立体几何中的最值
高中数学立体几何中的最值问题专题辅导
高中数学立体几何中的最值问题 海红楼 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。
下面举例说明解决这类问题的常用方法。
一、运用变量的相对性求最值例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ）A. 55B. 552C. 2D. 1解析：如图1，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。
过O 作OQ ⊥SC ，在Rt △SOC 中，552=OQ 中。
又P 在BD 上运动，且当P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为552，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。
故选B 。
图1二、定性分析法求最值例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。
AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。
解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠BAO=30°。
过B 作BE//CD 交平面α于E ，则BE=CD 。
连结AE ，因为AB ⊥CD ，故AB ⊥BE 。
则在Rt △ABE 中，BE=AB ·tan ∠BAE ≥AB ·tan ∠BAO=3·tan30°=3。
故3≥CD 。
图2三、展成平面求最值例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。
平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ）A. 2aB. 2bC. 2cD. a+b+c图3-1解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。
立体几何中的最值问题-高三数学备考练习
问题29立体几何中的最值问题一、考情分析立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值. 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法；有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如最小角定理所建立的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径三、题型分析(一) 距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题A C与BD上,求MN的最小值. 【例1】正方体的棱长为1,M、N分别在线段11【分析】方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.A C与BD是异面直线,所以当MN是两直线的共垂线段时,MN 【解析】方法一（定义转化法）因为直线11取得最小值.取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.下证明之.在矩形11BDD B 中,PQ 为中位线,所以1//PQ BB , 又因为1BB ⊥平面ABCD ,所以PQ ⊥平面ABCD 又因为BD ⊆平面ABCD , 所以PQ BD ⊥. 同理可证11PQ A C ⊥, 而,,所以线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段,且1PQ =. 由异面直线公垂线段的定义可得,故MN 的最小值为1.方法二：（参数法）如图,取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.由正方体的棱长为1可得1PQ =.连结AC ,则11//AC A C ,所以BQC ∠为两异面直线11A C 与BD 所成角. 在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以.过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且.设PM m =,QN t =,则QH m =. 在Rt QNH ∆中, ,在Rt MHN ∆中,.显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.方法三：（向量法）如图,以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设DN m =,1A M n =.则,即；,即.所以,故当2m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。
立体几何中线段长度的最值问题
重点辅导Җ㊀北京㊀陶㊀军(特级教师)㊀㊀立体几何中的最值问题是高中数学的难点,这类问题包括求长度㊁角度㊁面积和体积等最值,而有关线段长度的最值问题是最基本的问题,求解这类问题的通法是几何法和向量法,本文进行例析．例１㊀如图１所示,在棱长为２的正方体A B C D ＧA １B １C １D １中,E ,F 分别为B C ,C C １的中点,点P 是侧面B C C １B １上一点,A １P ʊ平面A E F ,则线段A １P 长度的最小值是．图１分析１㊀因为点A １是定点,欲求线段A １P 长度的最小值,所以需确定动点P 的位置．因为直线A １P 绕点A １转动时总和平面A E F 保持平行,所以动直线A １P 形成的平面与侧面B C C １B １相交,点P 就在它们的交线l 上．因为交线l 平行于平面A E F ,侧面B C C １B １与平面A E F 的交线是E F ,所以l ʊE F ．怎样找到交线l 的位置呢?只需先找到点P ,它是侧面B C C １B １上的一个点．考虑到E 为B C 的中点,取B １C １的中点P １,可知A １P １ʊA E ,则A １P １ʊ平面A E F ,而过点P １且与E F 平行的直线是唯一的,就是交线l ,显然l 过线段B １B 的中点P ２,点P 的轨迹是线段P １P ２,所以求线段A １P 长度的最小值转化为求点A １到P １P ２的距离．解法１(几何法)㊀如图２所示,取B １C １的中点P １,因为P １E ʊA １A ,且P １E ＝A １A ,所以四边形P １E A A １是平行四边形,所以A １P １ʊA E ．取线段B １B 的中点P ２,则P １P ２ʊF E ,又因为A E 与E F 相交于点E ,所以平面A １P １P ２ʊ平面A E F ,由于点P 在平面A １P １P ２上,又在侧面B C C １B １上,故点P 的轨迹是线段P １P ２．在等腰әA １P １P ２中,A １P １＝A １P ２＝５,P １P ２＝２．取P １P ２的中点M ,则A １M ʅP １P ２,于是A １M ＝A １P ２１－P １M ２＝３２２,所以线段A １P 长度的最小值是３２２．图２分析２㊀因为点A １是定点,线段A １P 的长度由动点P 的位置决定,确定点P 的位置可以引入坐标,为此考虑建立适当的空间直角坐标系,设出动点P 的坐标,列出长度的表达式,借助函数的思想求A １P 的最小值．解法２(向量法)㊀如图３所示,以点D 为原点,D A ,D C ,D D １分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A １(２,０,２),因为点P 是侧面B C C １B １上一点,可设点P 的坐标(x ,２,z )(０ɤx ɤ２,０ɤz ɤ２),故|A １P ң|(x －２)２＋４＋(z －２)２．图３设平面A E F 的法向量n ＝(x ０,y ０,z ０),因为A (２,０,０),E (１,２,０),F (０,２,１),A E ң＝(－１,２,０),E F ң＝(－１,０,１),所以n A E ң＝－x ０＋２y ０＝０,n E F ң＝－x ０＋z ０＝０．{令y ０＝１,则x ０＝z ０＝２,n ＝(２,１,２)．因为A １P ʊ平面A E F ,所以n 与A １P ң＝(x －２,２,z －２)垂直,故n A １P ң＝２(x －２)＋２＋２(z －２)＝０,化简得x ＋z ＝３,因为０ɤz ɤ２,所以０ɤ３－x ɤ２,且０ɤx ɤ２,解得１ɤx ɤ２．把z ＝３－x 代入|A １P ң|的表３１重点辅导达式,整理得|A １P ң|＝２(x －３２)２＋９２,x ɪ[１,２],故当x ＝３２时,|A １P ң|取得最小值３２２．例２㊀如图４所示,在棱长为２的正方体A B C D ＧA １B １C １D １中,E 为B C 的中点,点P 在线段D １E 上,点P 到直线C C １的距离的最小值为．图４分析１㊀求点P 到直线C C １的距离的最小值,就是找点P 到直线C C １的垂线段P Q 长度的最小值．求线段P Q 的长度涉及空间上两个动点长度的距离问题,不易处理．注意到C C １ʅ平面A B C D ,P Q ʅC C １,则P Q ʊ平面A B C D ．因此,我们可以把P Q 正投影在平面A B C D 上,点P 在平面A B C D 上的正投影H 落在线段D E 上,点Q 在平面A B C D 上的正投影是点C ,于是P Q ＝H C ,求P Q 的最小值转化为在平面A B C D 上求定点C 与线段D E 上的动点H 之间距离的最小值,就是求定点C 到D E 的距离．解法１(几何法)㊀如图５所示,过点P 作P Q ʅC C １,Q 为垂足,因为C C １ʅ平面A B CD ,所以P Q ʊ平面A B C D ,过点P 作PH ʅDE ,H 为垂足,则PH ʅ平面A B C D ,所以PH ʊQ C ,且P Q ʊH C ,Q C ʅH C ,故四边形P Q C H 是矩形,P Q ＝H C ,在R t әC D E 中,当C H ʅD E 时,C H 长度最小,因为C E ＝１,C D ＝２,D E ＝５,所以C H ＝１ˑ２５＝２５５,故点P 到直线C C １的距离的最小值为２５５．图５分析２㊀设点P 到直线C C １的距离为P Q ,因为P ,Q 分别在线段D １E 和C C １上,故可以引入两个变量控制点P ,Q 的位置．设E P ң＝λE D １ң(０ɤλɤ１),C Q ң＝μC C １ң(０ɤμɤ１),根据正方体的特殊性建立适当的空间直角坐标系,利用向量的坐标运算推出点P ,Q 的坐标,进而用λ,μ表示P Q ң,利用P Q ң C C １ң＝０找出λ,μ的关系式,代入P Q 长度的表达式,转化为一元函数求最值．解法２(向量法)㊀如图６所示,以D 为原点,D A ,D C ,D D １分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则D １(０,０,２),E (１,２,０),C １(０,２,２),C (０,２,０),E D １ң＝(－１,－２,２),由于点P 在线段D １E 上,可设E P ң＝λE D １ң(０ɤλɤ１),即E P ң＝(－λ,－２λ,２λ),由此得点P 的坐标为(,,)．图６过点P 作P Q 垂直于C C １,Q 为垂足,设点Q 的坐标(０,２,m ),P Q ң＝(λ－１,２λ,m －２λ),C C １ң＝(０,０,２),因为P Q ңʅC C １ң,所以P Q ң C C １ң＝０,即２(m －２λ)＝０,m ＝２λ,P Q ң＝(λ－１,２λ,０),|P Q ң|＝(λ－１)２＋(２λ)２＋０２＝５(λ－１５)２＋４５,λɪ[０,１]．当λ＝１５,P Q 取得最小值２５５．综上所述,利用几何法求线段长度的最值,要点是先用立体几何知识确定动点的轨迹,再用平面几何知识求最值;利用向量法求线段长度的最值,要点是建立适当的坐标系,设出动点坐标,建立线段长度的表达式,借助向量知识把题目中的几何条件合理转化为代数条件,找到动点坐标的关系,把线段长度的表达式转化为一元函数,用函数的思想求最值．(作者单位:北京市怀柔区第一中学)４１。
高数140招之71-立体几何中的最值问题的解题策略
一、与线段长有关的最值问题【典例1】在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋PA 1的最小值为________．[解析]PA 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题．铺平平面A 1BC 1，平面BCC 1，如图所示，计算得A 1B ＝AB 1＝210，BC 1＝2.又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形． 设P 是BC 1上任一点，CP ＋PA 1≥A 1C ，即当A 1，P ，C 三点共线时，CP ＋PA 1有最小值． 在△A 1C 1C 中，由余弦定理得A 1C ＝62＋ 2 2－2×6×2×cos 135°＝52， 故(CP ＋PA 1)min ＝52.【变式练习】1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 取得最小值，则此最小值为()A ．2B.6＋22C ．2＋2 D.2＋2解析：选D将△A 1AB 与△A 1BD 1放在同一平面内，如图所示．连接AD 1，则AD 1为AP ＋D 1P 的最小值．因为AA 1＝A 1D 1＝1，∠AA 1D 1＝90°＋45°＝135°，所以由余弦定理得AD 1＝AA 21＋A 1D 21－2×AA 1×A 1D 1×cos 135°＝2＋2. 2．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为________．解析：由三视图知三棱锥如图所示，底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ， PA ⊥平面ABC ，BC ＝27， PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝x 2， 因此xy ＝x 102－[x 2－ 27 2] ＝x128－x 2≤x 2＋ 128－x 22＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.3．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为()A ．22B ．3C ．23D ．4解析：选C 如图，不妨设N 在B 处，设AM ＝h ，CQ ＝m ，则MB 2＝h 2＋4，BQ 2＝m 2＋4，MQ 2＝(h －m )2＋4，由MB 2＝BQ 2＋MQ 2，得m 2－hm ＋2＝0.Δ＝h 2－8≥0⇒h 2≥8，该直角三角形斜边MB ＝4＋h 2≥23，故该直角三角形斜边长的最小值为23.故选C.二、与面积有关的最值问题【典例2】已知正四面体S ABC 的棱长为1，如果一个高为36的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为________．解析：如图，易知正四面体S ABC 的内切球的球心O 必在高线SH 上，延长AH 交BC 于点D ，则D 为BC 的中点，连接SD ，设内切球切SD 于点E ，连接AO .因为H 是正三角形ABC 的中心，所以AH ∶DH ＝2∶1.易得Rt △OAH ∽Rt △DSH ，所以OA OH ＝DSDH＝3，可得OA ＝3OH ＝SO ，因此SH ＝4OH ，可得内切球的半径R ＝OH ＝14SH .因为正四面体S ABC 的棱长为1，所以在Rt △DSH中，DS ＝SH 2＋DH 2＝ 4R 2＋(13×32)2＝32，解得R 2＝124.要满足一个高为36的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的体对角线长不超过正四面体内切球的直径，设该长方体的长和宽分别为x ，y ，其长和宽形成的长方形的面积为S ，则4R 2≥(36)2＋x 2＋y 2，所以x 2＋y 2≤112，所以S ＝xy ≤x 2＋y 22≤124，当且仅当x ＝y ＝612时等号成立，即该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为124. 【变式练习】1.(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为() A ．334B ．233C ．324D ．32【答案】A【解析】如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22×sin 60°＝334.故选A.2．已知球O 是正三棱锥A BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝23，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．【答案】2π【解析】如图，设△BCD 的中心为点O 1，球O 的半径为R ，则A ，O ，O 1三点共线．连接O 1D ，O 1E ，OD ，OE ，则O 1D ＝3，AO 1＝AD 2－O 1D 2＝3.在Rt △OO 1D 中，R 2＝3＋(3－R )2，即R ＝2，所以OO 1＝1.在△O 1DE 中，DE ＝23BD ＝2，∠O 1DE ＝30°，所以由余弦定理得O 1E ＝3＋4－2×3×2× cos 30°＝1.所以OE ＝2.过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为22－（2）2＝2，所以截面圆的面积为2π.3．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是________．【答案】2π【解析】如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，因为A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥MN ，所以MN ⊥平面A 1AE ，所以A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，所以∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，所以∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，因为AA 1＝2，所以AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME ·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME ·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，所以截面A 1MN 面积的最小值为12×4×22＝42.三、与体积有关的最值问题【典例3】(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．【答案】415【解析】如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝36BC ，设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，故所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2× 5－x 2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈(0，52)，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )＞0，即x 4－2x 3＜0，得0＜x ＜2； 令f ′(x )＜0，得2＜x ＜52，则当x ∈(0，52)时，f (x )≤f (2)＝80， ∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.【变式练习】1．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为()A ．123B ．183C ．243D ．543【答案】B【解析】由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r ＝33AB ＝23.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 体积的最大值为13×93×6＝183.2．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________． 【答案】23π【解析】由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r ＞0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5，令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0＜r ＜6时，f ′(r )＞0，f (r )单调递增；当r ＞6时，f ′(r )＜0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝13π×108＝23π.3．已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，且AB ＝AC ＝3，BC ＝33，D 为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D ABC 体积的最大值为________．【答案】274【解析】如图，在△ABC 中， ∵AB ＝AC ＝3，BC ＝33， ∴由余弦定理可得cos A ＝32＋32－ 33 22×3×3＝－12，∴sin A ＝32.设△ABC 外接圆O ′的半径为r ，则3332＝2r ，得r ＝3.设球的半径为R ，连接OO ′，BO ′，OB ， 则R 2＝(R 2)2＋32，解得R ＝23.由图可知，当点D 到平面ABC 的距离为32R 时，三棱锥D ABC 的体积最大，∵S △ABC ＝12×3×3×32＝934，∴三棱锥D ABC 体积的最大值为13×934×33＝274.4．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 的中点，将△ADE 沿AE 折到△APE 的位置．(1)证明：AE ⊥PB ；(2)当四棱锥P ABCE 的体积最大时，求二面角A PE C 的余弦值．解：(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB ∥CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形， ∴在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝π3，BD ⊥BC ，∴BD ⊥AE .如图，翻折后可得OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，又OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP ∩OB ＝O ，∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE ⊥PB .(2)当四棱锥P ABCE 的体积最大时，平面PAE ⊥平面ABCE .又平面PAE ∩平面ABCE ＝AE ，PO ⊂平面PAE ，PO ⊥AE ，∴OP ⊥平面ABCE .以O 为坐标原点，OE所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，P(0，0，32)，E(12，0，0)，C(1，32，0)，∴PE―→＝(12，0，－32)，EC―→＝(12，32，0)，设平面PCE的法向量为n1＝(x，y，z)，则{·n1＝0，·n1＝0，)即{12x－32z＝0，12x＋32y＝0，)设x＝3，则y＝－1，z＝1，∴n1＝(3，－1，1)为平面PCE的一个法向量，易知平面PAE的一个法向量为n2＝(0，1，0)，cos n1，n2 ＝n1·n2|n1||n2|＝－11×5＝－55.由图知所求二面角APEC为钝角，∴二面角APEC的余弦值为－5 5 .[解题技法]立体几何中的最值问题的解题策略空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、体积等发生变化，进而就有了面积与体积的最值问题.定性分析：在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积的变化规律，求得其最大值或最小值.定量分析：将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择.。
高中数学立体几何中的最值问题
高中数学立体几何中的最值问题在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。
这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。
接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。
一、常见类型及解法1、距离最值问题（1）两点间距离最值在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。
例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。
（2）点到直线距离最值求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。
如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。
（3）点到平面距离最值对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。
先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。
2、面积最值问题（1）三角形面积最值在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。
例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。
（2）四边形面积最值对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。
当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。
3、体积最值问题（1）柱体体积最值对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。
当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。
（2）锥体体积最值锥体体积为三分之一底面积乘以高。
在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。
二、例题分析例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。
解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。
立体几何的最值问题
立体几何最值问题立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间图形的性质和数量关系。
在立体几何中，我们经常遇到最值问题，即寻找某个量的最大值或最小值。
本文将介绍立体几何中最值问题的几个方面：1.立体几何位置关系立体几何中的位置关系是指空间中点、线、面之间的相对位置。
解决位置关系问题需要运用空间想象和逻辑推理。
在立体几何中最值问题中，位置关系往往与距离、角度等问题交织在一起，需要综合考虑多种因素。
2.立体几何中的距离立体几何中的距离是指空间中两点之间的直线距离，或者是点与线、线与面之间的距离。
在解决最值问题时，我们需要考虑如何利用距离公式来计算最短路径、最大距离等。
3.立体几何中的体积立体几何中的体积是指空间中封闭图形的体积，或者是两个平面图形之间的距离。
计算体积需要运用体积公式，而解决最大或最小面积问题则需要考虑如何调整图形的形状和大小。
4.立体几何中的最短路径立体几何中的最短路径问题是指寻找空间中两点之间的最短距离。
解决这类问题需要运用距离公式和几何定理，有时还需要借助对称、旋转等技巧。
5.立体几何中的最大/最小面积立体几何中的最大/最小面积问题通常涉及到平面图形在空间中的展开和折叠。
解决这类问题需要运用面积公式和平面几何定理，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。
6.立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题是指空间中两条直线或两个平面之间的夹角。
解决这类问题需要运用角度公式和空间向量，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。
7.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题是指一个点或一条线在空间中按照一定规律移动所形成的轨迹。
解决这类问题需要运用轨迹方程和运动学原理，同时要注意轨迹的形状和大小随时间的变化情况。
立体几何第三讲 空间几何体得最值问题
分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的
最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【玩转跟踪】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P1, P2 分别是线段 AB 、BD1（不
包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于 平面 A1 ADD1 ，则四面体 P1P2 AB 的体积的最大值
锥 P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大.
【解析】因为 PA 平面 ABC, BC 平面 ABC，所以 PABC 又因为 BCAC, PA AC A ，所以 BC 平面 PAC，又 AF 平面 PAC，所以 BCAF ， 又 AFPC, PC BC C ，所以 AF 平面 PBC，即 AFEF 。EF 是 AE 在平面 PBC 上的 射影，因为 AEPB ，所以 EFPB ，即 PE 平面 AEF。在三棱锥 P AEF 中， AP AB 2, AEPB ，
5
.
5
又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为 2 5 ，也就是异面直 5
线 BD 和 SC 的公垂线段的长.故选 B. 2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则 在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.
又∵ 0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan 2 ,(α+β)min＝π-arctan2 2 .
【迁移运用】
1．【西藏日喀则一中高三 10 月检测】已知正三C 的距离为1，点 是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面
立体几何中的最值问题求解策略
化
中 ， 面 积 最 小 的 是 一 个 四 棱 柱 ， ａ 的 取 值 范 围 全 则
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丙 ， 一￣（ Ａ１ ｃ ／ＡＡ ＋ＡＤ） ＋ＤＣ 一
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立体几何最值问题姓名立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。
下面举例说明解决这类问题的常用方法。
一、运用变量的相对性求最值例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（）2 A. B. C. 2 D. 155552二、定性分析法求最值例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。
AB⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。
三、展成平面求最值例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。
平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ）A. 2aB. 2bC. 2cD. a+b+c图3-1四、利用向量求最值例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为_______。
一、线段长度最短或截面周长最小问题例1. 正三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=（1）求MN a ).20(<<a 的长；（2）当为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB a 所成的二面角的大小。
α例3. 如图，边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为。
点M 在AC 上，点N 在BF 上，若AM=FN ,(1)求证:MN//面BCE ;)20(πθθ<<(2)求证:MN AB;⊥(3)求MN 的最小值.例4.正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=x ,BN=y, （1）求MN ).2,0(<<y x 的长(用x,y 表示)；（2）求MN 长的最小值，该最小值是否是异面直线AC ，BF 之间的距离。
例5. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD 为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?例6. 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.二、面积最值问题例7. 如图1所示，边长AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?例8. 在三棱锥A—BCD中，ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形，二面角A—BC—D＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。
例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为 。
例10、圆柱轴截面的周长L 为定值，求圆柱侧面积的最大值。
例11、在棱长为1的正方体ABCD —ABCD 中，若G 、E分别是BB 1、C 1D 1的中点，点F 是正方形ADD 1A 1的中心。
则四边形BGEF 在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是 。
三、体积最值问题例12. 如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P—ABC 的体积的最大值.ABC DD 1A 1C 1B 1E FG评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质. 四、角度最值问题。
例13. 在棱长为1的正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上的一动点，平面PAD 1和平面PBC 1与对角面ABC 1D 1所成的二面角的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值.“动态”立体几何题初探本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。
一、 截面问题截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有一定的可变性。
例1、已知正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面积为S,高为h,过C 点作三棱柱的与底面ABC 成α角的截面△MNC,(0<),使MN//AB ，求截面的面积。
2πα<二、 翻折、展开问题图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系则发生变化。
不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。
例2、下图表示一个正方体的展开图，图中AB 、CD 、EF 、GH 这四条直线在原正方体中相互异面的有（ ）A 2对B 3对C 4对D 5对例3、从三棱锥P —ABC 的顶点沿着三条侧棱PA 、PB 、PC 剪开，成平面图形，得到△P 1P 2P 3，且P 1P 2=P 2P 3；C三、 最值问题立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。
例4、（2002年全国高考）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ，（0<a<）.2（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；例6、圆柱轴截面的周长L 为定值，求圆柱侧面积的最大值。
AE四、 探索型问题由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不可确定，探索型问题正好通过这种“动态性”和不确定性考查学生的发散性思维。
例7、已知矩形ABCD ，PA ⊥平面AC 于点A ，M ，N 分别是AB 、PC 的中点，（1）求证MN ⊥AB ；（2）若平面PDC 与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由。
例8、如图，△ABC 是正三角形，AD 和CE 都⊥平面ABC ，且AD=AB=1，CE=1/2，问：能否在线段BD 上找到一点F ，使AF ⊥平面BDE ？五、 其它类型 利用三垂线定理、射影定理、线线、线面垂直的性质等在动态问题中提炼一些不变的、“静态”的量，从而达到解题的目的。
例9、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=AB=AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于（ ） A 300 B 450 C 600例10、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 。
C AP H AC D E例11、在棱长为1的正方体ABCD —ABCD 中，若G 、E 分别是BB 1、C 1D 1的中点，点F 是正方形ADD 1A 1的中心。
则四边形BGEF 在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是 。
“动态”立体几何题面面观本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。
一．定值问题例1 如图在棱长为a 的正方体中，EF 是棱AB 上一条线段，1111ABCD A B C D 且EF ＝b ＜a ，若Q 是上的定点，P 在上滑动，则四面体PQEF 的体积11A D 11C D （ ）．（A)是变量且有最大值 （B ）是变量且有最小值（C ）是变量无最大最小值 （D ）是常量分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段EF 的位置不定，点P 在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？A BCD D 1A 1C 1B 1E F G仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是PEF ∆要变化的，但是底边EF 是定值，且P 到EF 的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点Q 到面PEF 的距离也是定值．因此，四面体PQEF 的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．三、范围问题例3。
求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围。
分析：因为这个正三棱锥是动态的，无法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面角，故不能通过正常的途径算出其范围，既然是动态的图形，我们则可以从图形的极限思想出发思考这个问题。
四、截面问题例4、已知正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面积为S,高为h,过C 点作三棱柱的与底面ABC 成α角的截面△MNC,(0<),使MN//AB ，求截面的面积。
2πα<五、 翻折、展开问题例5 给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明．例6. 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.例7 .如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.(1)求证：AD ⊥EC ，且与二面角F—AD—C 的大小无关；(2)FC 与FE 所成的角为30°时，求二面角F—AD—C 的余弦值.六、 探索型问题例8.已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且 ).10(<<==λλAD AF ACAE （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？例9. 有三个几何事实(a ，b 表示直线，表示平面)，① a ∥b ，② a ∥，③ b ∥αα．其中，a ，b 在面外． αα用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．18.棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′的上底面对角线AC上取一点P,过P、A′、B′三点所作的截面与底面A′B′C′D′的夹角为α,过P、B′、C′三点所作截面与底面A′B′C′D′的夹角为β，求当(α+β)最小时点P的位置.。