过将其分割成若干个简单的几何体，然后计算每个简单几何体的体积，最后将它们求和得到整个几何体的体积。
这种方法常用于计算不规则体的体积，如棱柱、棱锥等。
3. 旋转体积法：对于一些具有旋转对称性的几何体，可以通过旋转这个几何体得到一个旋转体，然后计算旋转体的体积，并乘以旋转角度的比例系数得到原几何体的体积。
这种方法常用于计算圆锥、圆台等几何体的体积。
二、面积计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的几何形状，如矩形、正方形、圆形等，可以直接通过公式计算其面积。
例如，矩形的面积公式为A = l × w，其中l和w分别表示矩形的长度和宽度。
2. 分割求和法：对于一些复杂的几何形状，可以通过将其分割成若干个简单的几何形状，然后计算每个简单形状的面积，最后将它们求和得到整个几何形状的面积。
这种方法常用于计算不规则图形的面积，如多边形、曲线图形等。
3. 面积积分法：对于一些无法通过简单的公式计算的几何形状，可以利用面积积分的方法进行计算。
面积积分是将几何形状分割成无穷小的面元，然后对每个面元的面积进行积分得到整个几何形状的面积。
这种方法常用于计算曲面的面积。
三、应用举例1. 体积计算应用：在建筑工程中，需要计算房间的体积，以确定所需的建材数量。
在制造业中，需要计算产品的体积，以确定运输和储存的空间需求。
立体几何公式
立体几何公式1. 三角形面积（Triangle Area）三角形是立体几何中最基本的几何图形之一，其面积计算公式如下：面积 = (底边长 × 高) ÷ 2其中，底边长和高分别表示三角形的底边长度和与底边垂直的高。
2. 矩形面积（Rectangle Area）矩形是一种具有四个直角的四边形，其面积计算公式如下：面积 = 长 × 宽其中，长表示矩形的长边长度，宽表示矩形的短边长度。
3. 正方体体积（Cube Volume）正方体是一种具有六个相等的正方形面的立体，其体积计算公式如下：体积 = 边长 × 边长 × 边长其中，边长表示正方体的边长长度。
4. 圆柱体积（Cylinder Volume）圆柱体是由一个圆形底面和与底面平行的侧面所围成的立体，其体积计算公式如下：体积= π × 半径 × 半径 × 高其中，π（pi）是一个常数，约等于3.14159，半径表示圆柱体底面的半径长度，高表示圆柱体的高度。
5. 球体积（Sphere Volume）球体是由所有到一个固定点距离小于等于特定半径的点的集合构成的立体，其体积计算公式如下：体积= (4/3) × π × 半径 × 半径 × 半径其中，π（pi）是一个常数，约等于3.14159，半径表示球体的半径长度。
6. 圆锥体积（Cone Volume）圆锥体是由一个圆形底面和一个尖顶连接而成的立体，其体积计算公式如下：体积= (1/3) × π × 半径 × 半径 × 高其中，π（pi）是一个常数，约等于3.14159，半径表示圆锥体底面的半径长度，高表示圆锥体的高度。
7. 四棱锥体积（Tetrahedron Volume）四棱锥体是由一个四边形底面和四个三角形侧面所围成的立体，其体积计算公式如下：体积 = (底面边长 × 底面边长 × 高) ÷ 6其中，底面边长和高分别表示四棱锥体底面的边长和垂直于底面的高。
第8讲立体几何计算(几何体的表面积与体积)
第8讲立体几何计算（几何体的表面积与体积）一．基础知识回顾1．多面体的表面积：(1)设直棱柱高为h ，底面多边形的周长为c ，则S 直棱柱侧＝______.(2)设正n 棱锥底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则S 正棱锥侧＝____________(3)设正n 棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为a ′，周长为c ′，斜高为h ′，则 S 正棱台侧＝__________（4）设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r,则S 圆柱侧= （5）设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r,则S 圆锥侧= （6）设圆台的母线长为l ，上底面圆的半径为r 1, 下底面圆半径为r 2 则S 圆台侧=(4)设球的半径为R ，则S 球＝____________.2．几何体的体积公式(1)柱体的体积V 柱体＝______(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)． 特别地，底面半径是r ，高是h 的圆柱体的体积V 圆柱＝πr 2h.(2)锥体的体积V 锥体＝________(其中S 为锥体的底面面积，h 为高)．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积V 圆锥＝13πr 2h. (3)台体的体积V 台体＝______________(其中S ′，S 分别是台体上、下底面的面积，h 为高)．特别地，上、下底面的半径分别是r ′、r ，高是h 的圆台的体积V 圆台＝13πh(r 2＋rr ′＋r ′2)． (4)球的体积V 球＝__________(其中R 为球的半径)．二．典例精析探究点一：空间中的平行与体积计算例1：如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．变式迁移1：如图四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．探究点二：空间中的垂直与体积计算例2：如图四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，已知PB ＝PD ＝2，PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥P －BCE 的体积．变式迁移2：如图所示，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2 3，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3. (1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．探究点三：空间几何体证明计算其他问题例3：如图所示，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．变式迁移3：如图所示，四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 和△PAD 都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求点A 到平面PCD 的距离．三．课后作业练习1.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A.72πB. 56πC. 14πD.64π2．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形ABC 在平面β内，则三棱锥P —ABC 的体积为( )A .14B .12C .36D .343．从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，则它的表面积与正方体表面积的比为( ) A .3∶3 B .2∶2 C .3∶6 D .6∶64．若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:165．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π6．某几何体的三视图如下，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD .2π37．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．9.一个立方体的棱长为a ，则该立方体的外接球表面积为 ，内切球体积为 。
解析几何中的立体几何体的体积与表面积计算
解析几何中的立体几何体的体积与表面积计算立体几何体是我们日常生活中经常遇到的物体，如长方体、圆柱体、球体等等。
在解析几何中，我们需要了解如何计算这些立体几何体的体积和表面积。
本文将详细介绍几种常见立体几何体的计算方法。
一、长方体的体积与表面积计算长方体是最简单的立体几何体之一，它的体积和表面积计算公式如下：体积公式：V = l × w × h表面积公式：A = 2lw + 2lh + 2wh其中，l代表长方体的长度，w代表宽度，h代表高度。
二、圆柱体的体积与表面积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体几何体，它的体积和表面积计算公式如下：体积公式：V = πr²h表面积公式：A = 2πrh + 2πr²其中，r代表圆柱体的底面半径，h代表高度。
三、球体的体积与表面积计算球体是一个完全由曲面构成的立体几何体，它的体积和表面积计算公式如下：体积公式：V = (4/3)πr³表面积公式：A = 4πr²其中，r代表球体的半径。
四、金字塔的体积与表面积计算金字塔是一个底面为多边形，顶点与底面平面不在同一平面上的立体几何体。
它的体积和表面积计算公式如下：体积公式：V = (1/3) ×底面积 ×高度表面积公式：A = 底面积 + 侧面积其中，底面积代表金字塔底面的面积，侧面积为金字塔四个侧面的总面积。
五、圆锥体的体积与表面积计算圆锥体是一个底面为圆形，侧面由直线与底面相交而成的立体几何体。
它的体积和表面积计算公式如下：体积公式：V = (1/3)πr²h表面积公式：A = πr(r + l)其中，r代表圆锥体底面半径，h代表高度，l代表斜高。
六、棱柱的体积与表面积计算棱柱是一个底面为多边形，侧面由直线与底面相交而成的立体几何体。
它的体积和表面积计算公式如下：体积公式：V = 底面积 ×高度表面积公式：A = 2底面积 + 侧面积其中，底面积代表棱柱底面的面积，侧面积为棱柱的侧面总面积。
立体几何体积计算练习题
立体几何体积计算练习题1. 正方体计算(1) 已知一个正方体的边长为5cm，计算其体积。
解答：正方体的体积计算公式为V = a³，其中a为正方体的边长。
代入已知数据可得，V = 5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。
(2) 若正方体的体积为64cm³，求其边长。
解答：将正方体的体积计算公式改写为a³ = V。
代入已知数据可得，a³ = 64cm³。
对等式两边开立方根可得，a = ∛(64cm³) = ∛(4 × 4 × 4cm³) = 4cm。
因此，正方体的边长为4cm。
2. 长方体计算(1) 已知一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm和4cm，计算其体积。
解答：长方体的体积计算公式为V = lwh，其中l、w和h分别为长方体的长、宽和高。
代入已知数据可得，V = 8cm × 6cm × 4cm = 192cm³。
(2) 若长方体的体积为360cm³，已知长和宽的比为2:3，求长方体的长、宽和高。
解答：设长和宽分别为2x和3x（其中x为比例系数），代入长方体的体积计算公式可得，(2x) × (3x) × h = 360cm³。
化简该方程可得，6x²h = 360cm³。
解方程可得，h = 360cm³ / (6x²)。
同时，已知长和宽的比为2:3，即有 (2x) / (3x) = 2/3。
解方程可得，x = 3。
代入h的表达式可得，h = 360cm³ / (6 × 3²) = 10cm。
因此，长方体的长为2x = 2 × 3 = 6cm，宽为3x = 3 × 3 = 9cm，高为10cm。
3. 圆柱体计算(1) 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高为10cm，计算其体积。
暑期训练(四)立体图形的计算
暑期训练（四）（立体几何）基础知识：长方体的表面积=(长×宽＋长×高＋宽×高) ×2正方体的表面积=棱长×棱长×6长方体的体积=长×宽×高正方体的体积=棱长×棱长×棱长长(或正)方体的体积=底面积×高基础例题：1、有一块长方形的铁皮，长60厘米，宽40厘米。
在这块铁皮的四角剪去边长5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积。
2、把一个正方体木块锯成3个大小一样的小长方体后，表面积增加了36平方厘米。
原来正方体的体积是多少？3、把一个长方体截去一个高为8厘米的长方形后，剩下的部分是一个正方体。
正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。
求原来长方体的体积。
4、有一个棱长为9厘米的正方体，在每两个对面的中央钻一个边长为2厘米的正方形孔，且穿透，所得立体的体积是多少？5、如图所示的长方体，底面和右面的面积之和是125平方分米。
如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积可能是多少立方分米？6、有甲、乙、丙三个正方体水池，它们内边长分别是5米、3米、1米，把两堆碎石分别沉没在乙、丙两个水池的水里，它们的水面分别升高了4厘米和2厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在甲水池的水里，甲水池的水面升高了多少厘米？7、长方体不同的三个面的面积分别是10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米，这个长方形的体积是多少立方厘米？提高部分：8、一个磁带盒的长是14厘米，宽11厘米，厚3厘米。
现有4盒，按图（1）、图（2）摆放的方式进行包装，哪种包装方式更节约包装纸？为什么？还有其他的包装方式吗？试再画出一种并与前两种进行比较。
(1) (2)9、将一个大正方体木块，雕刻成棱长比为1:2:3的三个小正方体叠在一起的形状（如图），在损耗最小的情况下，得到的立体图形的表面积占原正方体的___分之___，体积占原正方体的___分之___；10、在下边各图中，不能折成一个无盖立方体盒子的是______；A B C D11、用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?12、如图，先后沿一个长方体不同方向切了三刀。
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教案
教师姓名授课班级授课形式
授课日期年月日第周授课时数
授课章节名称立体几何的计算
教学目的计算立体几何中的有关角度和距离以及一些体积问题教学重点二面角和几何体的体积
教学难点二面角的计算
更新、补充、
删节内容
使用教具三角板
课外作业补充
课后体会注意立体图形与平面图形的转化
授课主要内容或板书设计
一、复习知识点 1． 有关角的计算 ⑴异面直线所成的角
a ． 定义：设,a
b 是异面直线，过空间任一点o 引'',a a b b ，则'a 与'b 所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
b ．范围(0,90]
c ． 求法：作平行线，将异面转化成相交 ⑵线面所成的角 a ． 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。
b ．范围：[0,90]
c ． 求法：作垂线，找射影 ⑶二面角 a ． 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量。
b ．二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫二面角的平面角。
c ． 范围：[0,]π
d ．作法：
1定义法：过棱上任一点o 在两个半平面内分别引棱的两条垂线,OA OB ，则
AOB ∠为二面角的平面角
2三垂线定理法：过二面角的一个半平面内一点A ，作棱l 的垂线，垂足为O ，
作另一个面的垂线，垂足为B ，连接OB ，则AOB ∠为二面角的平面角。
β
α
O
B
A
3作棱的垂面法：过二面角内任意一点O ，分别向两个平面作垂线，垂足为,A B
则,AO BO 所确定的平面与棱l 交于P ，则APB ∠为二面角的平面角。
O
P
B
A
β
α
2．有关距离的计算 ⑴线线距 a ． 定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度叫两条异面直线间的距离。
b ．求法：高考要求题中给出公垂线段，故只须直接找出即可。
⑵点面距 a ． 定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离。
b ．求法：
1直接法：作点到平面的垂线，然后通过解三角形或者向量自身的数量积来求其
长度
2作线的垂线，下证垂直于面 3等体积法 4平行转化法
⑶线面距 a ． 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到平面的距离叫这条直线 和平面的距离
b ．求法：转化成点面距 ⑷面面距 a ． 定义：夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度叫两平行平面之间的距离 b ．求法：转化成线面距，点面距 3．面积与体积
名称 侧面积 体积 多面体 直棱柱S ch = V sh =
正棱锥'12S ch = 1
3
V sh =
旋转体 球24S R π= 34
3
V R π=
圆柱2S rh π= V Sh =
圆锥S rl π= 1
3
V sh =
二、讲解例题
例1、已知线段PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，且PA AB a ==，
求⑴P 到BD 的距离 ⑵PC 与BD 所成的角
O
D
C
B
A
P
例2、已知正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为AD 的中点，连接CE
⑴求证：顶点A 在底面BCD 内的射影是BCD 的外心 ⑵求AD 与底面BCD 所成的角 ⑶求CE 与底面BCD 所成的角
O
F
E
D
C
B
A
例3、设1111ABCD A B C D -为正方体，棱长为a ，O 为BD 的中点
⑴求平面1A BD 与平面1C BD 的夹角的余弦 ⑵求点1B 到平面11A BC 的距离
D1
C1
B1
A1
O
D
C
B
A
例4．（03年高考）四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB
的中点，二面角45,6,43P CD B BC CD --===
⑴求四棱锥P AECD -的体积 ⑵求点A 到平面PCD 的距离
E
D
C
B
A
P
例5．（04年高考）已知正方体1111ABCD A B C D -，其边长为a ，E ，F 分别是棱
AB ，BC 的中点
⑴求二面角1B EF B --的大小 ⑵求1EB F ∠
⑶求证：直线EF ⊥平面11BB D D
教案用纸
页
O
G
F
E D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
三、练习．
1.（05年高考）已知正四面体ABCD 的棱长为a ⑴求二面角A CD B --
⑵以A 为顶点，BCD 的外接圆为底面作圆锥，求圆锥的高和底面半径 ⑶求⑵题中的圆锥内接正方体的体积（正方体的下底面在圆锥的底面上，
四个顶点在侧面上）
A
D
C
B
A
D
C
B
A
2．（06年高考）在四面体P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC 为正三角形，D ，
E 分别为BC ，AC 的中点，设AB=2PA=2 ⑴如何在BC 上找一点
F ，使AD 面PEF ？请说明理由 ⑵求点B 到面PEC 的距离
⑶对于⑴中的点F ，求二面角P EF A --的大小
E
F
D
C
B
A
P
四、课堂小结：
注意立体图形向平面图形的转化
五、作业：补充。