立体几何的计算

教案

教师姓名授课班级授课形式

授课日期年月日第周授课时数

授课章节名称立体几何的计算

教学目的计算立体几何中的有关角度和距离以及一些体积问题教学重点二面角和几何体的体积

教学难点二面角的计算

更新、补充、

删节内容

使用教具三角板

课外作业补充

课后体会注意立体图形与平面图形的转化

授课主要内容或板书设计

一、复习知识点 1． 有关角的计算 ⑴异面直线所成的角

a ． 定义：设,a

b 是异面直线，过空间任一点o 引'',a a b b ，则'a 与'b 所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 b ．范围(0,90]

c ． 求法：作平行线，将异面转化成相交 ⑵线面所成的角 a ． 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。 b ．范围：[0,90]

c ． 求法：作垂线，找射影 ⑶二面角 a ． 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量。

b ．二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫二面角的平面角。

c ． 范围：[0,]π

d ．作法：

1定义法：过棱上任一点o 在两个半平面内分别引棱的两条垂线,OA OB ，则

AOB ∠为二面角的平面角

2三垂线定理法：过二面角的一个半平面内一点A ，作棱l 的垂线，垂足为O ，

作另一个面的垂线，垂足为B ，连接OB ，则AOB ∠为二面角的平面角。

β

α

O

B

A

3作棱的垂面法：过二面角内任意一点O ，分别向两个平面作垂线，垂足为,A B

则,AO BO 所确定的平面与棱l 交于P ，则APB ∠为二面角的平面角。

O

P

B

A

β

α

2．有关距离的计算 ⑴线线距 a ． 定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度叫两条异面直线间的距离。

b ．求法：高考要求题中给出公垂线段，故只须直接找出即可。 ⑵点面距 a ． 定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离。 b ．求法：

1直接法：作点到平面的垂线，然后通过解三角形或者向量自身的数量积来求其

长度

2作线的垂线，下证垂直于面 3等体积法 4平行转化法

⑶线面距 a ． 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到平面的距离叫这条直线 和平面的距离

b ．求法：转化成点面距 ⑷面面距 a ． 定义：夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度叫两平行平面之间的距离 b ．求法：转化成线面距，点面距 3．面积与体积

名称 侧面积 体积 多面体 直棱柱S ch = V sh =

正棱锥'12S ch = 1

3

V sh =

旋转体 球24S R π= 34

3

V R π=

圆柱2S rh π= V Sh =

圆锥S rl π= 1

3

V sh =

二、讲解例题

例1、已知线段PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，且PA AB a ==，

求⑴P 到BD 的距离 ⑵PC 与BD 所成的角

O

D

C

B

A

P

例2、已知正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为AD 的中点，连接CE

⑴求证：顶点A 在底面BCD 内的射影是BCD 的外心 ⑵求AD 与底面BCD 所成的角 ⑶求CE 与底面BCD 所成的角

O

F

E

D

C

B

A

例3、设1111ABCD A B C D -为正方体，棱长为a ，O 为BD 的中点

⑴求平面1A BD 与平面1C BD 的夹角的余弦 ⑵求点1B 到平面11A BC 的距离

D1

C1

B1

A1

O

D

C

B

A

例4．（03年高考）四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB

的中点，二面角45,6,43P CD B BC CD --===

⑴求四棱锥P AECD -的体积 ⑵求点A 到平面PCD 的距离

E

D

C

B

A

P

例5．（04年高考）已知正方体1111ABCD A B C D -，其边长为a ，E ，F 分别是棱

AB ，BC 的中点

⑴求二面角1B EF B --的大小 ⑵求1EB F ∠

⑶求证：直线EF ⊥平面11BB D D

教案用纸

页

O

G

F

E D1

C1

B1

A1

D

C

B

A

三、练习．

1.（05年高考）已知正四面体ABCD 的棱长为a ⑴求二面角A CD B --

⑵以A 为顶点，BCD 的外接圆为底面作圆锥，求圆锥的高和底面半径 ⑶求⑵题中的圆锥内接正方体的体积（正方体的下底面在圆锥的底面上，

四个顶点在侧面上）

A

D

C

B

A

D

C

B

A

2．（06年高考）在四面体P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC 为正三角形，D ，

E 分别为BC ，AC 的中点，设AB=2PA=2 ⑴如何在BC 上找一点

F ，使AD 面PEF ？请说明理由 ⑵求点B 到面PEC 的距离

⑶对于⑴中的点F ，求二面角P EF A --的大小