重难点突破：立体几何中最值问题全梳理

重难点突破：立体几何中最值问题全梳理

模块一、题型梳理

题型一 空间角的最值问题

例题1： 如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，

分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________．

【解析】AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立坐标系，设正方形边长为2．

cos θ=

令[]()0,2)f m m =

∈

，()f m '=

[]0,2,()0m f m '∈∴<，max 2()(0)5f m f ==

，即max 2cos 5

θ=

ABCD ADPQ M PQ ,E F ,AB BC EM AF θθ

cos

例题2： 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =

，1AA =.若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.

【分析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，由AM MC ⊥得()2

224m n -+=，

证明11A MB 为1A M 与平面11BCC B 所成角，令22cos ,2sin m n θθ=+=，用三角函数表示出

11tan A MB ∠，求解三角函数的最大值得到结果.

【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，

设点(),4,M m n ，则()(

)(14,0,0,0,4,0,4,4,A C B

()(),0,,4,4,CM m n AM m n ∴==-，又AM MC ⊥，得2240,AM CM m m n ?=-+=即

()

2

224m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，11A MB ∴∠为1A M 与平面11BCC B 所成角，

令[]

22cos ,2sin ,0,m n θθθπ=+=∈，

11111tan ∴∠=

=A B A MB B M

=

=

，∴当3

π

θ=时，11tan A MB ∠最大，即1A M 与平面11BCC

B 所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2

【小结】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.

题型二 空间距离的最值问题

例题3： 的正三棱柱111ABC A B C -中，ABC ?的边长为2，D 为棱11B C 的中点，若一只蚂蚁从

点A 沿表面爬向点D ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）

A ．3

B ．

C ．

D ．2

【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A 点出发，经过BC 再到达点D .第二种是从A 点出发，经过11A B 再到达点D .第三种是从A 点出发，经过1BB ，最后到达点D .分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.

【解析】如图1，将矩形11BCB C 翻折到与平面ABC 共面的位置11BCC B '',此时，爬行的最短距离为

AD '=2，将111A B C △翻折到与平面11ABB A 共面的位置111A B C '，易知11A D AA '=1120D A A '∠=?，此时爬行的最短距离3AD '=；如图3，将矩形11BCB C 翻折到与平面11ABB A 共面的位

置11BC C B ''，此时，爬行的最短距离AD '=

综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.故选：A.

【小结】本题考查了空间想象能力，和平面几何的计算能力，解决本题的关键是依据“在平面内，两点之间线段最短”.属于中档题.

例题4： 点D 是直角ABC ?斜边AB 上一动点，3,4AC BC ==，将直角ABC ?沿着CD 翻折，使

'B DC ?与ADC ?构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是（ ）

A B C ．D

【分析】过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，根据折叠性质设BCD B CD α∠=∠'=，用α表示出,,2

B E CE ACE π

α'∠=-，在AEC ?中由余弦定理表示出2AE ，再在Rt AEB ?'中，由勾股定理即可求

得'AB 的最小值.

【解析】过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，如下图所示：

设BCD B CD α∠=∠'=，则有4sin 4cos 2

B E CE ACE π

ααα'==∠=

-，，，在AEC ?中，由余弦定

理得，222

2cos 2AE AC CE AC CE πα??=+-??- ???

2916cos 24cos sin ααα=+-，在Rt AEB ?'中，由

勾股定理得，22222916cos 24cos sin 16sin AB AE B E αααα'+'+-+==2512sin 2α=-，

∴当4

π

α=时，AB 'B ．

【小结】本题考查了立体几何中折叠问题的综合应用，余弦定理表示出边长，并由三角函数值域的有界性确定最值，属于中档题.

题型三 球体的最值问题

例题5： 将半径为r 的5个球放入由一个半径不小于3r 的球面和这个球的内接正四面体的四个面分割成的

五个空间内，若此正四面体的棱长为

r 的最大值为________.

【分析】计算正四面体的外接球半径3R =，内切圆半径为11r =，设1OO 与球面相交于点Q ，如图所示，画出剖面图，33R r =≥，1r r ≤，122O Q r =≥，解得答案.

【解析】正四面体的棱长为根据对称性知，A 的投影为三角形BCD 的中心1O ，则12

3

O D DM ==

高14AO =

=，设外接球半径为R ，故()2

2211R AO R DO =-+，解得3R =，设正四面体

内切球半径为1r ，根据等体积法得到：((2211111

sin 604sin 6043232

r ???=???，故11r =，

根据题意33R r =≥，1r r ≤，1r ≤.设1OO 与球面相交于点Q ，如图所示，画出剖面图，

1122O Q R OO r =-=≥，故1r ≤.综上所述：1r ≤，故r 的最大值为1.故答案为：1.

【小结】本题考查了四面体的外接球内切球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

例题6： 已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，BC =S 是球面上任意一点，

则三棱锥S ABC -体积的最大值为（ ）

A B ．

36

+ C ．

212

+ D ．

312

+ 【分析】要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离最大，当S 为ABC 外接圆圆心与球心的延长线与球面的交点时取最大值，求出ABC 外接圆的半径，进而求出球心与ABC 外接圆圆心的距离，即可求解.

【解析】设ABC 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中

点，连AD ，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，1

2

AD =

=，设ABC 外接圆半径为r ，

222231

(

)()()242

BC r AD r r =+-=+-，解得1,||r OO '=∴=要使S ABC -体积的最大，

需S 到平面ABC 距离， 即S 为O O '2，所以三棱锥S ABC -体

积的最大值为1

1112)2)3

322ABC

S

?=???=

【小结】本题考查三棱锥体积的最值、多面体与球的“接”“切”问题，注意应用球的截面性质，属于中档题

例题7： 已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面

内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于2+，则球O 的体积等于（ ）

A ．

43

π B ．

83

π C ．

163

π

D ．

223

π

【分析】由条件可得球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最

大值. 设球O 的半径为R ,则AB ==，可得SBC ?为等边三角形，根据条件可得1R =，从而得出答案.

【解析】四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内, 所以球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.此时四棱锥

为正四棱锥.设球O 的半径为R ,则AB =

=,SB ==，SBC ?为等边三

角形，则2

213sin 6022

SBC S SB R ?=

=，

所以此四棱锥的表面积为22422SBC ABCD S S R ?+=+=+ 所以1R =.球O 的体积344

33

V R ππ=

= ，故选：A

【小结】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.

例题8： 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积

为

43

π

的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）

A ．

1

2 B ．

1

2

C D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡

蛋的体积为

4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离2

d ==

为1，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为112?--= ??

. 【小结】本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.

题型四 棱锥的最值问题

例题9： 如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长?宽?高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的

体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．

【分析】由题知，由三棱锥的体积得6mn =, 又三棱锥P ABC -

的外接球直径是长方体的体对角线

2R .

【解析】

P ABC -的外接球直径是长方体的体对角

线，∴

R =

，3334411

=3386

V R πππ==? 1

212=233P ABC ABC mn

V S h -??=??= ，6mn ∴=，222=12m n mn ∴+≥

，当且仅当=m n =时，等

号成立，33

11=32463=

6V πππ≥?，三棱锥外接球体积的最小值为323π，故答案为323

π. 【小结】本题考查与球有关外接问题. 与球有关外接问题的解题规律: (1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的

1

2

. (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．

(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．

例题10： 有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四

面体模型棱长的最大值为（ ） A ．2

B

．C ．4

D

．

【分析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.

【解析】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则81224ab ac bc =??=??=?，故246a b c =??

=??=?

，若能从该长方体

削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割

才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值.故选：B.

【小结】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.

例题11：

某三棱锥的三视图如图，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y +的最大值为________.

【分析】根据三视图,利用勾股定理列出等式,再结合基本不等式求最值.

【解析】由三视图之间的关系可知2210802x y =--,整理得2

2

128x y +=,故22222()2()2562x x y x y x y y =++=++≤, 解得16x y +,当且仅当8x y ==时等号成立,故答案为:16

【小结】本题考查三视图之间的关系应用,考查基本不等式,难度不大.

例题12：

如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是

底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积。若1(),2,2f M x y ??

= ???

，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的

最小值是_____

【分析】由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得421x y +=；

利用()1142a a x y x y x y ??

+=++ ???

可构造出符合基本不等式的形式，得到142a a x y +≥++，由恒成

立关系可得关于a 的不等式，解不等式求得最小值.

【解析】,,PA PB PC 两两垂直，PC ∴⊥平面PAB ，1

113211332

P ABC C PAB PAB V V S PC --?∴==?=????=，即1

212

x y ++=，421x y ∴+=，

()11244242??∴+=++=+++≥ ???a a y ax x y a x y x y x y

4242++=++a a 24y ax x y =，即y =时取等号），又18a x y +≥恒成

立，428a ∴++≥，解得：6a ≥-∴正实数a 的最小值为6-【小结】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.

例题13：

半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用2

2

2

22OA OO O A =+，可得2

2

4163

h x =-

，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.

【解析】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23

O A x =

，

在2R t OAO ?中，22

443

h x +=，化为2

24163h x =-，3S xh =，

()

2

2222222

12

91212124322x x S x h x x ??

+-∴==-= ???

，当且仅当x =S =

【小结】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.

例题14：

已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.

【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值.

【解析】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与

球相切可知，D 、

C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2

SCB SDO π

∠=∠=，又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~，

BC SC

OD SD

∴=，即R r =R ∴==，∴圆锥体积为

222

1()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22

(4)()3(2)

r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则 04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，

则3

min 8()(4)3V h V r r π==

.故答案为：383

r π.

【小结】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.

例题15：

若侧面积为4π的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______.

【分析】设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ，则球的半径R =

，由圆柱的侧面积，求得12h r =，

得出R =R 得最小值，进而求得圆柱的表面积.

【解析】由题意，设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ，则球的半径R =

.因为球体积343V R π=，

故V 最小当且仅当R 最小.圆柱的侧面积为24rh ππ=，所以2rh =，所以12h r =，所以R =≥，

当且仅当2

2

1

r r =

时，即1r =时取“=”号，此时R 取最小值，所以12r h ==，,圆柱的表面积为22126πππ+??=.

【小结】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

题型八 平面图形面积的最值问题

例题16：

在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平

面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ） A ．

43

B ．

94

C ．

92

D ．3

【分析】根据线面平行的性质可知//GH AB ，//EF AB ，//GF CD ,//EH CD ，因为3AD CD ==，

4AC BC ==，故AB CD ⊥，所以四边形为矩形，设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<，

建立二次函数关系求解四边形面积的最大值.

【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ，且平面ABC

平面EFGH GH =，平面ABD ?平面EFGH EF =，得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<，则3FG x =，

()31HG x =-，于是2

199(1)9,0124EFGH

S FG HG x x x x ?

?=?=-=--+<< ??

?，当12x =时，四边形

EFGH 的面积有最大值

9

4

.故选：B. 【小结】本题考查了运用四面体中的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于较难题.

例题17：

如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，

,E F 分别是11,BB DD 的中点，G 为AE 的中点且2FG =，则EFG 面积的最大值为___________.

【分析】建立坐标系，使用向量法求出E 到直线FG 的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值． 【解析】连接AC 交BD 于O ，

底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，以OC ，OD ，OZ 为坐标轴建立

空间直角坐标系O xyz -，设OC a =，OD b =，棱柱的高为h ，则(),0,0A a -， 0,,

2h E b ?

?

- ???

， (0F ，b ，)2h

，(2

a G ∴-，2

b -，)4h ．(2a FG =-，32b -

，)4

h

-，(0FE =，2b -，0)，233cos ,224||||

FG FE b b

FG FE b FG FE ∴<>===，

E ∴到直线FG 的距离21691

||sin ,22

b d FE FG FE b

-=<>== 22

16113

49162223

2EFG b b

S FG d b ?+

-∴=

==???

?．

当且仅当2

2169b b =

-即28

9b =时取等号．故答案为：43

． 【小结】本题考查了空间向量与空间距离的计算，不等式的应用，属于中档题．

模块二、真题赏析

1. (2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所

得截面面积的最大值为 A

B

C

D

【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图，

连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，

FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平

行，且截正方体所得截面的面积最大，又2

======

EF FG GH IH IJ JE ，

所以该正六边形的面积为26434?=，所以α

截此正方体所得截面面积的最大值为4

．

2. (2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对

应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为

A ．

B ．

C ．3

D ．2

【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则2=MS ，4=SN ，则从M 到N 的路径中，最短路径的长度为

==B ．

图① 图②

3. 2018全国卷Ⅲ)设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面

积为

体积的最大值为 A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】设等边三角形的边长为，则得．设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，

则点

到平面的最大距离， 所以三棱锥体积的最大值．故选B ．

M A

N B M N B

A

1725

2S

N

M

A B C D ABC ?D ABC -ABC x 2

1sin 60932

x =6x =ABC ?r 62sin 60

r =

r =ABC ?2d ==D ABC 146d d =+=D ABC -max 11

6633

ABC V S ?=?=?=

4. （2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形的中心 为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三 角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重 合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______。

【解析】如图连接交于，由题意，设等边三角形的边长为（）

，． 由题意可知三棱锥的高 底面，三棱锥的体积为

设，则（），令，解得

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以

取得最大值，所以．

O ABC O D E

F O DBC ?ECA

?FAB ?BC CA AB BC CA AB DBC ?ECA ?

FAB ?D E F ABC ?3

cm F

G O D

F

E

C

B

A OE AC G OE AC ⊥ABC x 05x <

5GE x =-h ===2ABC S ?=

2134V x =?=4

5()5h x x =34

()20h x x x '=05x <<()0h x '=x =(0,x ∈()0h x '>()h x x ∈()0h x '<()h x x =()h x 4

h =2max V =

==

5. （2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是

上异于，的点．

(1)证明：平面平面；

(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【解析】(1)由题设知，平面⊥平面，交线为．

因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥． 因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥． 又=，所以⊥平面．而平面，故平面⊥平面．

(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

当三棱锥体积最大时，为的中点．由题设得，，，，，，，

设是平面的法向量，则即，可取．

是平面的法向量，因此，，

所以面与面所成二面角的正弦值是．

ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC M ABC -MAB MCD M

D C

B

A

CMD ABCD CD BC CD BC ?ABCD BC CMD BC DM M CD C D DC DM CM

BC

CM C DM BMC DM ?AMD AMD BMC D DA x D xyz -M ABC -M CD (0,0,0)D (2,0,0)A (2,2,0)B (0,2,0)C (0,1,1)M (2,1,1)AM =-(0,2,0)AB =(2,0,0)DA =(,,)x y z =n MAB 0,0.AM AB ??=???=??n n 20,20.x y z y -++=??=?(1,0,2)=n DA MCD 5cos ,5

||||DA DA DA ?=

=n n

n 2sin ,DA =n MAB MCD 5